Algebraická skupina - Algebraic group

v algebraická geometrie, an algebraická skupina (nebo skupinová odrůda) je skupina to je algebraická rozmanitost, takže operace násobení a inverze jsou dány vztahem pravidelné mapy na odrůdě.

Ve smyslu teorie kategorií, algebraická skupina je a skupinový objekt v kategorie algebraických odrůd.

Třídy

Několik důležitých tříd skupin jsou algebraické skupiny, včetně:

Konečné skupiny
GL (n, C), obecná lineární skupina z invertibilní matice přes C
Jet skupina
Eliptické křivky.

Vznikají dvě důležité třídy algebraických skupin, které jsou většinou studovány samostatně: abelianské odrůdy („projektivní“ teorie) a lineární algebraické skupiny („afinní“ teorie). Určitě existují příklady, které nejsou ani jedno, ani druhé - ty se vyskytují například v moderní teorii integrály druhého a třetího druhu tak jako Funkce Weierstrass zeta, nebo teorie zobecněné Jacobians. Ale podle Věta o struktuře Chevalleyho jakákoli algebraická skupina je příponou abelianská odrůda lineární algebraickou skupinou. To je výsledek Claude Chevalley: pokud K. je perfektní pole, a G algebraická skupina K., existuje jedinečná normální uzavřená podskupina H v G, takový, že H je lineární skupina a G/H abelianská odrůda.

Podle další základní věty každá skupina v kategorii afinní odrůdy má věřící konečně-dimenzionální lineární reprezentace: můžeme to považovat za maticová skupina přes K., definovaný polynomy nad K. a s maticovým násobením jako skupinovou operací. Z tohoto důvodu koncept afinní algebraická skupina je nadbytečné nad polem - můžeme také použít velmi konkrétní definici. To znamená, že algebraická skupina je užší než Lež skupina, když pracujeme nad polem reálných čísel: existují příklady jako univerzální kryt speciální lineární skupiny 2 × 2, což jsou Lieovy skupiny, ale nemají věrnou lineární reprezentaci. Zjevnější rozdíl mezi těmito dvěma pojmy vzniká, protože složka identity afinní algebraické skupiny G je nutně konečný index v G.

Když někdo chce pracovat přes základní kruh R (komutativní), existuje skupinové schéma koncept: tj skupinový objekt v kategorii schémata přes R. Schéma afinní skupiny je koncept dvojího typu Hopfova algebra. Existuje celkem propracovaná teorie skupinových schémat, která vstupuje například do současné teorie abelianských odrůd.

Algebraická podskupina

An algebraická podskupina algebraické skupiny je a Zariski zavřený podskupina Obecně platí, že jsou také považovány za spojené (nebo neredukovatelné jako odrůda).

Další způsob vyjádření podmínky je jako podskupina to je také a podrodina.

To lze také zobecnit povolením schémata místo odrůd. Hlavním účinkem je v praxi, kromě povolení podskupin, ve kterých připojená součást má konečný index> 1, má připustitomezená schémata v charakteristice p.

Skupiny coxeterů

Mezi algebraickými skupinami a existuje řada analogických výsledků Skupiny coxeterů - například počet prvků symetrické skupiny je ${ displaystyle n!}$ a počet prvků obecné lineární skupiny přes konečné pole je q-faktoriální ${ displaystyle [n] _ {q}!}$ ; tak se symetrická skupina chová, jako by to byla lineární skupina nad „polem s jedním prvkem“. Toto je formalizováno pole s jedním prvkem, který považuje Coxeterovy skupiny za jednoduché algebraické skupiny nad polem s jedním prvkem.

Glosář algebraických skupin

Existuje celá řada matematický pojmy ke studiu a klasifikaci algebraických skupin.

V pokračování G označuje algebraickou skupinu nad a pole k.

představa	vysvětlení	příklad	poznámky
lineární algebraická skupina	Zariski uzavřená podskupina ${ displaystyle { rm {GL}} _ {n}}$ pro některé n	${ displaystyle { rm {SL}} _ {n}}$	Každá afinní algebraická skupina je izomorfní s lineární algebraickou skupinou a naopak
afinní algebraická skupina	Algebraická skupina, která je afinní odrůdou	${ displaystyle { rm {GL}} _ {n}}$ , bez příkladu: eliptická křivka	Pojem afinní algebraické skupiny zdůrazňuje nezávislost na jakémkoli zakotvení ${ displaystyle { rm {GL}} _ {n}}$
komutativní	Podkladová (abstraktní) skupina je abelian.	${ displaystyle { mathbb {G}} _ {a}}$ (dále jen aditivní skupina ), ${ displaystyle { mathbb {G}} _ {m}}$ (dále jen multiplikativní skupina ),^[1] žádný kompletní algebraická skupina (viz abelianská odrůda )
diagonalizovatelná skupina	Uzavřená podskupina ${ displaystyle ( mathbb {G} _ {m}) ^ {n}}$ , skupina diagonální matice (o velikosti n-podle-n)
jednoduchá algebraická skupina	Připojená skupina, která nemá žádné netriviální připojené normální podskupiny	${ displaystyle { rm {SL}} _ {n}}$
polojediná skupina	Afinní algebraická skupina s triviálními radikální	${ displaystyle { rm {SL}} _ {n}}$ , ${ displaystyle { rm {SO}} _ {n}}$	V charakteristické nule je Lieova algebra polojednoduché skupiny polojedinou Lieovou algebrou
reduktivní skupina	Afinní algebraická skupina s triviálními unipotentní radikál	Jakákoli konečná skupina, ${ displaystyle { rm {GL}} _ {n}}$	Jakákoli poloviční skupina je reduktivní
unipotentní skupina	Afinní algebraická skupina taková, že všechny prvky jsou unipotentní	Skupina horních trojúhelníků n-podle-n matice se všemi diagonálními vstupy rovnými 1	Jakákoli unipotentní skupina je nilpotentní
torus	Skupina, která se stává izomorfní ${ displaystyle ( mathbb {G} _ {m}) ^ {n}}$ při přechodu na algebraické uzavření z k.	${ displaystyle { rm {SO}} _ {2}}$	G se říká, že je rozdělit o nějaké větší pole k ' , pokud G stává se izomorfní vůči G_mⁿ jako algebraická skupina k '.
skupina znaků X^∗(G)	Skupina znaků, tj. Skupinové homomorfismy ${ displaystyle G rightarrow { mathbb {G}} _ {m}}$	${ displaystyle X ^ {*} ( mathbb {G} _ {m}) cong mathbb {Z}}$
Lež algebra Lhát(G)	The tečný prostor z G na jednotkovém prvku.	${ displaystyle { rm {Lie}} ({ rm {GL}} _ {n})}$ je prostorem všech n-podle-n matice	Ekvivalentně, prostor všech invariantů vlevo derivace.