Sousedství (matematika) - Neighbourhood (mathematics)

Sada ${ displaystyle V}$ v letadlo je sousedství bodu ${ displaystyle p}$ pokud je kolem malý disk ${ displaystyle p}$ je obsažen v ${ displaystyle V}$.

v topologie a související oblasti matematika, a sousedství (nebo sousedství) je jedním ze základních pojmů v a topologický prostor. Úzce souvisí s pojmy otevřená sada a interiér. Intuitivně řečeno, sousedství bodu je a soubor bodů obsahujících tento bod, kde se člověk může posunout určitou částku jakýmkoli směrem od tohoto bodu, aniž by opustil soubor.

Definice

Sousedství bodu

Li ${ displaystyle X}$ je topologický prostor a ${ displaystyle p}$ je bod v ${ displaystyle X}$, a sousedství z ${ displaystyle p}$ je podmnožina ${ displaystyle V}$ z ${ displaystyle X}$ který zahrnuje otevřená sada ${ displaystyle U}$ obsahující ${ displaystyle p}$,

${ displaystyle p v U subseteq V.}$

To je také ekvivalent k ${ displaystyle p v X}$ být v interiér z ${ displaystyle V}$.

Sousedství ${ displaystyle V}$ nemusí být samotná otevřená sada. Li ${ displaystyle V}$ je otevřený nazývá se otevřené sousedství.^[1] Nějaký matematici vyžadují, aby byla sousedství otevřená, takže je důležité si uvědomit konvence.

Uzavřený obdélník není sousedstvím žádného z jeho rohů (nebo bodů na hranici).

Sada, která je sousedstvím každého z jejích bodů, je otevřená, protože ji lze vyjádřit jako sjednocení otevřených sad obsahujících každý její bod. Obdélník, jak je znázorněno na obrázku, není sousedství všech jeho bodů; body na okrajích nebo rozích obdélníku nejsou obsaženy v žádné otevřené sadě obsažené v obdélníku.

Kolekce všech čtvrtí bodu se nazývá sousedský systém na místě.

Sousedství sady

Li S je podmnožina topologického prostoru X pak sousedství z S je sada PROTI který zahrnuje otevřenou sadu U obsahující S. Z toho vyplývá, že množina PROTI je sousedství města S právě když je to sousedství všech bodů v S. Dále PROTI je sousedství města S kdyby a jen kdyby S je podmnožinou souboru interiér z PROTI. Sousedství S to je také otevřená množina se nazývá otevřené sousedství z S. Sousedení bodu je jen zvláštním případem této definice.

V metrickém prostoru

Sada ${ displaystyle S}$ v letadle a jednotném sousedství ${ displaystyle V}$ z ${ displaystyle S}$.

Epsilonské sousedství čísla A na řádku reálného čísla.

V metrický prostor ${ displaystyle M = (X, d)}$, sada ${ displaystyle V}$ je sousedství bodu ${ displaystyle p}$ pokud existuje otevřený míč se středem ${ displaystyle p}$ a poloměr ${ displaystyle r> 0}$, takový, že

${ Displaystyle B_ {r} (p) = B (p; r) = {x v X střední d (x, p)$

je obsažen v ${ displaystyle V}$.

${ displaystyle V}$ je nazýván jednotné sousedství sady ${ displaystyle S}$ pokud existuje kladné číslo ${ displaystyle r}$ tak, že pro všechny prvky ${ displaystyle p}$ z ${ displaystyle S}$,

${ displaystyle B_ {r} (p) = {x v X mid d (x, p)$

je obsažen v ${ displaystyle V}$.

Pro ${ displaystyle r> 0}$ the ${ displaystyle r}$-sousedství ${ displaystyle S_ {r}}$ sady ${ displaystyle S}$ je množina všech bodů v ${ displaystyle X}$ které jsou ve vzdálenosti menší než ${ displaystyle r}$ z ${ displaystyle S}$ (nebo ekvivalentně, ${ displaystyle S}$_{${ displaystyle r}$} je spojení všech otevřených koulí o poloměru ${ displaystyle r}$ které jsou vystředěny v bodě v ${ displaystyle S}$): ${ displaystyle S_ {r} = bigcup limity _ {p v {} S} B_ {r} (p).}$

Z toho přímo vyplývá, že ${ displaystyle r}$-neighbourhood je jednotné sousedství a že množina je jednotným sousedstvím právě tehdy, pokud obsahuje ${ displaystyle r}$-sousedství pro určitou hodnotu ${ displaystyle r}$.

Příklady

Sada M je sousedství čísla a, protože existuje ε-sousedství a, což je podmnožina M.

Vzhledem k souboru reálná čísla ${ displaystyle mathbb {R}}$ s obvyklým Euklidovská metrika a podmnožina ${ displaystyle V}$ definováno jako

${ displaystyle V: = bigcup _ {n in mathbb {N}} B left (n ,; , 1 / n right),}$

pak ${ displaystyle V}$ je sousedství pro set ${ displaystyle mathbb {N}}$ z přirozená čísla, ale je ne jednotné sousedství této sady.

Topologie ze sousedství

Výše uvedená definice je užitečná, pokud se jedná o pojem otevřená sada je již definováno. Existuje alternativní způsob, jak definovat topologii, nejprve definováním sousedský systém, a pak otevřete sady jako ty sady, které obsahují sousedství každého z jejich bodů.

Systém sousedství zapnutý ${ displaystyle X}$ je přiřazení a filtr ${ displaystyle N (x)}$ podskupin ${ displaystyle X}$ ke každému ${ displaystyle x}$ v ${ displaystyle X}$, takový, že

1. bod ${ displaystyle x}$ je prvkem každého z nich ${ displaystyle U}$ v ${ displaystyle N (x)}$
2. každý ${ displaystyle U}$ v ${ displaystyle N (x)}$ obsahuje některé ${ displaystyle V}$ v ${ displaystyle N (x)}$ takové, že pro každého ${ displaystyle y}$ v ${ displaystyle V}$, ${ displaystyle U}$ je v ${ displaystyle N (y)}$.

Lze ukázat, že obě definice jsou kompatibilní, tj. Topologie získaná ze sousedního systému definovaného pomocí otevřených množin je původní a naopak při startu ze sousedního systému.

Jednotná sousedství

V jednotný prostor ${ displaystyle S = (X, Phi)}$, ${ displaystyle V}$ se nazývá a jednotné sousedství z ${ displaystyle P}$ pokud existuje doprovod ${ displaystyle U in Phi}$ takhle ${ displaystyle V}$ obsahuje všechny body z ${ displaystyle X}$ to jsou ${ displaystyle U}$-blízko k nějakému bodu ${ displaystyle P}$; to je ${ displaystyle U [x] subseteq V}$ pro všechny ${ displaystyle x v P}$.

Smazané okolí

A smazané okolí bodu ${ displaystyle p}$ (někdy nazývané a propíchnuté sousedství) je sousedství ${ displaystyle p}$, bez ${ displaystyle {p }}$. Například interval ${ displaystyle (-1,1) = {y: -1$ je sousedství města ${ displaystyle p = 0}$ v skutečná linie, takže sada ${ displaystyle (-1,0) pohár (0,1) = (- 1,1) setminus {0 }}$ je smazané okolí domény ${ displaystyle 0}$. Vymazané sousedství daného bodu není ve skutečnosti sousedství bodu. Koncept odstraněného sousedství se vyskytuje v definice limitu funkce.

Viz také

• Systém sousedství
• Region (matematika)
• Trubkové okolí

Reference

• Kelley, John L. (1975). Obecná topologie. New York: Springer-Verlag. ISBN  0-387-90125-6.
• Bredon, Glen E. (1993). Topologie a geometrie. New York: Springer-Verlag. ISBN  0-387-97926-3.
• Kaplansky, Irving (2001). Nastavit teoretické a metrické prostory. Americká matematická společnost. ISBN  0-8218-2694-8.