Glosář teorie objednávek - Glossary of order theory

Toto je glosář některých termínů používaných v různých odvětvích matematika které souvisejí s poli objednat, mříž, a teorie domény. Všimněte si, že existuje strukturovaný seznam témat zakázky k dispozici také. Dalšími užitečnými prostředky mohou být následující články s přehledem:

• vlastnosti úplnosti dílčích objednávek
• zákony o distribuci teorie řádu
• konzervační vlastnosti funkcí mezi posety.

V následujícím textu budou dílčí objednávky obvykle označeny pouze jejich sadami přepravců. Pokud je zamýšlený význam zřejmý z kontextu, bude stačit ≤ k označení odpovídajícího relačního symbolu, a to i bez předchozího uvedení. Dále bude přísný řád indukované ≤.

A

• Acyklický. A binární relace je acyklický, pokud neobsahuje žádné „cykly“: ekvivalentně jeho přechodné uzavření je antisymetrický.^[1]
• Sousední. Vidět Galoisovo spojení.
• Alexandrovská topologie. Pro předobjednanou sadu P, libovolná horní sada Ó je Alexandrov otevřeno. Naopak topologie je Alexandrov, pokud je otevřená libovolná křižovatka otevřených množin.
• Algebraická poseta. Poset je algebraický, pokud má základnu kompaktních prvků.
• Antichain. Antichain je poset, ve kterém nejsou srovnatelné žádné dva prvky, tj. Neexistují dva odlišné prvky X a y takhle X ≤ y. Jinými slovy, řádový vztah antichainu je pouze vztahem identity.
• Přibližný vztah. Vidět relace cesta dolů.
• A vztah R na setu X je antisymetrický, pokud x R y a y R x naznačuje x = y, pro všechny prvky X, y v X.
• An antitone funkce F mezi posety P a Q je funkce, pro kterou pro všechny prvky X, y z P, X ≤ y (v P) naznačuje F(y) ≤ F(X) (v Q). Jiný název této vlastnosti je reverzní objednávka. v analýza, v přítomnosti celkový počet objednávek, takové funkce se často nazývají monotónně klesá, ale toto není příliš pohodlný popis při řešení jiných než celkových objednávek. Nazývá se dvojí pojem monotónní nebo zachování objednávek.
• Asymetrický. A vztah R na setu X je asymetrický, pokud x R y naznačuje ne y R x, pro všechny prvky X, y v X.
• An atom v posetu P s nejméně prvkem 0, je prvek, který je minimální mezi všemi prvky, které se nerovnají 0.
• A atomový poset P s nejméně prvkem 0 je jeden, ve kterém pro každý nenulový prvek X z P, existuje atom A z P s A ≤ X.

B

• Základna. Vidět kontinuální poset.
• A Booleova algebra je distribuční mřížka s nejmenším prvkem 0 a největším prvkem 1, ve kterém je každý prvek X má doplněk ¬X, takový, že X ∧ ¬X = 0 a X ∨ ¬X = 1.
• A ohraničený poset je ten, který má nejméně prvek a největší prvek.
• Poset je ohraničený kompletní pokud každá z jejích podmnožin s nějakou horní mezí má také alespoň takovou horní mez. Dvojí představa není běžná.

C

• Řetěz. Řetěz je zcela uspořádaná množina nebo zcela uspořádaná podmnožina posetu. Viz také celková objednávka.
• Řetěz dokončen. A částečně objednaná sada ve kterém každý řetěz má nejmenší horní mez.
• Operátor uzavření. Operátor uzavření na posetu P je funkce C : P → P to je monotónní, idempotentní, a uspokojuje C(X) ≥ X pro všechny X v P.
• Kompaktní. Prvek X Poset je kompaktní, pokud je níže sám, tj. X<<X. Jeden také říká, že takový X je konečný.
• Srovnatelný. Dva prvky X a y poset P jsou srovnatelné, pokud X ≤ y nebo y ≤ X.
• Graf srovnatelnosti. Graf srovnatelnosti posetu (P, ≤) je graf se sadou vrcholů P ve kterých hranách jsou páry odlišných prvků P které jsou srovnatelné pod ≤ (a zejména pod jeho reflexní redukcí <).
• Kompletní booleovská algebra. A Booleova algebra to je úplná mříž.
• Kompletní Heyting algebra. A Heyting algebra to je úplná mřížka se nazývá úplná Heytingova algebra. Tato představa se shoduje s koncepty rám a národní prostředí.
• Kompletní mříž. Kompletní mříž je poseta, ve které existuje libovolné (možná nekonečné) spojení (suprema) a splnění (infima).
• Dokončete částečnou objednávku. Kompletní částečná objednávka, nebo CPO, je řízená úplná částečná objednávka (q.v.) s nejmenším prvkem.
• Úplný vztah. Synonymum pro Celkový vztah.
• Kompletní semilattice. Pojem a kompletní pololattice je definován různými způsoby. Jak je vysvětleno v článku o úplnost (teorie objednávek), jakákoli poseta, pro kterou existují všechna suprema nebo celá infima, je již úplnou mřížkou. Z tohoto důvodu se pojem úplné semilattice někdy používá ke shodě s pojmem úplné mřížky. V ostatních případech jsou definovány úplné (splňující) pololatice ohraničený kompletní cpos, což je pravděpodobně nejúplnější třída poset, která ještě nejsou úplnými mřížemi.
• Zcela distribuční mříž. Úplná mřížka je zcela rozdělovací, pokud se libovolné spojení distribuují přes libovolná setkání.
• Dokončení. Dokončení posetu je vkládání objednávek posety v úplné mříži.
• Kontinuální poset. Poset je spojitý, pokud má a základna, tj. podmnožina B z P tak, že každý prvek X z P je supremum řízené množiny obsažené v {y v B | y<<X}.
• Kontinuální funkce. Vidět Scott kontinuální.
• Konverzovat. Konverzace <° řádu
• Pokrýt. Prvek y poset P se říká, že pokrývá prvek X z P (a nazývá se obálkou X) pokud X < y a není tam žádný prvek z z P takhle X < z < y.
• CPO. Vidět kompletní částečná objednávka.

D

• dcpo. Vidět řízená úplná částečná objednávka.
• A hustý poset P je ten, ve kterém pro všechny prvky X a y v P s X < y, existuje prvek z v P, takový, že X < z < y. Podmnožina Q z P je hustý v P pokud pro nějaké prvky X < y v P, existuje prvek z v Q takhle X < z < y.
• Režie. A neprázdný podmnožina X poset P se pro všechny prvky nazývá direct, if X a y z X, existuje prvek z z X takhle X ≤ z a y ≤ z. Nazývá se dvojí pojem filtrovaný.
• Nasměrovaná úplná částečná objednávka. Poset D se říká, že je to řízený úplný poset, nebo dcpo, pokud každá směrovaná podmnožina D má supremum.
• Distribuční. Mříž L se nazývá distributivní, pokud pro všechny X, y, a z v L, zjistíme, že X ∧ (y ∨ z) = (X ∧ y) ∨ (X ∧ z). O této podmínce je známo, že je ekvivalentní její objednávce. Setkánísemilattice je distribuční, pokud pro všechny prvky A, b a X, A ∧ b ≤ X naznačuje existenci prvků A' ≥ A a b ' ≥ b takhle A' ∧ b ' = X. Viz také zcela distribuční.
• Doména. Doména je obecný termín pro objekty, jako jsou ty, které jsou studovány v teorie domény. Pokud je použit, vyžaduje další definici.
• Down-set. Vidět spodní sada.
• Dvojí. Pro poset (P, ≤), duální objednávka P^d = (P, ≥) je definován nastavením x ≥ y kdyby a jen kdyby y ≤ x. Duální pořadí P je někdy označován P^op, a je také nazýván naproti nebo konverzovat objednat. Libovolný teoretický pojem řádu vyvolává dvojí pojem, který je definován aplikací původního příkazu na dvojitý řád dané množiny. Tato výměna ≤ a ≥, splňuje a připojuje se, nula a jednotka.

E

• Rozšíření. Pro dílčí objednávky ≤ a ≤ ′ v sadě X, ≤ ′ je rozšíření ≤ za předpokladu, že pro všechny prvky X a y z X, X ≤ y to naznačuje X ≤′ y.

F

• Filtr. Podmnožina X poset P se nazývá filtr, pokud se jedná o filtrovanou horní sadu. Nazývá se dvojí pojem ideál.
• Filtrovaný. A neprázdný podmnožina X poset P se nazývá filtrováno, pokud pro všechny prvky X a y z X, existuje prvek z z X takhle z ≤ X a z ≤ y. Nazývá se dvojí pojem režie.
• Konečný element. Vidět kompaktní.
• Rám. Rámec F je úplná mříž, ve které pro každého X v F a každá podmnožina Y z F, nekonečný distribuční zákon X ∧ ${ displaystyle bigvee}$Y = ${ displaystyle bigvee}${X ∧ y | y v Y} drží. Rámy jsou také známé jako národní prostředí a jako kompletní Ahoj algebry.

G

• Galoisovo spojení. Vzhledem k tomu, dvě posety P a Q, dvojice monotónních funkcí F:P → Q a G:Q → P se nazývá Galoisovo spojení, pokud F(X) ≤ y je ekvivalentní k X ≤ G(y), pro všechny X v P a y v Q. F se nazývá dolní adjoint z G a G se nazývá horní adjoint z F.
• Největší prvek. Pro podmnožinu X poset Pprvek A z X se nazývá největší prvek X, pokud X ≤ A pro každý prvek X v X. Nazývá se dvojí pojem nejmenší prvek.
• Pozemní souprava. Základní sada poset (X, ≤) je množina X na kterém je definován dílčí řád ≤.

H

• Heyting algebra. Heytingová algebra H je omezená mřížka, ve které je funkce F_A: H → H, dána F_A(X) = A ∧ X je spodní adjoint a Galoisovo spojení, pro každý prvek A z H. Horní adjoint z F_A je pak označen G_A, s G_A(X) = A ⇒; X. Každý Booleova algebra je Heytingova algebra.
• Hasseův diagram. Hasseův diagram je typ matematického diagramu použitého k reprezentaci konečné částečně uspořádané množiny ve formě výkresu přechodná redukce.

Já

• An ideál je podmnožina X poset P to je směrovaná dolní množina. Nazývá se dvojí pojem filtr.
• The výskytová algebra z poset je asociativní algebra všech funkcí se skalární hodnotou v intervalech, s přidáním a skalárním násobením definovaným po bodech a násobením definovaným jako určitá konvoluce; vidět výskytová algebra pro podrobnosti.
• Infimum. Pro poset P a podmnožina X z P, největší prvek v souboru dolních mezí X (pokud existuje, což nemusí) se nazývá infimum, setkatnebo největší dolní mez z X. Označuje se inf X nebo ${ displaystyle bigwedge}$X. Infimum dvou prvků lze zapsat jako inf {X,y} nebo X ∧ y. Pokud je sada X je konečný, mluví se o a konečné infimum. Nazývá se dvojí pojem supremum.
• Interval. Pro dva prvky A, b částečně objednané sady P, interval [A,b] je podmnožina {X v P | A ≤ X ≤ b} z P. Li A ≤ b nedrží interval bude prázdný.
• Intervalový konečný poset. Částečně objednaná sada P je interval konečný pokud každý interval formuláře {x v P | x ≤ a} je konečná množina.^[2]
• Inverzní. Vidět konverzovat.
• Nereagující. A vztah R na setu X je ireflexivní, pokud zde není žádný prvek X v X takhle x R x.
• Izoton. Vidět monotónní.

J

• Připojit se. Vidět supremum.

L

• Mříž. Mřížka je poseta, ve které existují všechny neprázdné konečné spojení (suprema) a splnění (infima).
• Nejméně prvek. Pro podmnožinu X poset Pprvek A z X se nazývá nejmenší prvek X, pokud A ≤ X pro každý prvek X v X. Nazývá se dvojí pojem největší prvek.
• The délka řetězce je počet prvků menší než jeden. Řetěz s 1 prvkem má délku 0, jeden se 2 prvky má délku 1 atd.
• Lineární. Vidět celková objednávka.
• Lineární prodloužení. Lineární rozšíření dílčího řádu je rozšíření, které je lineárním řádem nebo úplným řádem.
• Národní prostředí. Národní prostředí je a kompletní Heyting algebra. Národní prostředí se také nazývá rámy a objeví se v Kamenná dualita a nesmyslná topologie.
• Lokálně konečný poset. Částečně objednaná sada P je místně konečné pokud každý interval [A, b] = {X v P | A ≤ X ≤ b} je konečná množina.
• Dolní mez. Dolní mez podmnožiny X poset P je prvek b z P, takový, že b ≤ X, pro všechny X v X. Nazývá se dvojí pojem horní hranice.
• Dolní sada. Podmnožina X poset P se nazývá nižší množina, pokud pro všechny prvky X v X a str v P, str ≤ X to naznačuje str je obsažen v X. Nazývá se dvojí pojem horní sada.

M

• Maximální řetězec. A řetěz v posetu, do kterého nelze přidat žádný prvek, aniž by došlo ke ztrátě vlastnosti úplného objednání. To je silnější než být nasyceným řetězcem, protože to také vylučuje existenci prvků, které jsou buď menší než všechny prvky řetězce, nebo větší než všechny jeho prvky. Konečný nasycený řetězec je maximální právě tehdy, obsahuje-li minimální i maximální prvek posetu.
• Maximální prvek. Maximální prvek podmnožiny X poset P je prvek m z X, takový, že m ≤ X naznačuje m = X, pro všechny X v X. Nazývá se dvojí pojem minimální prvek.
• Maximální prvek. Synonymum největšího prvku. Pro podmnožinu X poset Pprvek A z X se nazývá maximální prvek X -li X ≤ A pro každý prvek X v X. Maximum prvek je nutně maximal, ale konverzace nemusí držet.
• Setkat. Vidět infimum.
• Minimální prvek. Minimální prvek podmnožiny X poset P je prvek m z X, takový, že X ≤ m naznačuje m = X, pro všechny X v X. Nazývá se dvojí pojem maximální prvek.
• Minimální prvek. Synonymum nejmenšího prvku. Pro podmnožinu X poset Pprvek A z X se nazývá minimální prvek X -li X ≥ A pro každý prvek X v X. Minimum prvek je nutně minimálníal, ale konverzace nemusí držet.
• Monotónní. Funkce F mezi posety P a Q je monotónní, pokud pro všechny prvky X, y z P, X ≤ y (v P) naznačuje F(X) ≤ F(y) (v Q). Jiná jména pro tuto vlastnost jsou izoton a zachování objednávek. v analýza, v přítomnosti celkový počet objednávek, takové funkce se často nazývají monotónně roste, ale toto není příliš pohodlný popis při řešení jiných než celkových objednávek. Nazývá se dvojí pojem antitone nebo reverzní objednávka.

Ó

• Objednávka-dual. Duální objednávka částečně uspořádané množiny je stejná množina s relací částečného pořadí nahrazenou jejím obráceným.
• Vkládání objednávek. Funkce F mezi posety P a Q je vložení objednávky, pokud pro všechny prvky X, y z P, X ≤ y (v P) je ekvivalentní s F(X) ≤ F(y) (v Q).
• Objednejte izomorfismus. Mapování F: P → Q mezi dvěma posety P a Q se nazývá izomorfismus řádu, pokud je bijektivní a obojí F a F⁻¹ jsou monotónní. Ekvivalentně je izomorfismus řádu surjektivem vkládání objednávek.
• Zachování pořádku. Vidět monotónní.
• Obrácení objednávky. Vidět antitone.

P

• Částečná objednávka. Částečná objednávka je a binární relace to je reflexní, antisymetrický, a tranzitivní. Při mírném zneužití terminologie se tento termín někdy používá k označení nikoli takového vztahu, ale jeho odpovídající částečně uspořádané množiny.
• Částečně objednaná sada. Částečně objednaná sada (P, ≤) nebo poset zkrátka je sada P společně s částečnou objednávkou ≤ zapnuto P.
• Poset. Částečně objednaná sada.
• Předobjednávka. Předobjednávka je a binární relace to je reflexní a tranzitivní. Tyto objednávky lze také vyvolat kvaziordery. Termín předobjednávka se také používá k označení acyklický binární relace (nazývané také acyklický digraf).
• Zachování. Funkce F mezi posety P a Q říká se, že zachovává suprema (spojení), pokud pro všechny podskupiny X z P které mají supremum sup X v P, zjistíme, že sup {F(X): X v X} existuje a rovná se F(sup X). Taková funkce se také nazývá zachovat spojení. Analogicky se to říká F zachovává konečné, neprázdné, směrované nebo libovolné spojení (nebo setkání). Konverzní vlastnost se nazývá odrážející spojení.
• primární. An ideál Já v mříži L se říká, že je prvočíslo, pokud pro všechny prvky X a y v L, X ∧ y v Já naznačuje X v Já nebo y v Já. Dvojí představa se nazývá a primární filtr. Ekvivalentně je sada hlavním filtrem kdyby a jen kdyby jeho doplněk je dokonalým ideálem.
• Ředitel školy. Filtr se nazývá hlavní filtr pokud má nejméně prvku. Duálně, a hlavní ideál je ideál s největším prvkem. Lze také volat nejmenší nebo největší prvky hlavní prvky v těchto situacích.
• Projekce (operátor). Samomapa na a částečně objednaná sada to je monotónní a idempotentní pod složení funkce. Projekce hrají důležitou roli v teorie domény.
• Pseudokomplement. V Heyting algebra prvek X ⇒; 0 se nazývá pseudokomplement z X. Dává to také sup {y : y ∧ X = 0}, tj. Jako nejmenší horní mez ze všech prvků y s y ∧ X = 0.

Q

• Quasiorder. Vidět předobjednávka.
• Kvazitranzitivní. Relace je kvazitranzitivní, pokud je relace na odlišných prvcích tranzitivní. Tranzitiv znamená kvazitranzitiv a kvazitranzitiv znamená acyklický.^[1]

R

• Odráží. Funkce F mezi posety P a Q se říká, že odráží suprema (spojení), pokud pro všechny podskupiny X z P pro které supremum sup {F(X): X v X} existuje a má formu F(s) pro některé s v P, pak najdeme tu sup X existuje a ta sup X = s . Analogicky se to říká F odráží konečné, neprázdné, směrované nebo libovolné spojení (nebo setkání). Konverzní vlastnost se nazývá zachovat spojení.
• Reflexní. A binární relace R na setu X je reflexní, pokud x R x platí pro každý prvek X v X.
• Reziduální. Duální mapa připojená k a reziduované mapování.
• Residuated mapování. Monotónní mapa, pro kterou je preimage jistiny down-set opět jistinou. Ekvivalentně jedna součást připojení Galois.

S

• Nasycený řetěz. A řetěz takže nelze přidat žádný prvek mezi dvěma jejími prvky aniž by ztratil majetek, že je zcela objednán. Pokud je řetěz konečný, znamená to, že v každém páru po sobě následujících prvků ten větší pokrývá ten menší. Viz také maximální řetězec.
• Rozptýlené. Celková objednávka je rozptýlena, pokud nemá žádnou hustě uspořádanou podmnožinu.
• Scott kontinuální. Monotónní funkce F : P → Q mezi posety P a Q je Scott kontinuální, pokud pro každou směrovanou sadu D který má supremum sup D v P, sada {fx | X v D} má nadřazenost F(sup D) v Q. Jinak řečeno, Scottova spojitá funkce je taková konzervuje všechny řízené suprema. To je ve skutečnosti ekvivalent bytí kontinuální s respektem k Scottova topologie na příslušných posetách.
• Scott doména. Scottova doména je částečně uspořádaná množina, která je ohraničený kompletní algebraický CPO.
• Scott otevřený. Vidět Scottova topologie.
• Scottova topologie. Pro poset Ppodmnožina Ó je Scott-open pokud je to horní sada a všechny směrované sady D které mají nadřazenost Ó mít neprázdnou křižovatku s Ó. Sada všech Scott-open sad tvoří a topologie, Scottova topologie.
• Semilattice. Semilattice je poseta, ve které existují buď všechna konečná neprázdná spojení (suprema), nebo všechna konečná neprázdná spojení (infima). Podle toho se mluví o a spojit-semilattice nebo setkat-semilattice.
• Nejmenší prvek. Vidět nejmenší prvek.
• Spernerova vlastnost částečně objednané sady
• Spernerova poseta
• Přísně Spernerova poseta
• Silně Spernerova poseta
• Přísná objednávka. Přísná objednávka je a binární relace to je antisymetrický, tranzitivní, a nereagující.
• Supremum. Pro poset P a podmnožina X z P, nejmenší prvek v sadě horní hranice z X (pokud existuje, což nemusí) se nazývá supremum, připojit senebo nejmenší horní mez z X. Označuje to sup X nebo ${ displaystyle bigvee}$X. Supremum dvou prvků lze zapsat jako sup {X,y} nebo X ∨ y. Pokud je sada X je konečný, mluví se o a konečné supremum. Nazývá se dvojí pojem infimum.
• Suzumura konzistence. Binární vztah R je Suzumura konzistentní, pokud X R^∗ y to naznačuje X R y nebo ne y R X.^[1]
• Symetrický. A vztah R na setu X je symetrický, pokud x R y naznačuje y R x, pro všechny prvky X, y v X.

T

• Horní. Vidět jednotka.
• Celková objednávka. Celková objednávka T je částečné pořadí, ve kterém pro každou X a y v T, my máme X ≤ y nebo y ≤ X. Také se volá celkový počet objednávek lineární objednávky nebo řetězy.
• Celkový vztah. Úplný nebo úplný vztah R na setu X má vlastnost, že pro všechny prvky X, y z X, alespoň jeden z x R y nebo y R x drží.
• Tranzitivní. A vztah R na setu X je tranzitivní, pokud x R y a y R z naznačit x R z, pro všechny prvky X, y, z v X.
• Přechodné uzavření. Tranzitivní uzávěr R^∗ vztahu R se skládá ze všech párů X,y pro které existuje konečný řetězec X R A, A R b, ..., z R y.^[1]

U

• Jednotka. The největší prvek poset P lze volat jednotka nebo prostě 1 (pokud existuje). Další běžný termín pro tento prvek je horní. Je to infimum prázdné množiny a supremum P. Nazývá se dvojí pojem nula.
• Naštvaný. Vidět horní sada.
• Horní hranice. Horní mez podmnožiny X poset P je prvek b z P, takový, že X ≤ b, pro všechny X v X. Nazývá se dvojí pojem dolní mez.
• Horní sada. Podmnožina X poset P se nazývá horní sada, pokud pro všechny prvky X v X a str v P, X ≤ str to naznačuje str je obsažen v X. Nazývá se dvojí pojem spodní sada.

PROTI

• Ocenění. Vzhledem k mříži ${ displaystyle X}$, ocenění ${ displaystyle nu: X až [0,1]}$ je přísný (tj. ${ displaystyle nu ( emptyset) = 0}$), monotónní, modulární (tj. ${ displaystyle nu (U) + nu (V) = nu (U šálek V) + nu (U čepice V)}$) a pozitivní. Kontinuální oceňování je zevšeobecněním opatření.

Ž

• Vztah cesta dolů. V posetu P, nějaký prvek X je níže y, psaný X<<y, pokud pro všechny směrované podmnožiny D z P které mají nadřazenost, y ≤ sup D naznačuje X ≤ d pro některé d v D. Jeden to také říká X přibližný y. Viz také teorie domény.
• Slabá objednávka. Částečná objednávka ≤ na množině X je slabé pořadí za předpokladu, že poset (X, ≤) je izomorfní do spočetné sbírky sad seřazených porovnáním mohutnost.

Z

• Nula. The nejmenší prvek poset P lze volat nula nebo prostě 0 (pokud existuje). Další běžný termín pro tento prvek je dno. Nula je supremum prázdné množiny a infimum P. Nazývá se dvojí pojem jednotka.

Poznámky

Reference

Zde uvedené definice jsou v souladu s definicemi, které lze najít v následujících standardních referenčních knihách:

• B. A. Davey a H. A. Priestley, Úvod do mřížek a řádu, 2. vydání, Cambridge University Press, 2002.
• G. Gierz, K. H. Hofmann, K. Keimel, J. D. Lawson, M. Mislove a D. S. Scott, Kontinuální mřížky a domény, V Encyklopedie matematiky a její aplikace, Sv. 93, Cambridge University Press, 2003.

Specifické definice:

• Deng, Bangming (2008), Konečné dimenzionální algebry a kvantové skupinyMatematické průzkumy a monografie 150Americká matematická společnost, ISBN  978-0-8218-4186-0