Skupinový objekt - Group object
v teorie kategorií, pobočka matematika, skupinové objekty jsou určité zobecnění skupiny které jsou postaveny na složitějších strukturách než sady. Typickým příkladem skupinového objektu je a topologická skupina, skupina, jejíž podkladovou sadou je a topologický prostor takové, že skupinové operace jsou kontinuální.
Definice
Formálně začínáme a kategorie C s konečnými výrobky (tj. C má koncový objekt 1 a jakékoli dva předměty z C mít produkt ). A skupinový objekt v C je objekt G z C dohromady s morfismy
- m : G × G → G (myšleno jako „skupinové násobení“)
- E : 1 → G (myšleno jako „zahrnutí prvku identity“)
- inv : G → G (myšleno jako „inverzní operace“)
takové, že následující vlastnosti (po vzoru skupinových axiomů - přesněji na definice skupiny použito v univerzální algebra ) jsou spokojeni
- m je asociativní, tj. m (m × idG) = m (idG × m) jako morfismy G × G × G → G, a kde např. m × idG : G × G × G → G × G; zde identifikujeme G × (G × G) kanonickým způsobem s (G × G) × G.
- E je oboustranná jednotka m, tj. m (idG × E) = str1, kde str1 : G × 1 → G je kanonická projekce a m (E × idG) = str2, kde str2 : 1 × G → G je kanonická projekce
- inv je oboustranný inverzní pro m, tj. pokud d : G → G × G je úhlopříčná mapa a EG : G → G je složení jedinečného morfismu G → 1 (také nazývaný počet) s E, pak m (idG × inv) d = EG a m (inv × idG) d = EG.
Toto je uvedeno ve smyslu map - produktové a inverzní musí být mapy v kategorii - a bez jakéhokoli odkazu na podkladové „prvky“ skupinového objektu - kategorie obecně nemají prvky svých objektů.
Dalším způsobem, jak výše uvedené uvést, je říci G je skupinový objekt v kategorii C pokud pro každý objekt X v C, na morfismech Hom existuje skupinová struktura (X, G) z X na G takové, že sdružení X do Hom (X, G) je (kontravariantní) funktor z C do kategorie skupin.
Příklady
- Každá sada G pro které a skupina struktura (G, m, u, −1) lze definovat lze považovat za skupinový objekt v kategorii sady. Mapa m je skupinová operace, mapa E (jehož doménou je jedináček ) vybere prvek identity u z Ga mapa inv přiřadí každému prvku skupiny jeho inverzní funkci. EG : G → G je mapa, která odesílá všechny prvky G k prvku identity.
- A topologická skupina je skupinový objekt v kategorii topologické prostory s spojité funkce.
- A Lež skupina je skupinový objekt v kategorii hladké potrubí s hladké mapy.
- A Lež nadskupina je skupinový objekt v kategorii supermanifolds.
- An algebraická skupina je skupinový objekt v kategorii algebraické odrůdy. V moderní algebraická geometrie, považujeme za obecnější skupinová schémata, seskupit objekty v kategorii schémata.
- Místní skupina je objekt skupiny v kategorii národní prostředí.
- Skupinové objekty v kategorii skupin (nebo monoidy ) jsou abelianské skupiny. Důvodem je to, že pokud inv se tedy považuje za homomorfismus G musí být abelian. Přesněji: pokud A je abelianská skupina a označujeme m skupinové násobení Atím, že E zahrnutí prvku identity a inv operace inverze zapnuta A, pak (A, m, E, inv) je skupinový objekt v kategorii skupin (nebo monoidů). Naopak, pokud (A, m, E, inv) je tedy skupinový objekt v jedné z těchto kategorií m nutně se shoduje s danou operací dne A, E je zahrnutí daného prvku identity do A, inv je inverzní operace a A s danou operací je abelianská skupina. Viz také Argument Eckmann – Hilton.
- Přísný 2-skupina je skupinový objekt v kategorie malých kategorií.
- Vzhledem k kategorii C s konečnou koprodukty, a skupinový objekt je objekt G z C společně s "comultiplication" m: G → G G, „sounáležitost“ E: G → 0 a „coinversion“ inv: G → G které uspokojí dvojí verze axiomů pro skupinové objekty. Zde 0 je počáteční objekt z C. Cogroup objekty se přirozeně vyskytují v algebraická topologie.
Obecná teorie skupin
Hodně z teorie skupin lze formulovat v kontextu obecnějších skupinových objektů. Pojmy skupinový homomorfismus, podskupina, normální podskupina a věty o izomorfismu jsou typické příklady.[Citace je zapotřebí ] Výsledky teorie skupin, které hovoří o jednotlivých prvcích nebo o pořadí konkrétních prvků nebo podskupin, však obvykle nelze zobecnit na přímé seskupení objektů.[Citace je zapotřebí ]
Viz také
- Hopfovy algebry lze chápat jako zobecnění skupinových objektů na monoidní kategorie.
- grupoidní objekt
Reference
tento článek potřebuje další citace pro ověření.Prosinec 2007) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) ( |
- Lang, Serge (2002), Algebra, Postgraduální texty z matematiky, 211 (Přepracované třetí vydání), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, PAN 1878556, Zbl 0984.00001