Invertibilní matice - Invertible matrix

tento článek potřebuje další citace pro ověření. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: "Invertible matrix"  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Září 2020) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v lineární algebra, an n-podle-n čtvercová matice A je nazýván invertibilní (taky nesmyslný nebo nedegenerovat), pokud existuje n-podle-n čtvercová matice B takhle

${ displaystyle mathbf {AB} = mathbf {BA} = mathbf {I} _ {n} }$

kde Já_n označuje n-podle-n matice identity a použité násobení je běžné násobení matic. Pokud tomu tak je, pak matice B je jednoznačně určeno A, a nazývá se (multiplikativní) inverzní z A, označeno A⁻¹.^[1][2] Maticová inverze je proces hledání matice B který splňuje předchozí rovnici pro danou invertibilní matici A.

Čtvercová matice, která je ne nazývá se invertible jednotné číslo nebo degenerovat. Čtvercová matice je singulární kdyby a jen kdyby své určující je nula.^[3] Singulární matice jsou vzácné v tom smyslu, že pokud jsou položky čtvercové matice náhodně vybrány z jakékoli konečné oblasti na číselné řadě nebo komplexní rovině, pravděpodobnost, že matice je singulární, je 0, to znamená, že "skoro nikdy" být singulární. Non-čtvercové matice (m-podle-n matice, pro které m ≠ n) nemají inverzní. V některých případech však může mít taková matice a vlevo inverzní nebo pravý inverzní. Li A je m-podle-n a hodnost z A je rovný n (n ≤ m), pak A má levou inverzní funkci, an n-podle-m matice B takhle BA = Já_n. Li A má hodnost m (m ≤ n), pak má pravý inverzní, an n-podle-m matice B takhle AB = Já_m.

Nejběžnějším případem jsou matice nad nemovitý nebo komplex čísla, všechny tyto definice lze uvést pro matice nad libovolnými prsten. V případě komutativního prstence je však podmínkou, aby byla čtvercová matice invertovatelná, že její determinant je invertibilní v prstenci, což je obecně přísnější požadavek, než být nenulový. Pro nekomutativní kruh není obvyklý determinant definován. Podmínky pro existenci inverze doleva nebo doprava jsou komplikovanější, protože pojem hodnosti na prstencích neexistuje.

Sada n × n invertibilní matice spolu s operací násobení matic (a záznamů z kruhu R) tvoří a skupina, obecná lineární skupina stupně n, označeno ${ displaystyle GL_ {n} (R)}$.^[1]

Vlastnosti

Věta o invertibilní matici

Nechat A být čtverec n podle n matice nad a pole K. (např. pole R reálných čísel). Následující příkazy jsou ekvivalentní (tj. Jsou buď všechny pravdivé nebo všechny nepravdivé pro danou matici):^[4]

A je invertibilní, to znamená, A má inverzi, je nesingulární nebo je nedgenerativní.

A je ekvivalent řádku do n-podle-n matice identity Já_n.

A je ekvivalent sloupce do n-podle-n matice identity Já_n.

A má n otočné pozice.

det A ≠ 0. Obecně platí, že čtvercová matice nad a komutativní prsten je invertibilní, právě když je jeho určující je jednotka v tom prstenu.

A má úplnou hodnost; to je hodnost A = n.

Rovnice Sekera = 0 má pouze triviální řešení X = 0.

The jádro z A je triviální, to znamená, že obsahuje pouze nulový vektor jako prvek, ker (A) = {0}.

Rovnice Sekera = b má pro každé přesně jedno řešení b v K.ⁿ.

Sloupce A jsou lineárně nezávislé.

Sloupce A rozpětí K.ⁿ.

Plk A = K.ⁿ.

Sloupce A tvoří a základ z K.ⁿ.

Mapování lineární transformace X na Sekera je bijekce z K.ⁿ na K.ⁿ.

Tady je n-podle-n matice B takhle AB = Já_n = BA.

The přemístit A^T je invertibilní matice (tedy řádky A jsou lineárně nezávislé, rozpětí K.ⁿ, a tvoří a základ z K.ⁿ).

Číslo 0 není vlastní číslo z A.

Matice A lze vyjádřit jako konečný součin základní matice.

Matice A má levou inverzní funkci (tj. existuje a B takhle BA = Já) nebo pravá inverze (tj. existuje a C takhle AC = Já), v takovém případě existují obě levé a pravé inverze a B = C = A⁻¹.

Další vlastnosti

Následující vlastnosti platí pro invertibilní matici A:

• (A⁻¹)⁻¹ = A;
• (kA)⁻¹ = k⁻¹A⁻¹ pro nenulovou skalární k;
• (Sekera)⁺ = X⁺A⁻¹ -li A má ortonormální sloupce, kde ⁺ označuje Moore – Penrose inverzní a X je vektor;
• (A^T)⁻¹ = (A⁻¹)^T;
• Pro jakýkoli invertibilní n-podle-n matice A a B, (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹. Obecněji, pokud A₁, ..., A_k jsou invertibilní n-podle-n matice, pak (A₁A₂⋅⋅⋅A_k−1A_k)⁻¹ = A⁻¹
  _kA⁻¹
  _k−1⋯A⁻¹
  ₂A⁻¹
  ₁;
• det A⁻¹ = (det A)⁻¹.

Řádky inverzní matice PROTI matice U jsou ortonormální do sloupců U (a naopak záměna řádků za sloupce). Chcete-li to vidět, předpokládejme, že UV = VU = I kde řádky PROTI jsou označeny jako ${ displaystyle v_ {i} ^ {T}}$ a sloupce U tak jako ${ displaystyle u_ {j}}$ pro ${ displaystyle 1 leq i, j leq n}$. Pak jasně Euklidovský vnitřní produkt ze dvou ${ displaystyle v_ {i} ^ {T} u_ {j} = delta _ {i, j}}$. Tato vlastnost může být také užitečná při konstrukci inverze čtvercové matice v některých případech, kde je množina ortogonální vektory (ale ne nutně ortonormální vektory) do sloupců U jsou známy . V takovém případě lze použít iterativ Gram – Schmidtův proces k této počáteční sadě k určení řádků inverze PROTI.

Matice, která je vlastní inverzní (tj. Matice A takhle A = A⁻¹ a A² = Já), se nazývá an involutory matice.

Ve vztahu k jeho adjugátu

The doplnit matice ${ displaystyle A}$ lze použít k nalezení inverzní funkce ${ displaystyle A}$ jak následuje:

Li ${ displaystyle A}$ je ${ displaystyle n krát n}$ invertible matrix, then

${ displaystyle A ^ {- 1} = { frac {1} { det (A)}} operatorname {adj} (A).}$

Ve vztahu k matici identity

Z asociativity maticového násobení vyplývá, že pokud

${ displaystyle mathbf {AB} = mathbf {I} }$

pro konečný čtverec matice A a B, pak také

${ displaystyle mathbf {BA} = mathbf {I} }$^[5]

Hustota

Přes pole reálných čísel je množina singulárního čísla n-podle-n matice, považované za podmnožinu R^n×n, je nulová sada, to znamená, že má Lebesgue změřit nulu. To je pravda, protože singulární matice jsou kořeny určující funkce. Toto je spojitá funkce, protože se jedná o polynom v položkách matice. Tedy v jazyce teorie míry, téměř všechny n-podle-n matice jsou invertovatelné.

Kromě toho n-podle-n invertibilní matice jsou a hustý otevřená sada v topologický prostor ze všech n-podle-n matice. Ekvivalentně je množina singulárních matic Zavřeno a nikde hustá v prostoru n-podle-n matice.

V praxi se však můžeme setkat s nevratnými maticemi. A v numerické výpočty matice, které jsou invertovatelné, ale blízké neinvertovatelné matici, mohou být stále problematické; takové matice se říká, že jsou špatně podmíněný.

Příklady

Zvažte následující 2-podle-2 matice:

${ displaystyle mathbf {A} = { begin {pmatrix} -1 & { tfrac {3} {2}} 1 & -1 end {pmatrix}}.}$

Matice ${ displaystyle mathbf {A}}$ je invertibilní. Chcete-li to zkontrolovat, lze to vypočítat ${ displaystyle det mathbf {A} = -1 / 2}$, což je nenulová.

Jako příklad nevratné nebo singulární matice zvažte matici

${ displaystyle mathbf {B} = { begin {pmatrix} -1 & { tfrac {3} {2}} { tfrac {2} {3}} & - 1 end {pmatrix}}.}$

Determinant ${ displaystyle mathbf {B}}$ je 0, což je nezbytná a dostatečná podmínka, aby byla matice nezměnitelná.

Metody inverze matic

Gaussova eliminace

Eliminace Gauss-Jordan je algoritmus které lze použít k určení, zda je daná matice invertibilní, a k vyhledání inverze. Alternativou je LU rozklad, který generuje horní a dolní trojúhelníkové matice, které lze snadněji převrátit.

Newtonova metoda

Zobecnění Newtonova metoda jak se používá pro multiplikativní inverzní algoritmus může být výhodné, pokud je vhodné najít vhodné počáteční semeno:

${ displaystyle X_ {k + 1} = 2X_ {k} -X_ {k} AX_ {k}.}$

Victor Pan a John Reif udělali práci, která zahrnuje způsoby generování počátečního semene.^[6][7] Bajtový časopis shrnul jeden z jejich přístupů.^[8]

Newtonova metoda je obzvláště užitečná, když se jedná o rodiny příbuzných matic, které se chovají dostatečně jako sekvence vytvořená pro homotopii výše: někdy dobrým výchozím bodem pro upřesnění aproximace pro novou inverzi může být již získaná inverze předchozí matice, která se téměř shoduje aktuální matice, například dvojice sekvencí inverzních matic použitých při získávání maticové odmocniny podle Denman-Beaversovy iterace; to může potřebovat více než jeden průchod iterace u každé nové matice, pokud nejsou dostatečně blízko u sebe, aby stačil jen jeden. Newtonova metoda je také užitečná pro „retušovací“ opravy Gauss-Jordanova algoritmu, který byl kontaminován malými chybami kvůli nedokonalá počítačová aritmetika.

Cayley-Hamiltonova metoda

The Cayley-Hamiltonova věta umožňuje inverzní funkci k ${ displaystyle A}$ vyjádřeno jako det (${ displaystyle A}$), stopy a pravomoci ${ displaystyle A}$:^[9]

${ displaystyle mathbf {A} ^ {- 1} = { frac {1} { det ( mathbf {A})}} sum _ {s = 0} ^ {n-1} mathbf {A } ^ {s} sum _ {k_ {1}, k_ {2}, ldots, k_ {n-1}} prod _ {l = 1} ^ {n-1} { frac {(-1 ) ^ {k_ {l} +1}} {l ^ {k_ {l}} k_ {l}!}} operatorname {tr} ( mathbf {A} ^ {l}) ^ {k_ {l}} ,}$

kde ${ displaystyle n}$ je rozměr ${ displaystyle A}$, a ${ displaystyle operatorname {tr} (A)}$ je stopa matice ${ displaystyle A}$ dáno součtem hlavní úhlopříčky. Součet je převzat ${ displaystyle s}$ a množiny všech ${ displaystyle k_ {l} geq 0}$ uspokojení lineárního Diophantine rovnice

${ displaystyle s + sum _ {l = 1} ^ {n-1} lk_ {l} = n-1.}$

Vzorec lze přepsat z hlediska úplnosti Polynomy zvonu argumentů ${ displaystyle t_ {l} = - (l-1)! operatorname {tr} (A ^ {l})}$ tak jako

${ displaystyle mathbf {A} ^ {- 1} = { frac {1} { det ( mathbf {A})}} součet _ {s = 1} ^ {n} mathbf {A} ^ {s-1} { frac {(-1) ^ {n-1}} {(ns)!}} B_ {ns} (t_ {1}, t_ {2}, ldots, t_ {ns}) .}$

Vlastní složení

Pokud matice A může být eigendecomposed, a pokud žádný z jeho vlastních čísel není nula, pak A je invertibilní a jeho inverze je dána vztahem

${ displaystyle mathbf {A} ^ {- 1} = mathbf {Q} mathbf { Lambda} ^ {- 1} mathbf {Q} ^ {- 1},}$

kde ${ displaystyle mathbf {Q}}$ je čtverec (N×N) matice jehož i-tý sloupec je vlastní vektor ${ displaystyle q_ {i}}$ z ${ displaystyle mathbf {A}}$, a ${ displaystyle mathbf { Lambda}}$ je diagonální matice jejichž úhlopříčné prvky jsou odpovídající vlastní čísla, tj. ${ displaystyle Lambda _ {ii} = lambda _ {i}}$. Li${ displaystyle mathbf {A}}$ je symetrický, ${ displaystyle mathbf {Q}}$ je zaručeno, že ortogonální matice, proto ${ displaystyle mathbf {Q} ^ {- 1} = mathbf {Q} ^ { mathrm {T}}}$. Dále proto, že ${ displaystyle mathbf { Lambda}}$ je diagonální matice, její inverzní lze snadno vypočítat:

${ displaystyle left [ Lambda ^ {- 1} right] _ {ii} = { frac {1} { lambda _ {i}}}.}$

Choleský rozklad

Pokud matice A je pozitivní určitý, pak jeho inverzní lze získat jako

${ displaystyle mathbf {A} ^ {- 1} = ( mathbf {L} ^ {*}) ^ {- 1} mathbf {L} ^ {- 1},}$

kde L je spodní trojúhelníkový Choleský rozklad z A, a L * označuje transpozici konjugátu L.

Analytické řešení

Psaní transpozice matice kofaktorů, známý jako adjugovaná matice, může být také účinným způsobem výpočtu inverzní funkce malý matice, ale tato rekurzivní metoda je neúčinná pro velké matice. Pro určení inverze vypočítáme matici kofaktorů:

${ displaystyle mathbf {A} ^ {- 1} = {1 nad { begin {vmatrix} mathbf {A} end {vmatrix}}} mathbf {C} ^ { mathrm {T}} = {1 over { begin {vmatrix} mathbf {A} end {vmatrix}}} { begin {pmatrix} mathbf {C} _ {11} & mathbf {C} _ {21} & cdots & mathbf {C} _ {n1} mathbf {C} _ {12} & mathbf {C} _ {22} & cdots & mathbf {C} _ {n2} vdots & vdots & ddots & vdots mathbf {C} _ {1n} & mathbf {C} _ {2n} & cdots & mathbf {C} _ {nn} end {pmatrix}}}$

aby

${ displaystyle left ( mathbf {A} ^ {- 1} right) _ {ij} = {1 over { begin {vmatrix} mathbf {A} end {vmatrix}}} left ( mathbf {C} ^ { mathrm {T}} doprava) _ {ij} = {1 nad { begin {vmatrix} mathbf {A} end {vmatrix}}} left ( mathbf {C} _ {ji} right)}$

kde |A| je určující z A, C je matice kofaktorů, a C^T představuje matici přemístit.

Inverze matic 2 × 2

The kofaktorová rovnice výše uvedené výsledky pro 2 × 2 matice. Inverzi těchto matic lze provést následujícím způsobem:^[10]

${ displaystyle mathbf {A} ^ {- 1} = { begin {bmatrix} a & b c & d end {bmatrix}} ^ {- 1} = { frac {1} { det mathbf { A}}} { begin {bmatrix} , , , d & ! ! - b - c & , a end {bmatrix}} = { frac {1} {ad-bc} } { begin {bmatrix} , , , d & ! ! - b - c & , konec {bmatrix}}.}$

To je možné, protože 1/(inzerát − před naším letopočtem) je převrácená hodnota determinantu příslušné matice a stejnou strategii lze použít i pro jiné velikosti matice.

Metoda Cayley-Hamilton dává

${ displaystyle mathbf {A} ^ {- 1} = { frac {1} { det mathbf {A}}} left [ left ( operatorname {tr} mathbf {A} right) mathbf {I} - mathbf {A} vpravo].}$

Inverze matic 3 × 3

Výpočtově efektivní 3 × 3 inverze matice je dána vztahem

${ displaystyle mathbf {A} ^ {- 1} = { begin {bmatrix} a & b & c d & e & f g & h & i end {bmatrix}} ^ {- 1} = { frac {1} { det ( mathbf {A})}} { begin {bmatrix} , A & , B & , C , D & , E & , F , G & , H & , I end {bmatrix}} ^ { mathrm {T}} = { frac {1} { det ( mathbf {A})}} { begin {bmatrix} , A & , D & , G , B & , E & , H , C & , F & , I end {bmatrix}}}$

(kde skalární A nelze zaměňovat s maticí APokud je determinant nenulový, matice je invertovatelná, přičemž prvky mezilehlé matice na pravé straně výše jsou dány

${ displaystyle { begin {alignedat} {6} A & = {} & (ei-fh), & quad & D & = {} & - (bi-ch), & quad & G & = {} & (bf-ce ), B & = {} & - (di-fg), & quad & E & = {} & (ai-cg), & quad & H & = {} & - (af-cd), C & = { } & (dh-eg), & quad & F & = {} & - (ah-bg), & quad & I & = {} & (ae-bd). end {alignedat}}}$

Determinant A lze vypočítat použitím vláda Sarrus jak následuje:

${ displaystyle det ( mathbf {A}) = aA + bB + cC.}$

Cayley-Hamiltonův rozklad dává

${ displaystyle mathbf {A} ^ {- 1} = { frac {1} { det ( mathbf {A})}} left [{ frac {1} {2}} left (( operatorname {tr} mathbf {A}) ^ {2} - operatorname {tr} mathbf {A} ^ {2} right) mathbf {I} - mathbf {A} operatorname {tr} mathbf {A} + mathbf {A} ^ {2} vpravo].}$

Generál 3 × 3 inverzní lze stručně vyjádřit pomocí křížový produkt a trojitý produkt. Pokud je to matice ${ displaystyle mathbf {A} = left [ mathbf {x} _ {0}, ; mathbf {x} _ {1}, ; mathbf {x} _ {2} right]}$ (skládající se ze tří sloupcových vektorů, ${ displaystyle mathbf {x} _ {0}}$, ${ displaystyle mathbf {x} _ {1}}$, a ${ displaystyle mathbf {x} _ {2}}$) je invertibilní, jeho inverzní je dán vztahem

${ displaystyle mathbf {A} ^ {- 1} = { frac {1} { det ( mathbf {A})}} { begin {bmatrix} {( mathbf {x_ {1}} krát mathbf {x_ {2}})} ^ { mathrm {T}} {( mathbf {x_ {2}} times mathbf {x_ {0}})} ^ { mathrm {T}} {( mathbf {x_ {0}} times mathbf {x_ {1}})} ^ { mathrm {T}} end {bmatrix}}.}$

Determinant A, ${ displaystyle det ( mathbf {A})}$, se rovná trojitému produktu z ${ displaystyle mathbf {x_ {0}}}$, ${ displaystyle mathbf {x_ {1}}}$, a ${ displaystyle mathbf {x_ {2}}}$—Objem souboru rovnoběžnostěn tvořené řádky nebo sloupci:

${ displaystyle det ( mathbf {A}) = mathbf {x} _ {0} cdot ( mathbf {x} _ {1} times mathbf {x} _ {2}).}$

Správnost vzorce lze zkontrolovat pomocí vlastností křížových a trojitých produktů a upozorněním, že u skupin se levá a pravá inverze vždy shodují. Kvůli křížovým produktům je každá řada intuitivně ${ displaystyle mathbf {A} ^ {- 1}}$ je kolmý k neodpovídajícím dvěma sloupcům ${ displaystyle mathbf {A}}$ (způsobující mimo diagonální podmínky ${ displaystyle mathbf {I} = mathbf {A} ^ {- 1} mathbf {A}}$ být nula). Dělení

${ displaystyle det ( mathbf {A}) = mathbf {x} _ {0} cdot ( mathbf {x} _ {1} krát mathbf {x} _ {2})}$

způsobí diagonální prvky ${ displaystyle mathbf {I} = mathbf {A} ^ {- 1} mathbf {A}}$ být jednotou. Například první úhlopříčka je:

${ displaystyle 1 = { frac {1} { mathbf {x_ {0}} cdot ( mathbf {x} _ {1} times mathbf {x} _ {2})}} mathbf {x_ {0}} cdot ( mathbf {x} _ {1} times mathbf {x} _ {2}).}$

Inverze matic 4 × 4

S rostoucí dimenzí jsou výrazy pro inverzní funkci A zkomplikovat se. Pro n = 4, metoda Cayley-Hamilton vede k výrazu, který je stále přitažlivý:

${ displaystyle mathbf {A} ^ {- 1} = { frac {1} { det ( mathbf {A})}} left [{ frac {1} {6}} left (( operatorname {tr} mathbf {A}) ^ {3} -3 operatorname {tr} mathbf {A} operatorname {tr} mathbf {A} ^ {2} +2 operatorname {tr} mathbf { A} ^ {3} right) mathbf {I} - { frac {1} {2}} mathbf {A} left (( operatorname {tr} mathbf {A}) ^ {2} - operatorname {tr} mathbf {A} ^ {2} right) + mathbf {A} ^ {2} operatorname {tr} mathbf {A} - mathbf {A} ^ {3} right] .}$

Bloková inverze

Matice mohou být také obráceně po blocích pomocí následujícího vzorce pro analytickou inverzi:

${ displaystyle { begin {bmatrix} mathbf {A} & mathbf {B} mathbf {C} & mathbf {D} end {bmatrix}} ^ {- 1} = { begin {bmatrix } mathbf {A} ^ {- 1} + mathbf {A} ^ {- 1} mathbf {B} ( mathbf {D} - mathbf {CA} ^ {- 1} mathbf {B}) ^ {- 1} mathbf {CA} ^ {- 1} & - mathbf {A} ^ {- 1} mathbf {B} ( mathbf {D} - mathbf {CA} ^ {- 1} mathbf {B}) ^ {- 1} - ( mathbf {D} - mathbf {CA} ^ {- 1} mathbf {B}) ^ {- 1} mathbf {CA} ^ {- 1 } & ( mathbf {D} - mathbf {CA} ^ {- 1} mathbf {B}) ^ {- 1} end {bmatrix}},}$

(1)

kde A, B, C a D jsou maticové dílčí bloky libovolné velikosti. (A musí být čtvercový, aby jej bylo možné převrátit. Dále A a D − CA⁻¹B musí být nesmyslné.^[11]) Tato strategie je zvláště výhodná, pokud A je úhlopříčka a D − CA⁻¹B (dále jen Schurův doplněk z A) je malá matice, protože jsou to jediné matice vyžadující inverzi.

Tato technika byla objevena několikrát a je způsobena Hans Boltz (1923),^{[Citace je zapotřebí ]} kdo to použil pro inverzi geodetické matice a Tadeusz Banachiewicz (1937), který ji zobecnil a prokázal její správnost.

The věta o neplatnosti říká, že neplatnost A se rovná neplatnosti dílčího bloku v pravém dolním rohu inverzní matice a že neplatnosti B se rovná neplatnosti dílčího bloku v pravém horním rohu inverzní matice.

Inverzní postup, který vedl k rovnici (1) provedl operace s maticovými bloky, které operovaly C a D za prvé. Místo toho, pokud A a B jsou provozovány jako první a jsou k dispozici D a A − BD⁻¹C jsou nesmyslní,^[12] výsledek je

${ displaystyle { begin {bmatrix} mathbf {A} & mathbf {B} mathbf {C} & mathbf {D} end {bmatrix}} ^ {- 1} = { begin {bmatrix } ( mathbf {A} - mathbf {BD} ^ {- 1} mathbf {C}) ^ {- 1} & - ( mathbf {A} - mathbf {BD} ^ {- 1} mathbf {C}) ^ {- 1} mathbf {BD} ^ {- 1} - mathbf {D} ^ {- 1} mathbf {C} ( mathbf {A} - mathbf {BD} ^ {-1} mathbf {C}) ^ {- 1} & quad mathbf {D} ^ {- 1} + mathbf {D} ^ {- 1} mathbf {C} ( mathbf {A} - mathbf {BD} ^ {- 1} mathbf {C}) ^ {- 1} mathbf {BD} ^ {- 1} end {bmatrix}}.}$

(2)

Rovnice rovnic (1) a (2) vede k

${ displaystyle ( mathbf {A} - mathbf {BD} ^ {- 1} mathbf {C}) ^ {- 1} = mathbf {A} ^ {- 1} + mathbf {A} ^ { -1} mathbf {B} ( mathbf {D} - mathbf {CA} ^ {- 1} mathbf {B}) ^ {- 1} mathbf {CA} ^ {- 1} ,}$

(3)

${ displaystyle ( mathbf {A} - mathbf {BD} ^ {- 1} mathbf {C}) ^ {- 1} mathbf {BD} ^ {- 1} = mathbf {A} ^ {- 1} mathbf {B} ( mathbf {D} - mathbf {CA} ^ {- 1} mathbf {B}) ^ {- 1} ,}$

${ displaystyle mathbf {D} ^ {- 1} mathbf {C} ( mathbf {A} - mathbf {BD} ^ {- 1} mathbf {C}) ^ {- 1} = ( mathbf {D} - mathbf {CA} ^ {- 1} mathbf {B}) ^ {- 1} mathbf {CA} ^ {- 1} ,}$

${ displaystyle mathbf {D} ^ {- 1} + mathbf {D} ^ {- 1} mathbf {C} ( mathbf {A} - mathbf {BD} ^ {- 1} mathbf {C }) ^ {- 1} mathbf {BD} ^ {- 1} = ( mathbf {D} - mathbf {CA} ^ {- 1} mathbf {B}) ^ {- 1} ,}$

kde rovnice (3) je Identita matice Woodburyho, což je ekvivalentní s binomická inverzní věta.

Vzhledem k tomu, že bloková inverze an n × n matice vyžaduje inverzi dvou polovičních matic a 6 násobení mezi dvěma polovičními maticemi, lze ukázat, že algoritmus rozděl a panuj , který používá blokovou inverzi k invertování maticových běhů se stejnou časovou složitostí jako algoritmus násobení matice, který se používá interně.^[13] Existují maticové multiplikační algoritmy se složitostí Ó(n^2.3727) nejlépe prokázanou dolní mezí Ω (n² log n).^[14]

Tento vzorec výrazně zjednodušuje matici bloku vpravo nahoře ${ displaystyle B}$ je nulová matice. Tato formulace je užitečná, když jsou matice ${ displaystyle A}$ a ${ displaystyle D}$ mají relativně jednoduché inverzní vzorce (nebo pseudo inverze v případě, že bloky nejsou všechny čtvercové. V tomto zvláštním případě se stane vzorec inverze blokové matice uvedený výše v úplné obecnosti

${ displaystyle { begin {bmatrix} mathbf {A} & mathbf {0} mathbf {C} & mathbf {D} end {bmatrix}} ^ {- 1} = { begin {bmatrix } mathbf {A} ^ {- 1} & mathbf {0} - mathbf {D} ^ {- 1} mathbf {CA} ^ {- 1} & mathbf {D} ^ {- 1 } end {bmatrix}}.}$

Podle série Neumann

Pokud je to matice A má vlastnost, která

${ displaystyle lim _ {n to infty} ( mathbf {I} - mathbf {A}) ^ {n} = 0}$

pak A je nonsingular a jeho inverzní může být vyjádřena a Neumannova série:^[15]

${ displaystyle mathbf {A} ^ {- 1} = součet _ {n = 0} ^ { infty} ( mathbf {I} - mathbf {A}) ^ {n}.}$

Zkrácení součtu vede k „přibližné“ inverzi, která může být užitečná jako a kondicionér. Všimněte si, že zkrácená řada může být exponenciálně zrychlena upozorněním, že Neumannova řada je a geometrický součet. Jako takový to uspokojuje

${ displaystyle sum _ {n = 0} ^ {2 ^ {L} -1} ( mathbf {I} - mathbf {A}) ^ {n} = prod _ {l = 0} ^ {L -1} ( mathbf {I} + ( mathbf {I} - mathbf {A}) ^ {2 ^ {l}})}$.

Proto pouze ${ displaystyle 2L-2}$ k výpočtu je potřeba maticové násobení ${ displaystyle 2 ^ {L}}$ podmínky součtu.

Obecněji, pokud A je „blízko“ invertibilní matice X V tom smyslu, že

${ displaystyle lim _ {n to infty} ( mathbf {I} - mathbf {X} ^ {- 1} mathbf {A}) ^ {n} = 0 mathrm {~~ nebo ~~ } lim _ {n to infty} ( mathbf {I} - mathbf {A} mathbf {X} ^ {- 1}) ^ {n} = 0}$

pak A je nesmyslný a jeho inverzní je

${ displaystyle mathbf {A} ^ {- 1} = součet _ {n = 0} ^ { infty} left ( mathbf {X} ^ {- 1} ( mathbf {X} - mathbf { A}) right) ^ {n} mathbf {X} ^ {- 1} ~.}$

Pokud je to také tak, že A − X má hodnost 1, pak se to zjednoduší na

${ displaystyle mathbf {A} ^ {- 1} = mathbf {X} ^ {- 1} - { frac { mathbf {X} ^ {- 1} ( mathbf {A} - mathbf {X }) mathbf {X} ^ {- 1}} {1+ operatorname {tr} ( mathbf {X} ^ {- 1} ( mathbf {A} - mathbf {X}))}} ~. }$

p-adická aproximace

Tato sekce potřebuje expanzi. Můžete pomoci přidávat k tomu. (Února 2015)

Li A je matice s celočíselnými nebo racionálními koeficienty a my hledáme řešení v libovolná přesnost racionální, pak a p-adic aproximační metoda konverguje k přesnému řešení v ${ displaystyle O (n ^ {4} log ^ {2} n)}$, za předpokladu standardu ${ displaystyle O (n ^ {3})}$ používá se maticové násobení.^[16] Metoda se spoléhá na řešení n lineární systémy pomocí Dixonovy metody p-adická aproximace (každá v ${ displaystyle O (n ^ {3} log ^ {2} n)}$) a je k dispozici jako takový v softwaru specializovaném na operace s maticí s libovolnou přesností, například v IML.^[17]

Reciproční bazální vektory

Vzhledem k ${ displaystyle n krát n}$ čtvercová matice ${ displaystyle mathbf {X} = [x ^ {ij}]}$, ${ displaystyle 1 leq i, j leq n}$, s ${ displaystyle n}$ řádky interpretovány jako ${ displaystyle n}$ vektory ${ displaystyle mathbf {x} _ {i} = x ^ {ij} mathbf {e} _ {j}}$ (Einsteinův součet předpokládá se), kde ${ displaystyle mathbf {e} _ {j}}$ jsou standardem ortonormální základ z Euklidovský prostor ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ (${ displaystyle mathbf {e} _ {i} = mathbf {e} ^ {i}, mathbf {e} _ {i} cdot mathbf {e} ^ {j} = delta _ {i} ^ {j}}$), poté použijte Cliffordova algebra (nebo Geometrická algebra ) vypočítáme reciproční (někdy nazývaný dvojí ) vektory sloupců ${ displaystyle mathbf {x} ^ {i} = x_ {ji} mathbf {e} ^ {j} = (- 1) ^ {i-1} ( mathbf {x} _ {1} klín cdots wedge () _ {i} wedge cdots wedge mathbf {x} _ {n}) cdot ( mathbf {x} _ {1} wedge mathbf {x} _ {2} klín cdots klín mathbf {x} _ {n}) ^ {- 1}}$ jako sloupce inverzní matice ${ displaystyle mathbf {X} ^ {- 1} = [x_ {ji}]}$. Všimněte si, že místo "${ displaystyle () _ {i}}$„označuje to“${ displaystyle mathbf {x} _ {i}}$"je odstraněn z tohoto místa ve výše uvedeném výrazu pro ${ displaystyle mathbf {x} ^ {i}}$. Pak máme ${ displaystyle mathbf {X} mathbf {X} ^ {- 1} = [ mathbf {x} _ {i} cdot mathbf {x} ^ {j}] = [ delta _ {i} ^ {j}] = mathbf {I} _ {n}}$, kde ${ displaystyle delta _ {i} ^ {j}}$ je Kroneckerova delta. Také máme ${ displaystyle mathbf {X} ^ {- 1} mathbf {X} = [( mathbf {e} _ {i} cdot mathbf {x} ^ {k}) ( mathbf {e} ^ { j} cdot mathbf {x} _ {k})] = [ mathbf {e} _ {i} cdot mathbf {e} ^ {j}] = [ delta _ {i} ^ {j} ] = mathbf {I} _ {n}}$, podle potřeby. Pokud vektory ${ displaystyle mathbf {x} _ {i}}$ tedy nejsou lineárně nezávislé ${ displaystyle ( mathbf {x} _ {1} klín mathbf {x} _ {2} klín cdots klín mathbf {x} _ {n}) = 0}$ a matice ${ displaystyle mathbf {X}}$ není invertibilní (nemá inverzní funkci).

Derivace inverzní matice

Předpokládejme, že invertibilní matice A záleží na parametru t. Pak derivace inverzní z A s ohledem na t darováno^[18]

${ displaystyle { frac { mathrm {d} mathbf {A} ^ {- 1}} { mathrm {d} t}} = - mathbf {A} ^ {- 1} { frac { mathrm {d} mathbf {A}} { mathrm {d} t}} mathbf {A} ^ {- 1}.}$

K odvození výše uvedeného výrazu pro derivaci inverzní funkce k A, lze rozlišit definici inverze matice ${ displaystyle mathbf {A} ^ {- 1} mathbf {A} = mathbf {I}}$ a pak řešit inverzní funkci A:

${ displaystyle { frac { mathrm {d} mathbf {A} ^ {- 1} mathbf {A}} { mathrm {d} t}} = { frac { mathrm {d} mathbf { A} ^ {- 1}} { mathrm {d} t}} mathbf {A} + mathbf {A} ^ {- 1} { frac { mathrm {d} mathbf {A}} { mathrm {d} t}} = { frac { mathrm {d} mathbf {I}} { mathrm {d} t}} = mathbf {0}.}$

Odečítání ${ displaystyle mathbf {A} ^ {- 1} { frac { mathrm {d} mathbf {A}} { mathrm {d} t}}}$ z obou stran výše a vynásobením vpravo o ${ displaystyle mathbf {A} ^ {- 1}}$ dává správný výraz pro derivaci inverzní:

${ displaystyle { frac { mathrm {d} mathbf {A} ^ {- 1}} { mathrm {d} t}} = - mathbf {A} ^ {- 1} { frac { mathrm {d} mathbf {A}} { mathrm {d} t}} mathbf {A} ^ {- 1}.}$

Podobně, pokud ${ displaystyle varepsilon}$ je tedy malé číslo

${ displaystyle left ( mathbf {A} + varepsilon mathbf {X} right) ^ {- 1} = mathbf {A} ^ {- 1} - varepsilon mathbf {A} ^ {- 1 } mathbf {X} mathbf {A} ^ {- 1} + { mathcal {O}} ( varepsilon ^ {2}) ,.}$

Obecněji, pokud

${ displaystyle { frac { mathrm {d} f ( mathbf {A})} { mathrm {d} t}} = součet _ {i} g_ {i} ( mathbf {A}) { frac { mathrm {d} mathbf {A}} { mathrm {d} t}} h_ {i} ( mathbf {A}),}$

pak,

${ displaystyle f ( mathbf {A} + varepsilon mathbf {X}) = f ( mathbf {A}) + varepsilon sum _ {i} g_ {i} ( mathbf {A}) mathbf {X} h_ {i} ( mathbf {A}) + { mathcal {O}} ( varepsilon ^ {2}).}$

Dáno kladné celé číslo ${ displaystyle n}$,

${ displaystyle { begin {aligned} { frac { mathrm {d} mathbf {A} ^ {n}} { mathrm {d} t}} & = sum _ {i = 1} ^ {n } mathbf {A} ^ {i-1} { frac { mathrm {d} mathbf {A}} { mathrm {d} t}} mathbf {A} ^ {ni}, { frac { mathrm {d} mathbf {A} ^ {- n}} { mathrm {d} t}} & = - sum _ {i = 1} ^ {n} mathbf {A} ^ {- i} { frac { mathrm {d} mathbf {A}} { mathrm {d} t}} mathbf {A} ^ {- (n + 1-i)}. end {zarovnáno}}}$

Proto,

${ displaystyle { begin {aligned} ( mathbf {A} + varepsilon mathbf {X}) ^ {n} & = mathbf {A} ^ {n} + varepsilon sum _ {i = 1} ^ {n} mathbf {A} ^ {i-1} mathbf {X} mathbf {A} ^ {ni} + { mathcal {O}} ( varepsilon ^ {2}), ( mathbf {A} + varepsilon mathbf {X}) ^ {- n} & = mathbf {A} ^ {- n} - varepsilon sum _ {i = 1} ^ {n} mathbf {A} ^ {- i} mathbf {X} mathbf {A} ^ {- (n + 1-i)} + { mathcal {O}} ( varepsilon ^ {2}). end {zarovnáno}}}$

Zobecněná inverze

Některé z vlastností inverzních matic sdílí generalizované inverze (například Moore – Penrose inverzní ), které lze definovat pro všechny m-podle-n matice.

Aplikace

Pro většinu praktických aplikací to je ne nutné k převrácení matice k řešení a soustava lineárních rovnic; pro jedinečné řešení však je je nutné, aby příslušná matice byla invertibilní.

Techniky rozkladu jako LU rozklad jsou mnohem rychlejší než inverze a byly také vyvinuty různé rychlé algoritmy pro speciální třídy lineárních systémů.

Regrese / nejmenších čtverců

Ačkoli explicitní inverze není nutná pro odhad vektoru neznámých, je to nejjednodušší způsob, jak odhadnout jejich přesnost, která se nachází v úhlopříčce inverzní matice (zadní kovarianční matice vektoru neznámých). V mnoha případech jsou však známy rychlejší algoritmy pro výpočet pouze diagonálních položek inverzní matice.^[19]

Maticová inverze v simulacích v reálném čase

Maticová inverze hraje významnou roli v počítačová grafika, zejména v 3D grafika vykreslování a 3D simulace. Mezi příklady patří obrazovka na svět odlévání paprskem, transformace objektů svět-subprostor-svět a fyzické simulace.

Matrix se obrací v bezdrátové komunikaci MIMO

Maticová inverze také hraje významnou roli v MIMO (Multiple-Input, Multiple-Output) technologie v bezdrátové komunikaci. Systém MIMO se skládá z N přenášet a M přijímat antény. Jedinečné signály zabírající stejné frekvenční pásmo jsou odesílány prostřednictvím N vysílají antény a jsou přijímány prostřednictvím M přijímat antény. Signál přicházející na každou přijímací anténu bude lineární kombinací N přenášené signály tvořící N × M přenosová matice H. Pro matici je to zásadní H aby byl přijímač invertibilní, aby mohl zjistit přenášenou informaci.

Viz také

• Binomická inverzní věta
• LU rozklad
• Maticový rozklad
• Druhá odmocnina matice
• Vedlejší (lineární algebra)
• Částečná inverze matice
• Pseudoinverze
• Rozklad singulární hodnoty
• Identita matice Woodburyho

Reference

Další čtení

• "Inverze matice", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
• Cormen, Thomas H.; Leiserson, Charles E.; Rivest, Ronald L.; Stein, Clifford (2001) [1990]. "28.4: Invertující matice". Úvod do algoritmů (2. vyd.). MIT Press a McGraw-Hill. 755–760. ISBN  0-262-03293-7.
• Bernstein, Dennis S. (2009). Maticová matematika: Teorie, fakta a vzorce (2. vyd.). Princeton University Press - prostřednictvím Knihy Google.
• Petersen, Kaare Brandt; Pedersen, Michael Syskind (15. listopadu 2012). „Matrix Cookbook“ (PDF). str. 17–23.

externí odkazy

Tento článek je Použití externí odkazy nemusí dodržovat zásady nebo pokyny Wikipedie. Prosím vylepšit tento článek odstraněním nadměrný nebo nemístný externí odkazy a případně převedení užitečných odkazů na odkazy pod čarou. (Červen 2015) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

• Sanderson, Grant (15. srpna 2016). "Inverzní matice, sloupcový prostor a nulový prostor". Esence lineární algebry - přes Youtube.
• Strang, Gilbert. „Přednáška o lineární algebře o inverzních maticích“. MIT OpenCourseWare.
• Symbolická inverzní maticová kalkulačka se zobrazenými kroky
• Moore-Penroseova inverzní matice