Multiplikativní skupina - Multiplicative group

v matematika a teorie skupin, termín multiplikativní skupina odkazuje na jeden z následujících konceptů:

the skupina pod násobením z invertibilní prvky a pole,^[1] prsten nebo jiná struktura, pro kterou je jedna z jejích operací označována jako násobení. V případě pole F, skupina je (F ∖ {0}, •), kde 0 odkazuje na nulový prvek z F a binární operace • je pole násobení,
the algebraický torus GL (1).^{[je zapotřebí objasnění ]}.

Příklady

The multiplikativní skupina celých čísel modulo n je skupina, která znásobuje invertibilní prvky ${ displaystyle mathbb {Z} / n mathbb {Z}}$ . Když n není prvočíslo, existují i jiné prvky než nula, které nejsou invertovatelné.
Multiplikativní skupina kladná reálná čísla ${ displaystyle mathbb {R} ^ {+}}$ je abelianská skupina s 1 jeho prvek identity. The logaritmus je skupinový izomorfismus této skupiny do aditivní skupina reálných čísel, ${ displaystyle mathbb {R}}$ .
Multiplikativní skupina pole ${ displaystyle F}$ je sada všech nenulových prvků: ${ displaystyle F ^ { times} = F - {0 }}$ , v rámci operace násobení. Li ${ displaystyle F}$ je konečný řádu q (například q = p prvočíslo a ${ displaystyle F = mathbb {F} _ {p} = mathbb {Z} / p mathbb {Z}}$ ), poté multiplikativní skupina je cyklický: ${ displaystyle F ^ { times} cong C_ {q-1}}$ .

Skupinové schéma kořenů jednoty

The skupinové schéma n-th kořeny jednoty je podle definice jádro n-mocenská mapa na multiplikativní skupině GL (1), považovaná za a skupinové schéma. To znamená pro jakékoli celé číslo n > 1 můžeme uvažovat o morfismu na multiplikativní skupině, která trvá n-th pravomocí, a přijmout vhodné vláknový produkt režimů s morfismem E který slouží jako identita.

Výsledné skupinové schéma je zapsáno μ_n (nebo ${ displaystyle mu ! ! mu _ {n}}$ ^[2]). Vzniká a omezené schéma, když to převezmeme přes pole K., kdyby a jen kdyby the charakteristický z K. nedělí n. To z něj dělá zdroj některých klíčových příkladů neredukovaných schémat (schémata s nilpotentní prvky v jejich strukturní snopy ); například μ_p přes konečné pole s p prvky pro všechny prvočíslo p.

Tento jev není snadno vyjádřen v klasickém jazyce algebraické geometrie. Ukázalo se například, že má zásadní význam při vyjadřování teorie duality abelianských odrůd v charakteristice p (teorie Pierre Cartier ). Galoisova kohomologie tohoto skupinového schématu je způsob vyjádření Kummerova teorie.

Poznámky

^ Viz Hazewinkel et al. (2004), str. 2.
^ Milne, James S. (1980). Étale cohomology. Princeton University Press. str. xiii, 66.

Reference

Michiel Hazewinkel, Nadiya Gubareni, Nadežda Mikhalovna Gubareni, Vladimir V. Kirichenko. Algebry, prsteny a moduly. Svazek 1. 2004. Springer, 2004. ISBN 1-4020-2690-0

Viz také

[1] Viz Hazewinkel et al. (2004), str. 2.

[2] Milne, James S. (1980). Étale cohomology. Princeton University Press. str. xiii, 66.

[1]

[2]