Skupina Mathieu - Mathieu group

Algebraická struktura → Skupinová teorie Skupinová teorie
Základní pojmy Podskupina Normální podskupina Kvocientová skupina (Částečně)přímý produkt Skupinové homomorfismy jádro obraz přímý součet věnec produkt jednoduchý konečný nekonečný kontinuální multiplikativní přísada cyklický abelian vzepětí nilpotentní řešitelný Glosář teorie skupin Seznam témat teorie skupin
Konečné skupiny Klasifikace konečných jednoduchých skupin cyklický střídavý Typ lži sporadický Cauchyova věta Lagrangeova věta Sylowovy věty Hallova věta p-skupina Základní abelianská skupina Skupina Frobenius Multiplikátor Schur Symetrická skupina Sn Kleinova čtyřčlenná skupina PROTI Vzepětí skupina Dn Čtveřice skupina Q Dicyklická skupina Dicn
Diskrétní skupiny Mříže Celá čísla (Z) Zdarma skupina Modulární skupiny PSL (2,Z) SL (2,Z) Aritmetická skupina Mříž Hyperbolická skupina
Topologické a Lež skupiny Solenoid Kruh Obecné lineární GL (n) Speciální lineární SL (n) Ortogonální Ó(n) Euklidovský E(n) Speciální ortogonální TAK(n) Unitary U (n) Speciální unitární SU (n) Symplektický Sp (n) G2 F4 E6 E7 E8 Lorentz Poincaré Konformní Difomorfismus Smyčka Nekonečná dimenzionální Lieova skupina O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Algebraické skupiny Lineární algebraická skupina Redukční skupina Abelianská odrůda Eliptická křivka

v teorie skupin, téma v abstraktní algebra, Mathieu skupiny je pět sporadické jednoduché skupiny M₁₁, M₁₂, M₂₂, M₂₃ a M₂₄ představil Mathieu  (1861, 1873 ). Jsou mnohonásobně tranzitivní permutační skupiny na 11, 12, 22, 23 nebo 24 objektech. Byly objeveny první sporadické skupiny.

Někdy notace M₉, M₁₀, M₂₀ a M₂₁ se používá pro příbuzné skupiny (které působí na sady 9, 10, 20 a 21 bodů), jmenovitě stabilizátory bodů ve větších skupinách. Nejedná se o sporadické jednoduché skupiny, jsou to podskupiny větších skupin a lze je použít ke konstrukci větších skupin. John Conway ukázal, že lze tuto sekvenci také prodloužit a získat Mathieu groupoid M₁₃ jedná o 13 bodech. M₂₁ je jednoduchá, ale není sporadickou skupinou, je izomorfní s PSL (3,4).

Dějiny

Mathieu (1861, s. 271) představil skupinu M₁₂ v rámci vyšetřování násobných tranzitivních permutačních skupin a krátce zmínil (na straně 274) skupinu M₂₄, dávat rozkaz. v Mathieu (1873) dal další podrobnosti, včetně výslovných generující sady pro jeho skupiny, ale z jeho argumentů nebylo snadné vidět, že generované skupiny nejsou jen střídavé skupiny Několik let byla existence jeho skupin kontroverzní. Miller (1898) dokonce publikoval článek mylně prohlašující, že to dokazuje M₂₄ neexistuje, i když krátce nato v (Miller 1900 ) poukázal na to, že jeho důkaz nebyl správný, a podal důkaz, že skupiny Mathieu jsou jednoduché. Witt (1938a, 1938b ) nakonec odstranil pochybnosti o existenci těchto skupin tím, že je konstruoval jako postupná přechodná rozšíření permutačních skupin, stejně jako skupiny automorfismu Steinerovy systémy.

Po Mathieu skupinách nebyly nalezeny žádné nové sporadické skupiny až do roku 1965, kdy skupina J₁ byl objeven.

Znásobte tranzitivní skupiny

Mathieu měl zájem najít znásobit tranzitivní permutační skupiny, které budou nyní definovány. Pro přirozené číslo k, permutační skupina G jednající na n body jsou k-tranzitivní pokud, vzhledem k tomu, dvě sady bodů A₁, ... A_k a b₁, ... b_k s majetkem, že všechny A_i jsou odlišné a všechny b_i jsou odlišné, existuje skupinový prvek G v G které mapy A_i na b_i pro každého i mezi 1 a k. Taková skupina se nazývá ostře k-tranzitivní pokud je prvek G je jedinečný (tj. akce na k-tuples je pravidelný, spíše než jen tranzitivní).

M₂₄ je 5-tranzitivní a M₁₂ je ostře 5-tranzitivní, přičemž ostatní Mathieuovy skupiny (jednoduché nebo ne) jsou podskupinami odpovídajícími stabilizátorům m bodů a odpovídajícím způsobem nižší tranzitivity (M₂₃ je 4-tranzitivní atd.).

Jediné 4-tranzitivní skupiny jsou symetrické skupiny S_k pro k nejméně 4, střídavé skupiny A_k pro k nejméně 6 a skupiny Mathieu M₂₄, M₂₃, M₁₂ a M₁₁. (Cameron 1999, str. 110) Úplný důkaz vyžaduje klasifikace konečných jednoduchých skupin, ale některé zvláštní případy jsou známy mnohem déle.

to je klasický výsledek Jordánska že symetrický a střídavé skupiny (stupně k a k + 2 v uvedeném pořadí) a M₁₂ a M₁₁ jsou jediní ostře k-transitivní permutační skupiny pro k alespoň 4.

Důležitými příklady násobných tranzitivních skupin jsou 2-tranzitivní skupiny a Skupiny Zassenhaus. Skupiny Zassenhaus zahrnují zejména projektivní obecná lineární skupina projektivní přímky přes konečné pole, PGL (2,F_q), který je ostře 3-tranzitivní (viz křížový poměr ) zapnuto ${ displaystyle q + 1}$ elementy.

Tabulka objednávek a tranzitivity

Stavby Mathieuových skupin

Skupiny Mathieu mohou být konstruovány různými způsoby.

Permutační skupiny

M₁₂ má jednoduchou podskupinu řádu 660, maximální podskupinu. Tato podskupina je isomorfní s projektivní speciální lineární skupina PSL₂(F₁₁) přes pole 11 prvků. S -1 zapsáno jako A a nekonečno jako b, dva standardní generátory jsou (0123456789a) a (0b) (1a) (25) (37) (48) (69). Třetí generátor dává M₁₂ pošle prvek X z F₁₁ až 4X² − 3X⁷; jako permutace, která je (26a7) (3945).

Ukázalo se, že tato skupina není izomorfní pro žádného člena nekonečných rodin konečných jednoduchých skupin a nazývá se sporadická. M₁₁ je stabilizátor bodu v M₁₂, a ukázalo se, že je také sporadickou jednoduchou skupinou. M₁₀, stabilizátor dvou bodů, není sporadický, ale je téměř jednoduchá skupina jehož podskupina komutátoru je střídavá skupina A₆. Souvisí to tedy s výjimečný vnější automorfismus A.₆. Stabilizátor 3 bodů je projektivní speciální jednotná skupina PSU (3,2²), který je řešitelný. Stabilizátor 4 bodů je čtveřice skupina.

Rovněž, M₂₄ má maximální jednoduchou podskupinu řádu 6072 izomorfní s PSL₂(F₂₃). Jeden generátor přidá 1 ke každému prvku pole (opouští bod N v nekonečnu fixní), i. E. (0123456789ABCDEFGHIJKLM) (N) a druhý je pořadí reverzní permutace, (0N) (1M) (2B) (3F) (4H) (59) (6J) (7D) (8K) (AG) (CL) (EI). Třetí generátor dává M₂₄ pošle prvek X z F₂₃ až 4X⁴ − 3X¹⁵ (který posílá dokonalé čtverce přes ${ displaystyle x ^ {4}}$ a nedokonalé čtverce prostřednictvím ${ displaystyle 7x ^ {4}}$); výpočet ukazuje, že jako permutace je to (2G968) (3CDI4) (7HABM) (EJLKF).

Stabilizátory 1 a 2 bodů, M₂₃ a M₂₂ také se ukázaly jako sporadické jednoduché skupiny. Stabilizátor 3 bodů je jednoduchý a izomorfní vůči projektivní speciální lineární skupina PSL₃(4).

Tyto stavby citoval Carmichael (1956 151, 164, 263). Dixon & Mortimer (1996, s. 209) připsat obměny Mathieuovi.

Automorfické skupiny Steinerových systémů

Tady existuje až do rovnocennost unikátní S(5,8,24) Steinerův systém Ž₂₄ (dále jen Witt design ). Skupina M₂₄ je skupina automorfismu tohoto systému Steiner; to je soubor permutací, které mapují každý blok na nějaký jiný blok. Podskupiny M₂₃ a M₂₂ jsou definovány jako stabilizátory jednoho bodu, respektive dvou bodů.

Podobně existuje až ekvivalentní jedinečný systém Steiner S (5,6,12) Ž₁₂a skupina M₁₂ je jeho skupina automorfismu. Podskupina M₁₁ je stabilizátor bodu.

Ž₁₂ lze postavit z afinní geometrie na vektorový prostor F₃×F₃, an S(2,3,9) systém.

Alternativní konstrukce Ž₁₂ je „kotě“ Curtis (1984).

Úvod do konstrukce Ž₂₄ přes Miracle Octad Generator R. T. Curtise a Conwayova analogu pro Ž₁₂, miniMOG, najdete v knize Conwaye a Sloane.

Skupiny Automorphism v kódu Golay

Skupina M₂₄ je skupina permutačního automorfismu z rozšířený binární Golay kód Ž, tj. skupina permutací na 24 souřadnicích, které mapují Ž pro sebe. Všechny skupiny Mathieu mohou být vytvořeny jako skupiny permutací v binárním kódu Golay.

M₁₂ má index 2 ve své automorfické skupině a M₁₂: 2 je shodou okolností izomorfní s podskupinou M₂₄. M₁₂ je stabilizátor a dodecad, kódové slovo 12 1; M₁₂: 2 stabilizuje oddíl na 2 doplňkové dodecady.

Mezi skupinami Mathieu a těmi většími je přirozené spojení Skupiny Conway, protože Mřížka pijavice byla postavena na binárním Golayově kódu a ve skutečnosti obě leží v prostorech dimenze 24. Skupiny Conway se zase nacházejí v Skupina příšer. Robert Griess označuje 20 sporadických skupin nalezených v Monster jako Šťastná rodinaa skupinám Mathieu jako první generace.

Dessins d'enfants

Skupiny Mathieu lze sestavit pomocí dessins d'enfants, s dessinem spojeným s M₁₂ sugestivně nazvaný „Monsieur Mathieu“ od le Bruyn (2007).

Reference

• Cameron, Peter J. (1999), Permutační skupiny, London Mathematical Society Student Texts, 45, Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-65378-7
• Carmichael, Robert D. (1956) [1937], Úvod do teorie grup konečného řádu, New York: Dover Publications, ISBN  978-0-486-60300-1, PAN  0075938
• Choi, C. (květen 1972a), „O podskupinách M.₂₄. I: Stabilizátory podmnožin ", Transakce Americké matematické společnosti, 167: 1–27, doi:10.2307/1996123, JSTOR  1996123
• Choi, C. (květen 1972b). „V podskupinách M.₂₄. II: Maximální podskupiny M.₂₄". Transakce Americké matematické společnosti. 167: 29–47. doi:10.2307/1996124. JSTOR  1996124.
• Conway, John Horton (1971), „Tři přednášky o výjimečných skupinách“, Powell, M. B .; Higman, Graham (eds.), Konečné jednoduché skupiny, Sborník z instruktážní konference pořádané London Mathematical Society (NATO Advanced Study Institute), Oxford, září 1969, Boston, MA: Akademický tisk, str. 215–247, ISBN  978-0-12-563850-0, PAN  0338152 Přetištěno Conway & Sloane (1999, 267–298)
• Conway, John Horton; Parker, Richard A.; Norton, Simon P.; Curtis, R. T .; Wilson, Robert A. (1985), Atlas konečných skupin, Oxford University Press, ISBN  978-0-19-853199-9, PAN  0827219
• Conway, John Horton; Sloane, Neil J. A. (1999), Balení koule, mřížky a skupiny Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 290 (3. vyd.), Berlín, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4757-2016-7, ISBN  978-0-387-98585-5, PAN  0920369
• Curtis, R. T. (1976), „Nový kombinatorický přístup k M₂₄“, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 79 (1): 25–42, doi:10.1017 / S0305004100052075, ISSN  0305-0041, PAN  0399247
• Curtis, R. T. (1977), „Maximální podskupiny M₂₄“, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 81 (2): 185–192, doi:10.1017 / S0305004100053251, ISSN  0305-0041, PAN  0439926
• Curtis, R. T. (1984), „Steinerův systém S (5, 6, 12), skupina Mathieu M₁₂ a„ kotě"", Atkinson, Michael D. (ed.), Teorie výpočetních grup. Sborník příspěvků ze sympozia London Mathematical Society konaného v Durhamu 30. července - 9. srpna 1982., Boston, MA: Akademický tisk, str. 353–358, ISBN  978-0-12-066270-8, PAN  0760669
• Cuypers, Hansi, Mathieuovy skupiny a jejich geometrie (PDF)
• Dixon, John D .; Mortimer, Brian (1996), Permutační skupiny, Postgraduální texty z matematiky, 163, Berlín, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4612-0731-3, ISBN  978-0-387-94599-6, PAN  1409812
• Frobenius, Ferdinand Georg (1904), Über die Charaktere der mehrfach transitiven Gruppen, Berline Berichte, Mouton De Gruyter, str. 558–571, ISBN  978-3-11-109790-9
• Gill, Nick; Hughes, Sam (2019), „Tabulka znaků prudce 5-přechodné podskupiny střídavé skupiny stupně 12“, International Journal of Group Theory, doi:10.22108 / IJGT.2019.115366.1531
• Griess, Robert L. Jr. (1998), Dvanáct sporadických skupinSpringer Monografie z matematiky, Berlín, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-662-03516-0, ISBN  978-3-540-62778-4, PAN  1707296
• Hughes, Sam (2018), Reprezentace a teorie znaků malých skupin Mathieu (PDF)
• Mathieu, Émile (1861), „Mémoire sur l'étude des fonctions de plusieurs quantités, sur la manière de les former et sur les substitutions qui les laissent invariables“, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 6: 241–323
• Mathieu, Émile (1873), „Sur la fonction cinq fois transitive de 24 quantités“, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées (francouzsky), 18: 25–46, JFM  05.0088.01
• Miller, G. A. (1898), „O předpokládané pětinásobné tranzitivní funkci 24 prvků a hodnot 19! / 48.“, Posel matematiky, 27: 187–190
• Miller, G. A. (1900), "Sur plusieurs groupes simples", Bulletin de la Société Mathématique de France, 28: 266–267, doi:10,24033 / bsmf.635
• Ronan, Mark (2006), Symetrie a monstrum, Oxford, ISBN  978-0-19-280722-9 (úvod pro laického čtenáře, popisující skupiny Mathieu v historickém kontextu)
• Thompson, Thomas M. (1983), Od kódů opravujících chyby přes balení koule až po jednoduché skupiny Matematické monografie Carus, 21, Mathematical Association of America, ISBN  978-0-88385-023-7, PAN  0749038
• Witt, Ernst (1938a), „über Steinersche Systeme“, Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg, 12: 265–275, doi:10.1007 / BF02948948, ISSN  0025-5858
• Witt, Ernst (1938b), „Die 5-fach transitiven Gruppen von Mathieu“, Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg, 12: 256–264, doi:10.1007 / BF02948947

externí odkazy

• ATLAS: Skupina Mathieu M₁₀
• ATLAS: Skupina Mathieu M₁₁
• ATLAS: Skupina Mathieu M₁₂
• ATLAS: Skupina Mathieu M₂₀
• ATLAS: Skupina Mathieu M₂₁
• ATLAS: Skupina Mathieu M₂₂
• ATLAS: Skupina Mathieu M₂₃
• ATLAS: Skupina Mathieu M₂₄
• le Bruyn, Lieven (2007), Monsieur Mathieu, archivováno od originálu 2010-05-01
• Richter, David A., Jak vytvořit skupinu Mathieu M₂₄, vyvoláno 2010-04-15
• Skupina Mathieu M₉ na Názvy skupin
• Scientific American Sada hlavolamů založených na matematice Mathieuových skupin
• Sporadická M12 Aplikace pro iPhone, která na základě implementuje hádanky M₁₂, prezentované jako jedna „spinová“ permutace a volitelná „swapová“ permutace