Konečně vygenerovaná skupina - Finitely generated group - Wikipedia

The dvojitá skupina řádu 8 vyžaduje dva generátory, jak to představuje cyklický diagram.

v algebra, a konečně generovaná skupina je skupina G to má nějaké konečný generující sada S takže každý prvek G lze zapsat jako kombinaci (v rámci skupinové operace) konečně mnoha prvků konečná množina S a ze dne inverze takových prvků.^[1]

Podle definice každý konečná skupina je definitivně generován, protože S lze považovat za G sám. Každá nekonečně konečně vygenerovaná skupina musí být počitatelný ale spočítatelné skupiny nemusí být definitivně generovány. Skupina aditiv racionální čísla Q je příkladem spočetné skupiny, která není definitivně generována.

Příklady

• Volá se skupina, která je generována jediným prvkem cyklický. Každá nekonečná cyklická skupina je izomorfní do aditivní skupina z celá čísla Z. A lokálně cyklická skupina je skupina, ve které je každá konečně generovaná podskupina cyklická.
• The volná skupina na konečné množině je konečně generován prvky této množiny.
• Každý kvocient konečně generované skupiny G je definitivně generován; skupina podílů je generována obrazy generátorů G pod kanonická projekce.
• A podskupina konečně generované skupiny nemusí být definitivně generováno.
• Tím spíše, každý konečně představená skupina je definitivně generován. Vidět Prezentace skupiny # Příklady pro několik příkladů.
• Vidět Generující sada skupiny # Příklady pro více příkladů.

Konečně vygenerované abelianské skupiny

Šest 6. komplexních kořenů jednoty tvoří a cyklická skupina pod násobením.

Každý Abelian skupina může být viděn jako modul přes prsten z celá čísla Za v konečně vygenerovaná abelianská skupina s generátory X₁, ..., X_n, každý prvek skupiny X lze psát jako lineární kombinace z těchto generátorů,

X = α₁⋅X₁ + α₂⋅X₂ + ... + α_n⋅X_n

s celými čísly α₁, ..., α_n.

Podskupiny s konečnou platností Abelian skupina jsou samy definitivně generovány.

The základní věta o konečně generovaných abelianských skupinách uvádí, že konečně generovaná Abelianova skupina je přímý součet a bezplatná abelianská skupina konečný hodnost a konečná abelianská skupina, z nichž každá je jedinečná až po izomorfismus.

Podskupiny

A podskupina konečně generované skupiny nemusí být definitivně generováno. The podskupina komutátoru z volná skupina ${ displaystyle F_ {2}}$ na dvou generátorech je příkladem podskupiny konečně generované skupiny, která není definitivně generována.

Na druhou stranu všechny podskupiny definitivně generované Abelian skupina jsou definitivně generovány.

Podskupina konečných index v definitivně generované skupině je vždy definitivně generováno a Schreierův vzorec indexu udává omezení počtu požadovaných generátorů.^[2]

V roce 1954 Albert G. Howson ukázal, že křižovatka dvou konečně generovaných podskupin volné skupiny je opět definitivně generována. Kromě toho, pokud ${ displaystyle m}$ a ${ displaystyle n}$ jsou počty generátorů dvou konečně generovaných podskupin, pak je jejich průsečík generován nanejvýš ${ displaystyle 2mn-m-n + 1}$ generátory.^[3] Tato horní hranice byla poté výrazně vylepšena o Hanna Neumann na ${ displaystyle 2 (m-1) (n-1) +1}$viz Hanna Neumann domněnka.

The mřížka podskupin skupiny splňuje vzestupný stav řetězu právě tehdy, pokud jsou všechny podskupiny skupiny definitivně generovány. Volá se skupina, která definitivně generuje všechny její podskupiny Noetherian.

Volá se skupina taková, že každá konečně generovaná podskupina je konečná místně konečné. Každá lokálně konečná skupina je periodicky, tj. každý prvek má konečnou hodnotu objednat. Naopak každé periodické abelianská skupina je místně konečný.^[4]

Aplikace

Tato sekce potřebuje expanzi. Můžete pomoci přidávat k tomu. (Září 2017)

Teorie geometrických grup studuje souvislosti mezi algebraickými vlastnostmi konečně generovaných skupin a topologické a geometrický vlastnosti mezery na které tyto skupiny akt.

Související pojmy

The slovní úloha pro konečně generovanou skupinu je rozhodovací problém ať už dva slova v generátorech skupiny představují stejný prvek. Slovní úloha pro danou konečně generovanou skupinu je řešitelná právě tehdy, když lze skupinu vložit do každé algebraicky uzavřená skupina.

The hodnost skupiny je často definován jako nejmenší mohutnost generující sady pro skupinu. Podle definice je hodnost konečně generované skupiny konečná.

Viz také

• Konečně vygenerovaný modul
• Prezentace skupiny

Poznámky

Reference

• Rose, John S. (2012) [nezkrácená a nezměněná publikace díla, které poprvé vydalo Cambridge University Press, Cambridge, Anglie, v roce 1978]. Kurz teorie skupin. Dover Publications. ISBN  978-0-486-68194-8.CS1 maint: ref = harv (odkaz)