Magma (algebra) - Magma (algebra)

Algebraické struktury mezi magmatem a skupiny.

v abstraktní algebra, a magma, binární^[1] nebo grupoid je základní druh algebraická struktura. Konkrétně se magma skládá z a soubor vybavena jedinou binární operace to musí být Zavřeno podle definice. Nejsou stanoveny žádné další vlastnosti.

Historie a terminologie

Termín grupoid byl představen v roce 1927 Heinrich Brandt popisující jeho Brandt groupoid (přeloženo z němčiny Gruppoid). Tento termín si poté přivlastnili B. A. Hausmann a Øystein Ore (1937)^[2] ve smyslu (sady s binární operací) použitého v tomto článku. V několika recenzích následných článků v Zentralblatt, Brandt rozhodně nesouhlasil s tímto přetížením terminologie. Brandtův grupoid je a grupoid ve smyslu použitém v teorii kategorií, ale ne ve smyslu používaném Hausmannem a Ore. Nicméně vlivné knihy v teorii poloskupin, včetně Clifford a Prestone (1961) a Howie (1995) používají grupoid ve smyslu Hausmann a Ore. Hollings (2014) píše, že tento termín grupoid je „možná nejčastěji používán v moderní matematice“ ve smyslu, který mu dává teorie kategorií.^[3]

Podle Bergmana a Hausknechta (1996): „Neexistuje žádné obecně přijímané slovo pro množinu s ne nutně asociativní binární operací. grupoid je používán mnoha univerzálními algebraisty, ale pracovníci v teorii kategorií a souvisejících oblastech silně protestují proti tomuto použití, protože používají stejné slovo ve smyslu „kategorie, ve které jsou všechny morfismy invertibilní“. Termín magma byl používán uživatelem Serre [Lie Algebras and Lie Groups, 1965]. “^[4] Objevuje se také v Bourbaki je Éléments de mathématique, Algèbre, chapitres 1 à 3, 1970.^[5]

Definice

Magma je soubor M uzavřeno s úkon, •, který odešle libovolné dva elementy A, b ∈ M k jinému prvku, A • b. Symbol, •, je obecným zástupným symbolem pro správně definovanou operaci. Chcete-li se kvalifikovat jako magma, množina a operace (M, •) musí splňovat následující požadavek (známý jako magma nebo uzavírací axiom):

Pro všechny A, b v M, výsledek operace A • b je také v M.

A v matematické notaci:

{ displaystyle a, b v M znamená a cdot b v M}

.

Pokud • je místo a částečný provoz, pak $S$ se nazývá a částečné magma^[6] nebo častěji a částečný grupoid.^[6]^[7]

Morfismus magmatů

A morfismus magmas je funkce, F : M → N, mapující magma M k magmatu N, který zachovává binární operaci:

F (X •_M y) = F(X) •_N F(y)

kde •_M a •_N označit binární operaci na M a N resp.

Notace a kombinatorika

Operace magma může být použita opakovaně a v obecném, neasociativním případě záleží na pořadí, které je označeno závorkami. Operace, •, je často vynechána a notována juxtapozicí:

(A • (b • C)) • d = (A (před naším letopočtem)) d

Zkratka se často používá ke snížení počtu závorek, ve kterých jsou vynechány nejvnitřnější operace a dvojice závorek, přičemž jsou nahrazeny pouze juxtaposition, $xy • z = (X • y) • z$ . Například výše uvedené je zkráceno na následující výraz, který stále obsahuje závorky:

(A • před naším letopočtem) d

.

Způsob, jak se zcela vyhnout použití závorek, je prefixový zápis, ve kterém by byl napsán stejný výraz $•• A • bcd$ . Další způsob, známý programátorům, je postfixová notace (Reverzní polská notace ), ve kterém by byl napsán stejný výraz $abc •• d •$ , ve kterém je pořadí provedení jednoduše zleva doprava (č Kari ).

Sada všeho možného struny skládající se ze symbolů označujících prvky magmatu a sady vyvážených závorek se nazývá Dyck jazyk. Celkový počet různých způsobů psaní $n$ aplikace operátoru magma je dána Katalánské číslo, $C n$ . Tak například $C 2 = 2$ , což je jen tvrzení, že $(ab) C$ a $A (před naším letopočtem)$ jsou jediné dva způsoby spárování tří prvků magmatu se dvěma operacemi. Méně triviálně, $C 3 = 5$ : $((ab) C) d$ , $(A (před naším letopočtem)) d$ , $(ab)(CD)$ , $A ((před naším letopočtem) d)$ , a $A (b (CD))$ .

Existují ${ displaystyle n ^ {n ^ {2}}}$ magma s ${ displaystyle n}$ prvky, takže existuje 1, 1, 16, 19683, 4294967296, ... (sekvence A002489 v OEIS ) magma s 0, 1, 2, 3, 4, ... prvky. Odpovídající počtyizomorfní magma jsou 1, 1, 10, 3330, 178981952, ... (sekvence A001329 v OEIS ) a počty současně neizomorfních a neizomorfníchantiisomorphic magma jsou 1, 1, 7, 1734, 89521056, ... (sekvence A001424 v OEIS ).^[8]

Zdarma magma

A zdarma magma, M_X, na sadě, X, je „nejobecnějším možným“ magmatem generovaným X (tj. generátorům nejsou uloženy žádné vztahy ani axiomy; viz volný objekt ). Lze jej popsat jako množinu neasociativních slov X se zachovanými závorkami.^[9]

Lze jej také zobrazit, v pojmech známých v počítačová věda jako magma binární stromy s listy označenými prvky X. Jedná se o spojení stromů v kořenovém adresáři. Proto má základní roli v syntax.

Zdarma magma má univerzální vlastnictví takové, pokud F : X → N je funkce z X na jakékoli magma, N, pak existuje jedinečné rozšíření F k morfismu magmatů, F ′

F ′ : M_X → N.

Druhy magmatu

Magma jako taková není často studována; místo toho existuje několik různých druhů magmatu, v závislosti na tom, jaké axiomy je operace nutná k uspokojení. Mezi běžně studované typy magmatu patří:

Kvazigroup: Magma kde divize je vždy možné
Smyčka: Kvazigroup s prvek identity
Poloskupina: Magma, kde je operace asociativní
Inverzní poloskupina: Poloskupina s inverzní funkcí.
Semilattice: Poloskupina, kde je operace komutativní a idempotentní
Monoidní: Poloskupina s prvek identity
Skupina: Monoid s inverzní prvky nebo ekvivalentně asociativní smyčka nebo neprázdná asociativní kvazskupina
Abelian skupina: Skupina, kde je operace komutativní

Všimněte si, že každá z dělitelnosti a invertibility znamená zrušení majetku.

Klasifikace podle vlastností

Skupinové struktury
	Celek^α	Asociativita	Identita	Invertibilita	Komutativita
Semigroupoid	Nepotřebný	Požadované	Nepotřebný	Nepotřebný	Nepotřebný
Malá kategorie	Nepotřebný	Požadované	Požadované	Nepotřebný	Nepotřebný
Groupoid	Nepotřebný	Požadované	Požadované	Požadované	Nepotřebný
Magma	Požadované	Nepotřebný	Nepotřebný	Nepotřebný	Nepotřebný
Kvazigroup	Požadované	Nepotřebný	Nepotřebný	Požadované	Nepotřebný
Unital Magma	Požadované	Nepotřebný	Požadované	Nepotřebný	Nepotřebný
Smyčka	Požadované	Nepotřebný	Požadované	Požadované	Nepotřebný
Poloskupina	Požadované	Požadované	Nepotřebný	Nepotřebný	Nepotřebný
Inverzní poloskupina	Požadované	Požadované	Nepotřebný	Požadované	Nepotřebný
Monoidní	Požadované	Požadované	Požadované	Nepotřebný	Nepotřebný
Komutativní monoid	Požadované	Požadované	Požadované	Nepotřebný	Požadované
Skupina	Požadované	Požadované	Požadované	Požadované	Nepotřebný
Abelian skupina	Požadované	Požadované	Požadované	Požadované	Požadované
^ α Uzavření, který se používá v mnoha zdrojích, je ekvivalentní axiom totality, i když je definován odlišně.

Magma $(S, •)$ , s $X, y, u, z$ ∈ $S$ , je nazýván

Mediální: Pokud splňuje identitu, $xy • uz \equiv xu • yz$
Levý poločas: Pokud splňuje identitu, $xx • yz \equiv xy • xz$
Pravý poločas: Pokud splňuje identitu, $yz • xx \equiv yx • zx$
Poločas: Pokud je levý i pravý semimediální
Levá distribuční: Pokud splňuje identitu, $X • yz \equiv xy • xz$
Správně distribuční: Pokud splňuje identitu, $yz • X \equiv yx • zx$
Autodistribuční: Pokud je levý i pravý distribuční
Komutativní: Pokud splňuje identitu, $xy \equiv yx$
Idempotentní: Pokud splňuje identitu, $xx \equiv X$
Unipotentní: Pokud splňuje identitu, $xx \equiv yy$
Nulový: Pokud splňuje totožnost, $xx • y \equiv xx \equiv y • xx$ ^[10]
Alternativní: Pokud splňuje totožnost $xx • y \equiv X • xy$ a $X • yy \equiv xy • y$
Power-asociativní: Pokud je submagma generovaná jakýmkoli prvkem asociativní
Flexibilní: -li $xy • X \equiv X • yx$
A poloskupina nebo asociativní: Pokud splňuje identitu, $X • yz \equiv xy • z$
Levý unar: Pokud splňuje identitu, $xy \equiv xz$
Právo unar: Pokud splňuje identitu, $yx \equiv zx$
Poloskupina s nulovým násobením, nebo nulová poloskupina: Pokud splňuje identitu, $xy \equiv uv$
Unital: Pokud má prvek identity
Vlevo, odjet-zrušující: Pokud pro všechny $X, y$ , a, $z$ , $xy = xz$ naznačuje $y = z$
Pravý storno: Pokud pro všechny $X, y$ , a, $z$ , $yx = zx$ naznačuje $y = z$
Zrušující: Pokud je to zrušovací právo i zrušení
A poloskupina s levými nulami: Pokud se jedná o poloskupinu a pro všechny $X$ , identita, $X \equiv xy$ , drží
A poloskupina se správnými nulami: Pokud se jedná o poloskupinu a pro všechny $X$ , identita, $X \equiv yx$ , drží
Trimedial: Pokud jakýkoli trojnásobek (ne nutně odlišných) prvků generuje mediální submagma
Entropické: Pokud je to homomorfní obraz mediálu zrušení magma.^[11]

Kategorie magmatů

Kategorie magmat, označená Mag, je kategorie jejichž objekty jsou magma a jejichž morfismy jsou homomorfismy magmatu. Kategorie Mag má přímé produkty, a tam je funktor začlenění: Soubor → Med ↪ Mag jako triviální magma, s operace dána projekce: $X T y = y$ .

Důležitou vlastností je, že injekční endomorfismus lze rozšířit na automorfismus magmatu rozšíření, jen colimit z (konstantní sekvence) endomorfismus.

Protože jedináček $({*}, *)$ je nulový objekt z Mag, a protože Mag je algebraický, Mag je špičatý a kompletní.^[12]

Zobecnění

Vidět n-ary skupina.

Viz také

Kategorie magma
Auto magma objekt
Univerzální algebra
Systém počítačové algebry Magma, pojmenované po předmětu tohoto článku.
Komutativní neasociativní magma
Algebraické struktury, jejichž axiomy jsou všechny identity
Groupoidní algebra
Hall set

Reference

^ Bergman, Clifford, Universal Algebra: Fundamentals and Selected Topics
^ Hausmann, B. A .; Ore, Øystein (říjen 1937), „Teorie kvazi-skupin“, American Journal of Mathematics, 59 (4): 983–1004, doi:10.2307/2371362, JSTOR 2371362
^ Hollings, Christopher (2014), Matematika za železnou oponou: Historie algebraické teorie poloskupin, American Mathematical Society, str. 142–3, ISBN 978-1-4704-1493-1
^ Bergman, George M .; Hausknecht, Adam O. (1996), Skupiny a co-kroužky v kategoriích asociativních prstenů, American Mathematical Society, str. 61, ISBN 978-0-8218-0495-7
^ Bourbaki, N. (1998) [1970], „Algebraické struktury: §1.1 Pravidla složení: Definice 1“, Algebra I: Kapitoly 1–3, Springer, str. 1, ISBN 978-3-540-64243-5
^ ^A ^b Müller-Hoissen, Folkert; Pallo, Jean Marcel; Stasheff, Jim, eds. (2012), Associahedra, Tamari Lattices a související struktury: Tamari Memorial Festschrift, Springer, str. 11, ISBN 978-3-0348-0405-9
^ Evseev, A. E. (1988), „An survey of partial groupoids“, in Silver, Ben (ed.), Devatenáct článků o algebraických poloskupináchAmerická matematická společnost, ISBN 0-8218-3115-1
^ Weisstein, Eric W. "Groupoid". MathWorld.
^ Rowen, Louis Halle (2008), „Definice 21B.1.“, Absolventská algebra: nekomutativní pohled, Postgraduální studium matematiky, Americká matematická společnost, str. 321, ISBN 0-8218-8408-5
^ Kepka, T .; Němec, P. (1996), „Jednoduché vyvážené grupoidy“ (PDF), Acta Universitatis Palackianae Olomucensis. Facultas Rerum Naturalium. Mathematica, 35 (1): 53–60
^ Ježek, Jaroslav; Kepka, Tomáš (1981), „Zdarma entropické grupoidy“ (PDF), Komentáře Mathematicae Universitatis Carolinae, 22 (2): 223–233, PAN 0620359.
^ Borceux, Francis; Bourn, Dominique (2004). Mal'cevské, protomodulární, homologické a poloabelianské kategorie. Springer. 7, 19. ISBN 1-4020-1961-0.

M. Hazewinkel (2001) [1994], "Magma", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
M. Hazewinkel (2001) [1994], "Groupoid", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
M. Hazewinkel (2001) [1994], "Free magma", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
Weisstein, Eric W. "Groupoid". MathWorld.

Další čtení

Bruck, Richard Hubert (1971), Průzkum binárních systémů (3. vyd.), Springer, ISBN 978-0-387-03497-3

[1] Bergman, Clifford, Universal Algebra: Fundamentals and Selected Topics

[2] Hausmann, B. A .; Ore, Øystein (říjen 1937), „Teorie kvazi-skupin“, American Journal of Mathematics, 59 (4): 983–1004, doi:10.2307/2371362, JSTOR 2371362

[Hollings2014-3] Hollings, Christopher (2014), Matematika za železnou oponou: Historie algebraické teorie poloskupin, American Mathematical Society, str. 142–3, ISBN 978-1-4704-1493-1

[BergmanHausknecht1996-4] Bergman, George M .; Hausknecht, Adam O. (1996), Skupiny a co-kroužky v kategoriích asociativních prstenů, American Mathematical Society, str. 61, ISBN 978-0-8218-0495-7

[Bourbaki1998-5] Bourbaki, N. (1998) [1970], „Algebraické struktury: §1.1 Pravidla složení: Definice 1“, Algebra I: Kapitoly 1–3, Springer, str. 1, ISBN 978-3-540-64243-5

[Müller-HoissenPallo2012-6] A ^b Müller-Hoissen, Folkert; Pallo, Jean Marcel; Stasheff, Jim, eds. (2012), Associahedra, Tamari Lattices a související struktury: Tamari Memorial Festschrift, Springer, str. 11, ISBN 978-3-0348-0405-9

[Silver-7] Evseev, A. E. (1988), „An survey of partial groupoids“, in Silver, Ben (ed.), Devatenáct článků o algebraických poloskupináchAmerická matematická společnost, ISBN 0-8218-3115-1

[8] Weisstein, Eric W. "Groupoid". MathWorld.

[9] Rowen, Louis Halle (2008), „Definice 21B.1.“, Absolventská algebra: nekomutativní pohled, Postgraduální studium matematiky, Americká matematická společnost, str. 321, ISBN 0-8218-8408-5

[10] Kepka, T .; Němec, P. (1996), „Jednoduché vyvážené grupoidy“ (PDF), Acta Universitatis Palackianae Olomucensis. Facultas Rerum Naturalium. Mathematica, 35 (1): 53–60

[11] Ježek, Jaroslav; Kepka, Tomáš (1981), „Zdarma entropické grupoidy“ (PDF), Komentáře Mathematicae Universitatis Carolinae, 22 (2): 223–233, PAN 0620359.

[12] Borceux, Francis; Bourn, Dominique (2004). Mal'cevské, protomodulární, homologické a poloabelianské kategorie. Springer. 7, 19. ISBN 1-4020-1961-0.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

α

[10]

[11]

[12]