Inverzní poloskupina - Inverse semigroup - Wikipedia

Algebraické struktury mezi magmas a skupiny. An inverzní poloskupina je poloskupina s invertibilitou.

v skupina teorie, an inverzní poloskupina (příležitostně volal inverzní poloskupina^[1]) S je poloskupina ve kterém každý prvek X v S má jedinečný inverzní y v S V tom smyslu, že x = xyx a y = yxy, tj pravidelná poloskupina ve kterém má každý prvek jedinečnou inverzi. Inverzní poloskupiny se objevují v řadě kontextů; mohou být například zaměstnáni při studiu částečné symetrie.^[2]

(V tomto článku bude použita konvence psaní funkce napravo od jejího argumentu, např. x f spíše než f (x)a skládání funkcí zleva doprava - konvence často pozorovaná v teorii semigroup.)

Počátky

Inverzní poloskupiny byly zavedeny nezávisle na sobě Viktor Vladimirovič Wagner^[3] v Sovětský svaz v roce 1952,^[4] a tím Gordon Preston v Spojené království v roce 1954.^[5] Oba autoři dospěli k inverzním poloskupinám studiem částečné bijekce a soubor: a částečná transformace α sady X je funkce z A na B, kde A a B jsou podmnožiny X. Nechat α a β být částečné transformace množiny X; α a β lze skládat (zleva doprava) na největší doména načež je „dává smysl“ je sestavit:

${ displaystyle operatorname {dom} alpha beta = [ operatorname {im} alpha cap operatorname {dom} beta] alpha ^ {- 1} ,}$

kde α⁻¹ označuje preimage podα. Dílčí transformace již byly studovány v kontextu pseudoskupiny.^[6] Byl to však Wagner, kdo jako první zjistil, že složení částečných transformací je zvláštním případem složení binárních vztahů.^[7] Uznal také, že doménou složení dvou dílčích transformací může být prázdná sada, a tak představil prázdná transformace toto zohlednit. S přidáním této prázdné transformace se složení částečných transformací množiny stává všude definovanou asociativní binární operace. Pod tímto složením kolekce ${ displaystyle { mathcal {I}} _ {X}}$ všech částečných transformací jedné sady X tvoří inverzní poloskupinu, která se nazývá symetrická inverzní poloskupina (nebo monoid) na X, s inverzní funkční inverzí definovanou od obrázku k doméně (ekvivalentně konverzní vztah ).^[8] Toto je „archetypální“ inverzní poloskupina stejným způsobem jako a symetrická skupina je archetypální skupina. Například jako každý skupina lze vložit do a symetrická skupina, každou inverzní poloskupinu lze vložit do symetrické inverzní poloskupiny (viz § Homomorfismy a reprezentace inverzních poloskupin níže).

Základy

Inverzní hodnota prvku X inverzní poloskupiny S je obvykle psáno X⁻¹. Inverze v inverzní poloskupině mají mnoho stejných vlastností jako inverze v a skupina, například, (ab)⁻¹ = b⁻¹A⁻¹. V inverzi monoidní, xx⁻¹ a X⁻¹X se nemusí nutně rovnat identitě, ale jsou oba idempotentní.^[9] Inverzní monoid S ve kterém xx⁻¹ = 1 = X⁻¹X, pro všechny X v S (A unipotentní inverzní monoid), je samozřejmě a skupina.

Existuje řada ekvivalentních charakteristik inverzní poloskupiny S:^[10]

• Každý prvek S má jedinečnou inverzi ve výše uvedeném smyslu.
• Každý prvek S má alespoň jednu inverzi (S je pravidelná poloskupina ) a idempotents dojíždět (tj idempotents z S formulář a semilattice ).
• Každý ${ displaystyle { mathcal {L}}}$-třída a všichni ${ displaystyle { mathcal {R}}}$-class obsahuje přesně jednu idempotentní, kde ${ displaystyle { mathcal {L}}}$ a ${ displaystyle { mathcal {R}}}$ jsou dva z Greenovy vztahy.

The idempotentní v ${ displaystyle { mathcal {L}}}$-třída s je s⁻¹s, zatímco idempotentní v ${ displaystyle { mathcal {R}}}$-třída s je ss⁻¹. Existuje tedy jednoduchá charakteristika Greenovy vztahy v inverzní poloskupině:^[11]

${ displaystyle a , { mathcal {L}} , b Longleftrightarrow a ^ {- 1} a = b ^ {- 1} b, quad a , { mathcal {R}} , b Longleftrightarrow aa ^ {- 1} = bb ^ {- 1}}$

Pokud není uvedeno jinak, E (S) bude označovat semilattice idempotentů inverzní poloskupiny S.

Příklady inverzních poloskupin

• Li X je sada a ${ displaystyle { mathcal {B}} (X)}$ je sbírka homogenní vztahy na X s složení vztahů jako binární operace ${ displaystyle { mathcal {B}} (X)}$ tvoří inverzní poloskupinu, protože každý vztah má a konverzní vztah, který slouží jako inverzní.
• Každý skupina je inverzní poloskupina.
• The bicyklická poloskupina je inverzní, s (A,b)⁻¹ = (b,A).
• Každý semilattice je inverzní.
• The Brandtova poloskupina je inverzní.
• The Munnova poloskupina je inverzní.

Příklad tabulky násobení. Je asociativní a každý prvek má svou vlastní inverzi podle aba = a, bab = b. Nemá žádnou identitu a není komutativní.

Přirozený dílčí řád

Inverzní poloskupina S má a přírodní částečná objednávka vztah ≤ (někdy označovaný ω), který je definován následujícím způsobem:^[12]

${ displaystyle a leq b Longleftrightarrow a = eb,}$

pro některé idempotentní E v S. Ekvivalentně

${ displaystyle a leq b Longleftrightarrow a = bf,}$

pro některé (obecně odlišné) idempotentní F v S. Ve skutečnosti, E lze považovat za aa⁻¹ a F být A⁻¹A.^[13]

Přírodní částečná objednávka je kompatibilní jak s násobením, tak s inverzí, tj.^[14]

${ displaystyle a leq b, c leq d Longrightarrow ac leq bd}$

a

${ displaystyle a leq b Longrightarrow a ^ {- 1} leq b ^ {- 1}.}$

V skupina, tento částečná objednávka jednoduše redukuje na rovnost, protože identita je jediná idempotentní. V symetrické inverzní poloskupině je částečná objednávka redukuje na omezení mapování, tj. α ≤ β jestliže, a to pouze v případě, že doména α je obsažena v doméně β a Xα = Xβ, pro všechny X v doméně α.^[15]

Přirozený částečný řád na inverzní poloskupině interaguje s Greenovy vztahy takto: pokud s ≤ t a s${ displaystyle , { mathcal {L}} ,}$t, pak s = t. Podobně, pokud s${ displaystyle , { mathcal {R}} ,}$t.^[16]

Na E (S), přírodní částečná objednávka se stává:

${ displaystyle e leq f Longleftrightarrow e = ef,}$

takže, protože idempotents tvoří polotovar pod operací produktu, produkty na E (S) dát nejméně horních mezí vzhledem k ≤.

Li E (S) je konečný a tvoří a řetěz (tj., E (S) je zcela objednané o ≤) S je unie z skupiny.^[17] Li E (S) je nekonečný řetěz je možné získat analogický výsledek za dalších hypotéz dne S a E (S).^[18]

Homomorfismy a reprezentace inverzních poloskupin

A homomorfismus (nebo morfismus) inverzních poloskupin je definován přesně stejným způsobem jako u jakékoli jiné poloskupiny: pro inverzní poloskupiny S a T, a funkce θ z S na T je morfismus, pokud (sθ)(tθ) = (Svatý)θ, pro všechny s,t v S. Definici morfismu inverzních poloskupin lze rozšířit zahrnutím podmínky (sθ)⁻¹ = s⁻¹θ, nicméně není třeba tak činit, protože tato vlastnost vyplývá z výše uvedené definice, prostřednictvím následující věty:

Teorém. Homomorfní obraz inverzní poloskupiny je inverzní poloskupina; inverze prvku je vždy mapována na inverzi prvku obraz tohoto prvku.^[19]

Jedním z prvních výsledků prokázaných o inverzních semigroupech bylo Wagnerova – Prestonova věta, což je obdoba Cayleyho věta pro skupiny:

Wagnerova – Prestonova věta. Li S je inverzní poloskupina, pak funkce φ z S na ${ displaystyle { mathcal {I}} _ {S}}$, dána

dom (Aφ) = Sa⁻¹ a X(Aφ) = xa

je věřící zastoupení z S.^[20]

Libovolná inverzní poloskupina může být tedy vložena do symetrické inverzní poloskupiny a při částečném bijekce může být obraz uzavřen v rámci inverzní operace. Naopak každá podskupina symetrické inverzní poloskupiny uzavřená v rámci inverzní operace je inverzní poloskupinou. Proto semigroup S je izomorfní s podskupinou symetrické inverzní poloskupiny uzavřené pod inverzemi právě tehdy S je inverzní poloskupina.

Shodnosti na inverzních poloskupinách

Shody jsou definovány na inverzních poloskupinách přesně stejným způsobem jako u jakékoli jiné poloskupiny: a shoda ρ je vztah ekvivalence který je kompatibilní s násobením poloskupin, tj.

${ Displaystyle a , rho , b, quad c , rho , d Longrightarrow ac , rho , bd.}$^[21]

Zvláště zajímavý je vztah ${ displaystyle sigma}$, definované na inverzní poloskupině S podle

${ displaystyle a , sigma , b Longleftrightarrow}$ existuje a ${ displaystyle c v S}$ s ${ displaystyle c leq a, b.}$^[22]

To lze ukázat σ je shoda a ve skutečnosti je skupinová shoda, což znamená, že faktorová poloskupina S/σ je skupina. V sadě všech skupinových kongruencí na poloskupině S, minimální prvek (pro částečné pořadí definované zahrnutím množin) nemusí být nejmenší prvek. V konkrétním případě, ve kterém S je inverzní poloskupina σ je nejmenší shoda na S takhle S/σ je skupina, tj. pokud τ je nějaká jiná shoda na S s S/τ skupinu σ je obsažen v τ. Shoda σ se nazývá minimální shoda skupiny na S.^[23] K charakterizaci lze použít minimální skupinovou kongruenci E-unitární inverzní poloskupiny (viz níže).

Shoda ρ na inverzní poloskupinu S je nazýván idempotent čistý -li

${ displaystyle a v S, e v E (S), a , rho , e Longrightarrow a v E (S).}$^[24]

E-unitární inverzní poloskupiny

Jednou třídou inverzních poloskupin, která byla v průběhu let intenzivně studována, je třída E-unitární inverzní poloskupiny: inverzní poloskupina S (s semilattice E z idempotents ) je E-unitární pokud pro všechny E v E a všechno s v S,

${ displaystyle es in E Longrightarrow s v E.}$

Ekvivalentně

${ displaystyle se in E Rightarrow s v E.}$^[25]

Jedna další charakteristika souboru E-unitární inverzní poloskupina S je následující: pokud E je v E a E ≤ s, pro některé s v S, pak s je v E.^[26]

Teorém. Nechat S být inverzní poloskupinou s semilattice E idempotentů a minimální kongruence skupiny σ. Pak jsou ekvivalentní následující:^[27]

• S je E-unitární;
• σ je idempotentní čistý;
• ${ displaystyle sim}$ = σ,

kde ${ displaystyle sim}$ je vztah kompatibility na S, definován

${ displaystyle a sim b Longleftrightarrow ab ^ {- 1}, a ^ {- 1} b}$ jsou idempotentní.

McAlisterova krycí věta. Každá inverzní poloskupina S má E-unitární kryt; to znamená, že existuje idempotent oddělující surjektivní homomorfismus od nějaké E-jednotné poloskupiny T na S.^[28]

Centrální pro studium E-unitary inverzní poloskupiny je následující konstrukce.^[29] Nechat ${ displaystyle { mathcal {X}}}$ být částečně objednaná sada, při objednání ≤, a nechat ${ displaystyle { mathcal {Y}}}$ být podmnožina z ${ displaystyle { mathcal {X}}}$ s vlastnostmi, které

• ${ displaystyle { mathcal {Y}}}$ je dolní pololattice, tj. každý pár prvků A, B v ${ displaystyle { mathcal {Y}}}$ má největší dolní mez A ${ displaystyle klín}$ B v ${ displaystyle { mathcal {Y}}}$ (s ohledem na ≤);
• ${ displaystyle { mathcal {Y}}}$ je objednat ideální z ${ displaystyle { mathcal {X}}}$, to znamená pro A, B v ${ displaystyle { mathcal {X}}}$, pokud A je v ${ displaystyle { mathcal {Y}}}$ a B ≤ A, pak B je v ${ displaystyle { mathcal {Y}}}$.

Tak teď G být skupina že činy na ${ displaystyle { mathcal {X}}}$ (vlevo), tak, že

• pro všechny G v G a všechno A, B v ${ displaystyle { mathcal {X}}}$, gA = gB pokud, a pouze pokud, A = B;
• pro každého G v G a každý B v ${ displaystyle { mathcal {X}}}$, existuje A v ${ displaystyle { mathcal {X}}}$ takhle gA = B;
• pro všechny A, B v ${ displaystyle { mathcal {X}}}$, A ≤ B pokud, a pouze pokud, gA ≤ gB;
• pro všechny G, h v G a všechno A v ${ displaystyle { mathcal {X}}}$, G(hA) = (gh)A.

Trojnásobný ${ displaystyle (G, { mathcal {X}}, { mathcal {Y}})}$ také se předpokládá, že má následující vlastnosti:

• pro každého X v ${ displaystyle { mathcal {X}}}$, existuje a G v G a A v ${ displaystyle { mathcal {Y}}}$ takhle gA = X;
• pro všechny G v G, G${ displaystyle { mathcal {Y}}}$ a ${ displaystyle { mathcal {Y}}}$ mít neprázdnou křižovatku.

Taková trojka ${ displaystyle (G, { mathcal {X}}, { mathcal {Y}})}$ se nazývá a McAlister trojnásobný. McAlister Triple se používá k definování následujících položek:

${ displaystyle P (G, { mathcal {X}}, { mathcal {Y}}) = {(A, g) v { mathcal {Y}} krát G: g ^ {- 1} A in { mathcal {Y}} }}$

spolu s násobením

${ displaystyle (A, g) (B, h) = (A klín gB, gh)}$.

Pak ${ displaystyle P (G, { mathcal {X}}, { mathcal {Y}})}$ je inverzní poloskupina v rámci tohoto násobení, s (A,G)⁻¹ = (G⁻¹A, G⁻¹). Jedním z hlavních výsledků ve studiu E-unitární inverzní poloskupiny je McAlisterova P-věta:

McAlisterova P-věta. Nechat ${ displaystyle (G, { mathcal {X}}, { mathcal {Y}})}$ být trojnásobným McAlisterem. Pak ${ displaystyle P (G, { mathcal {X}}, { mathcal {Y}})}$ je E-unitární inverzní poloskupina. Naopak každý E-unitární inverzní poloskupina je izomorfní k jednomu z tohoto typu.^[30]

F- inverzní poloskupiny

Říká se, že inverzní poloskupina je F-v opačném případě, pokud má každý prvek a unikátní maximální prvek nad ním v přirozeném dílčím pořadí, tj. každý σ-class má maximální prvek. Každý F-inverzní poloskupina je E-unitární monoid. McAlisterova krycí věta byla vylepšena M.V. Lawson na:

Teorém. Každá inverzní poloskupina má F- inverzní kryt.^[31]

McAlister P-téma byla použita k charakterizaci F- také inverzní poloskupiny. McAlister trojnásobný ${ displaystyle (G, { mathcal {X}}, { mathcal {Y}})}$ je F-inverzní poloskupina právě tehdy ${ displaystyle { mathcal {Y}}}$ je hlavním ideálem ${ displaystyle { mathcal {X}}}$ a ${ displaystyle { mathcal {X}}}$ je semilattice.

Zdarma inverzní poloskupiny

Konstrukce podobná a volná skupina je možné pro inverzní poloskupiny. A prezentace volné inverzní poloskupiny na množině X lze získat zvážením bezplatná semigroup s involucí, kde involuce je převzetí inverze, a poté převzetí kvocientu podle Vágnerova shoda

${ displaystyle {(xx ^ {- 1} x, x), ; (xx ^ {- 1} yy ^ {- 1}, yy ^ {- 1} xx ^ {- 1}) ; | ; x, y in (X cup X ^ {- 1}) ^ {+} }.}$

The slovní úloha pro volné inverzní poloskupiny je mnohem složitější než u bezplatných skupin. Oslavovaný výsledek v této oblasti kvůli W. D. Munn který ukázal, že prvky volné inverzní poloskupiny lze přirozeně považovat za stromy známé jako Munnovy stromy. Násobení ve volné inverzní poloskupině má korespondenta Munn stromy, který v zásadě sestává z překrývajících se společných částí stromů. (další podrobnosti viz Lawson 1998)

Libovolná volná inverzní poloskupina je F-inverzní.^[31]

Spojení s teorií kategorií

Výše uvedené složení parciálních transformací množiny vede k symetrické inverzní poloskupině. Existuje další způsob skládání částečných transformací, který je více omezující než ten použitý výše: dvě částečné transformace α a β jsou složeny tehdy a jen tehdy, je-li obraz α roven doméně β; jinak je složení αβ nedefinováno. V rámci této alternativní kompozice kolekce všech částečných transformací jedné sady není inverzní poloskupinou, ale an induktivní grupoid, ve smyslu teorie kategorií. Toto úzké spojení mezi inverzními poloskupinami a indukčními grupoidy je ztělesněno v Ehresmann – Schein – Nambooripadova věta, který uvádí, že indukční grupoid lze vždy sestrojit z inverzní poloskupiny a naopak.^[32] Přesněji řečeno, inverzní poloskupina je přesně grupoid v kategorii posetů, což je étale groupoid s ohledem na jeho (duální) Alexandrovská topologie a jehož poset objektů je meet-semilattice.

Zobecnění inverzních poloskupin

Jak je uvedeno výše, inverzní poloskupina S lze definovat podle podmínek (1) S je pravidelná poloskupina a (2) idempotents v S dojíždět; to vedlo ke dvěma odlišným třídám zevšeobecňování inverzní poloskupiny: semigroup, ve kterých platí (1), ale (2) nikoli, a naopak.

Příklady pravidelných zobecnění inverzní poloskupiny jsou:^[33]

• Pravidelné poloskupiny: a poloskupina S je pravidelný pokud má každý prvek alespoň jednu inverzi; ekvivalentně pro každého A v S, tady je X v S takhle axa = A.
• Lokálně inverzní poloskupiny: a pravidelná poloskupina S je lokálně inverzní -li eSe je pro každou inverzní poloskupinu idempotentní E.
• Pravoslavné poloskupiny: a pravidelná poloskupina S je ortodoxní pokud je jeho podmnožina idempotents tvoří podskupinu.
• Zobecněné inverzní poloskupiny: a pravidelná poloskupina S se nazývá a zobecněná inverzní poloskupina jestli je to idempotents tvoří normální pás, tj. xyzx = xzyx, pro všechny idempotents X, y, z.

The třída zobecněných inverzních poloskupin je průsečík třídy místně inverzních poloskupin a třídy ortodoxních poloskupin.^[34]

Mezi nepravidelné zobecnění inverzní poloskupiny patří:^[35]

• (Levá, pravá, oboustranná) adekvátní poloskupiny.
• (Levá, pravá, oboustranná) dostatek poloskupin.
• (Levá, pravá, oboustranná) semiadequate semigroup.
• Slabě (levý, pravý, oboustranný) dostatek poloskupin.

Inverzní kategorie

Tento pojem inverze také snadno zobecňuje Kategorie. An inverzní kategorie je prostě kategorie, ve které každý morfismus F : X → Y má zobecněnou inverzi G : Y → X takhle fgf = F a gfg = G. Inverzní kategorie je sobecký. Kategorie sad a částečné bijekce je ukázkovým příkladem.^[36]

Inverzní kategorie nalezly v aplikaci různé aplikace teoretická informatika.^[37]

Viz také

Poznámky

Reference

• Clifford, A. H .; Preston, G. B. (1967). Algebraická teorie poloskupin. Matematické průzkumy Americké matematické společnosti. 7. ISBN  978-0-8218-0272-4.
• Fountain, J. B. (1979). „Přiměřené poloskupiny“. Sborník Edinburgh Mathematical Society. 22 (2): 113–125. doi:10.1017 / S0013091500016230.
• Gołab, St. (1939). „Über den Begriff der“ Pseudogruppe von Transformationen"". Mathematische Annalen (v němčině). 116: 768–780. doi:10.1007 / BF01597390.
• Exel, R. (1998). "Částečné akce skupin a akce inverzních poloskupin". Proceedings of the American Mathematical Society. 126 (12): 3481–4. arXiv:funct-an / 9511003. doi:10.1090 / S0002-9939-98-04575-4.
• Gould, V. „(Slabě) opustil E-dostatek poloskupin“. Archivovány od originál (Postscript) dne 26. 8. 2005. Citováno 2006-08-28.
• Howie, J. M. (1995). Základy teorie semigroup. Oxford: Clarendon Press. ISBN  0198511949.
• Lawson, M. V. (1998). Inverzní poloskupiny: Teorie částečných symetrií. World Scientific. ISBN  9810233167.
• McAlister, D. B. (1974a). Msgstr "Skupiny, polopřípoje a inverzní poloskupiny". Transakce Americké matematické společnosti. 192: 227–244. doi:10.2307/1996831. JSTOR  1996831.
• McAlister, D. B. (1974b). "Skupiny, pololatice a inverzní poloskupiny II". Transakce Americké matematické společnosti. 196: 351–370. doi:10.2307/1997032. JSTOR  1997032.
• Petrich, M. (1984). Inverzní poloskupiny. Wiley. ISBN  0471875457.
• Preston, G. B. (1954a). "Inverzní poloskupiny". Journal of the London Mathematical Society. 29 (4): 396–403. doi:10.1112 / jlms / s1-29.4.396.
• Preston, G. B. (1954b). Msgstr "Inverzní poloskupiny s minimálními pravými ideály". Journal of the London Mathematical Society. 29 (4): 404–411. doi:10.1112 / jlms / s1-29.4.404.
• Preston, G. B. (1954c). "Reprezentace inverzních poloskupin". Journal of the London Mathematical Society. 29 (4): 411–9. doi:10.1112 / jlms / s1-29.4.411.
• Schein, B. M. (1981). „Nekrolog: Viktor Vladimirovič Vagner (1908–1981)“. Semigroup Forum. 28: 189–200. doi:10.1007 / BF02676643.
• Schein, B. M. (2002). „Recenze knihy:„ Inverzní semigroup: Teorie částečných symetrií “od Marka V. Lawsona. Semigroup Forum. 65: 149–158. doi:10,1007 / s002330010132.
• Wagner, V. V. (1952). "Zobecněné skupiny". Sborník Akademie věd SSSR (v Rusku). 84: 1119–1122. anglický překlad (PDF)
• Wagner, V. V. (1953). "Teorie zobecněných hromad a zobecněných skupin". Matematicheskii Sbornik. Novaya Seriya (v ruštině). 32 (74): 545–632.

Další čtení

• Stručný úvod k inverzním poloskupinám najdete v obou Clifford & Preston 1967, Kapitola 7 nebo Howie 1995, Kapitola 5.
• Podrobnější úvody najdete v Petrich 1984 a Lawson 1998.
• Linckelmann, M. (2012). „O inverzních kategoriích a přenosu v cohomologii“ (PDF). Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society. 56: 187. doi:10.1017 / S0013091512000211. Předtisk otevřeného přístupu