Janko skupina J1 - Janko group J1

Algebraická struktura → Skupinová teorie Skupinová teorie
Základní pojmy Podskupina Normální podskupina Kvocientová skupina (Částečně)přímý produkt Skupinové homomorfismy jádro obraz přímý součet věnec produkt jednoduchý konečný nekonečný kontinuální multiplikativní přísada cyklický abelian vzepětí nilpotentní řešitelný Glosář teorie skupin Seznam témat teorie skupin
Konečné skupiny Klasifikace konečných jednoduchých skupin cyklický střídavý Typ lži sporadický Cauchyova věta Lagrangeova věta Sylowovy věty Hallova věta p-skupina Základní abelianská skupina Skupina Frobenius Multiplikátor Schur Symetrická skupina Sn Kleinova čtyřčlenná skupina PROTI Vzepětí skupina Dn Čtveřice skupina Q Dicyklická skupina Dicn
Diskrétní skupiny Mříže Celá čísla (Z) Zdarma skupina Modulární skupiny PSL (2,Z) SL (2,Z) Aritmetická skupina Mříž Hyperbolická skupina
Topologické a Lež skupiny Solenoid Kruh Obecné lineární GL (n) Speciální lineární SL (n) Ortogonální Ó(n) Euklidovský E(n) Speciální ortogonální TAK(n) Unitary U (n) Speciální unitární SU (n) Symplektický Sp (n) G2 F4 E6 E7 E8 Lorentz Poincaré Konformní Difomorfismus Smyčka Nekonečná dimenzionální Lieova skupina O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Algebraické skupiny Lineární algebraická skupina Redukční skupina Abelianská odrůda Eliptická křivka

V oblasti moderní algebry známé jako teorie skupin, Janko skupina J₁ je sporadická jednoduchá skupina z objednat

   2³ · 3 · 5 · 7 · 11 · 19 = 175560

≈ 2×10⁵.

Dějiny

J₁ je jedním z 26 sporadické skupiny a byl původně popsán uživatelem Zvonimir Janko v roce 1965. Je to jediná skupina Janko, jejíž existenci dokázal sám Janko a byla první sporadickou skupinou, která byla nalezena od objevu Mathieu skupiny v 19. století. Jeho objev zahájil moderní teorii sporadické skupiny.

V roce 1986 Robert A. Wilson to ukázal J₁ nemůže být podskupina z skupina příšer.^[1] Jedná se tedy o jednu ze 6 sporadických skupin zvaných vyvrhele.

J₁ nemá žádný vnější automorfismy a jeho Multiplikátor Schur je triviální.

Vlastnosti

J₁ lze abstraktně charakterizovat jako jedinečný jednoduchá skupina s abelianem 2-Sylow podskupiny a s involuce jehož centralizátor je isomorfní s přímý produkt skupiny řádu dva a střídavá skupina A₅ objednávky 60, což znamená, že rotační ikosaedrální skupina. To byla Jankova původní koncepce skupiny. Ve skutečnosti Janko a Thompson vyšetřovali podobné skupiny jako Ree skupiny ²G₂(3²ⁿ⁺¹), a ukázal, že pokud jednoduchá skupina G má 2 podskupiny abelian Sylow a centralizátor involuce formy Z/2Z×PSL₂(q) pro q hlavní síla alespoň 3, pak buďq je síla 3 a G má stejné pořadí jako skupina Ree (později se ukázalo, že G v tomto případě musí být skupina Ree) nebo q je 4 nebo 5. Všimněte si, že PSL₂(4)=PSL₂(5)=A₅. Tento poslední výjimečný případ vedl k Jankově skupině J.₁.

J₁ je obsažen v O'Nan skupina jako podskupina prvků fixovaných vnějším automorfismem řádu 2.

Konstrukce

Janko našel a modulární reprezentace z hlediska 7 × 7 ortogonální matice v pole jedenácti prvků, s generátory danými

${displaystyle {mathbf {Y}} = left ({egin {matrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 a 0$

a

${displaystyle {mathbf {Z}} = left ({egin {matrix} -3 & + 2 & -1 & -1 & -3 & -1 & -3 -2 & + 1 & + 1 & + 3 & + 1 & + 3 & + 3 -1 & -1 & -3 & -1 & -3 & -3 & + 2 -1 & -3 & -1 & -3 & -3 & + 2 & -1 -3 & -1 & -3 & -3 & + 2 & -1 & -1 + 1 & + 3 & + 3 & -2 & + 1 & + 1 & + 3 + 3 & + 3 & -2 & + 1 & + 1 & + 3 & + 1end {matrix}} v pořádku).}$

Y má objednávku 7 a Z má objednávku 5. Janko (1966) připsal W. A. ​​Coppelovi uznání této reprezentace jako vložení do Dickson jednoduchá skupina G₂(11) (který má 7-dimenzionální reprezentaci nad polem s 11 prvky).

Existuje také dvojice generátorů a, b takových

A²= b³= (ab)⁷= (abab⁻¹)¹⁰=1

J₁ je tedy a Skupina Hurwitz, konečný homomorfní obraz (2,3,7) trojúhelníková skupina.

Maximální podskupiny

Janko (1966) našel 7 tříd konjugace maximálních podskupin J₁ zobrazené v tabulce. Maximální jednoduché podskupiny řádu 660 si dovolují J₁ A permutační reprezentace stupně 266. Zjistil, že existují 2 třídy konjugace podskupin isomorfních k střídavá skupina A₅, oba nalezené v jednoduchých podskupinách řádu 660. J₁ má neabelovské jednoduché vlastní podskupiny pouze 2 typů izomorfismu.

Zápis A.B znamená skupinu s normální podskupinou A s kvocientem B, aD_2n je dihedrální skupina řádu 2n.

Počet prvků každé objednávky

Největší pořadí jakéhokoli prvku skupiny je 19. Pořadí a velikosti tříd konjugace se nacházejí v ATLAS.

Reference

• Chevalley, Claude (1995) [1967], „Le groupe de Janko“, Séminaire Bourbaki, sv. 10, Paříž: Société Mathématique de France, str. 293–307, PAN  1610425
• Robert A. Wilson (1986). Je J.₁ podskupina monstra? Bull. London Math. Soc. 18, č. 4 (1986), 349 - 350
• R. T. Curtis, (1993) Symetrické reprezentace II: Jankova skupina J1J. London Math. Soc., 47 (2), 294-308.
• R. T. Curtis, (1996) Symetrické znázornění prvků skupiny Janko J1J. Symbolic Comp., 22, 201-214.
• Zvonimir Janko, Nová konečná jednoduchá skupina s abelianskými podskupinami Sylow, Proc. Natl. Acad. Sci. USA 53 (1965) 657-658.
• Zvonimir Janko, Nová konečná jednoduchá skupina s abelianskými podskupinami Sylow a její charakteristikou, Journal of Algebra 3: 147-186, (1966) doi:10.1016 / 0021-8693 (66) 90010-X
• Zvonimir Janko a John G. Thompson, Na třídě konečných jednoduchých skupin Ree, Journal of Algebra, 4 (1966), 274-292.

externí odkazy

• MathWorld: Janko Groups
• Atlas zastoupení konečných skupin: J₁ verze 2
• Atlas zastoupení konečných skupin: J₁ verze 3