Absolutní skupina Galois - Absolute Galois group

Absolutní Galoisova skupina reálná čísla je cyklická skupina řádu 2 generovaného komplexní konjugací, protože C je oddělitelný uzávěr R a [C:R] = 2.

v matematika, absolutní skupina Galois G_K. a pole K. je Galoisova skupina z K.^září přes K., kde K.^září je oddělitelný uzávěr z K.. Alternativně je to skupina všech automorfismů algebraické uzavření z K. ta oprava K.. Absolutní skupina Galois je dobře definována až do vnitřní automorfismus. Je to profinitní skupina.

(Když K. je perfektní pole, K.^září je stejný jako algebraické uzavření K.^alg z K.. To platí např. pro K. z charakteristická nula nebo K. A konečné pole.)

Příklady

• Absolutní Galoisova skupina algebraicky uzavřeného pole je triviální.
• Absolutní Galoisova skupina reálná čísla je cyklická skupina dvou prvků (komplexní konjugace a mapa identity), protože C je oddělitelný uzávěr R a [C:R] = 2.
• Absolutní Galoisova skupina a konečné pole K. je isomorfní pro skupinu

${ displaystyle { hat { mathbf {Z}}} = varprojlim mathbf {Z} / n mathbf {Z}.}$

(Pro popis viz Inverzní limit.)

The Frobenius automorfismus Fr je kanonický (topologický) generátor G_K.. (Připomeňme si, že Fr (X) = X^q pro všechny X v K.^alg, kde q je počet prvků v K..)

• Absolutní Galoisova skupina pole racionálních funkcí se složitými koeficienty je volná (jako profinitní skupina). Tento výsledek je způsoben Adrien Douady a má svůj původ v Riemannova věta o existenci.^[1]
• Obecněji řečeno C být algebraicky uzavřeným polem a X proměnná. Pak absolutní Galoisova skupina K. = C(X) nemá hodnost rovnající se mohutnosti C. Tento výsledek je způsoben David Harbater a Florian Pop, a bylo také prokázáno později Dan Haran a Moshe Jarden pomocí algebraických metod.^[2][3][4]
• Nechat K. být konečné prodloužení z p-adic čísla Q_p. Pro p ≠ 2, jeho absolutní skupina Galois je generována [K.:Q_p] + 3 prvky a má explicitní popis generátory a vztahy. To je výsledek Uwe Jannsena a Kay Wingberga.^[5][6] Některé výsledky jsou v případě známy p = 2, ale struktura pro Q₂ není známo.^[7]
• Další případ, kdy byla určena absolutní skupina Galois, je největší naprosto skutečné podpole pole algebraických čísel.^[8]

Problémy

• Není znám žádný přímý popis absolutní skupiny Galois v racionální čísla. V tomto případě to vyplývá z Belyiova věta že absolutní skupina Galois má věrné působení na dessins d'enfants z Grothendieck (mapy povrchů), což nám umožňuje „vidět“ Galoisovu teorii algebraických číselných polí.
• Nechat K. být maximální abelian rozšíření racionálních čísel. Pak Shafarevichova domněnka tvrdí, že absolutní skupina Galois z K. je bezplatná profinitní skupina.^[9]

Některé obecné výsledky

• Každá profinitní skupina se vyskytuje jako skupina Galois nějakého rozšíření Galois,^[10] ne každá profinitní skupina se však vyskytuje jako absolutní Galoisova skupina. Například Artin – Schreierova věta tvrdí, že jediné konečné absolutní skupiny Galois jsou buď triviální, nebo řádu 2, což jsou pouze dvě třídy izomorfismu.
• Každý projektivní profinitní skupina lze realizovat jako absolutní Galoisovu skupinu a pseudo algebraicky uzavřené pole. Tento výsledek je způsoben Alexander Lubotzky a Lou van den Dries.^[11]

Reference

Zdroje

• Douady, Adrien (1964), „Détermination d'un groupe de Galois“, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, 258: 5305–5308, PAN  0162796
• Fried, Michael D .; Jarden, Moshe (2008), Polní aritmetika, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge, 11 (3. vyd.), Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-77269-9, Zbl  1145.12001
• Haran, Dan; Jarden, Moshe (2000), „Absolutní Galoisova skupina C(X)", Pacific Journal of Mathematics, 196 (2): 445–459, doi:10.2140 / pjm.2000.196.445, PAN  1800587
• Harbater, David „Základní skupiny a zakotvení problémů do charakteristik p", Poslední vývoj inverzního problému Galois, Současná matematika, 186, Providence, RI: Americká matematická společnost, str. 353–369, PAN  1352282
• Jannsen, Uwe; Wingberg, Kay (1982), „Die Struktur der absoluten Galoisgruppe ${ displaystyle { mathfrak {p}}}$-adischer Zahlkörper ", Inventiones Mathematicae, 70: 71–78, Bibcode:1982InMat..70 ... 71J, doi:10.1007 / bf01393199
• Neukirch, Jürgen; Schmidt, Alexander; Wingberg, Kay (2000), Kohomologie číselných polí, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 323, Berlín: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-66671-4, PAN  1737196, Zbl  0948.11001
• Pop, Florian (1995), "Kryty Étale Galois afinních hladkých křivek. Geometrický případ domněnky Shafarevicha. O domněnce Abhyankara", Inventiones Mathematicae, 120 (3): 555–578, Bibcode:1995InMat.120..555P, doi:10.1007 / bf01241142, PAN  1334484