(2,3,7) trojúhelníková skupina - (2,3,7) triangle group - Wikipedia

V teorii Riemannovy povrchy a hyperbolická geometrie, skupina trojúhelníků (2,3,7) je zvláště důležitý. Tato důležitost pramení z jeho spojení s Hurwitzovy povrchy, jmenovitě Riemannovy povrchy rodu G s největší možnou objednávkou, 84 (G - 1) její skupiny automorfismu.

Poznámka k terminologii - „(2,3,7) trojúhelníková skupina“ nejčastěji odkazuje, nikoli na úplný trojúhelníková skupina Δ (2,3,7) (skupina Coxeter s Schwarzův trojúhelník (2,3,7) nebo realizace jako hyperbolický reflexní skupina ), ale spíše na obyčejný trojúhelníková skupina ( skupina von Dyck ) D(2,3,7) map zachovávající orientaci (rotační skupina), což je index 2.

Normální podskupiny (2,3,7) trojúhelníkové skupiny bez kroucení jsou Fuchsijské skupiny spojený s Hurwitzovy povrchy, tak jako Kleinova kvartika, Macbeathův povrch a První Hurwitz triplet.

Stavby

Hyperbolická konstrukce

Skupina (2,3,7) trojúhelníků je skupina izometrií zachovávající orientaci obkladů pomocí (2,3,7) Schwarzův trojúhelník, zobrazené zde v Poincaré model disku projekce.

Chcete-li sestrojit skupinu trojúhelníků, začněte s hyperbolickým trojúhelníkem s úhly π / 2, π / 3, π / 7. Tento trojúhelník, nejmenší hyperbolický Schwarzův trojúhelník, dlaždice letadlo odrazy na jeho stranách. Uvažujme potom skupinu generovanou odrazy po stranách trojúhelníku, která (od dlaždic trojúhelníku) je a neeuklidovská krystalografická skupina (diskrétní podskupina hyperbolických izometrií) s tímto trojúhelníkem pro základní doména; přidružený obklad je heptagonální obklady rozděleného řádu 3. Skupina (2,3,7) trojúhelníků je definována jako index 2 podskupina skládající se z izometrií zachovávající orientaci, což je a Fuchsijská skupina (skupina NEC zachovávající orientaci).

Rovnoměrné heptagonální / trojúhelníkové obklady proti t E
Symetrie: [7,3], (*732)							[7,3]+, (732)
{7,3}	t {7,3}	r {7,3}	t {3,7}	{3,7}	rr {7,3}	tr {7,3}	sr {7,3}
Jednotné duály
V73	V3.14.14	V3.7.3.7	V6.6.7	V37	V3.4.7.4	V4.6.14	V3.3.3.3.7

Skupinová prezentace

Má prezentaci v podobě dvojice generátorů, G₂, G₃, modulo následující vztahy:

${ displaystyle g_ {2} ^ {2} = g_ {3} ^ {3} = (g_ {2} g_ {3}) ^ {7} = 1.}$

Geometricky to odpovídá rotaci o ${ displaystyle { frac {2 pi} {2}}, { frac {2 pi} {3}}}$, a ${ displaystyle { frac {2 pi} {7}}}$ o vrcholech Schwarzova trojúhelníku.

Quaternion algebra

Skupina (2,3,7) trojúhelníků připouští vhodnou prezentaci, pokud jde o skupinu čtveřic normy 1 objednat v čtveřice algebra. Přesněji řečeno, trojúhelníková skupina je kvocient skupiny čtveřic podle jejího středu ± 1.

Nechť η = 2cos (2π / 7). Pak z identity

${ displaystyle (2- eta) ^ {3} = 7 ( eta -1) ^ {2}.}$

vidíme to Q(η) je naprosto skutečné kubické rozšíření Q. (2,3,7) hyperbolický skupina trojúhelníků je podskupina skupiny prvků normy 1 v kvaternionové algebře generované jako asociativní algebra dvojicí generátorů i,j a vztahy i² = j² = η, ij = −ji. Jeden zvolí vhodný Řád čtveřice Hurwitzů ${ displaystyle { mathcal {Q}} _ { mathrm {Hur}}}$ v algebře čtveřice. Tady je objednávka ${ displaystyle Q _ { mathrm {Hur}}}$ je generován prvky

${ displaystyle g_ {2} = { tfrac {1} { eta}} ij}$

${ displaystyle g_ {3} = { tfrac {1} {2}} (1 + ( eta ^ {2} -2) j + (3- eta ^ {2}) ij).}$

Objednávka je ve skutečnosti zdarma Z[η] -modul nad základnou ${ displaystyle 1, g_ {2}, g_ {3}, g_ {2} g_ {3}}$. Zde generátoři uspokojují vztahy

${ displaystyle g_ {2} ^ {2} = g_ {3} ^ {3} = (g_ {2} g_ {3}) ^ {7} = - 1, ,}$

které po kvocientu středem sestoupí do příslušných vztahů ve skupině trojúhelníků.

Vztah k SL (2, R)

Vizualizace mapy (2, 3, ∞) → (2, 3, 7) proměnou souvisejících tilings.^[1]

Rozšíření skalárů z Q(η) do R (přes standardní vložení), jeden získá izomorfismus mezi čtveřicí algebry a algebry M (2,R) skutečných matic 2 x 2. Volba konkrétního izomorfismu umožňuje vystavit skupinu (2,3,7) trojúhelníků jako specifickou Fuchsijská skupina v SL (2,R), konkrétně jako podíl z modulární skupina. To lze vizualizovat přidruženými obklady, jak je znázorněno vpravo: obklad (2,3,7) na disku Poincaré je kvocientem modulárního obkladu v horní polorovině.

Z mnoha důvodů jsou však explicitní izomorfismy zbytečné. Tedy stopy skupinových prvků (a tedy také délky překladu hyperbolických prvků působících v horní polorovina, stejně jako systoly fuchsijských podskupin) lze vypočítat pomocí redukované stopy v kvaternionové algebře a vzorce

${ displaystyle operatorname {tr} ( gamma) = 2 cosh ( ell _ { gamma} / 2).}$

Reference

Další čtení