Integrovaná doména - Integral domain

v matematika konkrétně abstraktní algebra, an integrální doména je nenulové komutativní prsten ve kterém je součin libovolných dvou nenulových prvků nenulový.^[1]^[2] Integrální domény jsou zobecněním kruh celých čísel a poskytují přirozené prostředí pro studium dělitelnost. V integrální doméně každý nenulový prvek A má zrušení majetku, tedy pokud A ≠ 0, rovnost ab = ac naznačuje b = C.

„Integrovaná doména“ je definována téměř univerzálně, jak je uvedeno výše, ale existují určité variace. Tento článek se řídí konvencí, že prsteny mají a multiplikativní identita, obecně označovaný 1, ale někteří autoři to nedodržují, protože nevyžadují, aby integrální domény měly multiplikativní identitu.^[3]^[4] Někdy jsou povoleny nekomutativní integrální domény.^[5] Tento článek se však řídí mnohem obvyklejší konvencí vyhrazení termínu „integrální doména“ pro komutativní případ a použití „doména "pro obecný případ včetně nekomutativních prstenů.

Některé zdroje, zejména Lang, použijte výraz celý prsten pro integrální doménu.^[6]

Některé konkrétní druhy integrálních domén jsou uvedeny s následujícím řetězcem třídní inkluze:

rngs ⊃ prsteny ⊃ komutativní prsteny ⊃ integrální domény ⊃ integrálně uzavřené domény ⊃ GCD domény ⊃ jedinečné faktorizační domény ⊃ hlavní ideální domény ⊃ Euklidovské domény ⊃ pole ⊃ algebraicky uzavřená pole

Definice

An integrální doména je v zásadě definován jako nenulové komutativní prsten ve kterém je součin libovolných dvou nenulových prvků nenulový. Tuto definici lze přeformulovat do řady ekvivalentních definic:

Integrální doménou je nenulový komutativní kruh bez nenulové hodnoty nulové dělitele.
Integrální doménou je komutativní kruh, ve kterém nula ideální {0} je hlavní ideál.
Integrální doménou je nenulový komutativní kruh, pro který je každý nenulový prvek zrušitelný pod násobením.
Integrální doménou je kruh, pro který je sada nenulových prvků komutativní monoidní při násobení (protože monoid musí být Zavřeno při násobení).
Integrální doménou je nenulový komutativní kruh, ve kterém pro každý nenulový prvek r, funkce, která mapuje každý prvek X kroužku k produktu xr je injekční. Elementy r s touto vlastností se nazývají pravidelný, takže je ekvivalentní vyžadovat, aby každý nenulový prvek prstenu byl pravidelný.

Základní vlastností integrálních domén je, že každý podřízený a pole je integrální doména, a že naopak, vzhledem k jakékoli integrální doméně lze vytvořit pole, které ji obsahuje jako podřetězec, pole zlomků. Tuto charakterizaci lze chápat jako další ekvivalentní definici:

Integrální doménou je kruh, který je (izomorfní do) podřetězec pole.

Příklady

Archetypickým příkladem je prsten ${displaystyle mathbb {Z}}$ ze všech celá čísla.
Každý pole je integrální doménou. Například pole ${displaystyle mathbb {R}}$ ze všech reálná čísla je integrální doménou. Naopak každý Artinian integrální doména je pole. Zejména jsou všechny konečné integrální domény konečná pole (obecněji od Wedderburnova malá věta konečný domén jsou konečná pole ). Kruh celých čísel ${displaystyle mathbb {Z}}$ poskytuje příklad non-Artinian nekonečné integrální domény, která není polem, mající nekonečné sestupné sekvence ideálů, jako jsou:

{displaystyle mathbb {Z} supset 2mathbb {Z} supset cdots supset 2 ^ {n} mathbb {Z} supset 2 ^ {n + 1} mathbb {Z} supset cdots}

Prsteny z polynomy jsou integrální domény, pokud koeficienty pocházejí z integrální domény. Například prsten ${displaystyle mathbb {Z} [x]}$ všech polynomů v jedné proměnné s celočíselnými koeficienty je integrální doménou; stejně tak i prsten ${displaystyle mathbb {C} [x_ {1}, ldots, x_ {n}]}$ všech polynomů v n- proměnné s komplex koeficienty.

Předchozí příklad lze dále využít převzetím kvocientů z hlavních ideálů. Například prsten ${displaystyle mathbb {C} [x, y] / (y ^ {2} -x (x-1) (x-2))}$ odpovídající rovině eliptická křivka je integrální doménou. Integritu lze zkontrolovat zobrazením ${displaystyle y ^ {2} -x (x-1) (x-2)}$ je neredukovatelný polynom.

Prsten ${displaystyle mathbb {Z} [x] / (x ^ {2} -n) cong mathbb {Z} [{sqrt {n}}]}$ je integrální doména pro jakékoli jiné než čtvercové celé číslo ${displaystyle n}$ . Li ${displaystyle n> 0}$ , pak je tento prsten vždy podřetězcem ${displaystyle mathbb {R}}$ , jinak se jedná o podřetězec ${displaystyle mathbb {C}.}$

Prsten z celá čísla p-adic ${displaystyle mathbb {Z} _ {p}}$ je integrální doménou.

Li ${displaystyle U}$ je připojeno otevřená podmnožina z složité letadlo ${displaystyle mathbb {C}}$ , pak prsten ${displaystyle {mathcal {H}} (U)}$ skládající se ze všech holomorfní funkce je integrální doménou. Totéž platí pro prsteny analytické funkce na připojených otevřených podmnožinách analytických rozdělovače.

A pravidelný místní kruh je integrální doménou. Pravidelný místní kruh je ve skutečnosti UFD.^[7]^[8]

Non-příklady

Následující prsteny jsou ne integrální domény.

The nulový kroužek (prsten, ve kterém ${displaystyle 0 = 1}$ ).

The kvocientový kroužek ${displaystyle mathbb {Z} / mmathbb {Z}}$ když m je složené číslo. Ve skutečnosti zvolte správnou faktorizaci ${displaystyle m = xy}$ (znamenající, že ${displaystyle x}$ a ${displaystyle y}$ se nerovnají ${displaystyle 1}$ nebo ${displaystyle m}$ ). Pak ${displaystyle xot equiv 0 {mod {m}}}$ a ${displaystyle yot equiv 0 {mod {m}}}$ , ale ${displaystyle xyequiv 0 {mod {m}}}$ .

A produkt dvou nenulových komutativních kruhů. V takovém produktu ${displaystyle R imes S}$ , jeden má ${displaystyle (1,0) cdot (0,1) = (0,0)}$ .

Když ${displaystyle n}$ je čtverec, prsten ${displaystyle mathbb {Z} [x] / (x ^ {2} -n)}$ není integrální doménou. Psát si ${displaystyle n = m ^ {2}}$ a všimněte si, že existuje faktorizace ${displaystyle x ^ {2} -n = (x-m) (x + m)}$ v ${displaystyle mathbb {Z} [x]}$ . Podle Čínská věta o zbytku, existuje izomorfismus ${displaystyle mathbb {Z} [x] / (x ^ {2} -n) cong mathbb {Z} [x] / (xm) imes mathbb {Z} [x] / (x + m) cong mathbb {Z} imes mathbb {Z}.}$

The prsten z n × n matice nad jakýmkoli nenulový prsten když n ≥ 2. Pokud ${displaystyle M}$ a ${displaystyle N}$ jsou matice takové, že obraz ${displaystyle N}$ je obsažen v jádře ${displaystyle M}$ , pak ${displaystyle MN = 0}$ . Například se to stane pro ${displaystyle M = N = ({egin {smallmatrix} 0 & 1 0 & 0end {smallmatrix}})}$ .

The kvocientový kroužek ${displaystyle k [x_ {1}, ldots, x_ {n}] / (fg)}$ pro jakékoli pole ${displaystyle k}$ a všechny nekonstantní polynomy ${displaystyle f, gin k [x_ {1}, ldots, x_ {n}]}$ . Obrázky uživatele $F$ a $G$ v tomto kvocientu jsou nenulové prvky, jejichž součin je 0. Tento argument ekvivalentně ukazuje, že ${displaystyle (fg)}$ není hlavní ideál. Geometrická interpretace tohoto výsledku je, že nuly z $fg$ pro muže afinní algebraická množina to není neredukovatelné (tj. není algebraická rozmanitost ) obecně. Jediným případem, kdy může být tato algebraická množina neredukovatelná, je kdy $fg$ je síla neredukovatelný polynom, který definuje stejnou algebraickou množinu.

Prsten z spojité funkce na jednotkový interval. Zvažte funkce

{displaystyle f (x) = {egin {cases} 1-2x & xin left [0, {frac {1} {2}} ight] 0 & xin left [{frac {1} {2}}, 1ight] end {cases} } qquad g (x) = {egin {cases} 0 & xin left [0, {frac {1} {2}} ight] 2x-1 & xin left [{frac {1} {2}}, 1ight] end {cases} }}

Ani

{displaystyle f}

ani

{displaystyle g}

je všude nula, ale

{displaystyle fg}

je.

The tenzorový produkt ${displaystyle mathbb {C} další _ {mathbb {R}} mathbb {C}}$ . Tento prsten má dva netriviální idempotents, ${displaystyle e_ {1} = {frac {1} {2}} (1krát 1) - {frac {1} {2}} (iotimes i)}$ a ${displaystyle e_ {2} = {frac {1} {2}} (1krát 1) + {frac {1} {2}} (iotimes i)}$ . Jsou ortogonální, což znamená ${displaystyle e_ {1} e_ {2} = 0}$ , a tedy ${displaystyle mathbb {C} další _ {mathbb {R}} mathbb {C}}$ není doména. Ve skutečnosti existuje izomorfismus ${displaystyle mathbb {C} imes mathbb {C} o mathbb {C} další _ {mathbb {R}} mathbb {C}}$ definován ${displaystyle (z, w) mapsto zcdot e_ {1} + wcdot e_ {2}}$ . Jeho inverzní je definována ${displaystyle zotimes wmapsto (zw, z {overline {w}})}$ . Tento příklad ukazuje, že a vláknitý výrobek neredukovatelných afinních schémat nemusí být neredukovatelné.

Dělitelnost, hlavní prvky a neredukovatelné prvky

V této části, R je integrální doménou.

Dané prvky A a b z R, říká to jeden A rozděluje bnebo tak A je dělitel z bnebo tak b je násobek z A, pokud existuje prvek X v R takhle sekera = b.

The Jednotky z R jsou prvky, které dělí 1; to jsou přesně ty invertibilní prvky v R. Jednotky rozdělují všechny ostatní prvky.

Li A rozděluje b a b rozděluje A, pak A a b jsou přidružené prvky nebo spolupracovníci.^[9] Ekvivalentně A a b jsou společníci, pokud A = ub pro některé jednotka u.

An neredukovatelný prvek je nenulová necelková jednotka, kterou nelze zapsat jako produkt dvou necelých jednotek.

Nenulová nejednotka p je hlavní prvek pokud, kdykoli p rozděluje produkt ab, pak p rozděluje A nebo p rozděluje b. Ekvivalentně prvek p je hlavní, právě když hlavní ideál (p) je nenulový primární ideál.

Jak pojmy neredukovatelné prvky, tak primární prvky zobecňují běžnou definici prvočísla v ringu ${displaystyle mathbb {Z},}$ pokud někdo považuje za prvočíslo negativní prvočísla.

Každý primární prvek je neredukovatelný. Konverzace není obecně platná: například v kvadratické celé číslo prsten ${displaystyle mathbb {Z} vlevo [{sqrt {-5}} vpravo]}$ prvek 3 je neredukovatelný (pokud by byl zohledněn netriviálně, každý faktor by musel mít normu 3, ale neexistují žádné prvky normy 3, protože ${displaystyle a ^ {2} + 5b ^ {2} = 3}$ nemá žádná celočíselná řešení), ale není prime (protože 3 dělí ${displaystyle left (2+ {sqrt {-5}} ight) left (2- {sqrt {-5}} ight)}$ bez dělení obou faktorů). V jedinečné faktorizační doméně (nebo obecněji a Doména GCD ), neredukovatelný prvek je prvkem prvočíslem.

Zatímco jedinečná faktorizace nedrží se ${displaystyle mathbb {Z} vlevo [{sqrt {-5}} vpravo]}$ , existuje jedinečná faktorizace ideály. Vidět Laskerova-Noetherova věta.

Vlastnosti

Komutativní prsten R je integrální doména právě tehdy, pokud je ideální (0) z R je prvotřídní ideál.
Li R je komutativní prsten a P je ideál v R, pak kvocientový kroužek R / P je integrální doménou právě tehdy P je hlavní ideál.
Nechat R být integrální doménou. Pak polynomiální kroužky přes R (v libovolném počtu neurčitých) jsou integrální domény. To platí zejména v případě, že R je pole.
Vlastnost zrušení platí v jakékoli integrální doméně: pro jakoukoli A, b, a C v integrální doméně, pokud A ≠ 0 a ab = ac pak b = C. Dalším způsobem, jak to uvést, je funkce X ↦ sekera je injekční pro jakékoli nenulové A v doméně.
Vlastnost zrušení platí pro ideály v jakékoli integrální doméně: pokud xI = xJ, pak buď X je nula nebo Já = J.
Integrální doména se rovná průsečíku její lokalizace při maximálních ideálech.
An indukční limit integrálních domén je integrální doménou.
Li ${displaystyle A, B}$ jsou integrální domény nad algebraicky uzavřeným polem k, pak ${displaystyle Aotimes _ {k} B}$ je integrální doménou. To je důsledek Hilbertův nullstellensatz,^{[poznámka 1]} a v algebraické geometrii implikuje tvrzení, že souřadnicový kruh součinu dvou afinních algebraických variet nad algebraicky uzavřeným polem je opět integrální doménou.

Pole zlomků

The pole zlomků K. integrální domény R je množina zlomků A/b s A a b v R a b ≠ 0 modulo odpovídající vztah ekvivalence, vybavený obvyklými operacemi sčítání a násobení. Je to „nejmenší pole obsahující R „v tom smyslu, že existuje injekční kruhový homomorfismus R → K. takový, že jakýkoli injekční kruhový homomorfismus z R na pole faktory prostřednictvím K.. Pole zlomků prstence celých čísel ${displaystyle mathbb {Z}}$ je obor racionální čísla ${displaystyle mathbb {Q}.}$ Pole zlomků pole je izomorfní na samotné pole.

Algebraická geometrie

Integrální domény se vyznačují podmínkou, že jsou snížena (to je X² = 0 znamená X = 0) a neredukovatelné (to je jen jeden minimální hlavní ideál ). První podmínka zajišťuje, že nilradikální prstenu je nula, takže průnik všech minimálních prvočísel prstenu je nula. Druhá podmínka je, že prsten má pouze jeden minimální prime. Z toho vyplývá, že jedinečný minimální primární ideál redukovaného a neredukovatelného kruhu je nulový ideál, takže takové prstence jsou integrálními doménami. Konverzace je jasná: integrální doména nemá žádné nenulové nilpotentní prvky a nulový ideál je jedinečný minimální primární ideál.

To se překládá dovnitř algebraická geometrie, do toho, že souřadnicový kruh z afinní algebraická množina je integrální doména právě tehdy, je-li algebraická množina algebraická rozmanitost.

Obecněji řečeno, komutativní kruh je integrální doménou právě tehdy, když je spektrum je integrální afinní schéma.

Charakteristické a homomorfismy

The charakteristický integrální domény je buď 0 nebo a prvočíslo.

Li R je integrální doménou primární charakteristiky p, pak Frobeniova endomorfismus F(X) = X^p je injekční.

Viz také

Dedekind – Hasseova norma - zvláštní struktura potřebná k tomu, aby byla integrální doména hlavní
Vlastnost nulového produktu

Poznámky

^ Důkaz: Nejprve předpokládej A je definitivně generován jako k-algebra a vyberte a ${displaystyle k}$ -základ ${displaystyle g_ {i}}$ z ${displaystyle B}$ . Předpokládat ${extstyle součet f_ {i} čast g_ {i} součet h_ {j} krát g_ {j} = 0}$ (jen konečně mnoho ${displaystyle f_ {i}, h_ {j}}$ jsou nenulové). Pro každý maximální ideál ${displaystyle {mathfrak {m}}}$ z ${displaystyle A}$ , zvažte prstenový homomorfismus ${displaystyle Aotimes _ {k} B o A / {mathfrak {m}} otimes _ {k} B = kotimes _ {k} Bsimeq B}$ . Pak je obrázek ${extstyle součet {overline {f_ {i}}} g_ {i} součet {overline {h_ {i}}} g_ {i} = 0}$ a tedy buď ${extstyle součet {overline {f_ {i}}} g_ {i} = 0}$ nebo ${extstyle součet {overline {h_ {i}}} g_ {i} = 0}$ a lineární nezávislostí ${displaystyle {overline {f_ {i}}} = 0}$ pro všechny ${displaystyle i}$ nebo ${displaystyle {overline {h_ {i}}} = 0}$ pro všechny ${displaystyle i}$ . Od té doby ${displaystyle {mathfrak {m}}}$ je libovolné, máme ${extstyle (součet f_ {i} A) (součet h_ {i} A) podmnožina operatorname {Jac} (A) =}$ průsečík všech maximálních ideálů ${displaystyle = (0)}$ kde poslední rovnost je podle Nullstellensatz. Od té doby ${displaystyle (0)}$ je ideálním ideálem, z toho vyplývá buď ${extstyle součet f_ {i} A}$ nebo ${extstyle součet h_ {i} A}$ je nulový ideál; tj. buď ${displaystyle f_ {i}}$ jsou všechny nula nebo ${displaystyle h_ {i}}$ jsou všechny nulové. Konečně, ${displaystyle A}$ je indukční limit definitivně generovaného k-algebry, které jsou integrálními doménami, a tedy pomocí předchozí vlastnosti, ${displaystyle Aotimes _ {k} B = varinjlim A_ {i} otimes _ {k} B}$ je integrální doménou. ${squarestyle square}$

^ Bourbaki, str. 116.
^ Dummit and Foote, str. 228.
^ B.L. van der Waerden, Algebra Erster Teil, str. 36, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg 1966.
^ V. Herstein, Témata v algebře, str. 88-90, Blaisdell Publishing Company, London 1964.
^ J.C. McConnel a J.C. Robson „Noncommutative Noetherian Rings“ (Postgraduální studium matematiky Sv. 30, AMS)
^ Stránky 91–92 z Lang, Serge (1993), Algebra (Třetí vydání), Reading, Mass.: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl 0848.13001
^ Auslander, Maurice; Buchsbaum, D. A. (1959). „Unikátní faktorizace v pravidelných místních kruzích“. Proc. Natl. Acad. Sci. USA. 45 (5): 733–734. doi:10.1073 / pnas.45.5.733. PMC 222624. PMID 16590434.
^ Masayoshi Nagata (1958). „Obecná teorie algebraické geometrie nad Dedekindovými doménami. II“. Amer. J. Math. Johns Hopkins University Press. 80 (2): 382–420. doi:10.2307/2372791. JSTOR 2372791.
^ Durbin, John R. (1993). Moderní algebra: Úvod (3. vyd.). John Wiley and Sons. p. 224. ISBN 0-471-51001-7. Elementy A a b z [integrální domény] jsou voláni spolupracovníci -li A | b a b | A.

Reference

Adamson, Iain T. (1972). Základní kroužky a moduly. Univerzitní matematické texty. Oliver a Boyd. ISBN 0-05-002192-3.
Bourbaki, Nicolasi (1998). Algebra, kapitoly 1–3. Berlín, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-64243-5.
Mac Lane, Saunders; Birkhoff, Garrett (1967). Algebra. New York: The Macmillan Co. ISBN 1-56881-068-7. PAN 0214415.
Dummit, David S .; Foote, Richard M. (2004). Abstraktní algebra (3. vyd.). New York: Wiley. ISBN 978-0-471-43334-7.
Hungerford, Thomas W. (2013). Abstract Algebra: An Introduction (3. vyd.). Cengage Learning. ISBN 978-1-111-56962-4.
Lang, Serge (2002). Algebra. Postgraduální texty z matematiky. 211. Berlín, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-95385-4. PAN 1878556.
Sharpe, David (1987). Kroužky a faktorizace. Cambridge University Press. ISBN 0-521-33718-6.
Rowen, Louis Halle (1994). Algebra: skupiny, kroužky a pole. K Peters. ISBN 1-56881-028-8.
Lanski, Charles (2005). Pojmy v abstraktní algebře. AMS Bookstore. ISBN 0-534-42323-X.
Milies, César Polcino; Sehgal, Sudarshan K. (2002). Úvod do skupinových kruhů. Springer. ISBN 1-4020-0238-6.
B.L. van der Waerden, Algebra, Springer-Verlag, Berlín Heidelberg, 1966.

externí odkazy

„odkud pochází výraz„ integrální doména “?“.

[10] Důkaz: Nejprve předpokládej A je definitivně generován jako k-algebra a vyberte a ${displaystyle k}$ -základ ${displaystyle g_ {i}}$ z ${displaystyle B}$ . Předpokládat ${extstyle součet f_ {i} čast g_ {i} součet h_ {j} krát g_ {j} = 0}$ (jen konečně mnoho ${displaystyle f_ {i}, h_ {j}}$ jsou nenulové). Pro každý maximální ideál ${displaystyle {mathfrak {m}}}$ z ${displaystyle A}$ , zvažte prstenový homomorfismus ${displaystyle Aotimes _ {k} B o A / {mathfrak {m}} otimes _ {k} B = kotimes _ {k} Bsimeq B}$ . Pak je obrázek ${extstyle součet {overline {f_ {i}}} g_ {i} součet {overline {h_ {i}}} g_ {i} = 0}$ a tedy buď ${extstyle součet {overline {f_ {i}}} g_ {i} = 0}$ nebo ${extstyle součet {overline {h_ {i}}} g_ {i} = 0}$ a lineární nezávislostí ${displaystyle {overline {f_ {i}}} = 0}$ pro všechny ${displaystyle i}$ nebo ${displaystyle {overline {h_ {i}}} = 0}$ pro všechny ${displaystyle i}$ . Od té doby ${displaystyle {mathfrak {m}}}$ je libovolné, máme ${extstyle (součet f_ {i} A) (součet h_ {i} A) podmnožina operatorname {Jac} (A) =}$ průsečík všech maximálních ideálů ${displaystyle = (0)}$ kde poslední rovnost je podle Nullstellensatz. Od té doby ${displaystyle (0)}$ je ideálním ideálem, z toho vyplývá buď ${extstyle součet f_ {i} A}$ nebo ${extstyle součet h_ {i} A}$ je nulový ideál; tj. buď ${displaystyle f_ {i}}$ jsou všechny nula nebo ${displaystyle h_ {i}}$ jsou všechny nulové. Konečně, ${displaystyle A}$ je indukční limit definitivně generovaného k-algebry, které jsou integrálními doménami, a tedy pomocí předchozí vlastnosti, ${displaystyle Aotimes _ {k} B = varinjlim A_ {i} otimes _ {k} B}$ je integrální doménou. ${squarestyle square}$

[1] Bourbaki, str. 116.

[2] Dummit and Foote, str. 228.

[3] B.L. van der Waerden, Algebra Erster Teil, str. 36, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg 1966.

[4] V. Herstein, Témata v algebře, str. 88-90, Blaisdell Publishing Company, London 1964.

[5] J.C. McConnel a J.C. Robson „Noncommutative Noetherian Rings“ (Postgraduální studium matematiky Sv. 30, AMS)

[6] Stránky 91–92 z Lang, Serge (1993), Algebra (Třetí vydání), Reading, Mass.: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl 0848.13001

[7] Auslander, Maurice; Buchsbaum, D. A. (1959). „Unikátní faktorizace v pravidelných místních kruzích“. Proc. Natl. Acad. Sci. USA. 45 (5): 733–734. doi:10.1073 / pnas.45.5.733. PMC 222624. PMID 16590434.

[8] Masayoshi Nagata (1958). „Obecná teorie algebraické geometrie nad Dedekindovými doménami. II“. Amer. J. Math. Johns Hopkins University Press. 80 (2): 382–420. doi:10.2307/2372791. JSTOR 2372791.

[9] Durbin, John R. (1993). Moderní algebra: Úvod (3. vyd.). John Wiley and Sons. p. 224. ISBN 0-471-51001-7. Elementy A a b z [integrální domény] jsou voláni spolupracovníci -li A | b a b | A.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[poznámka 1]