Skupina s operátory - Group with operators

v abstraktní algebra, pobočka matematika, algebraická struktura skupina s operátory nebo Ω-skupina lze zobrazit jako skupina s soubor Ω, který působí na prvky skupiny zvláštním způsobem.

Skupiny s operátory byly rozsáhle studovány Emmy Noetherová a její škola ve 20. letech. Koncept použila ve své původní formulaci všech tří Věty o noetherovém izomorfismu.

Definice

A skupina s operátory ${displaystyle (G, Omega)}$ lze definovat^[1] jako skupina ${displaystyle G = (G, cdot)}$ společně s akcí sady ${displaystyle Omega}$ na ${displaystyle G}$:

${displaystyle Omega imes Gightarrow G: (omega, g) mapa pro g ^ {omega}}$

to je distribuční ve vztahu k zákonu o skupině:

${displaystyle (gcdot h) ^ {omega} = g ^ {omega} cdot h ^ {omega}.}$

Pro každého ${displaystyle omega in Omega}$, Aplikace ${displaystyle gmapsto g ^ {omega}}$ je pak endomorfismus z G. Z toho vyplývá, že skupinu Ω lze také považovat za skupinu G s indexovaná rodina ${displaystyle (u_ {omega}) _ {omega v Omeze}}$ endomorfismů G.

${displaystyle Omega}$ se nazývá doména operátora. Přidružené endomorfismy^[2] se nazývají homotheties z G.

Vzhledem k tomu, dvě skupiny G, H se stejnou doménou operátora ${displaystyle Omega}$, a homomorfismus skupin s operátory je skupinový homomorfismus ${displaystyle phi: G o H}$ uspokojující

${displaystyle phi (g ^ {omega}) = (phi (g)) ^ {omega}}$ pro všechny ${displaystyle omega in Omega}$ a ${displaystyle gin G.}$

A podskupina S z G se nazývá a stabilní podskupina, ${displaystyle omega}$- podskupina nebo ${displaystyle Omega}$-invariantní podskupina pokud respektuje homotheties, to je

${displaystyle s ^ {omega} v S}$ pro všechny ${displaystyle sin S}$ a ${displaystyle omega in Omega.}$

Kategorie - teoretické poznámky

v teorie kategorií, a skupina s operátory lze definovat^[3] jako předmět a kategorie funktorů Grp^M kde M je monoidní (tj kategorie s jedním objekt ) a Grp označuje kategorie skupin. Tato definice je rovnocenná s předchozí definicí ${displaystyle Omega}$ je monoid (jinak jej můžeme rozšířit o identitu a všechny skladby).

A morfismus v této kategorii je a přirozená transformace mezi dvěma funktory (tj. dvě skupiny s operátory sdílejícími stejnou doménu operátora M). Opět jsme obnovili výše uvedenou definici homomorfismu skupin s operátory (s F the komponent přirozené transformace).

Skupina s operátory je také mapování

${displaystyle Omega ightarrow operatorname {End} _ {mathbf {Grp}} (G),}$

kde ${displaystyle operatorname {End} _ {mathbf {Grp}} (G)}$ je množina skupinových endomorfismů G.

Příklady

• Vzhledem k jakékoli skupině G, (G, ∅) je triviálně skupina s operátory
• Vzhledem k tomu, modul M přes prsten R, R jedná skalární násobení na podkladovém abelianská skupina z M, tak (M, R) je skupina s operátory.
• Jako zvláštní případ výše uvedeného, ​​každý vektorový prostor přes pole k je skupina s operátory (PROTI, k).

Aplikace

The Jordan – Hölderova věta platí také v kontextu skupin operátorů. Požadavek, aby skupina měla a kompoziční série je analogický jako u kompaktnost v topologie, a někdy může být příliš silným požadavkem. Je přirozené hovořit o „kompaktnosti vzhledem k množině“, tj. Hovořit o kompoziční sérii, kde každá (normální ) podskupina je podskupina operátor vzhledem k sadě operátorů X, dotyčné skupiny.

Viz také

• Skupinová akce

Poznámky

Reference

• Bourbaki, Nicolas (1974). Základy matematiky: Algebra I, kapitoly 1–3. Hermann. ISBN  2-7056-5675-8.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Bourbaki, Nicolas (1998). Základy matematiky: Algebra I, kapitoly 1–3. Springer-Verlag. ISBN  3-540-64243-9.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Mac Lane, Saunders (1998). Kategorie pro Working Mathematician. Springer-Verlag. ISBN  0-387-98403-8.CS1 maint: ref = harv (odkaz)