Klasifikace konečných jednoduchých skupin - Classification of finite simple groups - Wikipedia

Algebraická struktura → Skupinová teorie Skupinová teorie
Základní pojmy Podskupina Normální podskupina Kvocientová skupina (Částečně)přímý produkt Skupinové homomorfismy jádro obraz přímý součet věnec produkt jednoduchý konečný nekonečný kontinuální multiplikativní přísada cyklický abelian vzepětí nilpotentní řešitelný Glosář teorie skupin Seznam témat teorie skupin
Konečné skupiny Klasifikace konečných jednoduchých skupin cyklický střídavý Typ lži sporadický Cauchyova věta Lagrangeova věta Sylowovy věty Hallova věta p-skupina Základní abelianská skupina Skupina Frobenius Multiplikátor Schur Symetrická skupina Sn Kleinova čtyřčlenná skupina PROTI Vzepětí skupina Dn Čtveřice skupina Q Dicyklická skupina Dicn
Diskrétní skupiny Mříže Celá čísla (Z) Zdarma skupina Modulární skupiny PSL (2,Z) SL (2,Z) Aritmetická skupina Mříž Hyperbolická skupina
Topologické a Lež skupiny Solenoid Kruh Obecné lineární GL (n) Speciální lineární SL (n) Ortogonální Ó(n) Euklidovský E(n) Speciální ortogonální TAK(n) Unitary U (n) Speciální unitární SU (n) Symplektický Sp (n) G2 F4 E6 E7 E8 Lorentz Poincaré Konformní Difomorfismus Smyčka Nekonečná dimenzionální Lieova skupina O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Algebraické skupiny Lineární algebraická skupina Redukční skupina Abelianská odrůda Eliptická křivka

v matematika, klasifikace konečné jednoduché skupiny je věta o tom, že každý konečná jednoduchá skupina je buď cyklický nebo střídavý, nebo patří do široké nekonečné třídy zvané skupiny typu Lie, nebo je to jedna z dvaceti šesti nebo dvaceti sedmi výjimek, tzv sporadický. Skupinová teorie je ústředním bodem mnoha oblastí čisté a aplikované matematiky a věta o klasifikaci byla nazývána jedním z velkých intelektuálních úspěchů lidstva.^[1] Důkaz se skládá z desítek tisíc stránek v několika stovkách článků v časopisech napsaných přibližně 100 autory, publikovaných většinou v letech 1955 až 2004.

Jednoduché skupiny lze považovat za základní stavební kameny všech konečné skupiny, připomínající způsob prvočísla jsou základní stavební kameny přirozená čísla. The Jordan – Hölderova věta je přesnější způsob vyjádření této skutečnosti o konečných skupinách. Významný rozdíl však od celočíselná faktorizace je to, že takové „stavební kameny“ nemusí nutně určovat jedinečnou skupinu, protože může existovat mnohoizomorfní skupiny se stejnými kompoziční série nebo, jinak řečeno, problém s rozšířením nemá jedinečné řešení.

Gorenstein (d. 1992), Lyons, a Solomon postupně zveřejňují zjednodušenou a revidovanou verzi důkazu.

Výrok o klasifikační větě

Věta o klasifikaci má aplikace v mnoha oborech matematiky jako otázky o struktuře konečné skupiny (a jejich působení na jiné matematické objekty) lze někdy omezit na otázky týkající se konečných jednoduchých skupin. Díky teorému klasifikace lze na takové otázky někdy odpovědět kontrolou každé rodiny jednoduchých skupin a každé sporadické skupiny.

Daniel Gorenstein oznámil v roce 1983, že konečné jednoduché skupiny byly všechny klasifikovány, ale to bylo předčasné, protože byl nesprávně informován o důkazu klasifikace kvazithinové skupiny. Vyplněný důkaz o klasifikaci oznámil Aschbacher (2004) poté, co Aschbacher a Smith zveřejnili 1221stránkový důkaz chybějícího kvazithinového případu.

Přehled důkazu věty o klasifikaci

Gorenstein (1982, 1983 ) napsal dva svazky nastiňující nízkou a lichou charakteristickou část důkazu a Michael Aschbacher, Richard Lyons a Stephen D. Smith a kol. (2011 ) napsal třetí svazek pokrývající zbývající charakteristický případ 2. Důkaz lze rozdělit na několik hlavních částí následovně:

Skupiny malých dvouřadých

Jednoduché skupiny nízkých 2-pozice jsou většinou skupiny Lieova typu malého postavení nad poli liché charakteristiky, spolu s pěti střídavými a sedmi charakteristickými typy 2 a devíti sporadickými skupinami.

Jednoduché skupiny malých dvouřadých zahrnují:

• Skupiny dvouřadé 0, jinými slovy skupiny lichého pořadí, které jsou všechny řešitelný podle Feit-Thompsonova věta.
• Skupiny dvouřadých 1. Podskupiny Sylow 2 jsou buď cyklické, se kterými se snadno pracuje pomocí mapy přenosu, nebo zobecněné čtveřice, které jsou zpracovávány s Brauer – Suzukiho věta: zejména neexistují žádné jednoduché skupiny dvouřadého 1.
• Skupiny dvouřadého 2. Alperin ukázal, že podskupina Sylow musí být dihedrální, kvazidihedrální, věncovitá nebo Sylowova 2-podskupina U₃(4). První případ provedl Věta Gorenstein – Walter který ukázal, že jediné jednoduché skupiny jsou izomorfní L₂(q) pro q liché nebo A₇, druhý a třetí případ provedl Alperin – Brauer – Gorensteinova věta což znamená, že jediné jednoduché skupiny jsou izomorfní L₃(q) nebo U₃(q) pro q liché nebo M₁₁a poslední případ provedl Lyons, který to ukázal U₃(4) je jediná jednoduchá možnost.
• Skupiny sekčních 2-pozice nejvýše 4, klasifikované podle Věta Gorenstein – Harada.

Klasifikace skupin malých dvouřadých, zvláště pak nejvýše dvou, velmi využívá běžnou a modulární teorii znaků, která se téměř nikdy přímo nepoužívá jinde v klasifikaci.

Všechny skupiny, které nejsou malého stupně 2, lze rozdělit do dvou hlavních tříd: skupiny typu komponent a skupiny typu 2. Je to proto, že pokud má skupina sekční 2-pozici alespoň 5, pak MacWilliams ukázal, že její 2 podskupiny Sylow jsou propojeny a věta o rovnováze znamená, že jakákoli jednoduchá skupina s připojenými podskupinami Sylow 2 je buď typu komponenty, nebo typu 2. (U skupin s nízkou úrovní 2 se důkaz toho rozpadá, protože věty jako funktor signalizátoru věta funguje pouze pro skupiny s elementárními abelianskými podskupinami hodnosti alespoň 3.)

Skupiny typu součásti

O skupině se říká, že je typu komponenty, pokud pro nějaký centralizátor C involuce, C/Ó(C) má komponentu (kde Ó(C) je jádrem C, maximální normální podskupina lichého řádu). Jedná se víceméně o skupiny Lieova typu liché charakteristiky velké hodnosti a střídavé skupiny spolu s některými sporadickými skupinami. Hlavním krokem v tomto případě je odstranění překážky jádro involuce. Toho je dosaženo B-věta, který uvádí, že každá složka C/Ó(C) je obraz komponenty C.

Myšlenka spočívá v tom, že tyto skupiny mají centralizátor involuce s komponentou, která je menší kvazinásobnou skupinou, o které lze předpokládat, že je již známá indukcí. Takže ke klasifikaci těchto skupin vezmeme každé centrální rozšíření každé známé konečné jednoduché skupiny a najde všechny jednoduché skupiny s centralizátorem involuce s tímto jako komponentou. To dává poměrně velký počet různých případů ke kontrole: existuje nejen 26 sporadických skupin a 16 rodin skupin Lieova typu a střídajících se skupin, ale také mnoho skupin malého postavení nebo nad malými poli se chová odlišně od obecného případ a musí se s nimi zacházet samostatně a skupiny Lieova typu sudé a liché charakteristiky jsou také zcela odlišné.

Skupiny typu 2

Skupina je typu charakteristického 2, pokud zobecněná montážní podskupina F*(Y) každé 2-místní podskupiny Y je skupina 2. Jak název napovídá, jedná se zhruba o skupiny Lieova typu nad poli charakteristiky 2 a několik dalších, které se střídají nebo jsou sporadické nebo liché. Jejich klasifikace je rozdělena na malé a velké hodnostní případy, kde hodnost je největší hodnost liché abelianské podskupiny normalizující netriviální 2-podskupinu, která je často (ale ne vždy) stejná jako hodnost kartanové subalgebry, když group je skupina Lieova typu v charakteristice 2.

Skupiny v pořadí 1 jsou slabé skupiny klasifikované Aschbacherem a skupiny v pořadí 2 jsou notoricky známé kvazithinové skupiny, klasifikované Aschbacherem a Smithem. Ty zhruba odpovídají skupinám Lieova typu v řadách 1 nebo 2 nad poli charakteristiky 2.

Skupiny s hodnocením nejméně 3 jsou dále rozděleny do 3 tříd podle trichotomická věta, prokázáno Aschbacherem pro 3. místo a Gorensteinem a Lyonem pro 4. místo. Tři třídy jsou skupiny typu GF (2) (klasifikované hlavně Timmesfeldem), skupiny „standardního typu“ pro některé liché prime (klasifikované Gilman-Griessova věta a práce několika dalších) a skupiny typu jedinečnosti, kde výsledek Aschbachera naznačuje, že neexistují žádné jednoduché skupiny. Obecný případ vyššího řádu se skládá většinou ze skupin typu Lie nad poli s charakteristikou 2 hodnosti alespoň 3 nebo 4.

Existence a jedinečnost jednoduchých skupin

Hlavní část klasifikace vytváří charakteristiku každé jednoduché skupiny. Poté je nutné zkontrolovat, zda pro každou charakterizaci existuje jednoduchá skupina a zda je jedinečná. To přináší velké množství samostatných problémů; například původní důkazy o existenci a jedinečnosti skupina příšer celkem asi 200 stran a identifikace Ree skupiny Thompson a Bombieri byla jednou z nejtěžších částí klasifikace. Mnoho důkazů o existenci a některé důkazy o jedinečnosti pro sporadické skupiny původně používaly počítačové výpočty, z nichž většina byla od té doby nahrazena kratšími důkazy.

Historie důkazu

Gorensteinův program

V roce 1972 Gorenstein (1979, Dodatek) oznámil program pro dokončení klasifikace konečných jednoduchých skupin, který se skládá z následujících 16 kroků:

1. Skupiny s nízkým hodnocením 2. To v zásadě provedli Gorenstein a Harada, kteří klasifikovali skupiny s sekční 2-řadou nejvýše 4. Většina případů 2-řady nejvýše 2 byla provedena v době, kdy Gorenstein oznámil svůj program.
2. Polojedinost 2 vrstev. Úkolem je dokázat, že 2-vrstva centralizátoru involuce v jednoduché skupině je polojednoduchá.
3. Standardní forma v liché charakteristice. Pokud má skupina involuci s 2 složkou, což je skupina Lieova typu liché charakteristiky, cílem je ukázat, že má centralizátor involuce ve „standardní formě“, což znamená, že centralizátor involuce má komponentu, která je typu Lie v liché charakteristice a má také centralizátor 2. úrovně 1.
4. Klasifikace skupin lichého typu. Úkolem je ukázat, že pokud má skupina centralizátor involuce ve „standardní formě“, pak jde o skupinu lichého typu liché charakteristiky. To vyřešil Aschbacher věta o klasické involuci.
5. Kvazi-standardní forma
6. Centrální involuce
7. Klasifikace střídavých skupin.
8. Některé sporadické skupiny
9. Tenké skupiny. Jednoduché tenké konečné skupiny, ti s 2-místními str-rankujte maximálně 1 pro lichá prvočísla str, byly klasifikovány Aschbacherem v roce 1978
10. Skupiny se silně vloženou podskupinou pro str zvláštní
11. Metoda funktoru signalizátoru pro lichá prvočísla. Hlavním problémem je prokázat a funktor signalizátoru věta pro neřešitelné funktory signalizátoru. To vyřešil McBride v roce 1982.
12. Skupiny charakteristik str typ. To je problém skupin se silným postavením str- zabudovaná 2-místní podskupina s str zvláštní, kterou zpracoval Aschbacher.
13. Kvazithinové skupiny. A quasithinová skupina je ten, jehož 2 místní podskupiny mají str- hodnocení maximálně 2 pro všechna lichá prvočísla str, a problém je klasifikovat ty jednoduché typu charakteristické 2. To dokončili Aschbacher a Smith v roce 2004.
14. Skupiny s nízkou 2-místní 3-řadou. To v zásadě vyřešil Aschbacher trichotomická věta pro skupiny s E(G) = 3. Hlavní změnou je, že 2-místní 3-pozice je nahrazena 2-místní str- hodnocení pro lichá prvočísla.
15. Centralizátory 3 prvků ve standardní formě. To bylo v zásadě provedeno Věta o trichotomii.
16. Klasifikace jednoduchých skupin typu 2. To řešil Gilmanova-Griessova věta, se 3 prvky nahrazen str-prvky pro lichá prvočísla.

Časová osa důkazu

Mnoho položek v seznamu níže je převzato z Solomon (2001). Uvedené datum je obvykle datem zveřejnění úplného důkazu o výsledku, což je někdy o několik let později než důkaz nebo první oznámení o výsledku, takže některé položky se objevují v „nesprávném“ pořadí.

Klasifikace druhé generace

Důkaz věty, tak jak existoval kolem roku 1985, lze nazvat první generace. Vzhledem k extrémní délce důkazu první generace bylo věnováno velké úsilí nalezení jednoduššího důkazu, zvaného a důkaz klasifikace druhé generace. Toto úsilí zvané „revizionismus“ původně vedlo Daniel Gorenstein.

Od roku 2019^{[Aktualizace]}, bylo vydáno osm svazků důkazů druhé generace (Gorenstein, Lyons & Solomon 1994, 1996, 1998, 1999, 2002, 2005, 2018a, 2018b). V roce 2012 Solomon odhadoval, že projekt bude potřebovat dalších 5 svazků, ale uvedl, že pokrok v nich byl pomalý. Odhaduje se, že nový důkaz nakonec zaplní přibližně 5 000 stránek. (Tato délka částečně vychází z toho, že důkaz druhé generace byl napsán uvolněnějším stylem.) Aschbacher a Smith napsali své dva svazky věnované případu kvazithinu takovým způsobem, že tyto svazky mohou být součástí důkazu druhé generace.

Gorenstein a jeho spolupracovníci uvedli několik důvodů, proč je možný jednodušší důkaz.

• Nejdůležitější je, že je nyní známo správné konečné tvrzení věty. Lze použít jednodušší techniky, o nichž je známo, že jsou adekvátní pro typy skupin, o kterých víme, že jsou konečné jednoduché. Naproti tomu ti, kteří pracovali na důkazu první generace, nevěděli, kolik sporadických skupin existuje, a ve skutečnosti některé ze sporadických skupin (např. Janko skupiny ) byly objeveny při dokazování dalších případů věty o klasifikaci. Ve výsledku bylo mnoho částí věty prokázáno pomocí technik, které byly příliš obecné.
• Protože závěr nebyl znám, první generace důkazu se skládá z mnoha samostatných vět, zabývajících se důležitými zvláštními případy. Velká část práce s dokazováním těchto vět byla věnována analýze mnoha zvláštních případů. Vzhledem k rozsáhlejšímu a organizovanému důkazu lze řešení mnoha z těchto zvláštních případů odložit, dokud nelze uplatnit nejmocnější předpoklady. Cena zaplacená v rámci této revidované strategie spočívá v tom, že tyto věty první generace již nemají poměrně krátké důkazy, ale místo toho se spoléhají na úplnou klasifikaci.
• Mnoho vět první generace se překrývá, a tak dělí možné případy neefektivním způsobem. Výsledkem bylo, že rodiny a podskupiny konečných jednoduchých skupin byly identifikovány několikrát. Revidovaný důkaz eliminuje tato propouštění tím, že se spoléhá na jiné dělení případů.
• Teoretici konečných skupin mají s tímto druhem cvičení více zkušeností a mají k dispozici nové techniky.

Aschbacher (2004) nazval práci na problému klasifikace Ulricha Meierfrankenfelda, Bernda Stellmachera, Gernota Strotha a několika dalších, program třetí generace. Jedním z cílů je zacházet se všemi skupinami v charakteristice 2 jednotně pomocí amalgámové metody.

Proč je důkaz tak dlouhý?

Gorenstein diskutoval o některých důvodech, proč nemusí existovat krátký důkaz klasifikace podobný klasifikaci kompaktní Lieovy skupiny.

• Nejviditelnějším důvodem je, že seznam jednoduchých skupin je poměrně komplikovaný: s 26 sporadickými skupinami bude pravděpodobně mnoho zvláštních případů, které je třeba vzít v úvahu v jakémkoli důkazu. Doposud nikdo nenašel čistý jednotný popis konečných jednoduchých skupin podobný parametrizaci kompaktních Lieových skupin podle Dynkinovy ​​diagramy.
• Atiyah a další navrhli, že klasifikace by měla být zjednodušena konstrukcí nějakého geometrického objektu, na který skupiny působí, a následnou klasifikací těchto geometrických struktur. Problém je v tom, že nikdo nedokázal navrhnout snadný způsob, jak najít takovou geometrickou strukturu spojenou s jednoduchou skupinou. V jistém smyslu klasifikace funguje tak, že najde geometrické struktury jako např BN páry, ale toto přichází až na konci velmi dlouhé a obtížné analýzy struktury konečné jednoduché skupiny.
• Dalším návrhem pro zjednodušení důkazu je větší využití teorie reprezentace. Problém je v tom, že teorie reprezentace se zdá, že vyžaduje velmi přísnou kontrolu nad podskupinami skupiny, aby fungovala dobře. U skupin s malou hodností má člověk takovou kontrolu a teorie reprezentace funguje velmi dobře, ale u skupin s vyšší hodností se jí nikdo nepodařilo ji použít ke zjednodušení klasifikace. V počátcích klasifikace bylo vynaloženo značné úsilí na použití teorie reprezentace, ale to nikdy nedosáhlo velkého úspěchu v případě vyšší hodnosti.

Důsledky klasifikace

Tato část uvádí některé výsledky, které byly prokázány pomocí klasifikace konečných jednoduchých skupin.

• The Schreierova domněnka
• The Věta funktoru signalizátoru
• The B domněnka
• The Schur – Zassenhausova věta pro všechny skupiny (i když to používá pouze Feit-Thompsonova věta ).
• Přechodná permutační skupina na konečné sadě s více než 1 prvkem má prvek s pevným bodem bez hlavního řádu.
• Klasifikace 2-tranzitivní permutační skupiny.
• Klasifikace pořadí 3 permutačních skupin.
• The Simsova domněnka^[3]
• Frobeniova domněnka o počtu řešení Xⁿ = 1.

Viz také

• O'Nan – Scottova věta

Poznámky

Reference

• Aschbacher, Michael (2004). „Stav klasifikace konečných jednoduchých skupin“ (PDF). Oznámení Americké matematické společnosti. 51 (7). str. 736–740.
• Aschbacher, Michael; Lyons, Richard; Smith, Stephen D .; Solomon, Ronald (2011), Klasifikace konečných jednoduchých skupin: Skupiny charakteristického typu 2 Matematické průzkumy a monografie 172, ISBN  978-0-8218-5336-8
• Conway, John Horton; Curtis, Robert Turner; Norton, Simon Phillips; Parker, Richard A.; Wilson, Robert Arnott (1985), Atlas konečných skupin: maximální podskupiny a běžné znaky pro jednoduché skupiny, Oxford University Press, ISBN  978-0-19-853199-9
• Gorenstein, D. (1979), "Klasifikace konečných jednoduchých skupin. I. Jednoduché skupiny a lokální analýza", Americká matematická společnost. Bulletin. Nová řada, 1 (1): 43–199, doi:10.1090 / S0273-0979-1979-14551-8, ISSN  0002-9904, PAN  0513750
• Gorenstein, D. (1982), Konečné jednoduché skupinyUniversity University in Mathematics, New York: Plenum Publishing Corp., ISBN  978-0-306-40779-6, PAN  0698782
• Gorenstein, D. (1983), Klasifikace konečných jednoduchých skupin. Sv. 1. Skupiny necharakteristického typu 2, The University Series in Mathematics, Plenum Press, ISBN  978-0-306-41305-6, PAN  0746470
• Daniel Gorenstein (1985), „The Enormous Theorem“, Scientific American, 1. prosince 1985, roč. 253, č. 6, s. 104–115.
• Gorenstein, D. (1986), "Klasifikace konečných jednoduchých skupin", Americká matematická společnost. Bulletin. Nová řada, 14 (1): 1–98, doi:10.1090 / S0273-0979-1986-15392-9, ISSN  0002-9904, PAN  0818060
• Gorenstein, D.; Lyons, Richard; Solomon, Ronald (1994), Klasifikace konečných jednoduchých skupin Matematické průzkumy a monografie 40„Providence, R.I .: Americká matematická společnost, ISBN  978-0-8218-0334-9, PAN  1303592
• Gorenstein, D.; Lyons, Richard; Solomon, Ronald (1996), Klasifikace konečných jednoduchých skupin, číslo 2 Matematické průzkumy a monografie 40„Providence, R.I .: Americká matematická společnost, ISBN  978-0-8218-0390-5, PAN  1358135
• Gorenstein, D.; Lyons, Richard; Solomon, Ronald (1998), Klasifikace konečných jednoduchých skupin, číslo 3 Matematické průzkumy a monografie 40„Providence, R.I .: Americká matematická společnost, ISBN  978-0-8218-0391-2, PAN  1490581
• Gorenstein, D.; Lyons, Richard; Solomon, Ronald (1999), Klasifikace konečných jednoduchých skupin, číslo 4. Část II, kapitoly 1-4: Věty o jedinečnosti Matematické průzkumy a monografie 40„Providence, R.I .: Americká matematická společnost, ISBN  978-0-8218-1379-9, PAN  1675976
• Gorenstein, D.; Lyons, Richard; Solomon, Ronald (2002), Klasifikace konečných jednoduchých skupin, číslo 5 Matematické průzkumy a monografie 40„Providence, R.I .: Americká matematická společnost, ISBN  978-0-8218-2776-5, PAN  1923000
• Gorenstein, D.; Lyons, Richard; Solomon, Ronald (2005), Klasifikace konečných jednoduchých skupin, číslo 6: Část IV: Zvláštní lichý případ Matematické průzkumy a monografie 40„Providence, R.I .: Americká matematická společnost, ISBN  978-0-8218-2777-2, PAN  2104668
• Gorenstein, D.; Lyons, Richard; Solomon, Ronald (2018), Klasifikace konečných jednoduchých skupin, číslo 7: Část III, kapitoly 7–11: Obecný případ, fáze 3b a 4a Matematické průzkumy a monografie 40„Providence, R.I .: Americká matematická společnost, ISBN  978-0-8218-4069-6, PAN  3752626
• Gorenstein, D.; Lyons, Richard; Solomon, Ronald (2018), Klasifikace konečných jednoduchých skupin, číslo 8: Část III, kapitoly 12–17: Obecný případ, dokončeno Matematické průzkumy a monografie 40„Providence, R.I .: Americká matematická společnost, ISBN  978-1-4704-4189-0
• Mark Ronan, Symetrie a monstrum, ISBN  978-0-19-280723-6, Oxford University Press, 2006. (Stručný úvod pro laického čtenáře)
• Marcus du Sautoy, Hledání Moonshine, Čtvrtý majetek, 2008, ISBN  978-0-00-721461-7 (další úvod pro laického čtenáře)
• Ron Solomon (1995) "O konečných jednoduchých skupinách a jejich klasifikaci," Oznámení Americké matematické společnosti. (Ne příliš technické a dobré v historii)
• Solomon, Ronald (2001), „Stručná historie klasifikace konečných jednoduchých skupin“ (PDF), Americká matematická společnost. Bulletin. Nová řada, 38 (3): 315–352, doi:10.1090 / S0273-0979-01-00909-0, ISSN  0002-9904, PAN  1824893 - článek vyhrál Cena Levi L. Conanta pro výstavu
• Thompson, John G. (1984), "Finite un sololver groups", v Gruenberg, K. W .; Roseblade, J. E. (eds.), Skupinová teorie. Eseje pro Philipa Halla, Boston, MA: Akademický tisk, s. 1–12, ISBN  978-0-12-304880-6, PAN  0780566
• Wilson, Robert A. (2009), Konečné jednoduché skupiny, Postgraduální texty z matematiky 251, 251, Berlín, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-84800-988-2, ISBN  978-1-84800-987-5, Zbl  1203.20012

externí odkazy

• ATLAS zastoupení konečných skupin. Prohledávatelná databáze reprezentace a další data pro mnoho konečných jednoduchých skupin.
• Elwes, Richard, "Obrovská věta: klasifikace konečných jednoduchých skupin," Plus časopis, Číslo 41, prosinec 2006. Pro laiky.
• Madore, David (2003) Objednávky neabelských jednoduchých skupin. Zahrnuje seznam všech nonabelianských jednoduchých skupin až do pořadí 10¹⁰.
• V jakém smyslu je klasifikace všech konečných skupin „nemožná“?