Hyperbolická skupina - Hyperbolic group - Wikipedia

Algebraická struktura → Skupinová teorie Skupinová teorie
Základní pojmy Podskupina Normální podskupina Kvocientová skupina (Částečně)přímý produkt Skupinové homomorfismy jádro obraz přímý součet věnec produkt jednoduchý konečný nekonečný kontinuální multiplikativní přísada cyklický abelian vzepětí nilpotentní řešitelný Glosář teorie skupin Seznam témat teorie skupin
Konečné skupiny Klasifikace konečných jednoduchých skupin cyklický střídavý Typ lži sporadický Cauchyova věta Lagrangeova věta Sylowovy věty Hallova věta p-skupina Základní abelianská skupina Skupina Frobenius Multiplikátor Schur Symetrická skupina Sn Kleinova čtyřčlenná skupina PROTI Vzepětí skupina Dn Čtveřice skupina Q Dicyklická skupina Dicn
Diskrétní skupiny Mříže Celá čísla (Z) Zdarma skupina Modulární skupiny PSL (2,Z) SL (2,Z) Aritmetická skupina Mříž Hyperbolická skupina
Topologické a Lež skupiny Solenoid Kruh Obecné lineární GL (n) Speciální lineární SL (n) Ortogonální Ó(n) Euklidovský E(n) Speciální ortogonální TAK(n) Unitary U (n) Speciální unitární SU (n) Symplektický Sp (n) G2 F4 E6 E7 E8 Lorentz Poincaré Konformní Difomorfismus Smyčka Nekonečná dimenzionální Lieova skupina O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Algebraické skupiny Lineární algebraická skupina Redukční skupina Abelianská odrůda Eliptická křivka

v teorie skupin, přesněji v teorie geometrických skupin, a hyperbolická skupina, také známý jako a slovo hyperbolická skupina nebo Gromovova hyperbolická skupina, je definitivně generován skupina vybaven a slovo metrické splňující určité vlastnosti vycházející z klasiky hyperbolická geometrie. Pojem hyperbolické skupiny představil a vytvořil Michail Gromov  (1987 ). Inspirací byly různé existující matematické teorie: hyperbolická geometrie, ale také nízkodimenzionální topologie (zejména výsledky Max Dehn Týkající se základní skupina hyperbolický Riemannův povrch a složitější jevy v trojrozměrná topologie ), a teorie kombinatorických grup. Ve velmi vlivném (více než 1000 citací ^[1]) kapitola z roku 1987, Gromov navrhl rozsáhlý výzkumný program. Nápady a základní materiály v teorii hyperbolických skupin také pocházejí z práce George Mostow, William Thurston, James W. Cannon, Eliyahu Rips, a mnoho dalších.

Definice

Nechat ${ displaystyle G}$ být definitivně generovanou skupinou a ${ displaystyle X}$ být jeho Cayleyův graf s ohledem na nějakou konečnou množinu ${ displaystyle S}$ generátorů. Sada ${ displaystyle X}$ je obdařen svým metrika grafu (kde hrany mají délku jedna a vzdálenost mezi dvěma vrcholy je minimální počet hran v cestě, která je spojuje), která ji promění v délka prostoru. Skupina ${ displaystyle G}$ pak se říká, že je hyperbolický -li ${ displaystyle X}$ je hyperbolický prostor ve smyslu Gromova. Krátce to znamená, že existuje a ${ displaystyle delta> 0}$ takový, že jakýkoli geodetický trojúhelník v ${ displaystyle X}$ je ${ displaystyle delta}$-tenký, jak je znázorněno na obrázku vpravo (mezera se pak říká, že je ${ displaystyle delta}$-hyperbolický).

${ displaystyle x}$

${ displaystyle y}$

${ displaystyle z}$

${ displaystyle B _ { delta} ([x, y])}$

${ displaystyle B _ { delta} ([z, x])}$

${ displaystyle B _ { delta} ([y, z])}$

Podmínka δ-tenkého trojúhelníku

Tato definice a priori závisí na volbě konečné generující množiny ${ displaystyle S}$. Že tomu tak není, vyplývá ze dvou následujících skutečností:

• Cayleyovy grafy odpovídající dvěma konečným generujícím množinám jsou vždy kvazi-izometrický jeden druhému;
• jakýkoli geodetický prostor, který je kvazi-izometrický s geodetickým Gromov-hyperbolickým prostorem, je sám o sobě Gromov-hyperbolický.

Můžeme tedy oprávněně mluvit o definitivně generované skupině ${ displaystyle G}$ být hyperbolický bez odkazu na generující množinu. Na druhou stranu prostor, který je kvazi-izometrický k a ${ displaystyle delta}$-hyperbolický prostor je sám o sobě ${ displaystyle delta '}$- pro některé hyperbolické ${ displaystyle delta '> 0}$ ale to druhé závisí na originálu ${ displaystyle delta}$ a na kvazi-izometrii tedy nemá smysl mluvit ${ displaystyle G}$ bytost ${ displaystyle delta}$-hyperbolický.

Poznámky

The Švarc – Milnorovo lemma^[2] uvádí, že pokud skupina ${ displaystyle G}$ činy správně diskontinuálně a s kompaktním kvocientem (taková akce se často nazývá geometrický) na správné délce prostoru ${ displaystyle Y}$, pak je definitivně vygenerován a jakýkoli Cayleyův graf pro ${ displaystyle G}$ je kvazi-izometrický ${ displaystyle Y}$. Skupina je tedy (definitivně generovaná a) hyperbolická, právě když má geometrickou akci na správný hyperbolický prostor.

Li ${ displaystyle G ' podmnožina G}$ je podskupina s konečným indexem (tj. množina ${ displaystyle G / G '}$ je konečný), pak inkluze indukuje kvazi-izometrii na vrcholech jakéhokoli místně konečného Cayleyova grafu ${ displaystyle G '}$ do jakéhokoli místně konečného Cayleyova grafu ${ displaystyle G}$. Tím pádem ${ displaystyle G '}$ je hyperbolický právě tehdy ${ displaystyle G}$ sám o sobě je. Obecněji, pokud jsou dvě skupiny souměřitelný, pak je jeden hyperbolický právě tehdy, když druhý je.

Příklady

Základní hyperbolické skupiny

Nejjednodušší příklady hyperbolických skupin jsou konečné skupiny (jehož Cayleyovy grafy mají konečný průměr, tedy ${ displaystyle delta}$-hyperbolický s ${ displaystyle delta}$ rovnající se tomuto průměru).

Další jednoduchý příklad je dán nekonečnou cyklickou skupinou ${ displaystyle mathbb {Z}}$: Cayleyův graf ${ displaystyle mathbb {Z}}$ s ohledem na generující soustavu ${ displaystyle { pm 1 }}$ je čára, takže všechny trojúhelníky jsou úsečky a graf je ${ displaystyle 0}$-hyperbolický. Z toho vyplývá, že každá skupina, která je prakticky cyklické (obsahuje kopii ${ displaystyle mathbb {Z}}$ konečného indexu) je také hyperbolický, například nekonečná dihedrální skupina.

Členům této třídy skupin se často říká základní hyperbolické skupiny (terminologie je přizpůsobena terminologii akcí v hyperbolické rovině).

Zdarma skupiny a skupiny působící na stromech

Nechat ${ displaystyle S = {a_ {1}, ldots, a_ {n} }}$ být konečnou množinou a ${ displaystyle F}$ být volná skupina s generátorovou sadou ${ displaystyle S}$. Pak Cayleyův graf ${ displaystyle F}$ s ohledem na ${ displaystyle S}$ je místně konečný strom a tedy 0-hyperbolický prostor. Tím pádem ${ displaystyle F}$ je hyperbolická skupina.

Obecněji vidíme, že každá skupina ${ displaystyle G}$ který funguje správně diskontinuálně na lokálně konečný strom (v tomto kontextu to znamená přesně to, že stabilizátory v ${ displaystyle G}$ vrcholy jsou konečné) je hyperbolický. To skutečně vyplývá ze skutečnosti, že ${ displaystyle G}$ má neměnný podstrom, na který působí s kompaktním kvocientem, a lemma Svarc - Milnor. Takové skupiny jsou ve skutečnosti prakticky volné (tj. Obsahují konečně generovanou volnou podskupinu konečného indexu), což poskytuje další důkaz jejich hyperbolicity.

Zajímavým příkladem je modulární skupina ${ displaystyle G = mathrm {SL} _ {2} ( mathbb {Z})}$: působí na strom daný 1-kostrou přidruženého mozaikování hyperbolické roviny a má konečnou podskupinu bez indexů (na dvou generátorech) indexu 6 (například sadu matic v ${ displaystyle G}$ které redukují na identitu modulo 2 je taková skupina). Všimněte si zajímavé vlastnosti tohoto příkladu: funguje správně diskontinuálně na hyperbolický prostor ( hyperbolická rovina ), ale akce není kompaktní (a skutečně ${ displaystyle G}$ je ne kvazi-izometrický k hyperbolické rovině).

Fuchsijské skupiny

Zobecnění příkladu modulární skupiny a Fuchsijská skupina je skupina připouštějící správně diskontinuální akci v hyperbolické rovině (ekvivalentně diskrétní podskupina ${ displaystyle mathrm {SL} _ {2} ( mathbb {R})}$). Hyperbolická rovina je a ${ displaystyle delta}$-hyperbolický prostor, a tudíž i Svarcovo –Lemnorovo lemma nám říká, že kocompaktní fuchsijské skupiny jsou hyperbolické.

Příklady takových jsou základní skupiny z uzavřené povrchy negativní Eulerova charakteristika. Ve skutečnosti lze tyto povrchy získat jako kvocienty hyperbolické roviny, jak naznačuje Poincaré - Koebe Věta o uniformizaci.

Další rodinu příkladů kocompaktních fuchsijských skupin uvádí trojúhelníkové skupiny: všichni ale konečně mnozí jsou hyperboličtí.

Negativní zakřivení

Zobecnit příklad uzavřených ploch, základní skupiny kompaktních Riemannovy rozdělovače s přísně negativní řezové zakřivení jsou hyperbolické. Například cocompact mříže v ortogonální nebo unitární skupina formy podpisu ${ displaystyle (n, 1)}$ jsou hyperbolické.

Další zevšeobecnění je dáno skupinami připouštějícími geometrické působení na a KOCOUR (k) prostor.^[3] Existují příklady, které nejsou srovnatelné s žádnou z předchozích konstrukcí (například skupiny působící geometricky na hyperbolické budovy ).

Malé storno skupiny

Skupiny, které mají prezentace, které uspokojí malé zrušení podmínky jsou hyperbolické. To poskytuje zdroj příkladů, které nemají geometrický původ jako výše uvedené. Ve skutečnosti jednou z motivací pro počáteční vývoj hyperbolických skupin bylo poskytnout geometrickější interpretaci malého zrušení.

Náhodné skupiny

V určitém smyslu jsou „nejvíce“ definitivně prezentované skupiny s velkými definujícími vztahy hyperbolické. Kvantitativní vyjádření toho, co to znamená, naleznete v části Náhodná skupina.

Non-příklady

• Nejjednodušší příklad skupiny, která není hyperbolická, je bezplatná abelianská skupina 2 ${ displaystyle mathbb {Z} ^ {2}}$. Ve skutečnosti je kvazi-izometrický Euklidovské letadlo který je snadno viditelný nebýt hyperbolický (například kvůli existenci homotheties ).
• Obecněji řečeno, každá skupina, která obsahuje ${ displaystyle mathbb {Z} ^ {2}}$ jako podskupina není hyperbolický.^[4][5] Zejména, mříže ve vyšší hodnosti napůl jednoduché Lie skupiny a základní skupiny ${ displaystyle pi _ {1} (S ^ {3} setminus K)}$ netriviální uzel doplňky spadají do této kategorie, a proto nejsou hyperbolické. To platí také pro mapování skupin tříd uzavřených hyperbolických povrchů.
• The Skupiny Baumslag – Solitar B(m,n) a jakákoli skupina, která obsahuje podskupinu, je pro některé isomorfní B(m,n) nemusí být hyperbolický (od B(1,1) = ${ displaystyle mathbb {Z} ^ {2}}$, toto zobecňuje předchozí příklad).
• Nerovnoměrná mřížka v jednoduché Lieově skupině s hodností 1 je hyperbolická právě tehdy, když skupina je izogenní na ${ displaystyle mathrm {SL} _ {2} ( mathbb {R})}$ (ekvivalentně přidružený symetrický prostor je hyperbolická rovina). Příkladem toho je hyperbolický uzlové skupiny. Další je Bianchi skupiny, například ${ displaystyle mathrm {SL} _ {2} ({ sqrt {-1}})}$.

Vlastnosti

Algebraické vlastnosti

• Hyperbolické skupiny uspokojují Prsa alternativa: jsou buď prakticky řešitelné (tato možnost je uspokojena pouze elementárními hyperbolickými skupinami), nebo mají podskupinu izomorfní s neabelianskou volnou skupinou.
• Neelementární hyperbolické skupiny nejsou jednoduchý ve velmi silném smyslu: pokud ${ displaystyle G}$ je neelementární hyperbolický, pak existuje nekonečná podskupina ${ displaystyle H triangleleft G}$ takhle ${ displaystyle H}$ a ${ displaystyle G / H}$ jsou nekonečné.
• Není známo, zda existuje hyperbolická skupina, která není zbytkově konečné.

Geometrické vlastnosti

• Neelementární (nekonečné a ne prakticky cyklické) hyperbolické skupiny mají vždy exponenciální tempo růstu (je to důsledek alternativy společnosti Tits).
• Hyperbolické skupiny uspokojují lineární izoperimetrická nerovnost.^[6]

Homologické vlastnosti

• Hyperbolické skupiny jsou vždy konečně představen. Ve skutečnosti lze explicitně postavit komplex ( Rips komplex ) který je smluvní a na které skupina působí geometricky^[7] tak to je typ F_∞. Když je skupina bez kroucení, akce je volná, což ukazuje, že skupina je konečná cohomologická dimenze.
• V roce 2002 I. Mineyev ukázal, že hyperbolické skupiny jsou přesně ty konečně generované skupiny, pro které je srovnávací mapa mezi omezená kohomologie a obyčejná kohomologie je surjective ve všech stupních, nebo ekvivalentně, ve stupni 2.^[8]

Algoritmické vlastnosti

• Hyperbolické skupiny jsou řešitelné slovní úloha. Oni jsou biautomatic a automatický.^[9] Opravdu jsou silně geodeticky automatické, to znamená, že ve skupině existuje automatická struktura, kde jazyk přijímaný akceptorem slov je množina všech geodetických slov.
• V roce 2010 se ukázalo, že hyperbolické skupiny mají a rozhodnutelné výrazný problém izomorfismu.^[10] Je pozoruhodné, že to znamená, že problém izomorfismu, problémy s oběžnou dráhou (zejména problém konjugace) a Whiteheadův problém jsou rozhodující.
• Cannon a Swenson ukázali, že hyperbolické skupiny s 2-koulí v nekonečnu mají přirozenost pravidlo dělení.^[11] To souvisí s Cannonova domněnka.

Zobecnění

Relativně hyperbolické skupiny

Relativně hyperbolické skupiny jsou třída generalizující hyperbolické skupiny. Velmi zhruba^[12] ${ displaystyle G}$ je hyperbolický vzhledem ke kolekci ${ displaystyle { mathcal {G}}}$ podskupin, pokud připouští (nemusí nutně působit společně) správně diskontinuální akce na správný hyperbolický prostor ${ displaystyle X}$ což je "pěkné" na hranici ${ displaystyle X}$ a takové, že stabilizátory v ${ displaystyle G}$ bodů na hranici jsou podskupiny ${ displaystyle { mathcal {G}}}$. To je zajímavé, když obojí ${ displaystyle X}$ a akce ${ displaystyle G}$ na ${ displaystyle X}$ nejsou elementární (zejména ${ displaystyle X}$ je nekonečný: například každá skupina je hyperbolická relativně sama k sobě prostřednictvím svého působení v jednom bodě!).

Mezi zajímavé příklady v této třídě patří zejména nejednotné mřížky v polojednodušých Lieových skupinách 1. úrovně, například základní skupiny nekompaktních hyperbolických variet konečného objemu. Non-examples are lattices in higher-rank Lie groups and mapping class groups.

Acylindricky hyperbolické skupiny

Ještě obecnější představa je o acylindicky hyperbolické skupině.^[13] Acylindricita akce skupiny ${ displaystyle G}$ v metrickém prostoru ${ displaystyle X}$ je oslabení správné diskontinuity akce.^[14]

O skupině se říká, že je acylindricky hyperbolická, pokud připouští neelementární acylindrickou akci na (ne nutně správné) Gromov-hyperbolický prostor. Tento pojem zahrnuje mapování skupin tříd prostřednictvím jejich akcí na křivkové komplexy. Mříže ve vyšších hodnostních skupinách nejsou (stále!) Acylindricky hyperbolické.

Skupiny CAT (0)

Jiným směrem lze oslabit předpoklad o zakřivení ve výše uvedených příkladech: a Skupina CAT (0) je skupina připouštějící geometrické působení na a CAT (0) prostor. To zahrnuje Euklidovské krystalografické skupiny a jednotné svazy ve vyšších hodnostních skupinách.

Není známo, zda existuje hyperbolická skupina, která není CAT (0).^[15]

Poznámky

Reference

• Bridson, Martin R.; Haefliger, André (1999). Metrické prostory pozitivního zakřivení. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Základní principy matematických věd]. 319. Berlín: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-662-12494-9. ISBN  3-540-64324-9. PAN  1744486.

• Bowditch, Briane (2006). Kurz o teorii geometrických skupin (PDF). Paměti MSJ. 16. Tokio: Matematická společnost Japonska. doi:10.1142 / e003. ISBN  4-931469-35-3. PAN  2243589.

• Bowditch, Briane (2012). „Relativně hyperbolické skupiny“ (PDF). International Journal of Algebra and Computation. 22 (3): 1250016, 66 stran. doi:10.1142 / S0218196712500166. PAN  2922380.

• Dělo, James W.; Swenson, Eric L. (1998). "Rozpoznávání diskrétních skupin konstantního zakřivení v dimenzi 3". Transakce Americké matematické společnosti. 350 (2): 809–849. doi:10.1090 / S0002-9947-98-02107-2. PAN  1458317.
• Charney, Ruth (1992). "Artinové skupiny konečného typu jsou biautomatické". Mathematische Annalen. 292 (4): 671–683. doi:10.1007 / BF01444642. PAN  1157320.
• Dahmani, François; Guirardel, Vincent (2011). "Problém izomorfismu pro všechny hyperbolické skupiny". Geometrická a funkční analýza. 21 (2): 223–300. arXiv:1002.2590. doi:10.1007 / s00039-011-0120-0.
• Ghys, Étienne; de la Harpe, Pierre, eds. (1990). Sur les groupes hyperboliques d'après Mikhael Gromov [Hyperbolické skupiny v teorii Mikhaela Gromova]. Pokrok v matematice (ve francouzštině). 83. Boston, MA: Birkhäuser Boston, Inc. doi:10.1007/978-1-4684-9167-8. ISBN  0-8176-3508-4. PAN  1086648.
• Gromov, Michail (1987). "Hyperbolické skupiny". V Gersten, Steve M. (ed.). Eseje v teorii skupin. Publikace Výzkumného ústavu matematických věd. 8. New York: Springer. str. 75–263. doi:10.1007/978-1-4613-9586-7_3. ISBN  0-387-96618-8. PAN  0919829.
• Mineyev, Igor (2002). "Omezená kohomologie charakterizuje hyperbolické skupiny". Quarterly Journal of Mathematics. 53 (1): 59–73. doi:10.1093 / qjmath / 53.1.59. PAN  1887670.
• Osin, Denis (2016). "Acylindricky hyperbolické skupiny". Transakce Americké matematické společnosti. 368 (2): 851–888. arXiv:1304.1246. doi:10.1090 / tran / 6343. PAN  3430352.

Další čtení

• Coornaert, Michel; Delzant, Thomas; Papadopoulos, Athanase (1990). Géométrie et théorie des groupes: les groupes hyperboliques de Gromov [Geometrie a teorie skupin: Gromovovy hyperbolické skupiny]. Přednášky z matematiky (ve francouzštině). 1441. Berlín: Springer-Verlag. doi:10.1007 / BFb0084913. ISBN  3-540-52977-2. PAN  1075994.
• Coornaert, Michel; Papadopoulos, Athanase (1993). Symbolická dynamika a hyperbolické skupiny. Přednášky z matematiky. 1539. Berlín: Springer-Verlag. doi:10.1007 / BFb0092577. ISBN  3-540-56499-3. PAN  1222644.
• „Gromovův hyperbolický prostor“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]