Monodromy - Monodromy

v matematika, monodromy je studium toho, jak objekty z matematická analýza, algebraická topologie, algebraická geometrie a diferenciální geometrie chovat se, jak „běhají“ a jedinečnost. Jak název napovídá, základní význam monodromy pochází z „běhání jednotlivě“. Je úzce spojena s pokrývající mapy a jejich degenerace do rozvětvení; aspekt, který vede k fenoménům monodromy, je jistý funkce můžeme si přát definovat selhání jednohodnotový jak „obcházíme“ cestu obepínající jedinečnost. Selhání monodromy lze měřit definováním a monodromy skupina: a skupina transformací působících na data, která kódují, co se stane, když se v jedné dimenzi „proběhneme“. Někdy se nazývá nedostatek monodromy polydromy.[1]
Definice
Nechat X být spojen a místně připojen na základě topologický prostor se základním bodem Xa nechte být krytina s vlákno . Pro smyčku γ: [0, 1] → X se sídlem v X, označují a výtah pod krycí mapou, počínaje bodem tím, že . Nakonec označíme koncový bod , který se obecně liší od . Existují věty, které uvádějí, že tato konstrukce dává dobře definovaný skupinová akce z základní skupina π1(X, X) na Fa že stabilizátor z je přesně , tj. prvek [γ] opravuje bod F právě když je reprezentován obrazem smyčky v se sídlem v . Tato akce se nazývá monodromy akce a odpovídající homomorfismus π1(X, X) → Aut (H*(FX)) do automorfická skupina na F je algebraická monodromy. Obraz tohoto homomorfismu je monodromy skupina. Existuje další mapa π1(X, X) → Rozdíl (FX)/Je(FX) jehož obraz se nazývá geometrická monodromy skupina.
Příklad
Tyto myšlenky byly poprvé výslovně uvedeny v komplexní analýza. V procesu analytické pokračování, funkce, která je analytická funkce F(z) v nějaké otevřené podmnožině E propíchnuté komplexní roviny ℂ \ {0} může pokračovat zpět do E, ale s různými hodnotami. Například vezměte
pak analytické pokračování proti směru hodinových ručiček kolem kruhu
bude mít za následek návrat, ne do F(z) ale
V tomto případě je skupina monodromy nekonečný cyklický a krycí prostor je univerzálním krytem propíchnuté komplexní roviny. Tento obal lze vizualizovat jako vrtulník (jak je definováno v článku o helikoidech) omezeno na ρ > 0. Krycí mapa je vertikální projekce, která v jistém smyslu zjevně zhroutí spirálu, aby se získala propíchnutá rovina.
Diferenciální rovnice v komplexní oblasti
Jednou z důležitých aplikací je diferenciální rovnice, kde jediné řešení může poskytnout další lineárně nezávislá řešení do analytické pokračování. Lineární diferenciální rovnice definované v otevřené, spojené množině S v komplexní rovině mají monodromy skupinu, která (přesněji) je lineární reprezentace z základní skupina z S, shrnující všechny kruhové smyčky analytických pokračování uvnitř S. Inverzní problém konstrukce rovnice (s pravidelné singularity ), vzhledem k tomu, reprezentace, se nazývá Riemann – Hilbertův problém.
Pro běžný (a zejména fuchsijský) lineární systém se obvykle volí jako generátory monodromy skupina operátory Mj odpovídající smyčkám, z nichž každá obchází pouze jeden z pólů systému proti směru hodinových ručiček. Pokud jsou indexy j jsou vybrány tak, aby se zvýšily z 1 na p + 1 když jeden obchází základní bod ve směru hodinových ručiček, pak jediným vztahem mezi generátory je rovnost . The Deligne – Simpsonův problém je následující realizační problém: Pro které n-tice tříd konjugace v GL (n, C) existují neredukovatelné n-tice matic Mj z těchto tříd splňujících výše uvedený vztah? Problém formuloval Pierre Deligne a Carlos Simpson jako první získal výsledky směřující k jeho vyřešení. Byla formulována a prozkoumána aditivní verze problému týkajícího se zbytků fuchsijských systémů Vladimír Kostov. Tento problém byl zvažován jinými autory pro maticové skupiny jiné než GL (n, C) také.[2]
Topologické a geometrické aspekty
V případě krycí mapy se na ni díváme jako na speciální případ a fibrace a použijte homotopy zvedací vlastnost "sledovat" cesty v základním prostoru X (předpokládáme to spojeno s cestou pro jednoduchost), protože jsou zvednuty do krytu C. Pokud budeme postupovat kolem smyčky založené na X v X, kterou zvedneme a začneme C výšeX, u některých skončíme C* opět výše X; je docela možné, že C ≠ C*, a kódovat tento zvažuje akci základní skupina π1(X, X) jako permutační skupina na množině všechC, jako monodromy skupina v tomto kontextu.
V diferenciální geometrii hraje obdobnou roli paralelní doprava. V hlavní balíček B přes hladké potrubí M, a spojení umožňuje „horizontální“ pohyb z vláken nahoře m v M k sousedním. Efekt při použití na smyčky založené na m je definovat a holonomy skupina překladů vlákna na m; pokud je strukturní skupina B je G, je to podskupina G který měří odchylku B ze svazku produktuM × G.
Monodromy groupoid a foliace

Analogicky k základní grupoid je možné se zbavit volby základního bodu a definovat monodromy groupoid. Zde uvažujeme (třídy homotopy) výtahů cest v základním prostoru X fibrace . Výsledek má strukturu a grupoid přes základní prostor X. Výhodou je, že můžeme zrušit podmínku propojenostiX.
Konstrukci lze navíc zobecnit na foliace: Zvážit (možná singulární) foliace M. Pak pro každou cestu v listu můžeme uvažovat o jeho indukovaném difeomorfismu na lokálních příčných řezech koncovými body. V jednoduše propojeném grafu se tento difeomorfismus stává jedinečným a zvláště kanonickým mezi různými příčnými úseky, pokud přejdeme k zárodek difeomorfismu kolem koncových bodů. Tímto způsobem se také stává nezávislým na cestě (mezi pevnými koncovými body) v jednoduše připojeném grafu, a proto je pod homotopií neměnný.
Definice pomocí Galoisovy teorie
Nechat F(X) označují pole racionální funkce v proměnné X přes pole F, který je pole zlomků z polynomiální kruh F[X]. Prvek y = F(X) z F(X) určuje konečnou hodnotu rozšíření pole [F(X) : F(y)].
Toto rozšíření obecně není Galois, ale má Galois uzavření L(F). Přidružené Galoisova skupina rozšíření [L(F) : F(y)] se nazývá monodromy skupinaF.
V případě F = C Riemannův povrch teorie vstupuje a umožňuje geometrickou interpretaci uvedenou výše. V případě, že rozšíření [C(X) : C(y)] je již Galois, přidružená skupina monodromy se někdy nazývá a skupina transformací paluby.
To má spojení s Galoisova teorie pokrytí prostorů vedoucí k Věta o Riemannově existenci.
Viz také
- Prýmková skupina
- Monodromy věta
- Mapování skupiny tříd (propíchnutý disk)
Poznámky
- ^ König, Wolfgang; Sprekels, Jürgen (2015). Karl Weierstraß (1815–1897): Aspekte seines Lebens und Werkes - Aspekty jeho života a díla (v němčině). Springer-Verlag. 200–201. ISBN 9783658106195. Citováno 5. října 2017.
- ^ V. P. Kostov (2004), „Deligne – Simpsonův problém - průzkum“, J. Algebra, 281 (1): 83–108, arXiv:matematika / 0206298, doi:10.1016 / j.jalgebra.2004.07.013, PAN 2091962, S2CID 119634752 a odkazy v nich uvedené.
Reference
- V. I. Danilov (2001) [1994], „Monodromy“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
- „Monodromy“. PlanetMath.
- „Group-groupoids and monodromy groupoids“, O. Mucuk, B. Kılıçarslan, T. ¸Sahan, N. Alemdar, Topology and its Applications 158 (2011) 2034–2042 doi: 10,1016 / j.topol.2011.06.048
- R. Brown Topologie a grupoidy (2006).
- P. J. Higgins, „Kategorie a grupoidy“, van Nostrand (1971) TAC dotisk