Kubická rovnice - Cubic equation

Graf kubické funkce s 3 nemovitý kořeny (kde křivka protíná vodorovnou osu v y = 0). Zobrazený případ má dva kritické body. Tady je funkce F(X) = (X³ + 3X² − 6X − 8)/4.

v algebra, a kubická rovnice v jedné proměnné je rovnice formuláře

${ displaystyle ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = 0}$

ve kterém A je nenulová.

Řešení této rovnice se nazývají kořeny z kubická funkce definovaný levou stranou rovnice. Pokud všechny koeficienty A, b, C, a d kubické rovnice jsou reálná čísla, pak má alespoň jeden skutečný kořen (to platí pro všechny liché stupně polynomiální funkce ). Všechny kořeny kubické rovnice lze najít následujícími způsoby:

• algebraicky, tj. mohou být vyjádřeny a kubický vzorec zahrnující čtyři koeficienty, čtyři základní aritmetické operace a nth kořeny (radikály). (To platí také o kvadratický (druhého stupně) a kvartální (čtvrtý stupeň) rovnice, ale nikoli rovnice vyššího stupně, podle Abel – Ruffiniho věta.)
• trigonometricky
• numerické aproximace kořenů lze nalézt pomocí algoritmy hledání kořenů jako Newtonova metoda.

Koeficienty nemusí být reálná čísla. Hodně z toho, co je popsáno níže, platí pro koeficienty v jakémkoli pole s charakteristický jiné než 2 a 3. Řešení kubické rovnice nemusí nutně patřit do stejného pole jako koeficienty. Například některé kubické rovnice s racionálními koeficienty mají kořeny, které jsou iracionální (a dokonce i nereálné) komplexní čísla.

Dějiny

Kubické rovnice byly známy starým Babyloňanům, Řekům, Číňanům, Indům a Egypťanům.^[1][2][3] Babylonian Byly nalezeny klínové písmo (20. až 16. století před naším letopočtem) s tabulkami pro výpočet kostek a kořenů krychle.^[4][5] Babylóňané mohli použít tabulky k řešení kubických rovnic, ale neexistují žádné důkazy, které by to potvrzovaly.^[6] Problém zdvojnásobení krychle zahrnuje nejjednodušší a nejstarší studovanou kubickou rovnici a pro kterou starí Egypťané nevěřili, že existuje řešení.^[7] V 5. století před naším letopočtem Hippokrates snížil tento problém na problém nalezení dvou středních úměrných mezi jednou přímkou ​​a druhou s dvojnásobnou délkou, ale nemohl to vyřešit pomocí a konstrukce kompasu a pravítka,^[8] úkol, o kterém je nyní známo, že je nemožný. Metody řešení kubických rovnic se objevují v Devět kapitol o matematickém umění, a Čínština matematická text sestavený kolem 2. století před naším letopočtem a komentovaný uživatelem Liu Hui ve 3. století.^[2] Ve 3. století n. L Řecký matematik Diophantus našel celočíselná nebo racionální řešení pro některé dvojrozměrné kubické rovnice (Diophantine rovnice ).^[3][9] Hippokrates, Menaechmus a Archimedes Předpokládá se, že se přiblížily k řešení problému zdvojnásobení krychle pomocí protínajícího se kuželovité úseky,^[8] ačkoli historici jako Reviel Netz zpochybňují, zda Řekové přemýšleli o kubických rovnicích nebo jen o problémech, které mohou vést k kubickým rovnicím. Někteří mají rádi T. L. Heath, který přeložil všechny Archimedes „funguje, nesouhlasím a předkládám důkazy o tom, že Archimedes skutečně vyřešil kubické rovnice pomocí průsečíků dvou kuželosečky, ale také diskutoval o podmínkách, kdy kořeny jsou 0, 1 nebo 2.^[10]

Graf kubické funkce F(X) = 2X³ − 3X² − 3X + 2 = (X + 1) (2X − 1) (X − 2)

V 7 Dynastie Tchang astronomský matematik Wang Xiaotong ve svém matematickém pojednání s názvem Jigu Suanjing systematicky stanovovat a řešit numericky 25 kubických rovnic formy X³ + px² + qx = N, 23 z nich s p, q ≠ 0a dva z nich s q = 0.^[11]

V 11. století perský básník-matematik, Omar Khayyam (1048–1131), dosáhl významného pokroku v teorii kubických rovnic. V rané práci zjistil, že kubická rovnice může mít více než jedno řešení a uvedl, že ji nelze vyřešit pomocí kompasových a přímkových konstrukcí. Také našel a geometrické řešení.^[12][13] Ve své pozdější práci Pojednání o demonstraci problémů algebry, napsal úplnou klasifikaci kubických rovnic s obecnými geometrickými řešeními nalezenými pomocí protínajících se kuželovité úseky.^[14][15]

Ve 12. století se indický matematik Bhaskara II pokusil o řešení kubických rovnic bez obecného úspěchu. Uvedl však jeden příklad kubické rovnice: X³ + 12X = 6X² + 35.^[16] Ve 12. století další Peršan matematik, Sharaf al-Dín al-Tusi (1135–1213), napsal Al-Muʿādalāt (Pojednání o rovnicích), který se zabýval osmi typy kubických rovnic s kladným řešením a pěti typy kubických rovnic, které nemusí mít kladná řešení. Použil to, co by později bylo známé jako „Ruffini -Horner metoda "do numericky přibližný vykořenit kubické rovnice. Použil také pojmy maxima a minima křivek za účelem řešení kubických rovnic, které nemusí mít pozitivní řešení.^[17] Pochopil důležitost diskriminující kubické rovnice k nalezení algebraických řešení určitých typů kubických rovnic.^[18]

Ve své knize Flos, Leonardo de Pisa, také známý jako Fibonacci (1170–1250), dokázal těsně přiblížit kladné řešení kubické rovnice X³ + 2X² + 10X = 20. Zápis Babylonské číslice dal výsledek jako 1,22,7,42,33,4,40 (ekvivalent 1 + 22/60 + 7/60)² + 42/60³ + 33/60⁴ + 4/60⁵ + 40/60⁶), který má a relativní chyba asi 10⁻⁹.^[19]

Na počátku 16. století italský matematik Scipione del Ferro (1465–1526) našel metodu řešení třídy kubických rovnic, konkrétně rovnic tvaru X³ + mx = n. Ve skutečnosti lze všechny kubické rovnice redukovat na tuto formu, pokud to dovolíme m a n být negativní, ale záporná čísla v té době mu nebyly známy. Del Ferro tajil svůj úspěch až těsně před svou smrtí, kdy o tom řekl svému studentovi Antoniovi Fiorovi.

Niccolò Fontana Tartaglia

V roce 1530 Niccolò Tartaglia (1500–1557) obdržela od kubických rovnic dva problémy Zuanne da Coi a oznámil, že je může vyřešit. Brzy ho Fior napadl, což vedlo ke slavné soutěži mezi nimi. Každý soutěžící musel dát určitou částku peněz a navrhnout řadu problémů, které by měl jeho soupeř vyřešit. Kdokoli vyřeší více problémů do 30 dnů, dostane všechny peníze. Tartaglia obdržela dotazy ve formuláři X³ + mx = n, pro kterou vypracoval obecnou metodu. Fior dostal otázky ve formě X³ + mx² = n, což se pro něj ukázalo jako příliš obtížné, a Tartaglia soutěž vyhrál.

Později Tartaglia přesvědčil Gerolamo Cardano (1501–1576), aby odhalil své tajemství řešení kubických rovnic. V roce 1539 tak Tartaglia učinil pouze pod podmínkou, že to Cardano nikdy neprozradí a že pokud napíše knihu o kubících, dá Tartaglii čas na vydání. O několik let později se Cardano dozvěděl o del Ferrově předchozí práci a ve své knize publikoval del Ferrovu metodu Ars Magna v roce 1545, což znamená, že Cardano dal Tartaglii šest let, aby zveřejnil své výsledky (se zásluhou Tartaglia za nezávislé řešení). Cardanova slib Tartaglia řekl, že nebude publikovat Tartaglia dílo, a Cardano cítil, že publikuje del Ferro, aby se slib obejít. To však vedlo k výzvě Cardano z Tartaglia, kterou Cardano popřel. Cardanoův student nakonec výzvu přijal Lodovico Ferrari (1522–1565). Ferrari si v soutěži vedlo lépe než Tartaglia a Tartaglia přišel o prestiž i příjmy.^[20]

Cardano si všiml, že metoda Tartaglia někdy vyžadovala, aby extrahoval druhou odmocninu záporného čísla. K nim dokonce přidal výpočet komplexní čísla v Ars Magna, ale ve skutečnosti tomu nerozuměl. Rafael Bombelli prostudoval tuto problematiku podrobně^[21] a je proto často považován za objevitele komplexních čísel.

François Viète (1540–1603) nezávisle odvodil trigonometrické řešení pro kubický se třemi skutečnými kořeny a René Descartes (1596–1650) rozšířil dílo Viète.^[22]

Faktorizace

Pokud jsou koeficienty kubické rovnice racionální čísla, lze získat ekvivalentní rovnici s celočíselnými koeficienty vynásobením všech koeficientů a společný násobek jejich jmenovatelů. Taková rovnice

${ displaystyle ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = 0,}$

s celočíselnými koeficienty, se říká, že je redukovatelný jestliže je polynom na levé straně součinem polynomů nižších stupňů. Podle Gaussovo lema, je-li rovnice redukovatelná, lze předpokládat, že faktory mají celočíselné koeficienty.

Nalezení kořenů redukovatelné kubické rovnice je jednodušší než řešení obecného případu. Ve skutečnosti, pokud je rovnice redukovatelná, musí mít jeden z faktorů stupeň jedna a mít tedy tvar

${ displaystyle qx-p}$

s q a p bytost nesoudělná čísla. The racionální kořenový test umožňuje nalezení q a p zkoumáním konečného počtu případů (protože q musí být dělitelem A, a p musí být dělitelem d).

Jeden kořen tedy je ${ displaystyle textstyle x_ {1} = { frac {p} {q}},}$ a ostatní kořeny jsou kořeny druhého faktoru, který lze najít pomocí polynomiální dlouhé dělení. Tento další faktor je

${ displaystyle { frac {a} {q}} x ^ {2} + { frac {bq + ap} {q ^ {2}}} x + { frac {cq ^ {2} + bpq + ap ^ {2}} {q ^ {3}}}}$

(Zdá se, že koeficienty nejsou celá čísla, ale musí to být celá čísla, pokud p / q je kořen.)

Ostatní kořeny jsou potom kořeny tohoto kvadratický polynom a lze je najít pomocí kvadratický vzorec.

Depresivní kubický

Krychle formy

${ displaystyle t ^ {3} + pt + q}$

jsou prý depresivní. Jsou mnohem jednodušší než obecné kubíky, ale jsou zásadní, protože studium jakékoli kubiky může být omezeno jednoduchým změna proměnné k depresivní krychli.

Nechat

${ displaystyle ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = 0}$

být kubická rovnice. Změna proměnné

${ displaystyle x = t - { frac {b} {3a}}}$

vede k krychli, která nemá žádný výraz v t². Po dělení A jeden dostane depresivní kubická rovnice

${ displaystyle t ^ {3} + pt + q = 0,}$

s

${ displaystyle { begin {aligned} t = {} & x + { frac {b} {3a}} p = {} & { frac {3ac-b ^ {2}} {3a ^ {2}} } q = {} & { frac {2b ^ {3} -9abc + 27a ^ {2} d} {27a ^ {3}}}. end {zarovnáno}}}$

The kořeny ${ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}}$ původní rovnice souvisí s kořeny ${ displaystyle t_ {1}, t_ {2}, t_ {3}}$ depresivní rovnice vztahy

${ displaystyle x_ {i} = t_ {i} - { frac {b} {3a}},}$

pro ${ displaystyle i = 1,2,3}$.

Diskriminační a povaha kořenů

Povaha (skutečná nebo ne, odlišná nebo ne) kořeny kubiku lze určit bez jejich výslovného výpočtu pomocí diskriminující.

Diskriminační

The diskriminující a polynomiální je funkce jeho koeficientů, která je nulová právě tehdy, když má polynom a více kořenů, nebo, pokud je dělitelné druhou mocninou nekonstantního polynomu. Jinými slovy, diskriminátor je nenulový právě tehdy, je-li polynom bez čtverce.

Li r₁, r₂, r₃ jsou tři kořeny (nemusí být nutně odlišný ani nemovitý ) kubické ${ displaystyle ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d,}$ pak je diskriminující

${ displaystyle a ^ {4} (r_ {1} -r_ {2}) ^ {2} (r_ {1} -r_ {3}) ^ {2} (r_ {2} -r_ {3}) ^ {2}.}$

Diskriminační z depresivní krychle ${ displaystyle t ^ {3} + pt + q}$ je

${ displaystyle - left (4 , p ^ {3} +27 , q ^ {2} right).}$

Diskriminující obecný kubický ${ displaystyle ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d}$ je

${ displaystyle 18 , abcd-4 , b ^ {3} d + b ^ {2} c ^ {2} -4 , ac ^ {3} -27 , a ^ {2} d ^ {2 }.}$

Je to produkt ${ displaystyle a ^ {4}}$ a diskriminátor odpovídající depresivní kubické. Z toho vyplývá, že jeden z těchto dvou diskriminantů je nula právě tehdy, když druhý je také nula, a pokud jsou koeficienty nemovitý, oba diskriminující mají stejné znaménko. Stručně řečeno, stejné informace lze odvodit od jednoho z těchto dvou diskriminujících.

K prokázání předchozích vzorců lze použít Vietiny vzorce vyjádřit vše jako polynomy v r₁, r₂, r₃, a A. Důkaz pak vede k ověření rovnosti dvou polynomů.

Povaha kořenů

Pokud jsou koeficienty polynomu reálná čísla a diskriminující ${ displaystyle Delta}$ není nula, existují dva případy:

• Li ${ displaystyle Delta> 0,}$ kubický má tři odlišné skutečné kořeny
• Li ${ displaystyle Delta <0,}$ kubický má jeden skutečný kořen a dva nerealistické komplexní konjugát kořeny.

To lze dokázat následovně. Nejprve, pokud r je kořen polynomu se skutečnými koeficienty, pak jeho komplexní konjugát je také kořen. Nerealistické kořeny, pokud existují, se tedy vyskytují jako dvojice komplexních konjugovaných kořenů. Protože kubický polynom má tři kořeny (ne nutně odlišné) podle základní věta o algebře, alespoň jeden kořen musí být skutečný.

Jak je uvedeno výše, pokud r₁, r₂, r₃ jsou tři kořeny kubické ${ displaystyle ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d}$, pak je diskriminující

${ displaystyle Delta = a ^ {4} (r_ {1} -r_ {2}) ^ {2} (r_ {1} -r_ {3}) ^ {2} (r_ {2} -r_ {3 }) ^ {2}}$

Pokud jsou tři kořeny skutečné a odlišné, je diskriminující produkt pozitivních realit, to jest ${ displaystyle Delta> 0.}$

Pokud jen jeden kořen, řekněme r₁, je tedy skutečný r₂ a r₃ jsou komplexní konjugáty, což z toho vyplývá r₂ – r₃ je čistě imaginární číslo, a tím i to (r₂ – r₃)² je skutečný a negativní. Na druhou stranu, r₁ – r₂ a r₁ – r₃ jsou komplexní konjugáty a jejich produkt je skutečný a pozitivní.^[23] Diskriminační je tedy produktem jednoho záporného čísla a několika kladných. To je ${ displaystyle Delta <0.}$

Více kořenů

Pokud je diskriminátor kubiku nula, má kubický a více kořenů. Pokud jsou navíc jeho koeficienty skutečné, pak všechny jeho kořeny jsou skutečné.

Diskriminační z depresivní kubické ${ displaystyle ; t ^ {3} + pt + q ;}$ je nula, pokud ${ displaystyle 4p ^ {3} + 27q ^ {2} = 0 ;.}$ Li p je tedy také nula p = q = 0 a 0 je trojitý kořen kubické. Li ${ displaystyle ; 4p ^ {3} + 27q ^ {2} = 0 ;,}$ a p ≠ 0 , pak má kubický jednoduchý kořen

${ displaystyle t_ {1} = { frac {, 3q ,} {p}}}$

a dvojitý kořen

${ displaystyle t_ {2} = t_ {3} = - { frac {, 3q ,} {2p}} ~.}$

Jinými slovy,

${ displaystyle t ^ {3} + pt + q = left (t - { frac {3q} {p}} right) left (t + { frac {, 3q ,} {2p}} vpravo) ^ {2} ;.}$

Tento výsledek lze prokázat rozšířením posledně jmenovaného produktu nebo získat řešením poměrně jednoduchého řešení soustava rovnic vyplývající z Vietiny vzorce.

Pomocí snížení depresivní kubické, tyto výsledky lze rozšířit na obecný kubický. To dává: Pokud diskriminuje kubický ${ displaystyle ; ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d ;}$ je tedy nula

• buď, pokud ${ displaystyle b ^ {2} = 3ac ;,}$ kubický má trojitý kořen

${ displaystyle x_ {1} = x_ {2} = x_ {3} = - { frac {b} {, 3a ,}} ~,}$

a

${ displaystyle ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = a doleva (x + { frac {b} {, 3a ,}} doprava) ^ {3}}$

• nebo když ${ displaystyle ; b ^ {2} neq 3ac ;,}$ kubický má dvojitý kořen

${ displaystyle x_ {2} = x_ {3} = { frac {9ad-bc} {, 2 (b ^ {2} -3ac) ,}} ~,}$

a jednoduchý kořen,

${ displaystyle x_ {1} = { frac {, 4abc-9a ^ {2} d-b ^ {3} ,} {a (b ^ {2} -3ac)}} ~.}$

a tudíž

${ displaystyle ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = a , left (x-x_ {1} right) left (x-x_ {2} right) ^ {2} ~.}$

Charakteristika 2 a 3

Výše uvedené výsledky jsou platné, pokud koeficienty patří a pole z charakteristický jiné než 2 nebo 3, ale musí být upraveno pro charakteristiku 2 nebo 3, protože se jedná o dělení o 2 a 3.

Redukce na depresivní kubický funguje pro charakteristiku 2, ale ne pro charakteristiku 3. V obou případech je však jednodušší stanovit a uvést výsledky pro obecnou kubickou. Hlavním nástrojem je skutečnost, že vícenásobný kořen je společným kořenem polynomu a jeho formální derivát. V těchto charakteristikách, pokud derivace není konstanta, má jediný kořen, který je lineární v charakteristice 3, nebo druhou mocninu lineárního polynomu v charakteristice 2. To umožňuje výpočet vícenásobného kořene a třetí kořen lze odvodit z součet kořenů, který poskytuje Vietiny vzorce.

Rozdíl s jinými charakteristikami spočívá v tom, že v charakteristice 2 zahrnuje vzorec pro dvojitý kořen druhou odmocninu a v charakteristice 3 vzorec pro trojitý kořen zahrnuje krychli.

Cardanův vzorec

Gerolamo Cardano je připočítán s publikováním prvního vzorce pro řešení kubických rovnic, který mu byl přiřazen Scipione del Ferro. Vzorec platí pro depresivní krychle, ale jak je uvedeno v § Depresivní kubický, umožňuje řešení všech kubických rovnic.

Výsledkem Cardana je, že pokud

${ displaystyle x ^ {3} + px + q = 0}$

je kubická rovnice taková, že p a q jsou reálná čísla takhle ${ displaystyle 4p ^ {3} + 27q ^ {2}> 0,}$ pak má rovnice skutečný kořen

${ displaystyle { sqrt [{3}] {- { frac {q} {2}} + { sqrt {{ frac {q ^ {2}} {4}} + { frac {p ^ { 3}} {27}}}}}} + { sqrt [{3}] {- { frac {q} {2}} - { sqrt {{ frac {q ^ {2}} {4} } + { frac {p ^ {3}} {27}}}}}}.}$

Vidět § Odvození kořenů níže pro několik metod, jak dosáhnout tohoto výsledku.

Jak je uvedeno v § Povaha kořenů, dva další kořeny jsou nereálné komplexní konjugát čísla, v tomto případě. To se později ukázalo (Cardano nevěděl komplexní čísla ), že dva další kořeny se získají vynásobením jednoho z kořenů krychle znakem primitivní krychle kořen jednoty ${ displaystyle { frac {-1 + i { sqrt {3}}} {2}},}$ a další kořen krychle od ${ displaystyle { frac {-1-i { sqrt {3}}} {2}}.}$

Li ${ displaystyle 4p ^ {3} + 27q ^ {2} <0,}$ existují tři skutečné kořeny, ale Galoisova teorie umožňuje prokázat, že je nelze vyjádřit pomocí algebraický výraz zahrnující pouze reálná čísla. Proto v tomto případě nelze rovnici vyřešit se znalostí Cardanova času. Tento případ byl tedy nazván casus irreducibilis, význam neredukovatelný případ v latině.

v casus irreducibilis, Cardanův vzorec lze stále použít, ale při používání kořenů krychle je zapotřebí určité opatrnosti. První metodou je definování symbolů ${ displaystyle { sqrt {{~} ^ {~}}}}$ a ${ displaystyle { sqrt [{3}] {{~} ^ {~}}}}$ jako zastupující hlavní hodnoty funkce root (tj. root, který má největší skutečnou část). S touto konvencí zůstává Cardanův vzorec pro tři kořeny platný, ale není čistě algebraický, protože definice hlavní části není čistě algebraická, protože zahrnuje nerovnosti pro srovnání skutečných částí. Také použití kořene hlavní kostky může dát špatný výsledek, pokud jsou koeficienty nereálná komplexní čísla. Navíc, pokud koeficienty patří jinému pole, kořen hlavní kostky není obecně definován.

Druhým způsobem, jak udělat Cardanovu formuli vždy správnou, je poznamenat, že produkt dvou kořenů kostky musí být –p / 3. Výsledkem je, že kořen rovnice je

${ displaystyle C - { frac {p} {3C}} quad { text {with}} quad C = { sqrt [{3}] {- { frac {q} {2}} + { sqrt {{ frac {q ^ {2}} {4}} + { frac {p ^ {3}} {27}}}}}}}$

V tomto vzorci symboly ${ displaystyle { sqrt {{~} ^ {~}}}}$ a ${ displaystyle { sqrt [{3}] {{~} ^ {~}}}}$ označuje jakoukoli druhou odmocninu a jakoukoli odmocninu krychle. Ostatní kořeny rovnice se získají buď změnou kořene krychle, nebo ekvivalentně vynásobením kořene krychle primitivním kořenem krychle jednoty, tj. ${ displaystyle textstyle { frac {-1 pm { sqrt {-3}}} {2}}.}$

Tento vzorec pro kořeny je vždy správný, kromě případů, kdy p = q = 0, za podmínky, pokud q = 0, výběru druhé odmocniny za to, že C ≠ 0. Vzorec je však v těchto případech k ničemu, protože kořeny lze vyjádřit bez jakéhokoli kořene krychle. Podobně je vzorec k ničemu i v ostatních případech, kdy není potřeba kořen kostky, tedy kdy ${ displaystyle 4p ^ {3} + 27q ^ {2} = 0}$ a když kubický polynom není neredukovatelné.

Tento vzorec je také správný, když p a q patří každému pole z charakteristický jiné než 2 nebo 3.

Obecný kubický vzorec

A kubický vzorec pro kořeny obecné kubické rovnice (s A ≠ 0)

${ displaystyle ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = 0}$

lze odvodit z každé varianty Cardanova vzorce snížením na a depresivní kubický. Zde uvedená varianta platí nejen pro skutečné koeficienty, ale také pro koeficienty A, b, C, d náležející k jakémukoli pole z charakteristický různé 2 a 3.

Vzorec, který je poměrně komplikovaný, stojí za to ho rozdělit na menší vzorce.

Nechat

${ displaystyle { begin {aligned} Delta _ {0} & = b ^ {2} -3ac, Delta _ {1} & = 2b ^ {3} -9abc + 27a ^ {2} d, end {zarovnáno}}}$

a

${ displaystyle C = { sqrt [{3}] { frac { Delta _ {1} pm { sqrt { Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3 }}}} {2}}},}$

kde symboly ${ displaystyle { sqrt {{~} ^ {~}}}}$ a ${ displaystyle { sqrt [{3}] {{~} ^ {~}}}}$ jsou interpretovány jako žádný druhá odmocnina a žádný kořen kostky. Znamení "±"před druhou odmocninou je buď"+„nebo“–"; výběr je téměř libovolný a jeho změna se rovná výběru druhé odmocniny. Pokud se však volba podvolí C = 0, místo toho musí být vybráno druhé znaménko. Poté je jeden z kořenů

${ displaystyle x = - { frac {1} {3a}} vlevo (b + C + { frac { Delta _ {0}} {C}} vpravo) { text {.}}}$

Další dva kořeny lze získat změnou volby kořene krychle v definici C, nebo ekvivalentně vynásobením C podle a primitivní krychle kořen jednoty, to je –1 ± √–3/2. Jinými slovy, tři kořeny jsou

${ displaystyle x_ {k} = - { frac {1} {3a}} vlevo (b + xi ^ {k} C + { frac { Delta _ {0}} { xi ^ {k} C} } right), qquad k in {0,1,2 } { text {,}}}$

kde ξ = –1 + √–3/2.

Pokud jde o speciální případ depresivní krychle, tento vzorec platí, ale je zbytečný, když lze vyjádřit kořeny bez kořenů krychle.

Trigonometrická a hyperbolická řešení

Trigonometrické řešení pro tři skutečné kořeny

Když má kubická rovnice se skutečnými koeficienty tři skutečné kořeny, vzorce vyjadřující tyto kořeny ve smyslu radikálů zahrnují komplexní čísla. Galoisova teorie umožňuje dokázat, že když jsou tři kořeny skutečné a žádný není racionální (casus irreducibilis ), nelze vyjádřit kořeny, pokud jde o skutečné radikály. Nicméně čistě reálné výrazy řešení lze získat pomocí trigonometrické funkce, konkrétně z hlediska kosiny a arckosiny.^[24] Přesněji řečeno, kořeny depresivní kubický

${ displaystyle t ^ {3} + p , t + q = 0}$

jsou^[25]

${ displaystyle t_ {k} = 2 , { sqrt {- { frac {, p ,} {3}} ;}} , cos left [, { frac {1} { 3}} , arccos left ({ frac {, 3q ,} {2p}} , { sqrt {{ frac {-3 ;} {p}} ,}} , vpravo) - { frac {, 2 pi k ,} {3}} , vpravo] qquad { text {pro}} ~ k = 0,1,2 ;.}$

Tento vzorec je způsoben François Viète.^[22] Je čistě reálné, když má rovnice tři skutečné kořeny (tj ${ displaystyle 4 , p ^ {3} +27 , q ^ {2} <0 ,}$). Jinak je stále správný, ale zahrnuje složité kosiny a arkkosiny, když existuje pouze jeden skutečný kořen, a je nesmyslné (dělení nulou), když p = 0).

Tento vzorec lze přímo transformovat na vzorec pro kořeny obecné kubické rovnice pomocí zadní substituce popsané v § Depresivní kubický. Lze to dokázat následovně:

Počínaje rovnicí t³ + p t + q = 0, nastavme to   t = u cos θ. Myšlenka je vybrat si u aby se rovnice shodovala s identitou

${ displaystyle 4 , cos ^ {3} theta -3 , cos theta - cos (, 3 theta ,) = 0 ;.}$

Z tohoto důvodu vyberte ${ displaystyle u = 2 , { sqrt {- { frac {, p ,} {3}} ;}} ,,}$ a vydělte rovnici ${ displaystyle { frac {; u ^ {3} ,} {4}} ,.}$ To dává

${ displaystyle 4 , cos ^ {3} theta -3 , cos theta - { frac {, 3q ,} {2p}} , { sqrt {{ frac {-3 ;} {p}} ,}} = 0 ;.}$

V kombinaci s výše uvedenou identitou člověk získá

${ displaystyle cos (3 theta) = { frac {, 3q ,} {2p}} { sqrt {{ frac {-3 ;} {p}} ,}} ;,}$

a kořeny jsou tedy

${ displaystyle t_ {k} = 2 , { sqrt {, - { frac {, p ,} {3}} ;}} , cos doleva [{ frac {1} { 3}} , arccos left ({ frac {, 3q ,} {2p}} , { sqrt {{ frac {-3 ;} {p}} ,}} vpravo) - { frac {, 2 pi k ,} {3}} vpravo] qquad { text {pro}} ~ k = 0,1,2 ;.}$

Hyperbolické řešení pro jeden skutečný kořen

Když existuje pouze jeden skutečný kořen (a p ≠ 0), tento kořen lze podobně reprezentovat pomocí hyperbolické funkce, tak jako^[26][27]

${ displaystyle { begin {aligned} t_ {0} & = - 2 { frac {| q |} {q}} { sqrt {- { frac {p} {3}}}} cosh left [{ frac {1} {3}} operatorname {arcosh} left ({ frac {-3 | q |} {2p}} { sqrt { frac {-3} {p}}} right ) right] qquad { text {if}} ~ 4p ^ {3} + 27q ^ {2}> 0 ~ { text {and}} ~ p <0 ;, t_ {0} & = -2 { sqrt { frac {p} {3}}} sinh left [{ frac {1} {3}} operatorname {arsinh} left ({ frac {3q} {2p}} { sqrt { frac {3} {p}}} right) right] qquad { text {if}} ~ p> 0 ;. end {zarovnáno}}}$

Li p ≠ 0 a nerovnosti na pravé straně nejsou splněny (v případě tří skutečných kořenů), vzorce zůstávají platné, ale zahrnují složité veličiny.

Když p = ±3, výše uvedené hodnoty t₀ se někdy nazývají Kořen kostky Čebyšev.^[28] Přesněji řečeno, hodnoty zahrnující kosiny a hyperbolické kosiny definují, kdy p = −3, stejný analytická funkce označeno C_1/3(q), což je správný kořen Čebyševovy krychle. Podobně je označena hodnota zahrnující hyperbolické sinusy S_1/3(q), když p = 3.

Geometrická řešení

Řešení Omara Khayyáma

Omar Khayyámovo geometrické řešení kubické rovnice pro tento případ m = 2, n = 16, dát kořen 2. Průsečík svislé čáry na X-osa ve středu kruhu se stane příkladem ilustrovaného.

Pro řešení kubické rovnice X³ + m²X = n kde n > 0, Omar Khayyám postavil parabolu y = X²/m, kruh, který má jako průměr úsečka [0, n/m²] na pozitivní X-osa a svislá čára procházející bodem, kde se kruh a parabola protínají nad X-osa. Řešení je dáno délkou vodorovného úsečky od počátku k průsečíku svislé čáry a X-osa (viz obrázek).

Jednoduchý moderní důkaz je následující. Vynásobení rovnice X/m² a přeskupení termínů dává

${ displaystyle { frac {x ^ {4}} {m ^ {2}}} = x left ({ frac {n} {m ^ {2}}} - x right).}$

Levá strana je hodnota y² na parabole. Rovnice bytí kruhu y² + X(X − n/m²) = 0, pravá strana je hodnota y² na kruhu.

Řešení s úhlovým trisektorem

Kubickou rovnici se skutečnými koeficienty lze vyřešit geometricky pomocí kompas, pravítko a úhlový trisektor právě když má tři skutečné kořeny.^{[29]:Thm. 1}

Kubickou rovnici lze vyřešit konstrukcí kompasu a přímky (bez trisektoru) právě tehdy, pokud má Racionální vykořenit. To znamená, že staré problémy úhlová trisekce a zdvojnásobení krychle, nastaveno starořečtí matematici, nelze vyřešit konstrukcí kompasu a pravítka.

Geometrická interpretace kořenů

Tři skutečné kořeny

Pro kubický (1) se třemi skutečnými kořeny jsou kořeny projekcí na X- osa vrcholů A, B, a C z rovnostranný trojúhelník. Střed trojúhelníku má stejný X-koordinovaný jako inflexní bod.

Vièteho trigonometrické vyjádření kořenů v případě tří skutečných kořenů se hodí ke geometrické interpretaci ve smyslu kruhu.^[22][30] Když je kubický psán v depresivní formě (2), t³ + pt + q = 0, jak je uvedeno výše, řešení lze vyjádřit jako

${ displaystyle t_ {k} = 2 { sqrt {- { frac {p} {3}}}} cos left ({ frac {1} {3}} arccos left ({ frac { 3q} {2p}} { sqrt { frac {-3} {p}}} right) -k { frac {2 pi} {3}} right) quad { text {for}} quad k = 0,1,2 ,.}$

Tady ${ displaystyle arccos left ({ frac {3q} {2p}} { sqrt { frac {-3} {p}}} right)}$ je úhel v jednotkové kružnici; brát 1/3 tohoto úhlu odpovídá převzetí kořene krychle komplexního čísla; přidávání −k2π/3 pro k = 1, 2 najde další kořeny kostky; a vynásobením kosinů těchto výsledných úhlů ${ displaystyle 2 { sqrt {- { frac {p} {3}}}}}$ opraví měřítko.

Pro případ bez deprese (1) (zobrazeno v doprovodném grafu), depresivní případ, jak je uvedeno výše, se získá definováním t takhle X = t − b/3A tak t = X + b/3A. Graficky to odpovídá jednoduchému posunutí grafu vodorovně při změně mezi proměnnými t a X, aniž by se změnily úhlové vztahy. Tento posun posune inflexní bod a střed kruhu na y-osa. V důsledku toho jsou kořeny rovnice v t součet na nulu.

Jeden skutečný kořen

V kartézské rovině

Sklon přímky RA je dvakrát větší než sklon RH. Označujeme složité kořeny kubické jako G ± Ahoj, G = OM (zde negativní) a h = √opálení ORH = √sklon přímky RH = BÝT = DA.

Když graf a kubická funkce je zakreslen v Kartézské letadlo, pokud existuje pouze jeden skutečný kořen, je to úsečka (X- souřadnice) vodorovného průsečíku křivky (bod R na obrázku). Dále,^[31][32][33] pokud jsou komplexní kořeny konjugátu zapsány jako G ± Ahoj, pak skutečná část G je úsečka tečného bodu H v tečna na kubický, který prochází X-intercept R kubiku (to je délka znaménka RM, na obrázku záporná). The imaginární části ± h jsou odmocniny tečny úhlu mezi touto tečnou čárou a vodorovnou osou.^{[je zapotřebí objasnění ]}

V komplexní rovině

S jedním reálným a dvěma komplexními kořeny lze tři kořeny reprezentovat jako body v komplexní rovině, stejně jako dva kořeny kubické derivace. Mezi všemi těmito kořeny existuje zajímavý geometrický vztah.

Body v komplexní rovině představující tři kořeny slouží jako vrcholy rovnoramenného trojúhelníku. (Trojúhelník je rovnoramenný, protože jeden kořen je na vodorovné (skutečné) ose a další dva kořeny, které jsou komplexními konjugáty, se objevují symetricky nad a pod skutečnou osou.) Mardenova věta říká, že body představující kořeny derivace kubiku jsou ohniska z Steiner inellipse trojúhelníku - jedinečná elipsa, která je tečná k trojúhelníku ve středech jeho stran. Pokud je úhel na vrcholu na skutečné ose menší než π/3 pak hlavní osa elipsy leží na skutečné ose, stejně jako její ohniska, a tedy kořeny derivace. Pokud je tento úhel větší než π/3, hlavní osa je vertikální a její ohniska, kořeny derivátu, jsou komplexní konjugáty. A pokud ten úhel je π/3, trojúhelník je rovnostranný, Steinerova inellipse je jednoduše obklíčením trojúhelníku, jeho ohniska se navzájem shodují na stimulu, který leží na skutečné ose, a proto má derivace duplicitní skutečné kořeny.

Galoisova skupina

Vzhledem k tomu, kubický neredukovatelný polynom přes pole k z charakteristický odlišné od 2 a 3, Galoisova skupina přes k je skupina polní automatorfismy ta oprava k nejmenšího rozšíření k (rozdělení pole ). Protože tyto automorfismy musí permutovat kořeny polynomů, tato skupina je buď skupina S₃ všech šesti permutací tří kořenů nebo skupiny A₃ ze tří kruhových permutací.

Diskriminační Δ kubického je čtverec

${ displaystyle { sqrt { Delta}} = a ^ {2} (r_ {1} -r_ {2}) (r_ {1} -r_ {3}) (r_ {2} -r_ {3}) ,}$

kde A je přední koeficient kubické, a r₁, r₂ a r₃ jsou tři kořeny kubické. Tak jako ${ displaystyle { sqrt { Delta}}}$ změny znaménka při výměně dvou kořenů, ${ displaystyle { sqrt { Delta}}}$ je opraven skupinou Galois pouze v případě, že skupina Galois je A₃. Jinými slovy, skupina Galois je A₃ právě tehdy, je-li diskriminační kvadrát prvku prvku k.

Protože většina celých čísel nejsou čtverce, při práci nad polem Q z racionální čísla, Galoisova skupina nejvíce neredukovatelných kubických polynomů je skupina S₃ se šesti prvky. Příklad skupiny Galois A₃ se třemi prvky je dán vztahem p(X) = X³ − 3X − 1, jehož diskriminátor je 81 = 9².

Odvození kořenů

Tato část přeskupuje několik metod odvozování Cardanův vzorec.

Cardanova metoda

Tato metoda je způsobena Scipione del Ferro a Tartaglia, ale je pojmenován po Gerolamo Cardano kdo to poprvé publikoval ve své knize Ars Magna (1545).

Tato metoda se vztahuje na depresivní krychlový t³ + pt + q = 0. Cílem je zavést dvě proměnné u a proti takhle u + proti = t a nahradit to v depresivní kubické dávce

${ displaystyle u ^ {3} + v ^ {3} + (3uv + p) (u + v) + q = 0.}$

V tomto bodě Cardano uložil podmínku 3uv + p = 0. Tím se odstraní třetí člen v předchozí rovnosti, což vede k systému rovnic

${ displaystyle { begin {aligned} u ^ {3} + v ^ {3} & = - q uv & = - { frac {p} {3}}. end {aligned}}}$

Znát součet a součin z u³ a proti³, lze odvodit, že se jedná o dvě řešení kvadratická rovnice

${ displaystyle (xu ^ {3}) (xv ^ {3}) = x ^ {2} - (u ^ {3} + v ^ {3}) x + u ^ {3} v ^ {3} = x ^ {2} - (u ^ {3} + v ^ {3}) x + (uv) ^ {3} = 0,}$

tak

${ displaystyle x ^ {2} + qx - { frac {p ^ {3}} {27}} = 0,}$

Diskriminant této rovnice je ${ displaystyle Delta = q ^ {2} + { frac {4p ^ {3}} {27}}}$, a za předpokladu, že je pozitivní, jsou skutečná řešení těchto rovnic (po přeložení dělením 4 pod druhou odmocninou):

${ displaystyle - { frac {q} {2}} pm { sqrt {{ frac {q ^ {2}} {4}} + { frac {p ^ {3}} {27}}} }.}$

Takže (bez ztráty obecnosti při výběru u nebo v):

${ displaystyle u = { sqrt [{3}] {- { frac {q} {2}} + { sqrt {{ frac {q ^ {2}} {4}} + { frac {p ^ {3}} {27}}}}}}.}$

${ displaystyle v = { sqrt [{3}] {- { frac {q} {2}} - { sqrt {{ frac {q ^ {2}} {4}} + { frac {p ^ {3}} {27}}}}}}.}$

Tak jako u + proti = t, součet kořenů krychle těchto řešení je kořenem rovnice. To je

${ displaystyle t = { sqrt [{3}] {- {q nad 2} + { sqrt {{q ^ {2} nad 4} + {p ^ {3} nad 27}}}} } + { sqrt [{3}] {- {q nad 2} - { sqrt {{q ^ {2} nad 4} + {p ^ {3} nad 27}}}}}}$

je kořen rovnice; to je Cardanův vzorec.

To funguje dobře, když ${ displaystyle 4p ^ {3} + 27q ^ {2}> 0,}$ ale pokud ${ displaystyle 4p ^ {3} + 27q ^ {2} <0,}$ druhá odmocnina ve vzorci není reálná. Jako komplexní číslo má tři kořeny krychle, použití Cardanova vzorce bez péče by poskytlo devět kořenů, zatímco kubická rovnice nemůže mít více než tři kořeny. To bylo objasněno nejprve uživatelem Rafael Bombelli ve své knize L'Algebra (1572). Řešením je využít skutečnost, že uv = –p/3, to je proti = –p/3u. To znamená, že je třeba vypočítat pouze jeden kořen krychle, což vede k druhému vzorci uvedenému v § Cardanův vzorec.

Další kořeny rovnice lze získat změnou kořene krychle nebo ekvivalentně vynásobením kořene krychle každou ze dvou primitivní krychle kořeny jednoty, což jsou ${ displaystyle { frac {-1 pm { sqrt {-3}}} {2}}.}$

Střídání v týmu Vieta

Substituce Viety je metoda zavedená společností François Viète (Vieta je jeho latinské jméno) v textu publikovaném posmrtně v roce 1615, který poskytuje přímo druhý vzorec § Cardanova metoda, a vyhne se problému s výpočtem dvou různých kořenů krychle.^[34]

Počínaje depresivní krychlí t³ + pt + q = 0Střídání v týmu Vieta je t = w – p/3w.^[35]

Střídání t = w – p/3w transformuje depresivní kubický na

${ displaystyle w ^ {3} + q - { frac {p ^ {3}} {27w ^ {3}}} = 0.}$

Vynásobením w³, dostane se kvadratická rovnice w³:

${ displaystyle (w ^ {3}) ^ {2} + q (w ^ {3}) - { frac {p ^ {3}} {27}} = 0.}$

Nechat

${ displaystyle W = - { frac {q} {2}} pm { sqrt {{ frac {p ^ {3}} {27}} + { frac {q ^ {2}} {4} }}}}$

být libovolným nenulovým kořenem této kvadratické rovnice. Li w₁, w₂ a w₃ jsou tři kořeny kostky z Ž, pak jsou kořeny původní depresivní krychle w₁ − p/3w₁, w₂ − p/3w₂, a w₃ − p/3w₃. Druhým kořenem kvadratické rovnice je ${ displaystyle textstyle - { frac {p ^ {3}} {27W}}.}$ To znamená, že změna znaménka druhé odmocniny výměny w_i a − p/3w_i pro i = 1, 2, 3, a proto nemění kořeny. This method only fails when both roots of the quadratic equation are zero, that is when p = q = 0, in which case the only root of the depressed cubic is 0.

Lagrange's method

Ve svém příspěvku Réflexions sur la résolution algébrique des équations ("Thoughts on the algebraic solving of equations"),^[36] Joseph Louis Lagrange introduced a new method to solve equations of low degree in a uniform way, with the hope that he could generalize it for higher degrees. This method works well for cubic and kvartické rovnice, but Lagrange did not succeed in applying it to a quintic equation, because it requires solving a resolvent polynomial of degree at least six.^[37][38][39] Except that nobody succeeded before to solve the problem, this was the first indication of the non-existence of an algebraic formula for degrees 5 and higher. This has been proved later, and named Abel – Ruffiniho věta. Nevertheless, the modern methods for solving solvable quintic equations are mainly based on Lagrange's method.^[39]

In the case of cubic equations, Lagrange's method gives the same solution as Cardano's. Lagrange's method can be applied directly to the general cubic equation sekera³ + bx² + cx + d = 0, but the computation is simpler with the depressed cubic equation, t³ + pt + q = 0.

Lagrange's main idea was to work with the diskrétní Fourierova transformace of the roots instead of with the roots themselves. Přesněji řečeno ξ být primitive third root of unity, that is a number such that ξ³ = 1 a ξ² + ξ + 1 = 0 (when working in the space of komplexní čísla, jeden má ${displaystyle extstyle xi ={frac {-1pm i{sqrt {3}}}{2}}=e^{2ipi /3},}$ but this complex interpretation is not used here). Označující X₀, X₁ a X₂ the three roots of the cubic equation to be solved, let

${displaystyle {egin{aligned}s_{0}&=x_{0}+x_{1}+x_{2},s_{1}&=x_{0}+xi x_{1}+xi ^{2}x_{2},s_{2}&=x_{0}+xi ^{2}x_{1}+xi x_{2},end{aligned}}}$

be the discrete Fourier transform of the roots. Li s₀, s₁ a s₂ are known, the roots may be recovered from them with the inverse Fourier transform consisting of inverting this linear transformation; to je

${displaystyle {egin{aligned}x_{0}&={ frac {1}{3}}(s_{0}+s_{1}+s_{2}),x_{1}&={ frac {1}{3}}(s_{0}+xi ^{2}s_{1}+xi s_{2}),x_{2}&={ frac {1}{3}}(s_{0}+xi s_{1}+xi ^{2}s_{2}).end{aligned}}}$

Podle Vietiny vzorce, s₀ is known to be zero in the case of a depressed cubic, and −b/A for the general cubic. So, only s₁ a s₂ need to be computed. Nejsou symmetric functions of the roots (exchanging X₁ a X₂ exchanges also s₁ a s₂), but some simple symmetric functions of s₁ a s₂ are also symmetric in the roots of the cubic equation to be solved. Thus these symmetric functions can be expressed in terms of the (known) coefficients of the original cubic, and this allows eventually expressing the s_i as roots of a polynomial with known coefficients.

In the case of a cubic equation, P=s₁s₂, a S=s₁³ + s₂³ are such symmetric polynomials (see below). Z toho vyplývá, že s₁³ a s₂³ are the two roots of the quadratic equation z² − Sz + P³ = 0. Thus the resolution of the equation may be finished exactly as with Cardano's method, with s₁ a s₂ namísto u a proti.

In the case of the depressed cubic, one has X₀ = 1/3(s₁ + s₂) a s₁s₂ = −3p, while in Cardano's method we have set X₀ = u + proti a uv = −1/3p. Thus we have, up to the exchange of u a proti, s₁ = 3u a s₂ = 3proti . In other words, in this case, Cardano's method and Lagrange's method compute exactly the same things, up to a factor of three in the auxiliary variables, the main difference being that Lagrange's method explains why these auxiliary variables appear in the problem.

Computation of S a P

A straightforward computation using the relations ξ³ = 1 a ξ² + ξ + 1 = 0 dává

${displaystyle {egin{aligned}P&=s_{1}s_{2}=x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-(x_{0}x_{1}+x_{1}x_{2}+x_{2}x_{0}),S&=s_{1}^{3}+s_{2}^{3}=2(x_{0}^{3}+x_{1}^{3}+x_{2}^{3})-3(x_{0}^{2}x_{1}+x_{1}^{2}x_{2}+x_{2}^{2}x_{0}+x_{0}x_{1}^{2}+x_{1}x_{2}^{2}+x_{2}x_{0}^{2})+12x_{0}x_{1}x_{2}.end{aligned}}}$

To ukazuje P a Q are symmetric functions of the roots. Použitím Newtonovy identity, it is straightforward to express them in terms of the elementary symmetric functions of the roots, giving

${displaystyle {egin{aligned}P&=e_{1}^{2}-3e_{2},S&=2e_{1}^{3}-9e_{1}e_{2}+27e_{3},end{aligned}}}$

s E₁ = 0, E₂ = p a E₃ = −q in the case of a depressed cubic, and E₁ = −b/A, E₂ = C/A a E₃ = −d/A, in the general case.

Aplikace

Cubic equations arise in various other contexts.

V matematice

• Úhlová trisekce a zdvojnásobení krychle are two ancient problems of geometrie that have been proved to not be solvable by straightedge and compass construction, because they are equivalent to solving a cubic equation.
• Marden's theorem uvádí, že ohniska z Steiner inellipse of any triangle can be found by using the cubic function whose roots are the coordinates in the složité letadlo of the triangle's three vertices. The roots of the první derivace of this cubic are the complex coordinates of those foci.
• The plocha pravidelného sedmiúhelník can be expressed in terms of the roots of a cubic. Further, the ratios of the long diagonal to the side, the side to the short diagonal, and the negative of the short diagonal to the long diagonal all satisfy a particular cubic equation. In addition, the ratio of the inradius do circumradius a heptagonal triangle is one of the solutions of a cubic equation. The values of trigonometric functions of angles related to ${displaystyle 2pi /7}$ satisfy cubic equations.
• Given the cosine (or other trigonometric function) of an arbitrary angle, the cosine of one-third of that angle is one of the roots of a cubic.
• The solution of the general quartic equation relies on the solution of its resolvent cubic.
• The vlastní čísla of a 3×3 matice are the roots of a cubic polynomial which is the charakteristický polynom of the matrix.
• The characteristic equation of a third-order constant coefficients lineární diferenciální rovnice nebo rozdílová rovnice is a cubic equation.
• Intersection points of cubic Bézierova křivka and straight line can be computed using direct cubic equation representing Bézier curve.

In other sciences

• v analytická chemie, Charlot equation, which can be used to find the pH of buffer solutions, can be solved using a cubic equation.
• v termodynamika, stavové rovnice (which relate pressure, volume, and temperature of a substances) are cubic in the volume.
• Kinematic equations involving linear rates of acceleration are cubic.
• The speed of seismic Rayleigh waves is a solution of the Rayleigh wave cubic equation.

Poznámky

Reference

• Guilbeau, Lucye (1930), "The History of the Solution of the Cubic Equation", Mathematics News Letter, 5 (4): 8–12, doi:10.2307/3027812, JSTOR  3027812

Další čtení

• Anglin, W. S.; Lambek, Joachim (1995), "Mathematics in the Renaissance", The Heritage of Thales, Springers, pp. 125–131, ISBN  978-0-387-94544-6 Ch. 24.
• Dence, T. (November 1997), "Cubics, chaos and Newton's method", Matematický věstník, Matematická asociace, 81 (492): 403–408, doi:10.2307/3619617, ISSN  0025-5572, JSTOR  3619617
• Dunnett, R. (November 1994), "Newton–Raphson and the cubic", Matematický věstník, Matematická asociace, 78 (483): 347–348, doi:10.2307/3620218, ISSN  0025-5572, JSTOR  3620218
• Jacobson, Nathan (2009), Základní algebra, 1 (2nd ed.), Dover, ISBN  978-0-486-47189-1
• Mitchell, D. W. (November 2007), "Solving cubics by solving triangles", Matematický věstník, Matematická asociace, 91: 514–516, doi:10.1017/S0025557200182178, ISSN  0025-5572
• Mitchell, D. W. (November 2009), "Powers of φ as roots of cubics", Matematický věstník, Matematická asociace, 93, ISSN  0025-5572
• Press, W. H .; Teukolsky, S. A .; Vetterling, W. T .; Flannery, B. P. (2007), "Section 5.6 Quadratic and Cubic Equations", Numerické recepty: Umění vědecké práce na počítači (3. vyd.), New York: Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-88068-8
• Rechtschaffen, Edgar (July 2008), "Real roots of cubics: Explicit formula for quasi-solutions", Matematický věstník, Matematická asociace, 92: 268–276, doi:10.1017/S0025557200183147, ISSN  0025-5572
• Zucker, I. J. (July 2008), "The cubic equation – a new look at the irreducible case", Matematický věstník, Matematická asociace, 92: 264–268, doi:10.1017/S0025557200183135, ISSN  0025-5572

externí odkazy

• "Cardano formula", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
• History of quadratic, cubic and quartic equations na MacTutor archive.
• 500 years of NOT teaching THE CUBIC FORMULA. What is it they think you can't handle? – Youtube video od Mathologer about the history of cubic equations and Cardano's solution, as well as Ferrari's solution to kvartické rovnice