Baby monster group - Baby monster group

V oblasti moderní algebry známé jako teorie skupin, dětská skupina příšer B (nebo, jednodušeji, dítě monstrum) je sporadická jednoduchá skupina z objednat

2⁴¹ · 3¹³ · 5⁶ · 7² · 11 · 13 · 17 · 19 · 23 · 31 · 47

= 4154781481226426191177580544000000

= 4,154,781,481,226,426,191,177,580,544,000,000

≈ 4×10³³.

B je jednou z 26 sporadických skupin a má druhý nejvyšší řád z nich, přičemž nejvyšší řád je pořadí skupina příšer. The dvojitý kryt dítěte monstrum je centralizátor prvku řádu 2 ve skupině příšer. The vnější skupina automorfismu je triviální a Multiplikátor Schur má objednávku 2.

Dějiny

Existenci této skupiny navrhl Bernd Fischer v nepublikované práci z počátku 70. let během vyšetřování {3,4} -transpozičních skupin: skupiny generované třídou transpozic tak, že produkt libovolných dvou prvků má řád maximálně 4. Zkoumal jeho vlastnosti a vypočítal jeho tabulka znaků. První stavba dětské příšery byla později realizována jako permutační skupina na 13 571 955 000 bodech pomocí počítače od Jeffrey Leona a Charles Sims,^[1]^[2] ačkoli Robert Griess později našel konstrukci bez počítače s využitím skutečnosti, že její dvojitý kryt je obsažen v monstrum. Název „dětské monstrum“ navrhl John Horton Conway.^[3]

Zastoupení

V charakteristice 0 nemá 4371-rozměrná reprezentace dětské příšery netriviální invariantní algebrickou strukturu analogickou k Griessova algebra, ale Ryba (2007) ukázal, že má takovou invariantní strukturu algebry, pokud je redukovaná modulo 2.

Nejmenší věrná matice zastoupení Baby Monster má velikost 4370 přes konečné pole objednávky 2.

Höhn (1996) postavena a operátor vrcholu algebra jednal podle dítěte monstrum.

Zobecněný monstrózní měsíční svit

Conway a Norton to ve svých příspěvcích z roku 1979 navrhli monstrózní měsíční svit se neomezuje pouze na monstrum, ale podobné jevy lze najít iu jiných skupin. Larissa Queen a další následně zjistili, že lze z mnoha jednoduchých kombinací dimenzí sporadických skupin sestrojit expanze mnoha Hauptmoduln. Pro Baby monstrum B nebo F₂, příslušná série McKay – Thompson je ${ displaystyle T_ {2A} ( tau)}$ kde lze nastavit konstantní člen a (0) = 104.^[4]

{ displaystyle { begin {aligned} j_ {2A} ( tau) & = T_ {2A} ( tau) +104 & = { Big (} { big (} { tfrac { eta ( tau)} { eta (2 tau)}} { big)} ^ {12} + 2 ^ {6} { big (} { tfrac { eta (2 tau)} { eta ( tau)}} { big)} ^ {12} { Big)} ^ {2} & = { frac {1} {q}} + 104 + 4372q + 96256q ^ {2} + 1240002q ^ {3} + 10698752q ^ {4} + cdots end {zarovnáno}}}

a η(τ) je Funkce Dedekind eta.

Maximální podskupiny

Wilson (1999) našel 30 tříd konjugace maximálních podskupin z B jak následuje:

2.²E₆(2):2 Toto je centralizátor involuce a je to podskupina upevňující bod nejmenšího zastoupení permutace na 13 571 955 000 bodech.
2¹⁺²². Co₂
Fi₂₃
2⁹⁺¹⁶.S₈(2)
Čt
(2² × F.₄(2)):2
2^2+10+20(M.₂₂: 2 × S.₃)
[2³⁰] .L₅(2)
S₃ × Fi₂₂:2
[2³⁵]. (S.₅ × L.₃(2))
HN: 2
Ó₈⁺(3): S.₄
3¹⁺⁸.2¹⁺⁶.U₄(2).2
(3²: D₈ × U₄(3).2.2).2
5: 4 × HS: 2
S₄ × ²F₄(2)
[3¹¹]. (S.₄ × 2S₄)
S₅ × M.₂₂:2
(S.₆ × L.₃(4):2).2
5³.L₃(5)
5¹⁺⁴.2¹⁺⁴.A₅.4
(S.₆ × S.₆).4
5²: 4S₄ × S.₅
L₂(49).2₃
L₂(31)
M₁₁
L₃(3)
L₂(17):2
L₂(11):2
47:23

Reference

^ (Gorenstein 1993 )
^ Leon, Jeffrey S .; Sims, Charles C. (1977). „Existence a jedinečnost jednoduché skupiny generované {3,4} -transpozicemi“. Býk. Amer. Matematika. Soc. 83 (5): 1039–1040. doi:10.1090 / s0002-9904-1977-14369-3.
^ Ronan, Mark (2006). Symetrie a monstrum. Oxford University Press. str.178 –179. ISBN 0-19-280722-6.
^ Sloane, N. J. A. (vyd.). „Sequence A007267“. The On-line encyklopedie celočíselných sekvencí. Nadace OEIS.

Gorenstein, D. (1993), „Stručná historie sporadických jednoduchých skupin“, Corwin, L .; Gelfand, I.M .; Lepowsky, James (eds.), Gelʹfandovy matematické semináře, 1990–1992, Boston, MA: Birkhäuser Boston, s. 137–143, ISBN 978-0-8176-3689-0, PAN 1247286
Höhn, Gerald (1996), Selbstduale Vertexoperatorsuperalgebren und das Babymonster, Bonner Mathematische Schriften [Bonn Mathematical Publications], 286, Bonn: Universität Bonn Mathematisches Institut, arXiv:0706.0236, Bibcode:2007arXiv0706.0236H, PAN 1614941
Ryba, Alexander J. E. (2007), „Přirozená invariantní algebra pro skupinu Baby Monster“, Journal of Group Theory, 10 (1): 55–69, doi:10.1515 / JGT.2007.006, PAN 2288459
Wilson, Robert A. (1999), „Maximální podskupiny Baby Monster. I“, Journal of Algebra, 211 (1): 1–14, doi:10.1006 / jabr.1998.7601, PAN 1656568

externí odkazy

[1] (Gorenstein 1993 )

[2] Leon, Jeffrey S .; Sims, Charles C. (1977). „Existence a jedinečnost jednoduché skupiny generované {3,4} -transpozicemi“. Býk. Amer. Matematika. Soc. 83 (5): 1039–1040. doi:10.1090 / s0002-9904-1977-14369-3.

[3] Ronan, Mark (2006). Symetrie a monstrum. Oxford University Press. str.178 –179. ISBN 0-19-280722-6.

[4] Sloane, N. J. A. (vyd.). „Sequence A007267“. The On-line encyklopedie celočíselných sekvencí. Nadace OEIS.

[1]

[2]

[3]

[4]