Epimorfismus - Epimorphism - Wikipedia

v teorie kategorií, an epimorfismus (nazývané také epický morfismus nebo hovorově an epi) je morfismus F : X → Y to je pravý storno v tom smyslu, že pro všechny objekty Z a všechny morfismy G₁, G₂: Y → Z,

${ displaystyle g_ {1} circ f = g_ {2} circ f implikuje g_ {1} = g_ {2}.}$

Epimorfismy jsou kategorickými analogy na nebo surjektivní funkce (a v kategorie sad koncept přesně odpovídá surjektivním funkcím), ale nemusí se přesně shodovat ve všech kontextech; například zařazení ${ displaystyle mathbb {Z} do mathbb {Q}}$ je prstenový epimorfismus. The dvojí epimorfismu je monomorfismus (tj. epimorfismus v a kategorie C je monomorfismus v duální kategorie C^op).

Mnoho autorů v abstraktní algebra a univerzální algebra definovat epimorfismus jednoduše jako na nebo surjektivní homomorfismus. Každý epimorfismus v tomto algebraickém smyslu je epimorfismus ve smyslu teorie kategorií, ale obrácení není pravdivé ve všech kategoriích. V tomto článku bude termín „epimorfismus“ použit ve smyslu výše uvedené teorie kategorií. Další informace viz § Terminologie níže.

Příklady

Každý morfismus v a konkrétní kategorie jehož podkladové funkce je surjektivní je epimorfismus. V mnoha konkrétních zájmových kategoriích platí obráceně. Například v následujících kategoriích jsou epimorfismy přesně ty morfizmy, které jsou surjektivní na základních sadách:

• Soubor: sady a funkce. Dokázat, že každý epimorfismus F: X → Y v Soubor je surjective, skládáme to s oběma charakteristická funkce G₁: Y → {0,1} obrázku F(X) a mapa G₂: Y → {0,1} to je konstanta 1.
• Rel: sady s binární vztahy a funkce zachovávající vztahy. Zde můžeme použít stejný důkaz jako pro Soubor, vybavení {0,1} plným vztahem {0,1} × {0,1}.
• Poz: částečně objednané sady a monotónní funkce. Li F : (X, ≤) → (Y, ≤) není surjective, pick y₀ v Y \ F(X) a nechte G₁ : Y → {0,1} je charakteristická funkce {y | y₀ ≤ y} a G₂ : Y → {0,1} charakteristická funkce {y | y₀ < y}. Tyto mapy jsou monotónní, pokud je {0,1} dáno standardní pořadí 0 <1.
• Grp: skupiny a skupinové homomorfismy. Výsledek, ve kterém je každý epimorfismus Grp je surjective je způsobeno Otto Schreier (ve skutečnosti dokázal více a ukázal, že každý podskupina je ekvalizér za použití produkt zdarma s jednou sloučenou podskupinou); základní důkaz lze nalézt v (Linderholm 1970).
• FinGrp: konečné skupiny a skupinové homomorfismy. Také kvůli Schreierovi; důkaz uvedený v (Linderholm 1970) zakládá i tento případ.
• Ab: abelianské skupiny a skupinové homomorfismy.
• K.-Vect: vektorové prostory přes pole K. a K.-lineární transformace.
• Mod-R: správné moduly přes prsten R a homomorfismy modulu. Tím se zobecňují dva předchozí příklady; dokázat, že každý epimorfismus F: X → Y v Mod-R je surjektivní, skládáme jej s oběma kanonickými kvocientová mapa G ₁: Y → Y/F(X) a nulová mapa G₂: Y → Y/F(X).
• Horní: topologické prostory a spojité funkce. Dokázat, že každý epimorfismus v Horní je surjektivní, postupujeme přesně jako v Soubor, což dává {0,1} neurčitá topologie, což zajišťuje, že všechny uvažované mapy jsou spojité.
• HComp: kompaktní Hausdorffovy prostory a spojité funkce. Li F: X → Y není surjektivní, pojďme y ∈ Y − fX. Od té doby fX je uzavřen uživatelem Urysohnova lemma existuje spojitá funkce G₁:Y → [0,1] takové, že G₁ je 0 zapnuto fX a 1 dál y. Skládáme F s oběma G₁ a nulová funkce G₂: Y → [0,1].

Existuje však také mnoho konkrétních kategorií zájmu, kde epimorfismus není surjektivní. Několik příkladů:

• V kategorie monoidů, Pondělí, mapa zařazení N → Z je surjektivní epimorfismus. Chcete-li to vidět, předpokládejme, že G₁ a G₂ jsou dvě odlišné mapy z Z nějakému monoidovi M. Pak pro některé n v Z, G₁(n) ≠ G₂(n), tak G₁(-n) ≠ G₂(−n). Buď n nebo -n je v N, takže omezení G₁ a G₂ na N jsou nerovné.
• V kategorii algeber přes komutativní kruh R, vzít R[N] → R[Z], kde R[G] je skupinové vyzvánění skupiny G a morfismus je vyvolán inkluzí N → Z jako v předchozím příkladu. To vyplývá z pozorování 1 generuje algebru R[Z] (všimněte si, že jednotka v R[Z] darováno 0 z Z) a inverzní hodnota prvku představovaného n v Z je jen prvek představovaný -n. Tedy jakýkoli homomorfismus z R[Z] je jednoznačně určeno jeho hodnotou na prvku představovaném 1 z Z.
• V kategorie prstenů, Prsten, mapa zařazení Z → Q je surjektivní epimorfismus; vidět to, všimněte si, že nějaké kruhový homomorfismus na Q je zcela určen jeho působením na Z, podobně jako v předchozím příkladu. Podobný argument ukazuje, že přirozený kruhový homomorfismus z jakéhokoli komutativní prsten R na některý z jeho lokalizace je epimorfismus.
• V kategorie komutativních prstenů, a definitivně generováno homomorfismus prstenů F : R → S je epimorfismus právě tehdy, když pro všechny hlavní ideály P z R, ideál Q generováno uživatelem F(P) je buď S nebo je prime, a pokud Q není S, indukovaná mapa Frac (R/P) → Frac (S/Q) je izomorfismus (EGA IV 17.2.6).
• V kategorii Hausdorffových prostorů Haus, epimorfismy jsou přesně spojité funkce s hustý snímky. Například mapa začlenění Q → R, je surjektivní epimorfismus.

Výše uvedené se liší od případu monomorfismů, kde častěji platí, že monomorfismy jsou právě ty, jejichž základní funkce jsou injekční.

Co se týče příkladů epimorfismů v konkrétních kategoriích:

• Pokud monoidní nebo prsten je považována za kategorii s jediným objektem (složení morfismů daných násobením), pak jsou epimorfismy přesně pravými zrušitelnými prvky.
• Pokud řízený graf je považována za kategorii (objekty jsou vrcholy, morfismy jsou cesty, složení morfismů je zřetězení cest), pak každý morfismus je epimorfismus.

Vlastnosti

Každý izomorfismus je epimorfismus; skutečně je nutná pouze pravostranná inverze: pokud existuje morfismus j : Y → X takhle fj = id_Y, pak F: X → Y je snadno viditelný jako epimorfismus. Mapa s takovou pravostrannou inverzí se nazývá a split epi. V topos, mapa, která je a monický morfismus a epimorfismus je izomorfismus.

Složení dvou epimorfismů je opět epimorfismem. Pokud složení fg dvou morfismů je tedy epimorfismus F musí být epimorfismus.

Jak ukazují některé z výše uvedených příkladů, vlastnost být epimorfismem není určena samotným morfismem, ale také kategorií kontextu. Li D je podkategorie z C, pak každý morfismus v D to je epimorfismus, když je považován za morfismus v C je také epimorfismus v D. Konverzace se však nemusí držet; menší kategorie může (a často bude) mít více epimorfismů.

Co se týče většiny konceptů v teorii kategorií, epimorfismy jsou zachovány pod ekvivalence kategorií: dána rovnocennost F : C → Dmorfismus F je epimorfismus v této kategorii C kdyby a jen kdyby F(F) je epimorfismus v D. A dualita mezi dvěma kategoriemi se epimorfismy promění v monomorfismy a naopak.

Definici epimorfismu lze přeformulovat tak, aby to uváděla F : X → Y je epimorfismus, právě když indukované mapy

${ displaystyle { begin {matrix} operatorname {Hom} (Y, Z) & rightarrow & operatorname {Hom} (X, Z) g & mapsto & gf end {matrix}}}$

jsou injekční pro každou volbu Z. To je zase ekvivalentní indukovanému přirozená transformace

${ displaystyle { begin {matrix} operatorname {Hom} (Y, -) & rightarrow & operatorname {Hom} (X, -) end {matrix}}}$

být monomorfismem v kategorie funktorů Soubor^C.

Každý ekvalizér je epimorfismus, důsledek požadavku jedinečnosti v definici ekvalizérů. Z toho zejména vyplývá, že každý koksovna je epimorfismus. Konverzace, totiž že každý epimorfismus je coequalizerem, není pravdivá ve všech kategoriích.

V mnoha kategoriích je možné psát každý morfismus jako skladbu epimorfismu následovaného monomorfismem. Například daný skupinový homomorfismus F : G → H, můžeme definovat skupinu K. = im (F) a poté napište F jako složení surjektivního homomorfismu G → K. který je definován jako F, následovaný injekčním homomorfismem K. → H který posílá každý prvek sám sobě. Takovou faktorizaci libovolného morfismu do epimorfismu následovanou monomorfismem lze provést ve všech abelianských kategoriích a také ve všech konkrétních kategoriích uvedených výše v § Příklady (i když ne ve všech konkrétních kategoriích).

Související pojmy

Mezi další užitečné pojmy patří pravidelný epimorfismus, extrémní epimorfismus, okamžitý epimorfismus, silný epimorfismus, a split epimorfismus.

• Říká se, že epimorfismus je pravidelný pokud je to ekvalizér nějaké dvojice paralelních morfismů.
• Epimorfismus ${ displaystyle varepsilon}$ se říká, že je extrémní^[1] pokud v každém zastoupení ${ displaystyle varepsilon = mu circ varphi}$, kde ${ displaystyle mu}$ je monomorfismus morfismus ${ displaystyle mu}$ je automaticky izomorfismus.
• Epimorfismus ${ displaystyle varepsilon}$ se říká, že je bezprostřední pokud v každém zastoupení ${ displaystyle varepsilon = mu circ varepsilon '}$, kde ${ displaystyle mu}$ je monomorfismus a ${ displaystyle varepsilon '}$ je epimorfismus, morfismus ${ displaystyle mu}$ je automaticky izomorfismus.
• 
  Epimorfismus ${ displaystyle varepsilon: A až B}$ se říká, že je silný^[1][2] pokud pro nějaké monomorfismus ${ displaystyle mu: C až D}$ a všechny morfismy ${ displaystyle alpha: A až C}$ a ${ displaystyle beta: B až D}$ takhle ${ displaystyle beta circ varepsilon = mu circ alfa}$existuje morfismus ${ displaystyle delta: B až C}$ takhle ${ displaystyle delta circ varepsilon = alpha}$ a ${ displaystyle mu circ delta = beta}$.
• Epimorfismus ${ displaystyle varepsilon}$ se říká, že je rozdělit pokud existuje morfismus ${ displaystyle mu}$ takhle ${ displaystyle varepsilon circ mu = 1}$ (v tomto případě ${ displaystyle mu}$ se nazývá pravostranná inverze pro ${ displaystyle varepsilon}$).

Existuje také představa homologický epimorfismus v teorii prstenů. Morfismus F: A → B prstenů je homologický epimorfismus, pokud se jedná o epimorfismus a indukuje a plný a věrný funktor na odvozené kategorie: D (F): D (B) → D (A).

Morfismus, který je jak monomorfismem, tak epimorfismem, se nazývá a bimorfismus. Každý izomorfismus je bimorfismus, ale obrácení není obecně pravdivé. Například mapa z polootevřený interval [0,1) do jednotkový kruh S¹ (myšlenka jako podprostor z složité letadlo ), který odesílá X exp (2πiX) (viz Eulerův vzorec ) je spojitý a bijektivní, ale není a homeomorfismus protože inverzní mapa není spojitá na 1, jedná se o instanci bimorfismu, který není izomorfismem v kategorii Horní. Dalším příkladem je vložení Q → R v kategorii Haus; jak je uvedeno výše, jedná se o bimorfismus, ale není bijektivní, a proto není izomorfismem. Podobně v kategorii prsteny, mapa Z → Q je bimorfismus, ale ne izomorfismus.

Epimorfismy se používají k definování abstraktu kvocientové objekty v obecných kategoriích: dva epimorfismy F₁ : X → Y₁ a F₂ : X → Y₂ se říká, že jsou ekvivalent pokud existuje izomorfismus j : Y₁ → Y₂ s j F₁ = F₂. Tohle je vztah ekvivalence a třídy ekvivalence jsou definovány jako kvocientové objekty X.

Terminologie

Doprovodné výrazy epimorfismus a monomorfismus byly poprvé představeny Bourbaki. Bourbaki používá epimorfismus jako zkratka pro a surjektivní funkce. Raní teoretici kategorie věřili, že epimorfismy jsou správným analogem surjekcí v libovolné kategorii, podobně jako monomorfismy jsou téměř přesným analogem injekcí. Bohužel je to nesprávné; silné nebo pravidelné epimorfismy se chovají mnohem přísněji než obyčejné epimorfismy. Saunders Mac Lane se pokusil vytvořit rozdíl mezi epimorfismus, což byly mapy konkrétní kategorie, jejichž podkladové množinové mapy byly surjektivní, a epické morfismy, což jsou epimorfismy v moderním smyslu. Tento rozdíl se však nikdy neuchytil.

Je častou chybou domnívat se, že epimorfismy jsou buď totožné s surjekcemi, nebo že jsou lepším konceptem. Bohužel tomu tak je zřídka; epimorfismy mohou být velmi záhadné a mohou mít neočekávané chování. Je například velmi obtížné klasifikovat všechny epimorfismy prstenů. Obecně platí, že epimorfismy jsou jejich vlastním jedinečným konceptem, který se vztahuje k surjekcím, ale zásadně odlišný.

Viz také

• Seznam témat teorie kategorií
• Monomorfismus

Poznámky

Reference

• Adámek, Jiří; Herrlich, Horst; Strecker, George E. (1990). Abstraktní a konkrétní kategorie (PDF). John Wiley & Sons. ISBN  0-471-60922-6.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Bergman, George (2015). Pozvánka na obecnou algebru a univerzální konstrukce. Springer. ISBN  978-3-319-11478-1.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Borceux, Francis (1994). Příručka kategorické algebry. Svazek 1: Teorie základní kategorie. Cambridge University Press. ISBN  978-0521061193.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Tsalenko, M.S .; Shulgeifer, E.G. (1974). Základy teorie kategorií. Nauka. ISBN  5-02-014427-4.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• „Epimorfismus“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
• Lawvere, F. William; Rosebrugh, Robert (2015). Sady pro matematiku. Cambridge univerzitní tisk. ISBN  0-521-80444-2.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Linderholm, Carl (1970). „Skupinový epimorfismus je surjektivní“. Americký matematický měsíčník. 77: 176–177. doi:10.1080/00029890.1970.11992448.CS1 maint: ref = harv (odkaz)

externí odkazy

• epimorfismus v nLab
• Silný epimorfismus v nLab