Kategorie topologických prostorů - Category of topological spaces

v matematika, kategorie topologických prostorů, často označován Horní, je kategorie jehož předměty jsou topologické prostory a jehož morfismy jsou průběžné mapy. Toto je kategorie, protože složení dvou spojitých map je opět spojitá a funkce identity je spojitá. Studium Horní a vlastností topologické prostory pomocí technik teorie kategorií je známý jako kategorická topologie.

N.B. Někteří autoři používají název Horní pro kategorie s topologické potrubí nebo s kompaktně generované prostory jako objekty a spojité mapy jako morfismy.

Jako konkrétní kategorie

Stejně jako mnoho kategorií i kategorie Horní je konkrétní kategorie, což znamená, že jeho objekty jsou sady s další strukturou (tj. topologiemi) a jejími morfismy jsou funkce zachování této struktury. Existuje přírodní zapomnětlivý funktor

U : Horní → Soubor

do kategorie sad který přiřadí každému topologickému prostoru podkladovou množinu a každé spojité mapě podklad funkce.

Zapomnětlivý funktor U má obojí vlevo adjoint

D : Soubor → Horní

který vybavuje danou sadu s diskrétní topologie a pravý adjoint

Já : Soubor → Horní

který vybavuje danou sadu s neurčitá topologie. Oba tyto funktory jsou ve skutečnosti pravé inverze na U (znamenající, že UD a UI jsou rovny funktor identity na Soubor). Navíc, protože jakákoli funkce mezi diskrétními nebo mezi indiskrétními prostory je spojitá, dávají oba tyto funktory plné vložení z Soubor do Horní.

Horní je také vlákno kompletní což znamená, že kategorie všech topologií na danou sadu X (volal vlákno z U výše X) tvoří a úplná mříž na objednávku zařazení. The největší prvek v tomto vlákně je diskrétní topologie zapnutá X, zatímco nejmenší prvek je neurčitá topologie.

Horní je model toho, co se nazývá a topologická kategorie. Tyto kategorie se vyznačují skutečností, že každý strukturovaný zdroj ${ displaystyle (X až UA_ {i}) _ {I}}$ má jedinečný počáteční zdvih ${ displaystyle (A až A_ {i}) _ {I}}$ . v Horní počáteční zdvih se dosáhne umístěním počáteční topologie na zdroji. Topologické kategorie mají mnoho společných vlastností Horní (jako je úplnost vláken, diskrétní a indiskrétní funktory a jedinečné zvedání limitů).

Limity a kolimity

Kategorie Horní je obojí úplné a dokončené, což znamená, že všechny malé limity a kolimity existuje v Horní. Ve skutečnosti zapomnětlivý funktor U : Horní → Soubor jedinečně zvedá limity a kolimity a také je zachovává. Proto (co) limity v Horní jsou dány umístěním topologií na odpovídající (ko) limity v Soubor.

Konkrétně pokud F je diagram v Horní a (L, φ : L → F) je limit UF v Soubor, odpovídající limit F v Horní se získá umístěním počáteční topologie na (L, φ : L → F). Dvojitě, kolimity Horní jsou získány umístěním konečná topologie na odpovídajících kolimitách v Soubor.

Na rozdíl od mnoha algebraický kategorie, zapomnětlivý funktor U : Horní → Soubor nevytváří ani neodráží limity, protože obvykle budou neuniverzální šišky v Horní pokrývající univerzální kužely v Soubor.

Příklady limitů a kolimit v Horní zahrnout:

The prázdná sada (považovaný za topologický prostor) je počáteční objekt z Horní; žádný jedináček topologický prostor je a koncový objekt. Neexistují tedy žádné nulové objekty v Horní.
The produkt v Horní je dán topologie produktu na kartézský součin. The koprodukt je dán disjunktní unie topologických prostorů.
The ekvalizér dvojice morfismů je dána umístěním topologie podprostoru na teoreticko-teoretickém ekvalizéru. Dvojitě ekvalizér je dáno umístěním kvocient topologie na množinově-teoretickém ekvalizéru.
Přímé limity a inverzní limity jsou set-teoretické limity s konečná topologie a počáteční topologie resp.
Adjunkční prostory jsou příkladem tlačení v Horní.

Další vlastnosti

The monomorfismy v Horní jsou injekční průběžné mapy, epimorfismus jsou surjektivní průběžné mapy a izomorfismy jsou homeomorfismy.
The extrémní monomorfismy jsou (až do izomorfismu) podprostor vložení. Ve skutečnosti v Horní všechny extrémní monomorfismy náhodou uspokojují silnější vlastnost bytí pravidelný.
Extrémní epimorfismy jsou (v podstatě) kvocientové mapy. Každý extrémní epimorfismus je pravidelný.
Rozdělené monomorfismy jsou (v podstatě) inkluze stáhne do jejich okolního prostoru.
Rozdělené epimorfismy jsou (až po izomorfismus) spojité surjektivní mapy prostoru na jednom z jeho zatažení.
Nejsou k dispozici žádné nulové morfismy v Hornía zejména tato kategorie není předem připravený.
Horní není kartézský zavřený (a proto také není topos ) protože to nemá exponenciální objekty pro všechny prostory. Pokud je tato funkce požadována, lze se omezit na celou podkategorii kompaktně generované Hausdorffovy prostory CGHaus.

Vztahy k jiným kategoriím

Kategorie špičaté topologické prostory Horní_• je kategorie koslice přes Horní.
The kategorie homotopy hTop má topologické prostory pro objekty a třídy rovnocennosti homotopy spojitých map pro morfismy. Tohle je kategorie kvocientu z Horní. Lze rovněž vytvořit kategorii špičaté homotopy hTop_•.
Horní obsahuje důležitou kategorii Haus z Hausdorffovy prostory jako celá podkategorie. Přidaná struktura této podkategorie umožňuje více epimorfismů: epimorfismy v této podkategorii jsou ve skutečnosti přesně ty morfismy, hustý snímky v jejich codomains, takže epimorfismy nemusí být surjektivní.
Horní obsahuje celou podkategorii CGHaus z kompaktně generované Hausdorffovy prostory, který má důležitou vlastnost být a Kartézská uzavřená kategorie zatímco stále obsahuje všechny typické zájmové prostory. To dělá CGHaus zvláště výhodná kategorie topologických prostorů který se často používá místo Horní.
Zapomnětlivý funktor Soubor má levý i pravý adjoint, jak je popsáno výše v sekci konkrétní kategorie.
Do kategorie je funktor národní prostředí Loc zaslání topologického prostoru na jeho národní prostředí otevřených množin. Tento funktor má pravý adjoint, který posílá každé národní prostředí do jeho topologického prostoru bodů. Toto doplnění se omezuje na rovnocennost mezi kategorií střízlivé prostory a prostorová národní prostředí.

Reference

Herrlich, Horst: Topologische Reflexionen und Coreflexionen. Springer Lecture Notes in Mathematics 78 (1968).
Herrlich, Horst: Kategorická topologie 1971–1981. In: General Topology and its Relations to Modern Analysis and Algebra 5, Heldermann Verlag 1983, pp. 279–383.
Herrlich, Horst & Strecker, George E .: Kategorická topologie - její počátky, jak dokládá vývoj teorie topologických reflexí a koreflexí před rokem 1971. In: Handbook of the History of General Topology (eds. C.E.Aull & R. Lowen), Kluwer Acad. Publ. sv. 1 (1997), str. 255–341.
Adámek, Jiří, Herrlich, Horst, & Strecker, George E .; (1990). Abstraktní a konkrétní kategorie (4,2 MB PDF). Původně publ. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6. (nyní zdarma on-line vydání).