Skupina Mathieu - Mathieu group
Algebraická struktura → Skupinová teorie Skupinová teorie |
---|
![]() |
Nekonečná dimenzionální Lieova skupina
|
v teorie skupin, téma v abstraktní algebra, Mathieu skupiny je pět sporadické jednoduché skupiny M11, M12, M22, M23 a M24 představil Mathieu (1861, 1873 ). Jsou mnohonásobně tranzitivní permutační skupiny na 11, 12, 22, 23 nebo 24 objektech. Byly objeveny první sporadické skupiny.
Někdy notace M9, M10, M20 a M21 se používá pro příbuzné skupiny (které působí na sady 9, 10, 20 a 21 bodů), jmenovitě stabilizátory bodů ve větších skupinách. Nejedná se o sporadické jednoduché skupiny, jsou to podskupiny větších skupin a lze je použít ke konstrukci větších skupin. John Conway ukázal, že lze tuto sekvenci také prodloužit a získat Mathieu groupoid M13 jedná o 13 bodech. M21 je jednoduchá, ale není sporadickou skupinou, je izomorfní s PSL (3,4).
Dějiny
Mathieu (1861, s. 271) představil skupinu M12 v rámci vyšetřování násobných tranzitivních permutačních skupin a krátce zmínil (na straně 274) skupinu M24, dávat rozkaz. v Mathieu (1873) dal další podrobnosti, včetně výslovných generující sady pro jeho skupiny, ale z jeho argumentů nebylo snadné vidět, že generované skupiny nejsou jen střídavé skupiny Několik let byla existence jeho skupin kontroverzní. Miller (1898) dokonce publikoval článek mylně prohlašující, že to dokazuje M24 neexistuje, i když krátce nato v (Miller 1900 ) poukázal na to, že jeho důkaz nebyl správný, a podal důkaz, že skupiny Mathieu jsou jednoduché. Witt (1938a, 1938b ) nakonec odstranil pochybnosti o existenci těchto skupin tím, že je konstruoval jako postupná přechodná rozšíření permutačních skupin, stejně jako skupiny automorfismu Steinerovy systémy.
Po Mathieu skupinách nebyly nalezeny žádné nové sporadické skupiny až do roku 1965, kdy skupina J1 byl objeven.
Znásobte tranzitivní skupiny
Mathieu měl zájem najít znásobit tranzitivní permutační skupiny, které budou nyní definovány. Pro přirozené číslo k, permutační skupina G jednající na n body jsou k-tranzitivní pokud, vzhledem k tomu, dvě sady bodů A1, ... Ak a b1, ... bk s majetkem, že všechny Ai jsou odlišné a všechny bi jsou odlišné, existuje skupinový prvek G v G které mapy Ai na bi pro každého i mezi 1 a k. Taková skupina se nazývá ostře k-tranzitivní pokud je prvek G je jedinečný (tj. akce na k-tuples je pravidelný, spíše než jen tranzitivní).
M24 je 5-tranzitivní a M12 je ostře 5-tranzitivní, přičemž ostatní Mathieuovy skupiny (jednoduché nebo ne) jsou podskupinami odpovídajícími stabilizátorům m bodů a odpovídajícím způsobem nižší tranzitivity (M23 je 4-tranzitivní atd.).
Jediné 4-tranzitivní skupiny jsou symetrické skupiny Sk pro k nejméně 4, střídavé skupiny Ak pro k nejméně 6 a skupiny Mathieu M24, M23, M12 a M11. (Cameron 1999, str. 110) Úplný důkaz vyžaduje klasifikace konečných jednoduchých skupin, ale některé zvláštní případy jsou známy mnohem déle.
to je klasický výsledek Jordánska že symetrický a střídavé skupiny (stupně k a k + 2 v uvedeném pořadí) a M12 a M11 jsou jediní ostře k-transitivní permutační skupiny pro k alespoň 4.
Důležitými příklady násobných tranzitivních skupin jsou 2-tranzitivní skupiny a Skupiny Zassenhaus. Skupiny Zassenhaus zahrnují zejména projektivní obecná lineární skupina projektivní přímky přes konečné pole, PGL (2,Fq), který je ostře 3-tranzitivní (viz křížový poměr ) zapnuto elementy.
Tabulka objednávek a tranzitivity
Skupina | Objednat | Objednávka (produkt) | Faktorizované pořadí | Přechodnost | Jednoduchý | Sporadický |
---|---|---|---|---|---|---|
M24 | 244823040 | 3·16·20·21·22·23·24 | 210·33·5·7·11·23 | 5-tranzitivní | Ano | sporadický |
M23 | 10200960 | 3·16·20·21·22·23 | 27·32·5·7·11·23 | 4-tranzitivní | Ano | sporadický |
M22 | 443520 | 3·16·20·21·22 | 27·32·5·7·11 | 3-tranzitivní | Ano | sporadický |
M21 | 20160 | 3·16·20·21 | 26·32·5·7 | 2-tranzitivní | Ano | ≈ PSL3(4) |
M20 | 960 | 3·16·20 | 26·3·5 | 1-tranzitivní | Ne | ≈24:A5 |
M12 | 95040 | 8·9·10·11·12 | 26·33·5·11 | ostře 5-tranzitivní | Ano | sporadický |
M11 | 7920 | 8·9·10·11 | 24·32·5·11 | ostře 4-tranzitivní | Ano | sporadický |
M10 | 720 | 8·9·10 | 24·32·5 | ostře 3-tranzitivní | téměř | M10' ≈ Alt6 |
M9 | 72 | 8·9 | 23·32 | ostře 2-tranzitivní | Ne | ≈ PSU3(2) |
M8 | 8 | 8 | 23 | ostře 1-tranzitivní (normální) | Ne | ≈ Q |
Stavby Mathieuových skupin
Skupiny Mathieu mohou být konstruovány různými způsoby.
Permutační skupiny
M12 má jednoduchou podskupinu řádu 660, maximální podskupinu. Tato podskupina je isomorfní s projektivní speciální lineární skupina PSL2(F11) přes pole 11 prvků. S -1 zapsáno jako A a nekonečno jako b, dva standardní generátory jsou (0123456789a) a (0b) (1a) (25) (37) (48) (69). Třetí generátor dává M12 pošle prvek X z F11 až 4X2 − 3X7; jako permutace, která je (26a7) (3945).
Ukázalo se, že tato skupina není izomorfní pro žádného člena nekonečných rodin konečných jednoduchých skupin a nazývá se sporadická. M11 je stabilizátor bodu v M12, a ukázalo se, že je také sporadickou jednoduchou skupinou. M10, stabilizátor dvou bodů, není sporadický, ale je téměř jednoduchá skupina jehož podskupina komutátoru je střídavá skupina A6. Souvisí to tedy s výjimečný vnější automorfismus A.6. Stabilizátor 3 bodů je projektivní speciální jednotná skupina PSU (3,22), který je řešitelný. Stabilizátor 4 bodů je čtveřice skupina.
Rovněž, M24 má maximální jednoduchou podskupinu řádu 6072 izomorfní s PSL2(F23). Jeden generátor přidá 1 ke každému prvku pole (opouští bod N v nekonečnu fixní), i. E. (0123456789ABCDEFGHIJKLM) (N) a druhý je pořadí reverzní permutace, (0N) (1M) (2B) (3F) (4H) (59) (6J) (7D) (8K) (AG) (CL) (EI). Třetí generátor dává M24 pošle prvek X z F23 až 4X4 − 3X15 (který posílá dokonalé čtverce přes a nedokonalé čtverce prostřednictvím ); výpočet ukazuje, že jako permutace je to (2G968) (3CDI4) (7HABM) (EJLKF).
Stabilizátory 1 a 2 bodů, M23 a M22 také se ukázaly jako sporadické jednoduché skupiny. Stabilizátor 3 bodů je jednoduchý a izomorfní vůči projektivní speciální lineární skupina PSL3(4).
Tyto stavby citoval Carmichael (1956 151, 164, 263). Dixon & Mortimer (1996, s. 209) připsat obměny Mathieuovi.
Automorfické skupiny Steinerových systémů
Tady existuje až do rovnocennost unikátní S(5,8,24) Steinerův systém Ž24 (dále jen Witt design ). Skupina M24 je skupina automorfismu tohoto systému Steiner; to je soubor permutací, které mapují každý blok na nějaký jiný blok. Podskupiny M23 a M22 jsou definovány jako stabilizátory jednoho bodu, respektive dvou bodů.
Podobně existuje až ekvivalentní jedinečný systém Steiner S (5,6,12) Ž12a skupina M12 je jeho skupina automorfismu. Podskupina M11 je stabilizátor bodu.
Ž12 lze postavit z afinní geometrie na vektorový prostor F3×F3, an S(2,3,9) systém.
Alternativní konstrukce Ž12 je „kotě“ Curtis (1984).
Úvod do konstrukce Ž24 přes Miracle Octad Generator R. T. Curtise a Conwayova analogu pro Ž12, miniMOG, najdete v knize Conwaye a Sloane.
Skupiny Automorphism v kódu Golay
Skupina M24 je skupina permutačního automorfismu z rozšířený binární Golay kód Ž, tj. skupina permutací na 24 souřadnicích, které mapují Ž pro sebe. Všechny skupiny Mathieu mohou být vytvořeny jako skupiny permutací v binárním kódu Golay.
M12 má index 2 ve své automorfické skupině a M12: 2 je shodou okolností izomorfní s podskupinou M24. M12 je stabilizátor a dodecad, kódové slovo 12 1; M12: 2 stabilizuje oddíl na 2 doplňkové dodecady.
Mezi skupinami Mathieu a těmi většími je přirozené spojení Skupiny Conway, protože Mřížka pijavice byla postavena na binárním Golayově kódu a ve skutečnosti obě leží v prostorech dimenze 24. Skupiny Conway se zase nacházejí v Skupina příšer. Robert Griess označuje 20 sporadických skupin nalezených v Monster jako Šťastná rodinaa skupinám Mathieu jako první generace.
Dessins d'enfants
Skupiny Mathieu lze sestavit pomocí dessins d'enfants, s dessinem spojeným s M12 sugestivně nazvaný „Monsieur Mathieu“ od le Bruyn (2007).
Reference
- Cameron, Peter J. (1999), Permutační skupiny, London Mathematical Society Student Texts, 45, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-65378-7
- Carmichael, Robert D. (1956) [1937], Úvod do teorie grup konečného řádu, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-60300-1, PAN 0075938
- Choi, C. (květen 1972a), „O podskupinách M.24. I: Stabilizátory podmnožin ", Transakce Americké matematické společnosti, 167: 1–27, doi:10.2307/1996123, JSTOR 1996123
- Choi, C. (květen 1972b). „V podskupinách M.24. II: Maximální podskupiny M.24". Transakce Americké matematické společnosti. 167: 29–47. doi:10.2307/1996124. JSTOR 1996124.
- Conway, John Horton (1971), „Tři přednášky o výjimečných skupinách“, Powell, M. B .; Higman, Graham (eds.), Konečné jednoduché skupiny, Sborník z instruktážní konference pořádané London Mathematical Society (NATO Advanced Study Institute), Oxford, září 1969, Boston, MA: Akademický tisk, str. 215–247, ISBN 978-0-12-563850-0, PAN 0338152 Přetištěno Conway & Sloane (1999, 267–298)
- Conway, John Horton; Parker, Richard A.; Norton, Simon P.; Curtis, R. T .; Wilson, Robert A. (1985), Atlas konečných skupin, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853199-9, PAN 0827219
- Conway, John Horton; Sloane, Neil J. A. (1999), Balení koule, mřížky a skupiny Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 290 (3. vyd.), Berlín, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4757-2016-7, ISBN 978-0-387-98585-5, PAN 0920369
- Curtis, R. T. (1976), „Nový kombinatorický přístup k M₂₄“, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 79 (1): 25–42, doi:10.1017 / S0305004100052075, ISSN 0305-0041, PAN 0399247
- Curtis, R. T. (1977), „Maximální podskupiny M₂₄“, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 81 (2): 185–192, doi:10.1017 / S0305004100053251, ISSN 0305-0041, PAN 0439926
- Curtis, R. T. (1984), „Steinerův systém S (5, 6, 12), skupina Mathieu M₁₂ a„ kotě"", Atkinson, Michael D. (ed.), Teorie výpočetních grup. Sborník příspěvků ze sympozia London Mathematical Society konaného v Durhamu 30. července - 9. srpna 1982., Boston, MA: Akademický tisk, str. 353–358, ISBN 978-0-12-066270-8, PAN 0760669
- Cuypers, Hansi, Mathieuovy skupiny a jejich geometrie (PDF)
- Dixon, John D .; Mortimer, Brian (1996), Permutační skupiny, Postgraduální texty z matematiky, 163, Berlín, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4612-0731-3, ISBN 978-0-387-94599-6, PAN 1409812
- Frobenius, Ferdinand Georg (1904), Über die Charaktere der mehrfach transitiven Gruppen, Berline Berichte, Mouton De Gruyter, str. 558–571, ISBN 978-3-11-109790-9
- Gill, Nick; Hughes, Sam (2019), „Tabulka znaků prudce 5-přechodné podskupiny střídavé skupiny stupně 12“, International Journal of Group Theory, doi:10.22108 / IJGT.2019.115366.1531
- Griess, Robert L. Jr. (1998), Dvanáct sporadických skupinSpringer Monografie z matematiky, Berlín, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-662-03516-0, ISBN 978-3-540-62778-4, PAN 1707296
- Hughes, Sam (2018), Reprezentace a teorie znaků malých skupin Mathieu (PDF)
- Mathieu, Émile (1861), „Mémoire sur l'étude des fonctions de plusieurs quantités, sur la manière de les former et sur les substitutions qui les laissent invariables“, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 6: 241–323
- Mathieu, Émile (1873), „Sur la fonction cinq fois transitive de 24 quantités“, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées (francouzsky), 18: 25–46, JFM 05.0088.01
- Miller, G. A. (1898), „O předpokládané pětinásobné tranzitivní funkci 24 prvků a hodnot 19! / 48.“, Posel matematiky, 27: 187–190
- Miller, G. A. (1900), "Sur plusieurs groupes simples", Bulletin de la Société Mathématique de France, 28: 266–267, doi:10,24033 / bsmf.635
- Ronan, Mark (2006), Symetrie a monstrum, Oxford, ISBN 978-0-19-280722-9 (úvod pro laického čtenáře, popisující skupiny Mathieu v historickém kontextu)
- Thompson, Thomas M. (1983), Od kódů opravujících chyby přes balení koule až po jednoduché skupiny Matematické monografie Carus, 21, Mathematical Association of America, ISBN 978-0-88385-023-7, PAN 0749038
- Witt, Ernst (1938a), „über Steinersche Systeme“, Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg, 12: 265–275, doi:10.1007 / BF02948948, ISSN 0025-5858
- Witt, Ernst (1938b), „Die 5-fach transitiven Gruppen von Mathieu“, Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg, 12: 256–264, doi:10.1007 / BF02948947
externí odkazy
- ATLAS: Skupina Mathieu M10
- ATLAS: Skupina Mathieu M11
- ATLAS: Skupina Mathieu M12
- ATLAS: Skupina Mathieu M20
- ATLAS: Skupina Mathieu M21
- ATLAS: Skupina Mathieu M22
- ATLAS: Skupina Mathieu M23
- ATLAS: Skupina Mathieu M24
- le Bruyn, Lieven (2007), Monsieur Mathieu, archivováno od originálu 2010-05-01
- Richter, David A., Jak vytvořit skupinu Mathieu M24, vyvoláno 2010-04-15
- Skupina Mathieu M9 na Názvy skupin
- Scientific American Sada hlavolamů založených na matematice Mathieuových skupin
- Sporadická M12 Aplikace pro iPhone, která na základě implementuje hádanky M12, prezentované jako jedna „spinová“ permutace a volitelná „swapová“ permutace