Kvazigroup - Quasigroup - Wikipedia

v matematika, speciálně v abstraktní algebra, a kvazigroup je algebraická struktura připomínající a skupina V tom smyslu, že "divize „je vždy možné. Kvazigroup se liší od skupin hlavně tím, že nemusí být nutně asociativní.

Kvazskupina s prvkem identity se nazývá a smyčka.

Definice

Existují alespoň dvě strukturálně ekvivalentní formální definice kvazigroup. Jeden definuje kvazigroup jako sadu s jedním binární operace a druhý z univerzální algebra, definuje kvazigroup jako tří primitivní operace. The homomorfní obraz kvazigroup definované jednou binární operací, ale nemusí to být kvazigroup.^[1] Začneme první definicí.

Algebra

A kvazigroup (Q, ∗) není prázdné soubor Q s binární operací ∗ (tj. a magma ), poslouchat Vlastnost latinského čtverce. To uvádí, že pro každého A a b v Qexistují jedinečné prvky X a y v Q takové, že oba

A ∗ X = b,

y ∗ A = b

držet. (Jinými slovy: Každý prvek sady se vyskytuje přesně jednou v každém řádku a přesně jednou v každém sloupci multiplikační tabulky kvazigroup, nebo Cayleyho stůl. Tato vlastnost zajišťuje, že Cayleyova tabulka konečné kvazigroup, a zejména konečné skupiny, je Latinský čtverec.) Požadavek jedinečnosti lze nahradit požadavkem, aby bylo magma zrušující.^[2]

Unikátní řešení těchto rovnic jsou napsána X = A \ b a y = b / A. Operace '' a '/' se nazývají vlevo, odjet a že jo divize.

The prázdná sada vybavené prázdná binární operace splňuje tuto definici kvazigroup. Někteří autoři akceptují prázdnou kvazigroup, ale jiní ji výslovně vylučují.^[3][4]

Univerzální algebra

Vzhledem k některým algebraická struktura, an identita je rovnice, ve které jsou všechny proměnné mlčky všeobecně kvantifikováno, a ve kterém všechny operace patří mezi primitivní operace vlastní struktuře. Algebraické struktury axiomatizované pouze identitami se nazývají odrůdy. Mnoho standardních výsledků v univerzální algebra platí pouze pro odrůdy. Kvazoskupiny jsou odrůdy, pokud se levé a pravé dělení považuje za primitivní.

A kvazigroup (Q, ∗, \, /) je algebra typu (2,2,2) (tj. vybavená třemi binárními operacemi) splňující identity:

y = X ∗ (X \ y),

y = X \ (X ∗ y),

y = (y / X) ∗ X,

y = (y ∗ X) / X.

Jinými slovy: Násobení a dělení v jednom pořadí, jeden po druhém, na stejné straně stejným prvkem, nemají žádný čistý účinek.

Proto pokud (Q, ∗) je tedy kvazoskupina podle první definice (Q, ∗, \, /) je stejná kvazoskupina ve smyslu univerzální algebry. A naopak: pokud (Q, ∗, \, /) je tedy kvazoskupina podle smyslu univerzální algebry (Q, ∗) je kvazoskupina podle první definice.

Smyčky

Algebraické struktury mezi magmy a skupinami.

A smyčka je kvazigroup s prvek identity; to je prvek, E, takový, že

X ∗ E = X a E ∗ X = X pro všechny X v Q.

Z toho vyplývá, že prvek identity, E, je jedinečný a to každý prvek Q má jedinečný vlevo, odjet a pravé inverze (což nemusí být stejné).

Kvazigroup s idempotentní prvek se nazývá a pique („špičatá idempotentní kvazskupina“); toto je slabší pojem než smyčka, ale přesto je to běžné, protože, například, vzhledem k abelianská skupina, (A, +), když vezmeme operaci odčítání jako násobení kvazigroup, získá se to (A, −) se skupinová identita (nula) změnila na „špičatého idempotenta“. (To znamená, že existuje hlavní izotopy (X, y, z) ↦ (X, −y, z).)

Smyčka, která je asociativní, je skupina. Skupina může mít neasociativní izotop pique, ale nemůže mít izotop neasociativní smyčky.

Existují slabší vlastnosti asociativity, které dostaly speciální názvy.

Například a Bol smyčka je smyčka, která splňuje buď:

X ∗ (y ∗ (X ∗ z)) = (X ∗ (y ∗ X)) ∗ z pro každého X, y a z v Q (A levá Bol smyčka),

nebo jinak

((z ∗ X) ∗ y) ∗ X = z ∗ ((X ∗ y) ∗ X) pro každého X, y a z v Q (A pravá Bol smyčka).

Smyčka, která je levou i pravou Bolovou smyčkou, je a Mufang smyčka. To je ekvivalentní kterékoli z následujících jednotlivých identit Moufang, které platí pro všechny X, y, z:

X ∗ (y ∗ (X ∗ z)) = ((X ∗ y) ∗ X) ∗ z,

z ∗ (X ∗ (y ∗ X)) = ((z ∗ X) ∗ y) ∗ X,

(X ∗ y) ∗ (z ∗ X) = X ∗ ((y ∗ z) ∗ X), nebo

(X ∗ y) ∗ (z ∗ X) = (X ∗ (y ∗ z)) ∗ X.

Symetrie

Smith (2007) jmenuje následující důležité vlastnosti a podtřídy:

Polosymetrie

Kvazigroup je polosymetrický pokud platí tyto ekvivalentní identity:

xy = y / X,

yx = X \ y,

X = (yx)y,

X = y(xy).

Ačkoli se tato třída může zdát zvláštní, každá kvazigroup Q indukuje semisymetrickou kvazskupinu QΔ na přímé krychli produktu Q³ pomocí následující operace:

${ displaystyle (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) cdot (y_ {1}, y_ {2}, y_ {3}) = (y_ {3} / x_ {2}, y_ {1} zpětné lomítko x_ {3}, x_ {1} y_ {2}) = (x_ {2} // y_ {3}, x_ {3} zpětné lomítko zpětné lomítko y_ {1}, x_ {1} y_ {2}),}$

kde „//“ a „“ jsou operace sdruženého dělení dána ${ displaystyle y // x = x / y}$ a ${ displaystyle y zpětné lomítko zpětné lomítko x = x zpětné lomítko y}$.

Soudnost

Tato sekce potřebuje expanzi. Můžete pomoci přidávat k tomu. (Února 2015)

Celková symetrie

Užší třída, která je zcela symetrická kvazskupina (někdy zkráceno TS-kvazigroup) ve kterém se všechny konjugáty shodují jako jedna operace: xy = X / y = X \ y. Další způsob, jak definovat (stejný pojem) zcela symetrickou kvazskupinu, je jako semisymetrická kvazskupina, která je také komutativní, tj. xy = yx.

Idempotentní celkové symetrické kvazoskupiny jsou přesně (tj. V bijekce s) Steiner se ztrojnásobí, takže taková kvazskupina se také nazývá a Steinerova kvazskupina, a někdy je tato zkratka dokonce zkrácena jako zádrhel; termín šalupa je definován podobně pro Steinerovu kvazskupinu, která je také smyčkou. Bez idempotence odpovídají celkové symetrické kvazoskupiny geometrickému pojmu prodloužený Steiner triple, nazývaná také generalizovaná eliptická kubická křivka (GECC).

Celková antisymetrie

Kvazigroup (Q, ∗) je nazýván zcela anti-symetrický pokud pro všechny C, X, y ∈ Q, platí obě následující implikace:^[5]

1. (C ∗ X) ∗ y = (C ∗ y) ∗ X to naznačuje X = y
2. X ∗ y = y ∗ X to naznačuje X = y.

To se nazývá slabě zcela anti-symetrický pokud platí pouze první implikace.^[5]

Tato vlastnost je vyžadována například v Dammův algoritmus.

Příklady

• Každý skupina je smyčka, protože A ∗ X = b kdyby a jen kdyby X = A⁻¹ ∗ b, a y ∗ A = b kdyby a jen kdyby y = b ∗ A⁻¹.
• The celá čísla Z s odčítání (-) tvoří kvazigroup.
• Nenulová racionální Q^× (nebo nenulová realita R^×) s divize (÷) tvoří kvazigroup.
• Žádný vektorový prostor přes pole z charakteristický nerovná se 2 formám an idempotentní, komutativní quasigroup v rámci operace X ∗ y = (X + y) / 2.
• Každý Trojitý systém Steiner definuje idempotentní, komutativní kvazigroup A ∗ b je třetím prvkem trojitého obsahujícího A a b. Tyto kvazskupiny také uspokojují (X ∗ y) ∗ y = X pro všechny X a y v kvazigroup. Tyto kvazoskupiny jsou známé jako Steinerovy kvazskupiny.^[6]
• Sada {± 1, ± i, ± j, ± k} kde ii = jj = kk = +1 a se všemi ostatními produkty jako v čtveřice skupina tvoří neasociativní smyčku řádu 8. Viz hyperbolické čtveřice pro jeho aplikaci. (Hyperbolické čtveřice to dělají samy ne tvoří smyčku nebo kvazoskupinu).
• Nenulová octonions při neaplikaci vytvoří neasociativní smyčku. Octoniony jsou speciální typ smyčky známý jako a Mufang smyčka.
• Asociativní kvazskupina je buď prázdná, nebo jde o skupinu, protože pokud existuje alespoň jeden prvek, existence inverzí a asociativita znamenají existenci identity.
• Následující konstrukce je způsobena Hans Zassenhaus. Na základní množině čtyřrozměrného vektorový prostor F⁴ přes 3-prvek Galoisovo pole F = Z/3Z definovat

(X₁, X₂, X₃, X₄) ∗ (y₁, y₂, y₃, y₄) = (X₁, X₂, X₃, X₄) + (y₁, y₂, y₃, y₄) + (0, 0, 0, (X₃ − y₃)(X₁y₂ − X₂y₁)).

Pak, (F⁴, ∗) je komutativní Mufang smyčka to není skupina.^[7]

• Obecněji řečeno, sada nenulových prvků libovolného divize algebra tvoří kvazigroup.

Vlastnosti

Ve zbývající části článku budeme označovat kvazigroup množení jednoduše srovnáním.

Kvazskupiny mají zrušení majetku: pokud ab = ac, pak b = C. To vyplývá z jedinečnosti levého dělení ab nebo ac podle A. Podobně, pokud ba = ca., pak b = C.

Operátory násobení

Definici kvazigroup lze považovat za podmínky u operátorů násobení vlevo a vpravo L(X), R(y): Q → Q, definován

${ displaystyle { begin {zarovnáno} L (x) y & = xy R (x) y & = yx konec {zarovnáno}}}$

Definice říká, že obě mapování jsou bijekce z Q pro sebe. Magma Q je kvazskupina přesně tehdy, když všechny tyto operátory, pro každého X v Q, jsou bijektivní. Inverzní zobrazení je levé a pravé dělení, tj.

${ displaystyle { begin {zarovnáno} L (x) ^ {- 1} y & = x zpětné lomítko y R (x) ^ {- 1} y & = y / x end {zarovnáno}}}$

V tomto zápisu jsou identity mezi operacemi násobení a dělení kvazskupiny (uvedeny v části o univerzální algebra ) jsou

${ displaystyle { begin {zarovnáno} L (x) L (x) ^ {- 1} & = 1 qquad & { text {odpovídající}} qquad x (x zpětné lomítko y) & = y L (x) ^ {- 1} L (x) & = 1 qquad & { text {odpovídající}} qquad x zpětné lomítko (xy) & = y R (x) R (x) ^ { -1} & = 1 qquad & { text {odpovídající}} qquad (y / x) x & = y R (x) ^ {- 1} R (x) & = 1 qquad & { text {odpovídající}} qquad (yx) / x & = y end {zarovnáno}}}$

kde 1 označuje mapování identity na Q.

Latinské čtverce

Latinský čtverec, neomezená tabulka násobení pro kvazskupinu, jejíž 10 prvků jsou číslice 0–9.

Multiplikační tabulka konečné kvazigroup je a Latinský čtverec: an n × n stůl naplněný n různé symboly takovým způsobem, že každý symbol se vyskytuje přesně jednou v každém řádku a přesně jednou v každém sloupci.

Naopak každý latinský čtverec lze brát jako multiplikační tabulku kvazoskupiny mnoha způsoby: hraniční řádek (obsahující záhlaví sloupců) a hraniční sloupec (obsahující záhlaví řádků) může být každá jakákoli permutace prvků. Vidět malé latinské čtverce a kvazoskupiny.

Nekonečné kvazoskupiny

Pro počítatelně nekonečný kvazigroup Q, je možné si představit nekonečné pole, ve kterém každý řádek a každý sloupec odpovídá nějakému prvku q z Qa kde prvek A*b je v řádku odpovídajícím A a sloupec reagující na b. V této situaci také vlastnost Latinské náměstí říká, že každý řádek a každý sloupec nekonečného pole bude obsahovat každou možnou hodnotu přesně jednou.

Pro nespočetně nekonečný kvazigroup, například skupina nenulová reálná čísla při násobení stále platí vlastnost Latin square, i když název je poněkud neuspokojivý, protože není možné vytvořit pole kombinací, na které se výše uvedená myšlenka nekonečného pole vztahuje, protože skutečná čísla nelze zapsat do sekvence.

Inverzní vlastnosti

Každý prvek smyčky má jedinečnou inverzi vlevo a vpravo danou

${ displaystyle x ^ { lambda} = e / x qquad x ^ { lambda} x = e}$

${ displaystyle x ^ { rho} = x zpětné lomítko e qquad xx ^ { rho} = e}$

Smyčka se říká, že (oboustranný) inverze -li ${ displaystyle x ^ { lambda} = x ^ { rho}}$ pro všechny X. V tomto případě je inverzní prvek obvykle označen ${ displaystyle x ^ {- 1}}$.

Existují některé silnější představy o inverzích ve smyčkách, které jsou často užitečné:

• Smyčka má levá inverzní vlastnost -li ${ displaystyle x ^ { lambda} (xy) = y}$ pro všechny ${ displaystyle x}$ a ${ displaystyle y}$. Ekvivalentně ${ displaystyle L (x) ^ {- 1} = L (x ^ { lambda})}$ nebo ${ displaystyle x zpětné lomítko y = x ^ { lambda} y}$.
• Smyčka má pravá inverzní vlastnost -li ${ displaystyle (yx) x ^ { rho} = y}$ pro všechny ${ displaystyle x}$ a ${ displaystyle y}$. Ekvivalentně ${ displaystyle R (x) ^ {- 1} = R (x ^ { rho})}$ nebo ${ displaystyle y / x = yx ^ { rho}}$.
• Smyčka má antiautomorfní inverzní vlastnost -li ${ displaystyle (xy) ^ { lambda} = y ^ { lambda} x ^ { lambda}}$ nebo ekvivalentně, pokud ${ displaystyle (xy) ^ { rho} = y ^ { rho} x ^ { rho}}$.
• Smyčka má slabá inverzní vlastnost když ${ displaystyle (xy) z = e}$ kdyby a jen kdyby ${ displaystyle x (yz) = e}$. To může být uvedeno z hlediska inverzí prostřednictvím ${ displaystyle (xy) ^ { lambda} x = y ^ { lambda}}$ nebo ekvivalentně ${ displaystyle x (yx) ^ { rho} = y ^ { rho}}$.

Smyčka má inverzní vlastnost pokud má levé i pravé inverzní vlastnosti. Smyčky inverzní vlastnosti mají také antiautomorfní a slabé inverzní vlastnosti. Ve skutečnosti má jakákoli smyčka, která splňuje kterékoli dvě z výše uvedených čtyř identit, inverzní vlastnost, a proto splňuje všechny čtyři.

Každá smyčka, která splňuje levé, pravé nebo antiautomorfní inverzní vlastnosti, má automaticky oboustranné inverze.

Morfismy

Kvazigroup nebo smyčka homomorfismus je mapa F : Q → P mezi dvěma kvazoskupinami takovými F(xy) = F(X)F(y). Kvazigroupové homomorfismy nutně zachovávají levé a pravé dělení, stejně jako prvky identity (pokud existují).

Homotopy a izotopy

Nechat Q a P být kvazoskupinami. A homotopie kvazskupiny z Q na P je trojnásobek (α, β, γ) map z Q na P takhle

${ displaystyle alpha (x) beta (y) = gamma (xy) ,}$

pro všechny X, y v Q. Kvazigroupový homomorfismus je jen homotopie, pro kterou jsou tři mapy stejné.

An izotopy je homotopie, pro kterou je každá ze tří map (α, β, γ) je bijekce. Dvě kvazskupiny jsou izotopový pokud je mezi nimi izotop. Z hlediska latinských čtverců izotop (α, β, γ) je dána permutací řádků α, permutací sloupců β a permutací na základní sadě prvků γ.

An autotopy je izotop z kvazigroup pro sebe. Sada všech autotopů kvazigroup tvoří skupinu s skupina automorfismu jako podskupina.

Každá kvazigroup je izotopová vůči smyčce. Pokud je smyčka pro skupinu izotopová, pak je pro tuto skupinu izomorfní, a tedy je sama o sobě skupinou. Kvazoskupina, která je pro skupinu izotopová, však nemusí být skupinou. Například kvazigroup na R s násobením daným (X + y)/2 je pro skupinu aditiv izotopový (R, +), ale není sama o sobě skupinou. Každý mediální quasigroup je izotopový k abelianská skupina podle Věta Bruck – Toyoda.

Konjugace (parastrof)

Levé a pravé dělení jsou příklady formování kvazskupiny permutací proměnných v definující rovnici. Z původní operace ∗ (tj. X ∗ y = z) můžeme vytvořit pět nových operací: X Ó y := y ∗ X (dále jen naproti operace), / a a jejich protiklady. To dělá celkem šest operací quasigroup, které se nazývají konjugáty nebo parastrofy z ∗. O jakýchkoli dvou z těchto operací se říká, že jsou „konjugované“ nebo „parastrofické“ navzájem (i sobě samým).

Isostrophe (paratopy)

Pokud je sada Q má dvě operace kvazoskupiny, ∗ a ·, a jedna z nich je izotopová ke konjugátu druhé, operace jsou považovány za isostrofický navzájem. Existuje také mnoho dalších jmen pro tento vztah „izostrof“, např. paratopy.

Zobecnění

Polyadic nebo multiary quasigroups

An n-ary quasigroup je sada s n-ary provoz, (Q, F) s F: Qⁿ → Q, takže rovnice F(X₁,...,X_n) = y má jedinečné řešení pro každou proměnnou, pokud všechny ostatní n proměnné jsou specifikovány libovolně. Polyadický nebo multiary prostředek n-ary pro nějaké nezáporné celé číslo n.

0 let, nebo nullary, quasigroup je jen konstantní prvek Q. 1-letý, nebo unární, kvazigroup je bijekce Q pro sebe. A binární, nebo 2-ary, quasigroup je obyčejný quasigroup.

Příkladem multiary quasigroup je iterovaná skupinová operace, y = X₁ · X₂ · ··· · X_n; k určení pořadí operací není nutné používat závorky, protože skupina je asociativní. Lze také vytvořit multiamerickou kvazskupinu provedením jakékoli sekvence stejné nebo odlišné skupiny nebo kvazigroup operací, pokud je zadáno pořadí operací.

Existují multiary quasigroups, které nelze reprezentovat žádným z těchto způsobů. An n-ary quasigroup is neredukovatelné pokud jeho provoz nelze zapracovat do složení dvou operací následujícím způsobem:

${ displaystyle f (x_ {1}, dots, x_ {n}) = g (x_ {1}, dots, x_ {i-1}, , h (x_ {i}, dots, x_ { j}), , x_ {j + 1}, tečky, x_ {n}),}$

kde 1 ≤ i < j ≤ n a (já, j) ≠ (1, n). Konečně neredukovatelné n-ary quasigroups existují pro všechny n > 2; podrobnosti viz Akivis a Goldberg (2001).

An n-ary quasigroup with an n-ary verze asociativita se nazývá n-ary skupina.

Pravá a levá kvazigroup

Tato sekce potřebuje expanzi. Můžete pomoci přidávat k tomu. (Březen 2011)

A pravá kvazigroup (Q, ∗, /) je algebra typu (2,2) splňující obě identity:y = (y / X) ∗ X;y = (y ∗ X) / X.

Podobně, a levá kvazigroup (Q, ∗, \) je algebra typu (2,2) splňující obě identity:y = X ∗ (X \ y);y = X \ (X ∗ y).

Počet malých kvazskupin a smyček

Počet tříd izomorfismu malých kvazoskupin (sekvence A057991 v OEIS ) a smyčky (sekvence.) A057771 v OEIS ) je uveden zde:^[8]

Viz také

• Divizní prsten - prsten, ve kterém má každý nenulový prvek multiplikativní inverzi
• Poloskupina - algebraická struktura skládající se z množiny společně s asociativní binární operací
• Monoidní - poloskupina s prvkem identity
• Rovinný ternární kruh - má aditivní a multiplikativní strukturu smyčky
• Problémy v teorii smyčky a teorii kvazoskupiny
• Matematika sudoku

Poznámky

Reference

• Akivis, M. A .; Goldberg, Vladislav V. (2001). „Řešení Belousovova problému“. Diskuze Mathematicae - obecná algebra a aplikace. 21 (1): 93–103. arXiv:matematika / 0010175. doi:10,7151 / dmgaa.1030. S2CID  18421746.
• Bruck, R.H. (1971) [1958]. Průzkum binárních systémů. Springer-Verlag. ISBN  978-0-387-03497-3.
• Chein, O .; Pflugfelder, H. O .; Smith, J.D.H., eds. (1990). Kvazigroup a smyčky: Teorie a aplikace. Berlín: Heldermann. ISBN  978-3-88538-008-5.
• Colbourn, Charles J .; Dinitz, Jeffrey H. (2007), Příručka kombinatorických vzorů (2. vyd.), Boca Raton: Chapman & Hall / CRC, ISBN  978-1-58488-506-1
• Dudek, W. A.; Glazek, K. (2008). "Kolem Hosszu-Gluskinovy ​​věty pro n-ary". Diskrétní matematika. 308 (21): 4861–76. arXiv:matematika / 0510185. doi:10.1016 / j.disc.2007.09.005. S2CID  9545943.
• Pflugfelder, H.O. (1990). Kvazigroup a smyčky: Úvod. Berlín: Heldermann. ISBN  978-3-88538-007-8.
• Smith, J.D.H. (2007). Úvod do kvazoskupin a jejich zastoupení. Chapman & Hall / CRC Press. ISBN  978-1-58488-537-5.
• Shcherbacov, V.A. (2017). Prvky teorie a aplikací kvazigroup. Chapman & Hall / CRC Press. ISBN  978-1-4987-2155-4.
• Smith, J.D.H .; Romanowska, Anna B. (1999). Postmoderní algebra. Wiley-Interscience. ISBN  978-0-471-12738-3.

externí odkazy

• kvazoskupiny
• „Kvazi-skupina“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]