Seznam abstraktních témat algebry - List of abstract algebra topics
Abstraktní algebra je předmětem oboru matematika že studie algebraické struktury, jako skupiny, prsteny, pole, moduly, vektorové prostory, a algebry. Fráze abstraktní algebra byl vytvořen na přelomu 20. století, aby odlišil tuto oblast od toho, co se běžně označuje jako algebra, studium pravidel pro manipulaci s formulemi a algebraickými výrazy zahrnující neznámé a nemovitý nebo komplexní čísla, často nyní volaný elementární algebra. Rozdíl se zřídka uvádí v novějších spisech.
Základní jazyk
Algebraické struktury jsou definovány primárně jako sady s operace.
- Algebraická struktura
- Podobjekty: podskupina, podřízený, subalgebra, submodul atd.
- Binární operace
- Unární operátor
- Konečný provoz
Struktura zachovávající mapy tzv homomorfismy jsou životně důležité při studiu algebraických objektů.
Existuje několik základních způsobů, jak kombinovat algebraické objekty stejného typu a vytvořit tak třetí objekt stejného typu. Tyto konstrukce se používají v algebře.
- Přímý součet
- Přímý produkt
- Kvocientové objekty: kvocientová skupina, kvocientový kroužek, kvocientový modul atd.
- Tenzorový produkt
Pokročilé koncepty:
Poloskupiny a monoidy
Skupinová teorie
- Struktura
- Stavby
- Typy
- Jednoduchá skupina
- Konečná skupina
- Abelian skupina
- Cyklická skupina
- Řešitelná skupina
- Nilpotentní skupina
- Dělitelná skupina
- Dedekindova skupina, Hamiltonovská skupina
- Příklady
- Aplikace
Prstenová teorie
- Všeobecné
- Prsten (matematika)
- Komutativní algebra, Komutativní prsten
- Prstenová teorie, Nezávazný prsten
- Algebra nad polem
- Příbuzní k prstenům: Semiring, Nearring, Rig (algebra)
- Struktura
- Subring, Subalgebra
- Ideální prsten
- Jacobson radikální
- Socle prstenu
- jednotka (prstenová teorie), Idempotentní, Nilpotentní, Nulový dělitel
- Charakteristika (algebra)
- Prstencový homomorfismus, Homomorfismus algebry
- Odstupňovaná algebra
- Morita ekvivalence
- Stavby
- Přímý součet zazvonění, Produkt z prstenů
- Kvocient prstenu
- Maticový prsten
- Endomorfismus prsten
- Polynomiální kruh
- Formální výkonová řada
- Monoidní prsten, Skupinový prsten
- Lokalizace prstenu
- Tenzorová algebra
- Zdarma algebra
- Dokončení (prstenová teorie)
- Typy
- Pole (matematika), Divizní prsten, divize algebra
- Jednoduché zazvonění, Centrální jednoduchá algebra, Polokruhový prsten, Poloimplikovaná algebra
- Primitivní prsten, Semiprimitivní prsten
- Prime ring, Semiprime prsten, Snížený prsten
- Integrovaná doména, Doména (teorie prstenů)
- Von Neumann pravidelný prsten
- Kvazi-Frobeniový prsten
- Dědičný prsten, Polovědičný prsten
- Místní prsten, Semi-lokální prsten
- Diskrétní oceňovací kruh
- Pravidelný místní prsten
- Cohen – Macaulayův prsten
- Gorensteinův prsten
- Artinian prsten, Noetherian ring
- Perfektní prsten, semiperfektní prsten
- Baerův prsten, Rickartův prsten
- Lež prsten, Lež algebra
- Jordan algebra
- Diferenciální algebra
- Banachova algebra
- Příklady
- Věty a aplikace
- Algebraická geometrie
- Hilbertova základní věta
- Hopkinsova-Levitzkiho věta
- Krullova hlavní ideální věta
- Levitzkyho věta
- Galoisova teorie
- Artin-Wedderburnova věta
- Jacobsonova věta o hustotě
- Wedderburnova malá věta
- Lasker-Noetherova věta
Teorie pole
- Základní pojmy
- Pole (matematika)
- Podpole (matematika)
- Rozšíření pole
- Polní norma
- Trasování pole
- Konjugovaný prvek (teorie pole)
- Tenzorový produkt polí
- Typy
- Algebraické číselné pole
- Globální pole
- Místní pole
- Konečné pole
- Symetrická funkce
- Formálně skutečné pole
- Skutečné uzavřené pole
- Aplikace
Teorie modulů
- Všeobecné
- Struktura
- Stavby
- Modul zdarma
- Kvocientový modul
- Přímý součet, Přímý produkt modulů
- Přímý limit, Inverzní limit
- Lokalizace modulu
- Dokončení (prstenová teorie)
- Typy
- Jednoduchý modul, Polojediný modul
- Rozložitelný modul
- Artinian modul, Noetherian modul
- Homologické typy:
- Soudržný modul
- Konečně vygenerovaný modul
- Konečně prezentovaný modul
- Konečně související modul
- Algebraicky kompaktní modul
- Reflexní modul
- Pojmy a věty
- Složení série
- Věta o struktuře pro konečně generované moduly nad hlavní ideální doménou
- Homologická dimenze
- Dimenze Krull
- Pravidelná posloupnost (algebra), hloubka (algebra)
- Montážní lemma
- Schurovo lemma
- Nakayamovo lemma
- Krull – Schmidtova věta
- Steinitzovo výměnné lema
- Jordan – Hölderova věta
- Artin – Reesovo lemma
- Schanuelův lemma
- Morita ekvivalence
Teorie reprezentace
Teorie reprezentace
- Reprezentace algebry
- Skupinové zastoupení
- Zastoupení algebry lži
- Maschkeova věta
- Schurovo lemma
- Ekvivariantní mapa
- Frobeniova vzájemnost
- Afinní zastoupení
- Projektivní zastoupení
- Teorie modulární reprezentace
- Toulec (matematika)
- Teorie reprezentace Hopfových algeber
Neasociativní systémy
- Všeobecné
- Asociativní vlastnost, Spolupracovník
- Halda (matematika)
- Magma (algebra)
- Neasociativní prsten, Neasociativní algebra
- Příklady
Obecné informace
- Algebraická struktura
- Univerzální algebra
- Jádro funkce
- Univerzální vlastnictví
- Filtrace (matematika)
- Teorie kategorií
- Torze (algebra)