Coset - Coset

v matematika konkrétně teorie skupin, a podskupina H a skupina G lze použít k rozložení podkladové sady G do disjunktní volaly kusy stejné velikosti kosety. Existují dva typy kosetů: levé kosety a správné kosety. Kosety (obou typů) mají stejný počet prvků (mohutnost ) stejně H. Dále H sama o sobě je coset, což je jak coset levý, tak pravý coset. Počet levých kosetů H v G se rovná počtu správných kosetů H v G. Společná hodnota se nazývá index z H v G a je obvykle označen [G : H].
Kosety jsou základním nástrojem při studiu skupin; například hrají ústřední roli v Lagrangeova věta to říká, že pro všechny konečná skupina G, počet prvků každé podskupiny H z G rozdělí počet prvků G. Kosety určitého typu podskupiny (normální podskupina ) lze použít jako prvky jiné skupiny zvané a skupina kvocientů nebo skupina faktorů. Kosety se objevují také v jiných oblastech matematiky, jako např vektorové prostory a kódy opravující chyby.
Definice
Nechat H být podskupinou skupiny G jehož operace je psána multiplikativně (juxtapoziční prostředky platí pro skupinovou operaci). Vzhledem k prvku G z G, levé kosety z H v G jsou množiny získané vynásobením každého prvku H pevným prvkem G z G (kde G je levý faktor). V symbolech to jsou
- gH = { gh : h prvek H } pro každého G v G.
The správné kosety jsou definovány podobně, kromě toho, že prvek G je nyní správným faktorem, to znamená,
- Hg = { hg : h prvek H } pro G v G.
Tak jako G se mění ve skupině, zdálo by se, že by bylo vygenerováno mnoho kosetů (vpravo nebo vlevo). To je pravda, ale kosety nejsou všechny odlišné. Ve skutečnosti, pokud mají dva kosety stejného typu společný alespoň jeden prvek, pak jsou identické jako množiny.[1]
Pokud je operace skupiny zapsána aditivně, jako je tomu často v případě skupiny abelian, použitá notace se změnila na G + H nebo H + G, resp.
První příklad
Nechat G být dihedrální skupina řádu šest. Jeho prvky mohou být reprezentovány {Já, A, A2, b, ab, A2b}. V této skupině A3 = b2 = Já a ba = A−1b = A2b. To je dostatek informací k vyplnění celé tabulky násobení:
* Já A A2 b ab A2b Já Já A A2 b ab A2b A A A2 Já ab A2b b A2 A2 Já A A2b b ab b b A2b ab Já A2 A ab ab b A2b A Já A2 A2b A2b ab b A2 A Já
Nechat T být podskupinou {Já, b}. (Zřetelné) levé kosety T jsou:
- TO = T = {Já, b},
- na = {A, ab}, a
- A2T = {A2, A2b}.
Protože všechny prvky G nyní se objevili v jednom z těchto kosetů, generování dalších nemůže dát nové kosety, protože nový coset by musel mít společný prvek s jedním z nich, a proto být totožný s jedním z těchto kosetů. Například, abT = {ab, A} = na.
Správné kosety z T jsou:
- TI = T = {Já, b},
- Ta = {A, ba} = {A, A2b} , a
- Ta2 = {A2, ba2} = {A2, ab}.
V tomto příkladu, s výjimkou T, žádný levý coset není také pravý coset.
Nechat H být podskupinou {Já, A, A2}. Levé kosety z H jsou IH = H a bH = {b, ba, ba2}. Správné kosety z H jsou AHOJ = H a Hb = {b, ab, A2b} = {b, ba2, ba}. V tomto případě každý levý coset z H je také správným souborem H.[2]
Vlastnosti
Protože H je podskupina, obsahuje skupinu prvek identity, s výsledkem, že prvek G patří ke skříni gH. Li X patří gH pak xH=gH. Takže každý prvek G patří přesně jednomu levému korzetu podskupiny H.[1]
Totožnost je přesně v jednom levém nebo pravém korzetu, konkrétně H sám. Tím pádem H je levý i pravý coset sám o sobě.[2]
Elementy G a X patří do stejné levé korzety H, to znamená, xH = gH kdyby a jen kdyby G−1X patří H.[1] Více lze říci zde. Definujte dva prvky G, řekněme X a y, aby byly rovnocenné s ohledem na podskupinu H -li X−1y patří H. To je pak vztah ekvivalence na G a tříd ekvivalence tohoto vztahu jsou levé kosety H.[3] Stejně jako u jakékoli sady tříd ekvivalence tvoří a rozdělit podkladové sady. A zástupce coset je zástupcem ve smyslu třídy ekvivalence. Sada zástupců všech kosetů se nazývá a příčný. Ve skupině existují další typy vztahů ekvivalence, například konjugace, které tvoří různé třídy, které zde nemají vlastnosti diskutované.
Podobné výroky platí i pro pravé kosety.
Li G je abelianská skupina, pak G + H = H + G pro každou podskupinu H z G a každý prvek G z G. Pro obecné skupiny, daný prvek G a podskupina H skupiny G, správný coset z H s ohledem na G je také levým korzetem konjugovaná podskupina G−1Hg s ohledem na G, to znamená, Hg = G ( G−1Hg ).
Normální podskupiny
Podskupina N skupiny G je normální podskupina z G právě když pro všechny prvky G z G odpovídající levý a pravý koset jsou stejné, to znamená, gN = Ng. To je případ podskupiny H v prvním příkladu výše. Dále kosety z N v G tvoří skupinu zvanou skupina kvocientů nebo skupina faktorů.
Li H není normální v G, pak se její levé kosety liší od jejích pravých kosetů. To znamená, že existuje A v G takový, že žádný prvek b splňuje aH = Hb. To znamená, že oddíl G do levých kosetů H je jiný oddíl než oddíl G do správných kosetů H. To ilustruje podskupina T v prvním příkladu výše. (Nějaký kosety se mohou shodovat. Například pokud A je v centrum z G, pak aH = Ha.)
Na druhou stranu, pokud je to podskupina N je normální množina všech kosetů tvoří skupinu zvanou kvocientová skupina G / N s operací ∗ definovanou (aN ) ∗ (bN ) = abN. Protože každý pravý coset je levý coset, není třeba rozlišovat „levý koset“ od „pravý koset“.
Rejstřík podskupiny
Každý levý nebo pravý coset H má stejný počet prvků (nebo mohutnost v případě nekonečný H) tak jako H sám. Navíc počet levých kosetů se rovná počtu pravých kosetů a je znám jako index z H v G, psáno jako [G : H ]. Lagrangeova věta umožňuje nám vypočítat index v případě, že G a H jsou konečné:
- .
Tato rovnice platí také v případě, že jsou skupiny nekonečné, i když význam může být méně jasný.
Další příklady
Celá čísla
Nechat G být aditivní skupina celých čísel, ℤ = ({..., −2, −1, 0, 1, 2, ...}, +) a H podskupina (3ℤ, +) = ({..., −6, −3, 0, 3, 6, ...}, +). Pak kosety z H v G jsou tři sady 3ℤ, 3ℤ + 1, a 3ℤ + 2, kde 3ℤ + A = {..., −6 + A, −3 + A, A, 3 + A, 6 + A, ...}. Tyto tři sady rozdělují sadu ℤ, takže neexistují žádné další správné kosety H. V důsledku komutivita sčítání H + 1 = 1 + H a H + 2 = 2 + H. To znamená, že každý levý coset H je také správný coset, takže H je normální podskupina.[4] (Stejný argument ukazuje, že každá podskupina skupiny Abelianů je normální.[5])
Tento příklad lze zobecnit. Opět nechte G být aditivní skupinou celých čísel, ℤ = ({..., −2, −1, 0, 1, 2, ...}, +)a teď nech H podskupina (mℤ, +) = ({..., −2m, −m, 0, m, 2m, ...}, +), kde m je kladné celé číslo. Pak kosety z H v G jsou m sady mℤ, mℤ + 1, ..., mℤ + (m − 1), kde mℤ + A = {..., −2m+A, −m+A, A, m+A, 2m+A, ...}. Není jich víc než m kosety, protože mℤ + m = m(ℤ + 1) = mℤ. Coset (mℤ + A, +) je třída shody z A modulo m.[6] Podskupina mℤ je normální v ℤ, a tak, lze použít k vytvoření skupiny kvocientu ℤ/ mℤ skupina celá čísla m.
Vektory
Další příklad cosetu pochází z teorie vektorové prostory. Prvky (vektory) vektorového prostoru tvoří abelianská skupina pod vektorové přidání. The podprostory vektorového prostoru jsou podskupiny této skupiny. Pro vektorový prostor PROTI, podprostor Ža pevný vektor A→ v PROTI, sady
jsou nazývány afinní podprostory, a jsou kosety (oba vlevo a vpravo, protože skupina je abelian). Z hlediska trojrozměrného geometrický vektory, tyto afinní podprostory jsou všechny „čáry“ nebo „roviny“ paralelní do podprostoru, což je čára nebo rovina procházející počátkem. Zvažte například letadlo ℝ2. Li m je čára procházející počátkem Ó, pak m je podskupina abelianské skupiny ℝ2. Li P je v ℝ2, pak coset P + m je čára m ' paralela k m a prochází skrz P.[7]
Matice
Nechat G být multiplikativní skupinou matic,[8]
a podskupina H z G,
Pro pevný prvek G zvažte levou coset
To znamená, že levé kosety se skládají ze všech matic uvnitř G se stejným vstupem vlevo nahoře. Tato podskupina H je normální v G, ale podskupina
není normální v G.
Jako oběžné dráhy skupinové akce
Podskupina H skupiny G lze použít k definování akce z H na G dvěma přirozenými způsoby. A správná akce, G × H → G dána (G, h) → gh nebo a levá akce, H × G → G dána (h, G) → hg. The obíhat z G pod pravou akcí je levá coset gH, zatímco oběžná dráha pod levou akcí je pravá coset Hg.[9]
Dějiny
Koncept cosetu sahá až do Galois práce 1830-31. Zavedl notaci, ale neposkytl název pojmu. Pojem „společná sada“ se poprvé objevuje v roce 1910 v příspěvku G. A. Millera v USA Quarterly Journal of Mathmatics (sv. 41, s. 382). Byly použity různé další termíny včetně němčiny Nebengruppen (Weber ) a konjugovaná skupina (Burnside ).[10]
Galois se zajímal o rozhodování, kdy je daný polynomiální rovnice byl řešitelné radikály. Nástroj, který vyvinul, spočíval v tom, že si všiml podskupiny H skupiny obměny G vyvolal dva rozklady G (co nyní nazýváme levý a pravý koset). Pokud se tyto rozklady shodovaly, to znamená, že pokud jsou levé kosety stejné jako pravé kosety, pak existoval způsob, jak snížit problém na jeden z práce nad H namísto G. Camille Jordan ve svých komentářích k Galoisově práci v letech 1865 a 1869 tyto myšlenky rozpracoval a definoval normální podskupiny, jak jsme výše, i když tento termín nepoužíval.[5]
Volám coset gH the levá coset z G s ohledem na H, ačkoli je dnes nejběžnější,[9] v minulosti všeobecně neplatila. Například, Hall (1959) zavolá gH A pravý coset, s důrazem na podskupinu vpravo.
Aplikace z teorie kódování
Binární lineární kód je n-rozměrný podprostor C z m-dimenzionální vektorový prostor PROTI přes binární pole GF (2). Tak jako PROTI je aditivní abelianská skupina, C je podskupinou této skupiny. Kódy lze použít k opravě chyb, ke kterým může dojít při přenosu. Když kódové slovo (prvek C) se přenáší, některé jeho bity se mohou během procesu změnit a úkolem přijímače je určit nejpravděpodobnější kódové slovo, které poškozený přijal slovo mohl začít jako. Tento postup se nazývá dekódování a pokud v přenosu dojde jen k několika chybám, lze to efektivně provést pouze s několika málo chybami. Jedna metoda použitá pro dekódování používá uspořádání prvků PROTI (přijaté slovo může být jakýkoli prvek z PROTI) do standardní pole. Standardní pole je cosetový rozklad PROTI určitým způsobem do tabulky. Horní řádek pole se jmenovitě skládá z prvků C, napsané v libovolném pořadí, kromě toho, že nejprve by měl být zapsán nulový vektor. Pak prvek PROTI s minimálním počtem těch, které se již nezobrazují v horním řádku, je vybrán a coset z C obsahující tento prvek je zapsán jako druhý řádek (jmenovitě řádek je tvořen součtem tohoto prvku s každým prvkem C přímo nad ním). Tento prvek se nazývá a vůdce cosetu a při jeho výběru může být nějaký výběr. Nyní se proces opakuje, jako nový vůdce cosetu a coset of je vybrán nový vektor s minimálním počtem těch, které se již neobjevují. C obsahující další řádek. Proces končí, když všechny vektory PROTI byly roztříděny do kosetů.
Příklad standardního pole pro 2-dimenzionální kód C = {00000, 01101, 10110, 11011} v 5-dimenzionálním prostoru PROTI (s 32 vektory) je následující:
00000 01101 10110 11011 10000 11101 00110 01011 01000 00101 11110 10011 00100 01001 10010 11111 00010 01111 10100 11001 00001 01100 10111 11010 11000 10101 01110 00011 10001 11100 00111 01010
Dekódovací procedura spočívá v nalezení přijatého slova v tabulce a následném přidání vedoucího cosetu řádku, ve kterém se nachází. Protože při binárním aritmetickém přidávání je stejná operace jako odečítání, výsledkem je vždy prvek C. V případě, že k chybám přenosu došlo přesně v nenulových polohách vůdce cosetu, bude výsledkem správné kódové slovo. V tomto příkladu, pokud dojde k jedné chybě, metoda ji vždy opraví, protože se v poli objeví všechny možné vůdce cosetů s jednou.
Dekódování syndromu lze použít ke zlepšení účinnosti této metody. Jedná se o metodu výpočtu správné cosetu (řádku), ve kterém bude přijaté slovo. Pro n-rozměrný kód C v m-dimenzionální binární vektorový prostor, a paritní kontrolní matice je (m − n) × m matice H vlastnit to X→H⊤ = 0→ kdyby a jen kdyby X→ je v C.[11] Vektor X→H⊤ se nazývá syndrom z X→, a tím linearita, každý vektor ve stejné coset bude mít stejný syndrom. Pro dekódování se hledání nyní redukuje na nalezení vůdce cosetu, který má stejný syndrom jako přijaté slovo.[12]
Dvojité kosety
Vzhledem ke dvěma podskupinám H a K. (které nemusí být odlišné) skupiny G, dvojité kosety z H a K. v G jsou sady formuláře HgK = {hgk : h prvek H, k prvek K. }. Toto jsou levé kosety K. a správné kosety H když H = 1 a K. = 1 resp.[13]
Dva dvojité kosety HxK a HyK jsou disjunktní nebo identické.[14] Sada všech dvojitých kosetů pro pevné H a K. tvoří oddíl G.
Dvojitá coset HxK obsahuje úplné správné kosety z H (v G) formuláře Hxk, s k prvek K. a úplné levé kosety K. (v G) formuláře hxK, s h v H.[14]
Zápis
Nechat G být skupinou s podskupinami H a K.. Několik autorů pracujících s těmito sadami vyvinulo pro svoji práci specializovanou notaci, kde[15][16]
- G / H označuje množinu levých kosetů {gH: G v G} z H v G.
- H G označuje množinu správných kosetů {Hg: G v G} z H v G.
- K G / H označuje množinu dvojitých kosetů {KgH: G v G} z H a K. v G, někdy označované jako prostor pro dvojitou coset.
- G // H označuje prostor dvojité coset H G / H podskupiny H v G.
Více aplikací
- Kosety z ℚ v ℝ se používají při stavbě Sady Vitali, typ neměřitelná množina.
- Kosety jsou ústřední v definici převod.
- Kosety jsou důležité ve výpočetní teorii grup. Například, Thistlethwaitův algoritmus k řešení Rubikova kostka spoléhá na kosety.
- V geometrii, a Clifford – Kleinova forma je prostor pro dvojitou coset Γ G/H, kde G je reduktivní Lieova skupina, H je uzavřená podskupina a Γ je diskrétní podskupina (z G) který jedná správně diskontinuálně na homogenní prostor G/H.
Viz také
Poznámky
- ^ A b C Rotman 2006, str. 156
- ^ A b Dean 1990, str. 100
- ^ Rotman 2006, str.155
- ^ Fraleigh 1994, str. 117
- ^ A b Fraleigh 1994, str. 169
- ^ Joshi 1989, str. 323
- ^ Rotman 2006, str. 155
- ^ Burton 1988, s. 128, 135
- ^ A b Jacobson 2009, str. 52
- ^ Miller 2012, str. 24 poznámka pod čarou
- ^ Transpoziční matice se používá tak, že vektory lze zapisovat jako řádkové vektory.
- ^ Rotman 2006, str. 423
- ^ Scott 1987, str. 19
- ^ A b Hall 1959, str. 14-15
- ^ Seitz, Gary M. (1998), „Double Cosets in Algebraic Groups“, Carter, R.W .; Saxl, J. (eds.), Algebraické skupiny a jejich reprezentace, Springer, str. 241–257, doi:10.1007/978-94-011-5308-9_13, ISBN 978-0-7923-5292-1
- ^ Duckworth, W. Ethan (2004), „Nekonečnost sbírek dvojitého cosetu v algebraických skupinách“, Journal of Algebra, Elsevier, 273 (2): 718–733, doi:10.1016 / j.algebra.2003.08.011 (neaktivní 10. 11. 2020)CS1 maint: DOI neaktivní od listopadu 2020 (odkaz)
Reference
- Burton, David M. (1988), Abstraktní algebra, Wm. C. Brown Publishers, ISBN 0-697-06761-0
- Dean, Richard A. (1990), Klasická abstraktní algebraHarper a Row, ISBN 0-06-041601-7
- Fraleigh, John B. (1994), První kurz v abstraktní algebře (5. vydání), Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-53467-2
- Hall, Jr., Marshall (1959), Teorie grupSpolečnost Macmillan
- Jacobson, Nathan (2009) [1985], Základní algebra I (2. vyd.), Dover, ISBN 978-0-486-47189-1
- Joshi, K. D. (1989), „§5.2 Kosety podskupin“, Základy diskrétní matematiky, New Age International, s. 322 a násl., ISBN 81-224-0120-1
- Miller, G. A. (2012) [1916], Teorie a aplikace konečných grupKnihy Applewood, ISBN 9781458500700
- Rotman, Joseph J. (2006), První kurz v abstraktní algebře s aplikacemi (3. vyd.), Prentice-Hall, ISBN 978-0-13-186267-8
- Scott, W. R. (1987), „§1.7 Kosety a index“, Skupinová teorie Publikace Courier Dover, s. 19 a násl., ISBN 0-486-65377-3
Další čtení
- Zassenhaus, Hans J. (1999), „§1.4 podskupiny“, Teorie grup Publikace Courier Dover, s. 10 a násl., ISBN 0-486-40922-8
externí odkazy
- Nicolas Bray. "Coset". MathWorld.
- Weisstein, Eric W. „Left Coset“. MathWorld.
- Weisstein, Eric W. „Správný Coset“. MathWorld.
- Ivanova, O.A. (2001) [1994], „Coset ve skupině“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
- Coset na PlanetMath.
- Ilustrované příklady
- "Coset". groupprops. Wiki Vlastnosti skupiny.