Klasifikace prostoru - Classifying space
v matematika, konkrétně v teorie homotopy, a třídicí prostor BG a topologická skupina G je kvocient a slabě smluvní prostor NAPŘ (tj. topologický prostor, jehož všechny homotopické skupiny jsou triviální) řádným akce zdarma z G. Má tu vlastnost, že jakýkoli G hlavní balíček přes paracompact potrubí je izomorfní s a zarazit hlavního svazku NAPŘ → BG.[1] Jak je vysvětleno dále, znamená to, že klasifikace mezer zastupovat set-ocenil funktor na kategorie homotopy topologických prostorů. Termín klasifikující prostor lze také použít pro prostory, které představují funktor s danou hodnotou v kategorii topologické prostory, jako Sierpiński prostor. Tento pojem je zobecněn pojmem klasifikace topos. Zbytek tohoto článku však pojednává o běžněji používaném pojmu klasifikace prostoru až po homotopii.
Pro diskrétní skupina G, BG je zhruba řečeno a spojeno s cestou topologický prostor X takové, že základní skupina z X je izomorfní s G a vyšší homotopické skupiny z X jsou triviální, to znamená, BG je Eilenberg – MacLaneův prostor nebo K (G, 1).
Motivace
Příklad klasifikačního prostoru pro nekonečná cyklická skupina G je kruh tak jako X. Když G je diskrétní skupina, další způsob, jak určit podmínku na X je to univerzální kryt Y z X je smluvní. V tom případě projekční mapa
se stává svazek vláken se strukturní skupinou G, ve skutečnosti hlavní balíček pro G. Zájem o koncept klasifikace prostoru skutečně vyplývá ze skutečnosti, že v tomto případě Y má univerzální vlastnictví s ohledem na jistinu G-bundles, v kategorie homotopy. To je ve skutečnosti více základní než podmínka, že vyšší skupiny homotopy zmizí: základní myšlenka je dána G, najít takový smluvní prostor Y na kterých G činy svobodně. (The slabá rovnocennost myšlenka teorie homotopy spojuje obě verze.) V případě kruhového příkladu se říká, že si všimneme, že nekonečná cyklická skupina C působí svobodně na skutečná linie R, který je smluvní. Brát X jako kvocientový prostor kružnice, můžeme uvažovat projekci π z R = Y na X jako spirála z geometrického hlediska projde projekcí ze tří dimenzí do roviny. Tvrdí se, že π má mezi jistinou univerzální vlastnost Csvazky; že každý jistina C-bundle určitým způsobem 'pochází z' π.
Formalismus
Formálnější prohlášení to zohledňuje G může být a topologická skupina (ne jednoduše a diskrétní skupina), a to skupinové akce z G jsou považovány za spojité; při absenci nepřetržitých akcí lze koncept klasifikace prostoru řešit, homotopicky, prostřednictvím Eilenberg – MacLaneův prostor konstrukce. V teorii homotopy definice topologického prostoru BG, třídicí prostor pro jistinu G-bundles, je uveden společně s prostorem NAPŘ který je celkový prostor z univerzální balíček přes BG. To znamená, že to, co je poskytováno, je ve skutečnosti a průběžné mapování
Předpokládejme, že kategorie homotopie CW komplexy je od nynějška základní kategorií. The klasifikace majetek požadovaný z BG ve skutečnosti se vztahuje k π. Musíme být schopni říci, že vzhledem k jakémukoli principu G- svazek
v prostoru Z, tady je klasifikační mapa φ z Z na BG, takže γ je zarazit π podél φ. V méně abstraktních termínech by měla být konstrukce γ ‚zkroucením 'redukovatelná pomocí φ na zkroucení již vyjádřené konstrukcí π.
Aby to byl užitečný koncept, je zřejmé, že musí existovat nějaký důvod věřit těmto prostorům BG existovat. Z abstraktního hlediska (což nejsou ty, které se původně používaly kolem roku 1950, kdy byla myšlenka poprvé představena) jde o otázku, zda kontravariantní funktor z kategorie homotopy do kategorie sad, definován
- h(Z) = množina tříd izomorfismu jistiny G-bundles on Z
je reprezentativní funktor. Jsou známy abstraktní podmínky (Brownova věta o reprezentovatelnosti ) zajistit, aby výsledek jako věta o existenci, je kladná a není příliš obtížná.
Příklady
- The kruh S1 je klasifikační prostor pro nekonečná cyklická skupina Celkový prostor je
- The n-torus je klasifikační prostor pro , bezplatná abelianská skupina hodnosti n. Celkový prostor je
- Klín z n kruhy je klasifikační prostor pro volná skupina hodnosti n.
- A Zavřeno (to je kompaktní a bez hranice) připojeno povrch S z rod alespoň 1 je klasifikační prostor pro svůj základní skupina
- A Zavřeno (to je kompaktní a bez hranice) připojeno hyperbolické potrubí M je klasifikační prostor pro svůj základní skupina .
- Konečně místně spojený KOCOUR (0) kubický komplex je jeho klasifikační prostor základní skupina.
- The nekonečně dimenzionální projektivní prostor je klasifikační prostor pro cyklickou skupinu Celkový prostor je (toto je přímý limit koulí ekvivalentně, Hilbertův prostor s odstraněným počátkem; je to smluvní).
- Prostor je klasifikační prostor pro cyklická skupina Tady, je chápána jako určitá podmnožina nekonečného dimenzionálního Hilbertovho prostoru s odstraněným původem; cyklická skupina je považována za působící na ni množením s kořeny jednoty.
- Neuspořádané konfigurační prostor je klasifikační prostor Artin cop ,[2] a objednaný konfigurační prostor je klasifikační prostor pro čistou skupinu opletení Artin
- (Neuspořádané) konfigurační prostor je klasifikační prostor pro symetrickou skupinu [3]
- Nekonečný dimenzionální komplex projektivní prostor je klasifikační prostor BS1 pro kruh S1 myšlenka jako kompaktní topologická skupina.
- The Grassmannian z n- letadla v je klasifikační prostor ortogonální skupina Ó(n). Celkový prostor je , Stiefel potrubí z n-dimenzionální ortonormální rámce v
Aplikace
Stále tedy zůstává otázka provádění efektivních výpočtů BG; například teorie charakteristické třídy je v podstatě stejný jako výpočet kohomologické skupiny z BG, alespoň v rámci omezujících pojmů teorie homotopy, pro zajímavé skupiny G jako Lež skupiny (Věta H. Cartana ).[je zapotřebí objasnění ] Jak ukázal Bottova věta o periodicitě, homotopické skupiny z BG jsou také základního zájmu. Rané práce na klasifikaci prostor představily konstrukce (například barová konstrukce ), který poskytl konkrétní popis jako a zjednodušený komplex.
Příkladem klasifikačního prostoru je, že když G je cyklický řádu dva; pak BG je skutečný projektivní prostor nekonečné dimenze, odpovídající pozorování, které NAPŘ lze brát jako stahovatelný prostor vyplývající z odstranění počátku v nekonečně dimenzionální Hilbertův prostor, s G jednající prostřednictvím proti jít do -protia umožňující homotopická ekvivalence při výběru BG. Tento příklad ukazuje, že klasifikace mezer může být komplikovaná.
Ve vztahu k diferenciální geometrie (Teorie Chern-Weil ) a teorie Grassmannians, mnohem praktičtější přístup k teorii je možný u případů, jako je unitární skupiny o které je největší zájem. Stavba Thomův komplex MG ukázal, že mezery BG byly také zapojeny do teorie cobordism, takže zaujali ústřední místo v geometrických úvahách vycházejících z algebraická topologie. Od té doby skupinová kohomologie lze (v mnoha případech) definovat pomocí klasifikačních prostorů, lze je také v mnohém považovat za základní homologická algebra.
Zevšeobecnění zahrnují klasifikace foliace a klasifikace toposů pro logické teorie predikátového počtu v intuicionistická logika které nahrazují „prostor modelů“.
Viz také
- Klasifikační prostor pro O (n), BÓ(n)
- Klasifikační prostor pro U (n), BU (n)
- Klasifikace zásobníku
- Borelův teorém
- Ekvivariantní kohomologie
Poznámky
- ^ Stasheff, James D. (1971), "H-prostory a klasifikace prostorů: základy a poslední vývoj ", Algebraická topologie (Proc. Sympos. Pure Math., Sv. XXII, Univ. Wisconsin, Madison, Wis., 1970)„Providence, R.I .: Americká matematická společnost, str. 247–272Věta 2
- ^ Arnold, Vladimir I. (1969). "Cohomologický prsten skupiny barevných copů". Vladimir I. Arnold - Sebraná díla. Springer, Berlín, Heidelberg. 183–186. doi:10.1007/978-3-642-31031-7_18. ISBN 978-3-642-31030-0.
- ^ "klasifikace prostoru v nLab". ncatlab.org. Citováno 2017-08-22.
Reference
- J. May, Stručný kurz algebraické topologie
- Klasifikace prostoru v nLab
- "Klasifikační prostor", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]