Podskupina komutátoru - Commutator subgroup - Wikipedia

v matematika, konkrétněji v abstraktní algebra, podskupina komutátoru nebo odvozená podskupina a skupina je podskupina generováno všemi komutátory skupiny.^[1][2]

Podskupina komutátoru je důležitá, protože je to nejmenší normální podskupina takové, že kvocientová skupina původní skupiny touto podskupinou je abelian. Jinými slovy, ${ displaystyle G / N}$ je abelian kdyby a jen kdyby ${ displaystyle N}$ obsahuje podskupinu komutátoru ${ displaystyle G}$. V určitém smyslu tedy poskytuje měřítko toho, jak daleko je skupina od toho, aby byla abelian; čím větší je podskupina komutátorů, tím menší je „abelian“.

Komutátoři

Pro prvky ${ displaystyle g}$ a ${ displaystyle h}$ skupiny G, komutátor z ${ displaystyle g}$ a ${ displaystyle h}$ je ${ displaystyle [g, h] = g ^ {- 1} h ^ {- 1} gh}$. Komutátor ${ displaystyle [g, h]}$ se rovná prvek identity E kdyby a jen kdyby ${ displaystyle gh = hg}$ , to znamená, že a pouze pokud ${ displaystyle g}$ a ${ displaystyle h}$ dojíždět. Obecně, ${ displaystyle gh = hg [g, h]}$.

Zápis je však poněkud libovolný a pro komutátor existuje definice neekvivalentní varianty, která má inverze na pravé straně rovnice: ${ displaystyle [g, h] = ghg ​​^ {- 1} h ^ {- 1}}$ v jakém případě ${ displaystyle gh neq hg [g, h]}$ ale místo toho ${ displaystyle gh = [g, h] hg}$.

Prvek G formuláře ${ displaystyle [g, h]}$ pro některé G a h se nazývá komutátor. Prvek identity E = [E,E] je vždy komutátor a je jediným komutátorem právě tehdy G je abelian.

Zde je několik jednoduchých, ale užitečných identit komutátoru, které platí pro všechny prvky s, G, h skupiny G:

• ${ displaystyle [g, h] ^ {- 1} = [h, g],}$
• ${ displaystyle [g, h] ^ {s} = [g ^ {s}, h ^ {s}],}$ kde ${ displaystyle g ^ {s} = s ^ {- 1} gs}$ (nebo ${ displaystyle g ^ {s} = sgs ^ {- 1}}$) je sdružené z ${ displaystyle g}$ podle ${ displaystyle s,}$
• pro všechny homomorfismus ${ displaystyle f: G až H}$, ${ displaystyle f ([g, h]) = [f (g), f (h)].}$

První a druhá totožnost znamenají, že soubor komutátorů v G je uzavřen inverzí a konjugací. Pokud ve třetí identitě vezmeme H = G, zjistíme, že množina komutátorů je stabilní za jakýchkoli endomorfismus z G. Toto je ve skutečnosti zobecnění druhé identity, protože to můžeme vzít F být konjugací automorfismus na G, ${ displaystyle x mapsto x ^ {s}}$, abyste získali druhou identitu.

Produktem dvou nebo více komutátorů však nemusí být komutátor. Obecný příklad je [A,b][C,d] v volná skupina na A,b,C,d. Je známo, že nejmenší řád konečné skupiny, pro kterou existují dva komutátory, jejichž produkt není komutátorem, je 96; ve skutečnosti existují dvě neizomorfní skupiny řádu 96 s touto vlastností.^[3]

Definice

To motivuje k definici podskupina komutátoru ${ displaystyle [G, G]}$ (nazývané také odvozená podskupinaa označil ${ displaystyle G '}$ nebo ${ displaystyle G ^ {(1)}}$) z G: je to podskupina generováno všemi komutátory.

Z vlastností komutátorů vyplývá, že jakýkoli prvek ${ displaystyle [G, G]}$ je ve formě

${ displaystyle [g_ {1}, h_ {1}] cdots [g_ {n}, h_ {n}]}$

pro některé přirozené číslo ${ displaystyle n}$, Kde G_i a h_i jsou prvky G. Navíc, protože pro všechny s v G my máme ${ displaystyle ([g_ {1}, h_ {1}] cdots [g_ {n}, h_ {n}]) ^ {s} = [g_ {1} ^ {s}, h_ {1} ^ { s}] cdots [g_ {n} ^ {s}, h_ {n} ^ {s}]}$, podskupina komutátoru je v G. Pro jakýkoli homomorfismus F: G → H,

${ displaystyle f ([g_ {1}, h_ {1}] cdots [g_ {n}, h_ {n}]) = [f (g_ {1}), f (h_ {1})] cdots [f (g_ {n}), f (h_ {n})]}$,

aby ${ displaystyle f ([G, G]) leq [H, H]}$.

To ukazuje, že podskupinu komutátorů lze zobrazit jako funktor na kategorie skupin, z nichž některé důsledky jsou prozkoumány níže. Navíc brát G = H ukazuje, že podskupina komutátorů je stabilní za každého endomorfismu G: to znamená [G,G] je plně charakteristická podskupina z G, vlastnost podstatně silnější než normálnost.

Podskupinu komutátoru lze také definovat jako sadu prvků G skupiny, které mají výraz jako produkt G = G₁ G₂ ... G_k které lze přeskupit, aby poskytly identitu.

Odvozená série

Tuto konstrukci lze iterovat:

${ displaystyle G ^ {(0)}: = G}$

${ displaystyle G ^ {(n)}: = [G ^ {(n-1)}, G ^ {(n-1)}] quad n in mathbf {N}}$

Skupiny ${ displaystyle G ^ {(2)}, G ^ {(3)}, ldots}$ se nazývají druhá odvozená podskupina, třetí odvozená podskupinaa tak dále a sestupně normální série

${ displaystyle cdots triangleleft G ^ {(2)} triangleleft G ^ {(1)} triangleleft G ^ {(0)} = G}$

se nazývá odvozené řady. To by nemělo být zaměňováno s spodní centrální série, jehož podmínky jsou ${ displaystyle G_ {n}: = [G_ {n-1}, G]}$.

Pro konečnou skupinu je odvozená řada ukončena a dokonalá skupina, které mohou nebo nemusí být triviální. Pro nekonečnou skupinu nemusí odvozená řada končit v konečné fázi a lze v ní pokračovat do nekonečna řadové číslovky přes transfinitní rekurze, čímž získá transfinitní odvozená řada, který nakonec končí u dokonalé jádro skupiny.

Abelianizace

Vzhledem ke skupině ${ displaystyle G}$, a kvocientová skupina ${ displaystyle G / N}$ je abelian právě tehdy ${ displaystyle [G, G] leq N}$.

Kvocient ${ displaystyle G / [G, G]}$ je abelianská skupina zvaná abelianizace z ${ displaystyle G}$ nebo ${ displaystyle G}$ vyrobený abelian.^[4] To je obvykle označeno ${ displaystyle G ^ { operatorname {ab}}}$ nebo ${ displaystyle G _ { operatorname {ab}}}$.

Existuje užitečná kategorická interpretace mapy ${ displaystyle varphi: G rightarrow G ^ { operatorname {ab}}}$. A to ${ displaystyle varphi}$ je univerzální pro homomorfismy z ${ displaystyle G}$ do skupiny abelianů ${ displaystyle H}$: pro jakoukoli abelianskou skupinu ${ displaystyle H}$ a homomorfismus skupin ${ displaystyle f: G až H}$ existuje jedinečný homomorfismus ${ displaystyle F: G ^ { operatorname {ab}} do H}$ takhle ${ displaystyle f = F circ varphi}$. Jak je obvyklé u objektů definovaných univerzálními vlastnostmi mapování, ukazuje to jedinečnost abelianizace ${ displaystyle G ^ { operatorname {ab}}}$ až kanonický izomorfismus, zatímco explicitní konstrukce ${ displaystyle G až G / [G, G]}$ ukazuje existenci.

Funtor abelianizace je vlevo adjoint funktoru zařazení z kategorie abelianských skupin do kategorie skupin. Existence funkcionátoru abelianizace Grp → Ab dělá kategorii Ab A reflexní podkategorie kategorie skupin, definované jako úplná podkategorie, jejíž funkcionalita zařazení má levý adjoint.

Další důležitá interpretace ${ displaystyle G ^ { operatorname {ab}}}$ je jako ${ displaystyle H_ {1} (G, mathbb {Z})}$, první homologická skupina z ${ displaystyle G}$ s integrálními koeficienty.

Třídy skupin

Skupina ${ displaystyle G}$ je abelianská skupina právě když je odvozená skupina triviální: [G,G] = {E}. Ekvivalentně, právě když se skupina rovná její abelianizaci. Definice abelianizace skupiny viz výše.

Skupina ${ displaystyle G}$ je dokonalá skupina právě když se odvozená skupina rovná skupině samotné: [G,G] = G. Ekvivalentně, právě když je abelianizace skupiny triviální. To je „opačné“ než abelianské.

Skupina s ${ displaystyle G ^ {(n)} = {e }}$ pro některé n v N se nazývá a řešitelná skupina; to je slabší než abelian, což je případ n = 1.

Skupina s ${ displaystyle G ^ {(n)} neq {e }}$ pro všechny n v N se nazývá a neřešitelná skupina.

Skupina s ${ displaystyle G ^ {( alpha)} = {e }}$ pro některé pořadové číslo, možná nekonečný, se nazývá a hypoabeliánská skupina; to je slabší než řešitelné, což je případ α je konečný (přirozené číslo).

Perfektní skupina

Kdykoli skupina ${ displaystyle G}$ má odvozenou podskupinu, která je mu stejná, ${ displaystyle G ^ {(1)} = G}$, nazývá se to dokonalá skupina. To zahrnuje neabelian jednoduché skupiny a speciální lineární skupiny ${ displaystyle operatorname {SL} _ {n} (k)}$ pro pevné pole ${ displaystyle k}$.

Příklady

• Podskupina komutátoru libovolného abelianská skupina je triviální.
• Podskupina komutátorů obecná lineární skupina ${ displaystyle operatorname {GL} _ {n} (k)}$ přes pole nebo a dělící prsten k rovná se speciální lineární skupina ${ displaystyle operatorname {SL} _ {n} (k)}$ pokud ${ displaystyle n neq 2}$ nebo k není pole se dvěma prvky.^[5]
• Podskupina komutátorů střídavá skupina A₄ je Skupina Klein čtyři.
• Podskupina komutátorů symetrická skupina S_n je střídavá skupina A_n.
• Podskupina komutátorů čtveřice skupina Q = {1, −1, i, −i, j, −j, k, −k} je [Q,Q] = {1, −1}.
• Podskupina komutátorů základní skupina π₁(X) a spojeno s cestou topologický prostor X je jádro přirozeného homomorfismu na první singulární homologická skupina H₁(X).

Mapa z Out

Protože odvozená podskupina je charakteristický jakýkoli automorfismus z G indukuje automorfismus abelianizace. Protože abelianizace je abelianská, vnitřní automorfismy jedná triviálně, a proto poskytuje mapu

${ displaystyle operatorname {Out} (G) to operatorname {Aut} (G ^ { mbox {ab}})}$

Viz také

• Řešitelná skupina
• Nilpotentní skupina
• Abelianizace H/H„podskupiny H < G konečný index (G:H) je cíl přenosu Artin  T(G,H).

Poznámky

Reference

• Dummit, David S .; Foote, Richard M. (2004), Abstraktní algebra (3. vyd.), John Wiley & Sons, ISBN  0-471-43334-9
• Fraleigh, John B. (1976), První kurz v abstraktní algebře (2. vyd.), Čtení: Addison-Wesley, ISBN  0-201-01984-1
• Lang, Serge (2002), Algebra, Postgraduální texty z matematiky, Springer, ISBN  0-387-95385-X
• Suárez-Alvarez, Mariano. „Odvozené podskupiny a komutátory“.CS1 maint: ref = harv (odkaz)

externí odkazy

• „Podskupina komutátoru“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]