Symplektická skupina - Symplectic group

Lež skupiny
Klasické skupiny Obecné lineární GL (n) Speciální lineární SL (n) Ortogonální Ó(n) Speciální ortogonální TAK(n) Unitary U (n) Speciální unitární SU (n) Symplektický Sp (n)
Jednoduché Lie skupiny Seznam jednoduchých Lieových skupin Klasický An Bn Cn Dn Výjimečný G2 F4 E6 E7 E8
Další Lieovy skupiny Kruh Lorentz Poincaré Konformní skupina Difomorfismus Smyčka Euklidovský
Lež algebry Ležová skupina - korespondence Lieovy algebry Exponenciální mapa Sdružené zastoupení Formulář zabíjení Index Symetrie bodu lži Jednoduchá algebra lži
Poloplná Lieova algebra Dynkinovy ​​diagramy Cartan subalgebra Kořenový systém Weylova skupina Skutečná forma Složitění Split Lie algebra Kompaktní Lieova algebra
Teorie reprezentace Zastoupení skupiny lži Zastoupení algebry lži Teorie reprezentace polojednodušých Lieových algeber Věta o nejvyšší hmotnosti Borel – Weil – Bottova věta
Lež skupiny v fyzika Fyzika částic a teorie reprezentace Zastoupení skupiny Lorentz Zastoupení skupiny Poincaré Galileovské reprezentace skupiny
Vědci Sophus Lie Henri Poincaré Wilhelm Killing Élie Cartan Hermann Weyl Claude Chevalley Harish-Chandra Armand Borel
Glosář Tabulka Lieových skupin

Algebraická struktura → Skupinová teorie Skupinová teorie
Základní pojmy Podskupina Normální podskupina Kvocientová skupina (Částečně)přímý produkt Skupinové homomorfismy jádro obraz přímý součet věnec produkt jednoduchý konečný nekonečný kontinuální multiplikativní přísada cyklický abelian vzepětí nilpotentní řešitelný Glosář teorie skupin Seznam témat teorie skupin
Konečné skupiny Klasifikace konečných jednoduchých skupin cyklický střídavý Typ lži sporadický Cauchyova věta Lagrangeova věta Sylowovy věty Hallova věta p-skupina Základní abelianská skupina Skupina Frobenius Multiplikátor Schur Symetrická skupina Sn Kleinova čtyřčlenná skupina PROTI Vzepětí skupina Dn Čtveřice skupina Q Dicyklická skupina Dicn
Diskrétní skupiny Mříže Celá čísla (Z) Zdarma skupina Modulární skupiny PSL (2,Z) SL (2,Z) Aritmetická skupina Mříž Hyperbolická skupina
Topologické a Lež skupiny Solenoid Kruh Obecné lineární GL (n) Speciální lineární SL (n) Ortogonální Ó(n) Euklidovský E(n) Speciální ortogonální TAK(n) Unitary U (n) Speciální unitární SU (n) Symplektický Sp (n) G2 F4 E6 E7 E8 Lorentz Poincaré Konformní Difomorfismus Smyčka Nekonečná dimenzionální Lieova skupina O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Algebraické skupiny Lineární algebraická skupina Redukční skupina Abelianská odrůda Eliptická křivka

v matematika, název symplektická skupina může odkazovat na dvě různé, ale úzce související sbírky matematických skupiny, označeno Sp (2n, F) a Sp (n) pro kladné celé číslo n a pole F (obvykle C nebo R). Ten druhý se nazývá kompaktní symplektická skupina. Mnoho autorů preferuje mírně odlišné notace, obvykle se liší podle faktorů 2. Zde použitý zápis odpovídá velikosti nejběžnějšího matice které představují skupiny. v Cartan klasifikace jednoduché Lie algebry, Lieova algebra komplexní skupiny Sp (2n, C) je označen C_n, a Sp (n) je kompaktní skutečná forma z Sp (2n, C). Všimněte si, že když mluvíme o the (kompaktní) symplektická skupina implikuje, že mluvíme o souboru (kompaktních) symplektických skupin, indexovaných podle jejich dimenze n.

Název „symplectická skupina“ je kvůli Hermannovi Weylovi jako náhrada za předchozí matoucí jména (čára) komplexní skupina a Abelian lineární skupina, a je řeckým analogem „komplexu“.

The metaplektická skupina je dvojité krytí symplektické skupiny R; má analogie oproti jiným místní pole, konečná pole, a Adele kroužky.

Sp (2n, F)

Symlektická skupina je a klasická skupina definována jako sada lineární transformace a 2n-dimenzionální vektorový prostor přes pole F které zachovávají a nedegenerovaný šikmo symetrický bilineární forma. Takový vektorový prostor se nazývá a symplektický vektorový prostor a symplektická skupina abstraktního symplektického vektorového prostoru PROTI je označen Sp (PROTI). Po stanovení základu pro PROTI, se symplektická skupina stává skupinou 2n × 2n symplektické matice, se záznamy v Fv rámci provozu násobení matic. Tato skupina je označena buď Sp (2n, F) nebo Sp (n, F). Pokud je bilineární forma reprezentována nesmyslný šikmo symetrická matice Ω, tedy

${ displaystyle operatorname {Sp} (2n, F) = {M v M_ {2n krát 2n} (F): M ^ { mathrm {T}} Omega M = Omega },}$

kde M^T je přemístit z M. Často je Ω definováno jako

${ displaystyle Omega = { begin {pmatrix} 0 & I_ {n} - I_ {n} & 0 end {pmatrix}},}$

kde Já_n je matice identity. V tomto případě, Sp (2n, F) lze vyjádřit jako tyto blokové matice ${ displaystyle ({ begin {smallmatrix} A&B C&D end {smallmatrix}})}$, kde ${ displaystyle A, B, C, D v M_ {n krát n} (F)}$, splňující rovnice:

${ displaystyle { begin {aligned} -C ^ { mathrm {T}} A + A ^ { mathrm {T}} C & = 0, - C ^ { mathrm {T}} B + A ^ { mathrm {T}} D & = I_ {n}, - D ^ { mathrm {T}} A + B ^ { mathrm {T}} C & = - I_ {n}, - D ^ { mathrm {T}} B + B ^ { mathrm {T}} D & = 0. end {zarovnáno}}}$

Protože všechny symplektické matice mají určující 1, symplektická skupina je a podskupina z speciální lineární skupina SL (2n, F). Když n = 1je splněna symplektická podmínka na matici kdyby a jen kdyby determinant je jeden, takže Sp (2, F) = SL (2, F). Pro n > 1, existují další podmínky, tj. Sp (2n, F) je potom správnou podskupinou SL (2n, F).

Typicky pole F je obor reálná čísla R nebo komplexní čísla C. V těchto případech Sp (2n, F) je skutečný / komplexní Lež skupina skutečné / komplexní dimenze n(2n + 1). Tyto skupiny jsou připojeno ale nekompaktní.

The centrum z Sp (2n, F) sestává z matic Já_2n a −Já_2n pokud charakteristika pole není 2.^[1] Od centra Sp (2n, F) je diskrétní a jeho kvocient modulo centrum je a jednoduchá skupina, Sp (2n, F) je považován za jednoduchá Lieova skupina.

Skutečná hodnost odpovídající Lieovy algebry, a tedy skupiny Lie Sp (2n, F), je n.

The Lež algebra z Sp (2n, F) je sada

${ displaystyle { mathfrak {sp}} (2n, F) = {X v M_ {2n krát 2n} (F): Omega X + X ^ { mathrm {T}} Omega = 0 },}$

vybavené komutátor jako jeho ležák.^[2] Pro standardní zkosený symetrický bilineární tvar ${ displaystyle Omega = ({ begin {smallmatrix} 0 & I - I & 0 end {smallmatrix}})}$, tato Lieova algebra je množina všech blokových matic ${ displaystyle ({ begin {smallmatrix} A&B C&D end {smallmatrix}})}$ za podmínek

${ displaystyle { begin {aligned} A & = - D ^ { mathrm {T}}, B & = B ^ { mathrm {T}}, C & = C ^ { mathrm {T}}. end {zarovnáno}}}$

Sp (2n, C)

Symlektická skupina nad polem komplexních čísel je a nekompaktní, jednoduše připojeno, jednoduchá Lieova skupina.

Sp (2n, R)

Sp (2n, C) je komplexifikace skutečné skupiny Sp (2n, R). Sp (2n, R) je skutečný, nekompaktní, připojeno, jednoduchá Lieova skupina.^[3] Má to základní skupina izomorfní do skupiny celá čísla pod přidáním. Jako skutečná podoba a jednoduchá Lieova skupina jeho Lieova algebra je a dělitelná tabulka Lie algebra.

Některé další vlastnosti Sp (2n, R):

• The exponenciální mapa z Lež algebra sp(2n, R) do skupiny Sp (2n, R) není surjektivní. Libovolný prvek skupiny však může být generován skupinovým násobením dvou prvků.^[4] Jinými slovy,

${ displaystyle forall S in operatorname {Sp} (2n, mathbf {R}) , , existuje X, Y v { mathfrak {sp}} (2n, mathbf {R}) , , S = e ^ {X} e ^ {Y}.}$

• Pro všechny S v Sp (2n, R):

${ displaystyle S = OZO ' quad { text {takový, že}} quad O, O' in operatorname {Sp} (2n, mathbf {R}) cap operatorname {SO} (2n) cong U (n) quad { text {and}} quad Z = { begin {pmatrix} D & 0 0 & D ^ {- 1} end {pmatrix}}.}$

Matice D je pozitivní-definitivní a úhlopříčka. Sada takových Zs tvoří nekompaktní podskupinu Sp (2n, R) zatímco U (n) tvoří kompaktní podskupinu. Tento rozklad je znám jako rozklad „Euler“ nebo „Bloch-Messiah“.^[5] Dále symplektická matice vlastnosti lze nalézt na této stránce Wikipedie.

• Jako Lež skupina, Sp (2n, R) má rozmanitou strukturu. The potrubí pro Sp (2n, R) je difeomorfní do kartézský součin z jednotná skupina U (n) s vektorový prostor dimenze n(n+1).^[6]

Infinitezimální generátory

Členové symplektické Lieovy algebry sp(2n, F) jsou Hamiltonovské matice.

To jsou matice, ${ displaystyle Q}$ takhle

${ displaystyle Q = { begin {pmatrix} A&B C & -A ^ { mathrm {T}} end {pmatrix}}}$

kde B a C jsou symetrické matice. Vidět klasická skupina pro odvození.

Příklad symplektických matic

Pro Sp (2, R), skupina 2 × 2 matice s determinantem 1, tři symplektici (0, 1)-matrice jsou:^[7]

${ displaystyle { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {pmatrix}}, quad { begin {pmatrix} 1 & 0 1 & 1 end {pmatrix}} quad { text {and}} quad { begin {pmatrix} 1 & 1 0 & 1 end {pmatrix}}.}$

Sp (n, R)

Ukázalo se, že ${ displaystyle operatorname {Sp} (n, mathbf {R})}$ může mít poměrně jasný popis pomocí generátorů. Pokud to necháme ${ displaystyle operatorname {Sym} (n)}$ označit symetrický ${ displaystyle n krát n}$ tedy matice ${ displaystyle operatorname {Sp} (n, mathbf {R})}$ generuje ${ displaystyle D (n) pohár N ​​(n) pohár { Omega },}$ kde

${ displaystyle { begin {aligned} D (n) & = left { left. { begin {bmatrix} A & 0 0 & (A ^ {T}) ^ {- 1} end {bmatrix}} , right | , A in operatorname {GL} (n, mathbf {R}) right } [6pt] N (n) & = left { left. { begin { bmatrix} I_ {n} & B 0 & I_ {n} end {bmatrix}} , right | , B in operatorname {Sym} (n) right } end {aligned}}}$

jsou podskupiny ${ displaystyle operatorname {Sp} (n, mathbf {R})}$^{[8]str. 173 [9]str. 2}.

Vztah k symplektické geometrii

Symplektická geometrie je studium symplektická potrubí. The tečný prostor v jakémkoli bodě symplektického potrubí je a symplektický vektorový prostor.^[10] Jak již bylo uvedeno dříve, struktura zachovávající transformace symplektického vektorového prostoru tvoří a skupina a tato skupina je Sp (2n, F), v závislosti na rozměru prostoru a pole nad kterým je definován.

Symlektický vektorový prostor je sám o sobě symplektickým varietou. Transformace pod akce symplektické skupiny je tedy v jistém smyslu linearizovaná verze a symplectomorphism což je obecnější struktura zachovávající transformaci na symplektickém potrubí.

Sp (n)

The kompaktní symplektická skupina^[11] Sp (n) je křižovatkou Sp (2n, C) s ${ displaystyle 2n krát 2n}$ unitární skupina:

${ displaystyle operatorname {Sp} (n): = operatorname {Sp} (2n; mathbf {C}) cap operatorname {U} (2n) = operatorname {Sp} (2n; mathbf {C }) cap operatorname {SU} (2n).}$

Někdy se píše jako USp (2n). Alternativně, Sp (n) lze popsat jako podskupinu GL (n, H) (invertibilní kvartérní matice), který zachovává standard poustevnická forma na Hⁿ:

${ displaystyle langle x, y rangle = { bar {x}} _ {1} y_ {1} + cdots + { bar {x}} _ {n} y_ {n}.}$

To znamená, Sp (n) je jen kvartérní jednotná skupina, U (n, H).^[12] Ve skutečnosti se tomu někdy říká hyperunitární skupina. Také Sp (1) je skupina čtveřic normy 1, ekvivalentní SU (2) a topologicky a 3-koule S³.

Všimněte si, že Sp (n) je ne symplektická skupina ve smyslu předchozí části - nezachovává nedegenerovanou symetrii zešikmení H-bilineární forma na Hⁿ: neexistuje žádná taková forma kromě nulové formy. Spíše je izomorfní s podskupinou Sp (2n, C), a tak zachovává komplexní symplektickou formu ve vektorovém prostoru dimenze dvakrát tak vysoké. Jak je vysvětleno níže, Lieova algebra z Sp (n) je kompaktní skutečná podoba komplexní symplektické Lieovy algebry sp(2n, C).

Sp (n) je skutečná Lieova skupina s (skutečným) rozměrem n(2n + 1). to je kompaktní, připojeno, a jednoduše připojeno.^[13]

Lieova algebra Sp (n) je dáno kvaternionem šikmo-poustevník matice, množina n-podle-n kvaternionové matice, které splňují

${ displaystyle A + A ^ { dagger} = 0}$

kde A^† je konjugovat transponovat z A (zde vezmeme kvartérní konjugát). Lieův závorek je dán komutátorem.

Důležité podskupiny

Některé hlavní podskupiny jsou:

${ displaystyle operatorname {Sp} (n) supset operatorname {Sp} (n-1)}$

${ displaystyle operatorname {Sp} (n) supset operatorname {U} (n)}$

${ displaystyle operatorname {Sp} (2) supset operatorname {O} (4)}$

Naopak je to sama podskupina některých dalších skupin:

${ displaystyle operatorname {SU} (2n) supset operatorname {Sp} (n)}$

${ displaystyle operatorname {F} _ {4} supset operatorname {Sp} (4)}$

${ displaystyle operatorname {G} _ {2} supset operatorname {Sp} (1)}$

K dispozici jsou také izomorfismy z Lež algebry sp(2) = tak(5) a sp(1) = tak(3) = su(2).

Vztah mezi symplektickými skupinami

Každý komplex polojednoduchá Lie algebra má rozdělit skutečnou podobu a a kompaktní skutečná forma; první se nazývá a komplexifikace z posledních dvou.

Lieova algebra Sp (2n, C) je polojednoduchý a je označen sp(2n, C). Své rozdělit skutečnou podobu je sp(2n, R) a jeho kompaktní skutečná forma je sp(n). Ty odpovídají Lieovým skupinám Sp (2n, R) a Sp (n) resp.

Algebry, sp(str, n − str), což jsou Lieovy algebry Sp (str, n − str), jsou neurčitý podpis ekvivalentní kompaktní formě.

Fyzický význam

Klasická mechanika

Kompaktní symplektická skupina Sp (n) přichází v klasické fyzice jako symetrie kanonických souřadnic zachovávající Poissonovu závorku.

Zvažte systém n částice, vyvíjející se pod Hamiltonovy rovnice jehož pozice v fázový prostor v daném čase je označen vektorem kanonické souřadnice,

${ displaystyle mathbf {z} = (q ^ {1}, ldots, q ^ {n}, p_ {1}, ldots, p_ {n}) ^ { mathrm {T}}.}$

Prvky skupiny Sp (2n, R) jsou v určitém smyslu kanonické transformace na tomto vektoru, tj. zachovávají formu Hamiltonovy rovnice.^[14][15] Li

${ displaystyle mathbf {Z} = mathbf {Z} ( mathbf {z}, t) = (Q ^ {1}, ldots, Q ^ {n}, P_ {1}, ldots, P_ { n}) ^ { mathrm {T}}}$

jsou nové kanonické souřadnice, pak s tečkou označující časovou derivaci,

${ displaystyle { dot { mathbf {Z}}} = M ({ mathbf {z}}, t) { dot { mathbf {z}}},}$

kde

${ displaystyle M ( mathbf {z}, t) v operatorname {Sp} (2n, mathbf {R})}$

pro všechny t a všechno z ve fázovém prostoru.^[16]

Pro speciální případ a Riemannovo potrubí, Hamiltonovy rovnice popisují geodetika na tom potrubí. Souřadnice ${ displaystyle q ^ {i}}$ žít v tečný svazek do potrubí a hybnosti ${ displaystyle p_ {i}}$ žít v kotangenský svazek. To je důvod, proč jsou obvykle psány s horním a dolním indexem; to je rozlišit jejich umístění. Odpovídající Hamiltonian se skládá čistě z kinetické energie: to je ${ displaystyle H = { tfrac {1} {2}} g ^ {ij} (q) p_ {i} p_ {j}}$ kde ${ displaystyle g ^ {ij}}$ je inverzní k metrický tenzor ${ displaystyle g_ {ij}}$ na Riemannově potrubí.^[17][15] Kotangensový svazek libovolného potrubí Riemanninan je zvláštním případem a symplektické potrubí.

Kvantová mechanika

Tato sekce potřebuje další citace pro ověření. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. (Říjen 2019) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Zvažte systém n částice, jejichž kvantový stav kóduje jeho polohu a hybnost. Tyto souřadnice jsou spojité proměnné, a proto Hilbertův prostor, ve kterém stát žije, je nekonečně dimenzionální. Díky tomu je analýza této situace obtížná. Alternativním přístupem je zvážit vývoj operátorů polohy a hybnosti v rámci Heisenbergova rovnice v fázový prostor.

Vytvořte vektor z kanonické souřadnice,

${ displaystyle mathbf { hat {z}} = ({ hat {q}} ^ {1}, ldots, { hat {q}} ^ {n}, { hat {p}} _ { 1}, ldots, { hat {p}} _ {n}) ^ { mathrm {T}}.}$

The kanonický komutační vztah lze vyjádřit jednoduše jako

${ displaystyle [ mathbf { hat {z}}, mathbf { hat {z}} ^ { mathrm {T}}] = i hbar Omega}$

kde

${ displaystyle Omega = { begin {pmatrix} mathbf {0} & I_ {n} - I_ {n} & mathbf {0} end {pmatrix}}}$

a Já_n je n × n matice identity.

Mnoho fyzických situací vyžaduje pouze kvadratické Hamiltonians, tj. Hamiltonians formuláře

${ displaystyle { hat {H}} = { frac {1} {2}} mathbf { hat {z}} ^ { mathrm {T}} K mathbf { hat {z}}}$

kde K. je 2n × 2n nemovitý, symetrická matice. To se ukázalo jako užitečné omezení a umožňuje nám přepsat Heisenbergova rovnice tak jako

${ displaystyle { frac {d mathbf { hat {z}}} {dt}} = Omega K mathbf { hat {z}}}$

Řešení této rovnice musí zachovat kanonický komutační vztah. Je možné ukázat, že časový vývoj tohoto systému je ekvivalentní k akce z skutečná symplektická skupina, Sp (2n, R), na fázovém prostoru.

Viz také

• Ortogonální skupina
• Unitární skupina
• Projektivní unitární skupina
• Symplectic potrubí, Symplektická matice, Symplektický vektorový prostor, Symplektická reprezentace
• Hamiltoniánská mechanika
• Metaplektická skupina
• Θ10

Poznámky

Reference

• Arnold, V. I. (1989), Matematické metody klasické mechaniky, Postgraduální texty z matematiky, 60 (druhé vydání), Springer-Verlag, ISBN  0-387-96890-3
• Hall, Brian C. (2015), Lieovy skupiny, Lieovy algebry a reprezentace: Základní úvod, Postgraduální texty z matematiky, 222 (2. vyd.), Springer, ISBN  978-3319134666
• Fulton, W.; Harris, J. (1991), Teorie reprezentace, první kurz, Postgraduální texty z matematiky, 129, Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-97495-8.
• Goldstein, H. (1980) [1950]. „Kapitola 7“. Klasická mechanika (2. vyd.). Čtení MA: Addison-Wesley. ISBN  0-201-02918-9.
• Lee, J. M. (2003), Úvod do hladkých potrubí, Postgraduální texty z matematiky, 218, Springer-Verlag, ISBN  0-387-95448-1
• Rossmann, Wulf (2002), Lie Groups - An Introduction Through Linear Groups, Oxfordské postgraduální texty z matematiky, Oxford Science Publications, ISBN  0-19-859683-9
• Ferraro, Alessandro; Olivares, Stefano; Paris, Matteo G. A. (březen 2005), „Gaussovské státy v kvantové informaci o spojité proměnné“, arXiv:quant-ph / 0503237.