Skupina příšer - Monster group - Wikipedia

V oblasti abstraktní algebra známý jako teorie skupin, skupina příšer M (také známý jako Fischer – Griessovo monstrum, nebo přátelský obr) je největší sporadická jednoduchá skupina, které mají objednat

2⁴⁶ · 3²⁰ · 5⁹ · 7⁶ · 11² · 13³ · 17 · 19 · 23 · 29 · 31 · 41 · 47 · 59 · 71

= 808,017,424,794,512,875,886,459,904,961,710,757,005,754,368,000,000,000

≈ 8×10⁵³.

The konečný jednoduché skupiny byly úplně klasifikovaný. Každá taková skupina patří do jedné z 18 počítatelně nekonečný rodin, nebo je jednou z 26 sporadických skupin, které nenásledují takový systematický vzorec. Skupina příšer obsahuje 20 sporadických skupin (včetně sebe sama) jako dílčí podíly. Robert Griess, který prokázal existenci monstra v roce 1982, označil těchto 20 skupin za šťastná rodinaa zbývajících šest výjimek vyvrhele.

Je těžké poskytnout dobrou konstruktivní definici monstra kvůli jeho složitosti. Martin Gardner napsal populární zprávu o skupině monster ve svém červnu 1980 Sloupec Matematické hry v Scientific American.

Dějiny

Příšeru předpověděl Bernd Fischer (nepublikováno, asi 1973) a Robert Griess (1976 ) jako jednoduchá skupina obsahující a dvojitý kryt Fischerova dětská skupina příšer jako centralizátor z involuce. Během několika měsíců Griess našel řád M pomocí Thompsonův vzorec objednávky a Fischer, Conway, Norton a Thompson objevili další skupiny jako dílčí podíly, včetně mnoha známých sporadických skupin, a dvou nových: Skupina Thompson a Skupina Harada – Norton. The tabulka znaků monstra, pole 194 ku 194, vypočítali v roce 1979 Fischer a Donald Livingstone pomocí počítačových programů napsaných Michaelem Thornem. V 70. letech nebylo jasné, zda monstrum skutečně existuje. Griess (1982) konstruován jako M automorfická skupina z Griessova algebra, 196 884-dimenzionální komutativní neasociativní algebra nad reálnými čísly; on nejprve oznámil jeho stavbu v Ann Arbor 14. ledna 1980. Ve svém příspěvku z roku 1982 odkazoval na netvora jako na přátelského obra, ale toto jméno nebylo obecně přijato. John Conway (1985 ) a Jacques prsa (1983, 1984 ) následně tuto konstrukci zjednodušil.

Griessova konstrukce ukázala, že monstrum existuje. Thompson (1979 ) ukázal, že jeho jedinečnost (jako jednoduchá skupina splňující určité podmínky pocházející z klasifikace konečných jednoduchých skupin) bude vyplývat z existence 196 883-dimenzionální věrné zastoupení. Důkaz o existenci takového zastoupení oznámil Norton (1985 ), ačkoli nikdy nezveřejnil podrobnosti. Griess, Meierfrankenfeld & Segev (1989) poskytl první úplný publikovaný důkaz jedinečnosti monstra (přesněji ukázal, že skupina se stejnými centralizátory involucí jako monstrum je pro monstrum izomorfní).

Monstrum bylo vyvrcholením vývoje sporadických jednoduchých skupin a může být postaveno z libovolných dvou ze tří dílčích podílů: Fischerova skupina Fi₂₄, dětské monstrum a Skupina Conway Spol₁.

The Multiplikátor Schur a vnější skupina automorfismu z monstra jsou oba triviální.

Zastoupení

Minimální stupeň a věřící komplexní zastoupení je 196 883, což je produkt tří největších hlavní dělitelé řádu M. Nejmenší věrná lineární reprezentace nad jakýmkoli polem má rozměr 196 882 nad polem se dvěma prvky, pouze o jeden menší než rozměr nejmenší věrné komplexní reprezentace.

Nejmenší věrná permutační reprezentace monstra je on2⁴ · 3⁷ · 5³ · 7⁴ · 11 · 13² · 29 · 41 · 59 · 71 (asi 10²⁰) body.

Monstrum lze realizovat jako a Galoisova skupina přes racionální čísla (Thompson 1984, str. 443) a jako a Skupina Hurwitz.^[1]

Monstrum je mezi jednoduchými skupinami neobvyklé v tom, že neexistuje žádný známý snadný způsob, jak reprezentovat jeho prvky. To není způsobeno ani tak jeho velikostí, jako absencí „malých“ reprezentací. Například jednoduché skupiny A₁₀₀ a SL₂₀(2) jsou mnohem větší, ale lze je snadno vypočítat, protože mají „malou“ permutaci nebo lineární vyjádření. Střídavé skupiny mají permutační reprezentace, které jsou „malé“ ve srovnání s velikostí skupiny, a všechny konečné jednoduché skupiny Lieova typu mají lineární reprezentace, které jsou „malé“ ve srovnání s velikostí skupiny. Všechny sporadické skupiny jiné než monstrum mají také lineární reprezentace dostatečně malé na to, aby se s nimi snadno pracovalo na počítači (dalším nejtěžším případem po monstru je monstrum dítěte, se zobrazením dimenze 4370).

Konstrukce počítače

Robert A. Wilson našel výslovně (pomocí počítače) dvě invertibilní matice 196 882 × 196 882 (s prvky v objednávkové pole 2 ) které společně generovat skupina příšer množením matic; toto je o jednu dimenzi nižší než 196 883-rozměrné vyjádření v charakteristice 0. Provádění výpočtů s těmito maticemi je možné, ale je příliš nákladné z hlediska času a úložného prostoru, než aby bylo užitečné, protože každá taková matice zabírá více než čtyři a půl gigabajtu.^{[Citace je zapotřebí ]}

Wilson tvrdí, že nejlepší popis monstra je říci: „Je to automorfická skupina z monstrum vrchol algebra To však moc nepomůže, protože nikdo nenalezl „opravdu jednoduchou a přirozenou konstrukci vrcholné algebry“.^[2]

Wilson se spolupracovníky našel metodu provádění výpočtů s monstrem, která je podstatně rychlejší. Nechat PROTI být 196 882 dimenzionálním vektorovým prostorem nad polem se 2 prvky. Velká podskupina H Je vybrána (nejlépe maximální podskupina) monstra, ve kterém je snadné provádět výpočty. Podskupina H zvolena je 3¹⁺¹².2.Suz.2, kde Suz je Suzuki skupina. Prvky monstra jsou uloženy jako slova v prvcích H a další generátor T. Je poměrně rychlé vypočítat působení jednoho z těchto slov na vektor v PROTI. Pomocí této akce je možné provádět výpočty (například pořadí prvku netvora). Wilson vystavoval vektory u a proti jehož stabilizátor kloubu je triviální skupina. Tak (například) lze vypočítat pořadí prvku G příšery hledáním nejmenších i > 0 takových Gⁱu = u a Gⁱproti = proti.

Tato a podobné konstrukce (v různých charakteristiky ) byly použity k nalezení některých jeho nelokálních maximálních podskupin.

Nesmysly

Skupina příšer je jednou ze dvou hlavních složek v monstrózní měsíční svit domněnka Conwaye a Nortona (1979), která se týká diskrétní a nediskrétní matematiky a byla nakonec prokázána Richard Borcherds v roce 1992.

V tomto nastavení je skupina monster viditelná jako skupina automorfismu modul monster, a operátor vrcholu algebra, nekonečná dimenzionální algebra obsahující Griessovu algebru, a působí na monstrum Lie algebra, a zobecněná Kac – Moodyho algebra.

Mnoho matematiků, včetně Conwaye, vidělo monstrum jako krásný a stále záhadný objekt.^[3] Conway řekl o skupině příšer: „Nikdy neexistovalo žádné vysvětlení, proč tam je, a zjevně tam není jen tak náhodou. Má příliš mnoho zajímavých vlastností, než aby to všechno byla jen nehoda.“^[4] Simon P. Norton, odborník na vlastnosti skupiny příšer, je citován slovy: „Mohu jednou větou vysvětlit, co je Monstrous Moonshine, je to hlas Boží.“^[5]

McKay je E₈ pozorování

Existují také spojení mezi monstrem a prodlouženým Dynkinovy diagramy ${ displaystyle { tilde {E}} _ {8},}$ konkrétně mezi uzly diagramu a určitými třídami konjugace v monstru, známými jako McKay je E₈ pozorování.^[6]^[7]^[8] To je poté rozšířeno na vztah mezi rozšířenými diagramy ${ displaystyle { tilde {E}} _ {6}, { tilde {E}} _ {7}, { tilde {E}} _ {8}}$ a skupiny 3.Fi₂₄′, 2.B a M, kde se jedná o (3/2 / 1násobné centrální prodloužení) Fischerova skupina, skupina dětských příšer a monstrum. Tohle jsou sporadické skupiny spojené s centralizátory prvků typu 1A, 2A a 3A v monstrum a pořadí rozšíření odpovídá symetrii diagramu. Vidět Klasifikace ADE: trojice pro další připojení (z Korespondence McKay typu), včetně (pro monstrum) s poměrně malou jednoduchou skupinou PSL (2,11) a se 120 tritangentními rovinami kanonické sextické křivky rodu 4 známé jako Přineste křivku.

Maximální podskupiny

Schéma 26 sporadických jednoduchých skupin, ukazující subkvotenciální vztahy.

Monstrum má minimálně 44 tříd konjugace maxima podskupiny. Non-abelian jednoduché skupiny asi 60 izomorfismus typy se nacházejí jako podskupiny nebo jako kvocienty podskupin. Největší střídavá skupina zastoupena je A.₁₂Monstrum obsahuje 20 z 26 sporadické skupiny jako dílčí podíly. Tento diagram, založený na jednom v knize Symetrie a monstrum podle Mark Ronan, ukazuje, jak do sebe zapadají. Čáry znamenají zahrnutí spodní skupiny do horního jako subkvotientu. Kroužkované symboly označují skupiny, které nejsou zapojeny do větších sporadických skupin. V zájmu jasnosti nejsou nadbytečné inkluze zobrazeny.

Čtyřicet čtyři tříd maximálních podskupin příšery je dáno následujícím seznamem, o kterém se (od roku 2016) předpokládá, že je úplný, s výjimkou téměř jednoduchých podskupin s neabelovskými sokly formuláře L₂(13), U₃(4) nebo U₃(8).^[9]^[10]^[11] Bylo však často zjištěno, že tabulky maximálních podskupin obsahují jemné chyby, a zejména alespoň dvě z podskupin v níže uvedeném seznamu byly z některých předchozích seznamů nesprávně vynechány.

2.B centralizátor involuce; obsahuje normalizátor (47:23) × 2 podskupiny Sylow 47
2¹⁺²⁴. Co₁ centralizátor involuce
3. Fi₂₄ normalizátor podskupiny řádu 3; obsahuje normalizátor ((29:14) × 3) .2 podskupiny Sylow 29
2².²E₆(2²): S₃ normalizátor Kleinovy 4 skupiny
2¹⁰⁺¹⁶.Ó₁₀⁺(2)
2^2+11+22(M.₂₄ × S.₃) normalizátor Kleinovy 4 skupiny; obsahuje normalizátor (23:11) × S.₄ 23 podskupiny Sylow
3¹⁺¹².2Suz.2 normalizátor podskupiny objednávky 3
2^5+10+20(S₃ × L.₅(2))
S₃ × čt normalizátor podskupiny řádu 3; obsahuje normalizátor (31:15) × S.₃ 31 podskupiny Sylow
2^3+6+12+18(L.₃(2) × 3S₆)
3⁸.Ó₈⁻(3).2₃
(D.₁₀ × HN) .2 normalizátor podskupiny objednávky 5
(3²: 2 × O.₈⁺(3)). S.₄
3²⁺⁵⁺¹⁰(M.₁₁ × 2S₄)
3^3+2+6+6: (L.₃(3) × SD₁₆)
5¹⁺⁶: 2J₂:4 normalizátor podskupiny objednávky 5
(7: 3 × He): 2 normalizátor podskupiny objednávky 7
(A₅ × A₁₂):2
5³⁺³. (2 × L₃(5))
(A₆ × A₆ × A₆). (2 × S.₄)
(A₅ × U₃(8):3₁):2 obsahuje normalizátor ((19: 9) × A₅): 2 z podskupiny Sylow 19
5²⁺²⁺⁴: (S₃ × GL₂(5))
(L.₃(2) × S.₄(4):2).2 obsahuje normalizátor ((17: 8) × L₃(2)). 2 z podskupiny Sylow 17
7¹⁺⁴: (3 × 2S₇) normalizátor podskupiny objednávky 7
(5²:4.2² × U₃(5)). S.₃
(L.₂(11) × M.₁₂):2 obsahuje normalizátor (11: 5 × M₁₂): 2 z podskupiny objednávky 11
(A₇ × (A.₅ × A₅):2²):2
5⁴: (3 × 2L₂(25)):2₂
7²⁺¹⁺²: GL₂(7)
M₁₁ × A₆.2²
(S.₅ × S.₅ × S.₅): S₃
(L.₂(11) × L₂(11)):4
13²: 2L₂(13).4
(7²: (3 × 2A₄) × L₂(7)):2
(13: 6 × L₃(3)).2 normalizátor podskupiny řádu 13
13¹⁺²: (3 × 4S₄) normalizátor podskupiny řádu 13; normalizátor podskupiny Sylow 13
L₂(71) Holmes & Wilson (2008) obsahuje normalizátor 71:35 podskupiny Sylow 71
L₂(59) Holmes & Wilson (2004) obsahuje normalizátor 59:29 podskupiny Sylow 59
11²: (5 × 2A₅) normalizátor podskupiny Sylow 11.
L₂(41) Norton & Wilson (2013) našel maximální podskupinu této formy; kvůli jemné chybě, na kterou poukázal Zavarnitsine, některé předchozí seznamy a práce uváděly, že taková maximální podskupina neexistuje
L₂(29):2 Holmes & Wilson (2002)
7²: SL₂(7) toto bylo omylem vynecháno z některých předchozích seznamů 7 místních podskupin
L₂(19):2 Holmes & Wilson (2008)
41:40 normalizátor podskupiny Sylow 41

Viz také

Supersingular prime, prvočísla, která rozdělují pořadí monstra

Zdroje

Borcherds, Richard E. (Říjen 2002), „Co je ... Netvor?“ (PDF), Oznámení Americké matematické společnosti, 49 (9)
le Bruyn, Lieven (22. dubna 2009), graf příšery a McKayovo pozorování
Conway, J. H.; Curtis, R. T .; Norton, S. P.; Parker, R. A.; Wilson, R. A. (1985), Atlas konečných skupin: maximální podskupiny a běžné znaky pro jednoduché skupinys výpočetní pomocí J. G. Thackraye, Oxford University Press, ISBN 978-019853199-9
Conway, John Horton (1985), „Jednoduchá konstrukce pro skupinu monster Fischer-Griess“, Inventiones Mathematicae, 79 (3): 513–540, Bibcode:1985InMat..79..513C, doi:10.1007 / BF01388521, PAN 0782233
Conway, John Horton; Norton, Simon P. (1979), „Monstrous Moonshine“, Bulletin of London Mathematical Society, 11 (3): 308–339
Duncan, John F. (2008). "Aritmetické skupiny a afinní E8 Dynkinův diagram". arXiv:0810.1465 [RT matematika. RT ].
Griess, Robert L. (1976), „Struktura jednoduché skupiny monster“, Scott, W. Richard; Gross, Fletcher (eds.), Sborník konference o konečných skupinách (Univ. Utah, Park City, Utah, 1975), Boston, MA: Akademický tisk, str. 113–118, ISBN 978-0-12-633650-4, PAN 0399248
Griess, Robert L. (1982), "Přátelský obr" (PDF), Inventiones Mathematicae, 69 (1): 1–102, Bibcode:1982InMat..69 .... 1G, doi:10.1007 / BF01389186, PAN 0671653
Griess, Robert L; Meierfrankenfeld, Ulrich; Segev, Yoav (1989), „Důkaz jedinečnosti netvora“, Annals of Mathematics, Druhá série, 130 (3): 567–602, doi:10.2307/1971455, JSTOR 1971455, PAN 1025167
Harada, Koichiro (2001), „Mathematics of the Monster“, Expozice Sugaku, 14 (1): 55–71, PAN 1690763
Haran, Brady (2014). Život, smrt a monstrum (John Conway). Numberphile - přes Youtube.
On, Yang-Hui; McKay, John (2015-05-25). „Sporadické a výjimečné“. arXiv:1505.06742 [AG matematika. AG ].
Holmes, P. E. (2008), „Klasifikace podskupin společnosti Monster isomorfní k S₄ a aplikace“, Journal of Algebra, 319 (8): 3089–3099, doi:10.1016 / j.jalgebra.2004.01.031, PAN 2408306
Holmes, P.E .; Wilson, R. A. (2002), „Nová maximální podskupina společnosti Monster“, Journal of Algebra, 251 (1): 435–447, doi:10.1006 / jabr.2001.9037, PAN 1900293
Holmes, P.E .; Wilson, R. A. (2003), „Počítačová konstrukce společnosti Monster využívající 2 místní podskupiny“, Journal of the London Mathematical Society, 67 (2): 346–364, doi:10.1112 / S0024610702003976
Holmes, Petra E .; Wilson, Robert A. (2004), „PSL₂ (59) je podskupinou společnosti Monster“, Journal of the London Mathematical Society, Druhá série, 69 (1): 141–152, doi:10.1112 / S0024610703004915, PAN 2025332
Holmes, Petra E .; Wilson, Robert A. (2008), „O podskupinách společnosti Monster obsahující A₅“, Journal of Algebra, 319 (7): 2653–2667, doi:10.1016 / j.jalgebra.2003.11.014, PAN 2397402
Ivanov, A. A., Společnost Monster Group a Majorana Involutions, Cambridge trakty v matematice, 176, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88994-0
Masters, Alexander (22. února 2019), „Nekrolog Simona Nortona“, Opatrovník
Norton, Simon P. (1985), „Jedinečnost monstra Fischer-Griess“, Konečné skupiny - dospívání (Montreal, Que., 1982), Contemp. Matematika., 45„Providence, R.I .: Americká matematická společnost, str. 271–285, doi:10.1090 / conm / 045/822242, ISBN 978-082185047-3, PAN 0822242
Norton, Simon P. (1998), „Anatomy of the Monster. I“, Atlas konečných skupin: deset let poté (Birmingham, 1995), London Math. Soc. Přednáška Ser., 249, Cambridge University Press, str. 198–214, doi:10.1017 / CBO9780511565830.020, ISBN 978-0-521-57587-4, PAN 1647423
Norton, Simon P .; Wilson, Robert A. (2002), „Anatomy of the Monster. II“, Proceedings of the London Mathematical SocietyTřetí série, 84 (3): 581–598, doi:10.1112 / S0024611502013357, PAN 1888424
Norton, Simon P .; Wilson, Robert A. (2013), „Oprava struktury 41 společnosti Monster, konstrukce nové maximální podskupiny L2 (41) a nový fenomén Moonshine“ (PDF), J. London Math. Soc., Druhá série, 87 (3): 943–962, doi:10.1112 / jlms / jds078
Roberts, Siobhan (2013), Curiosities: Pursuing the Monster, Institut pro pokročilé studium
Ronan, M. (2006), Symetrie a monstrum, Oxford University Press, ISBN 0-19-280722-6
du Sautoy, Marcus (2008), Hledání Moonshine, Čtvrtý majetek, ISBN 978-0-00-721461-7 publikováno v USA společností HarperCollins as Symetrie, ISBN 978-0-06-078940-4).
Thompson, John G. (1979), „Unique of the Fischer-Griess monster“, Bulletin London Mathematical Society, 11 (3): 340–346, doi:10.1112 / blms / 11.3.340, PAN 0554400
Thompson, John G. (1984), „Některé konečné skupiny, které vypadají jako Gal L/K., kde K. ⊆ Q (μ_n)", Journal of Algebra, 89 (2): 437–499, doi:10.1016 / 0021-8693 (84) 90228-X, PAN 0751155
Kozy, Jacques (1983), „Le Monstre (d'après R. Griess, B. Fischer a kol.)“, Astérisque (121): 105–122, PAN 0768956, Zbl 0548.20010
Tits, Jacques (1984), „On R. Griess“, přátelský obr"", Inventiones Mathematicae, 78 (3): 491–499, Bibcode:1984InMat..78..491T, doi:10.1007 / BF01388446, PAN 0768989
Wilson, R. A. (2001), „Společnost Monster je skupina Hurwitz“, Journal of Group Theory, 4 (4): 367–374, doi:10.1515 / délka 2001.027, PAN 1859175, archivovány z originál dne 2012-03-05
Wilson, R. A .; Walsh, P. G .; Parker, R. A .; Linton, S. A. (1998), „Počítačová konstrukce společnosti Monster“, Journal of Group Theory, 1 (4): 307–337
Wilson, Robert A. (2010), „Nové výpočty v monstrum“, Moonshine: první čtvrt století a dále, London Math. Soc. Přednáška Ser., 372, Cambridge University Press, str. 393–403, ISBN 978-0-521-10664-1, PAN 2681789
Wilson, Robert A. (2016), „Je skupina Suzuki Sz (8) podskupinou společnosti Monster?“ (PDF), Býk. London Math. Soc., 48 (2): 355–364, doi:10.1112 / blms / bdw012, PAN 3483073

externí odkazy

[FOOTNOTEWilson2001-1] Wilson 2001.

[FOOTNOTEBorcherds20021077-2] Borcherds 2002, str. 1077.

[FOOTNOTERoberts2013-3] Roberts 2013.

[FOOTNOTEHaran20147:57-4] Haran 2014, 7:57.

[FOOTNOTEMasters2019-5] Mistři 2019.

[FOOTNOTEDuncan2008-6] Duncan 2008.

[FOOTNOTEle_Bruyn2009-7] Bruyn 2009.

[FOOTNOTEHeMcKay2015-8] On a McKay 2015.

[FOOTNOTEWilson2010-9] Wilson 2010.

[FOOTNOTENortonWilson2013-10] Norton & Wilson 2013.

[FOOTNOTEWilson2016-11] Wilson 2016.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

Skupiny
Základní pojmy	Podskupina Normální podskupina Podskupina komutátoru Kvocientová skupina Skupinový homomorfismus (Semi- ) přímý produkt přímý součet
Druhy skupin	Konečné skupiny Abelianské skupiny Cyklické skupiny Nekonečná skupina Jednoduché skupiny Řešitelné skupiny Skupina symetrie Vesmírná skupina Skupina bodů Skupina tapet Triviální skupina
Diskrétní skupiny	Klasifikace konečných jednoduchých skupin Cyklická skupina Z_n Střídavá skupina A_n Sporadické skupiny Skupina Mathieu M_11..12, M._22..24 Skupina Conway Spol_1..3 Janko skupiny J₁, J₂, J₃, J₄ Fischerova skupina F_22..24 Baby monster group B Skupina příšer M Jiné konečné skupiny Symetrická skupina S_n Vzepětí skupina D_n Rubikova kostka
Lež skupiny	Obecná lineární skupina GL (n) Speciální lineární skupina SL (n) Ortogonální skupina Na) Speciální ortogonální skupina Syn) Unitární skupina U (n) Zvláštní jednotná skupina Slunce) Symplektická skupina Sp (n) Výjimečné Lie skupiny G₂ F₄ E₆ E₇ E₈ Kruhová skupina Skupina Lorentz Poincarého skupina Čtveřice skupina
Nekonečné dimenzionální skupiny	Konformní skupina Skupina difomomorfismu Skupina smyček Kvantová skupina O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Dějiny Aplikace Abstraktní algebra