Difomorfismus - Diffeomorphism

Algebraická struktura → Skupinová teorie Skupinová teorie
Základní pojmy Podskupina Normální podskupina Kvocientová skupina (Částečně)přímý produkt Skupinové homomorfismy jádro obraz přímý součet věnec produkt jednoduchý konečný nekonečný kontinuální multiplikativní přísada cyklický abelian vzepětí nilpotentní řešitelný Glosář teorie skupin Seznam témat teorie skupin
Konečné skupiny Klasifikace konečných jednoduchých skupin cyklický střídavý Typ lži sporadický Cauchyova věta Lagrangeova věta Sylowovy věty Hallova věta p-skupina Základní abelianská skupina Skupina Frobenius Multiplikátor Schur Symetrická skupina Sn Kleinova čtyřčlenná skupina PROTI Vzepětí skupina Dn Čtveřice skupina Q Dicyklická skupina Dicn
Diskrétní skupiny Mříže Celá čísla (Z) Zdarma skupina Modulární skupiny PSL (2,Z) SL (2,Z) Aritmetická skupina Mříž Hyperbolická skupina
Topologické a Lež skupiny Solenoid Kruh Obecné lineární GL (n) Speciální lineární SL (n) Ortogonální Ó(n) Euklidovský E(n) Speciální ortogonální TAK(n) Unitary U (n) Speciální unitární SU (n) Symplektický Sp (n) G2 F4 E6 E7 E8 Lorentz Poincaré Konformní Difomorfismus Smyčka Nekonečná dimenzionální Lieova skupina O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Algebraické skupiny Lineární algebraická skupina Redukční skupina Abelianská odrůda Eliptická křivka

Lež skupiny
Klasické skupiny Obecné lineární GL (n) Speciální lineární SL (n) Ortogonální Ó(n) Speciální ortogonální TAK(n) Unitary U (n) Speciální unitární SU (n) Symplektický Sp (n)
Jednoduché Lie skupiny Seznam jednoduchých Lieových skupin Klasický An Bn Cn Dn Výjimečný G2 F4 E6 E7 E8
Další Lie skupiny Kruh Lorentz Poincaré Konformní skupina Difomorfismus Smyčka Euklidovský
Lež algebry Ležová skupina - korespondence Lieovy algebry Exponenciální mapa Sdružené zastoupení Formulář zabíjení Index Symetrie bodu lži Jednoduchá algebra lži
Poloplná Lieova algebra Dynkinovy ​​diagramy Cartan subalgebra Kořenový systém Weylova skupina Skutečná forma Složitění Split Lie algebra Kompaktní Lieova algebra
Teorie reprezentace Zastoupení skupiny lži Zastoupení algebry lži Teorie reprezentace polojednodušých Lieových algeber Věta o nejvyšší hmotnosti Borel – Weil – Bottova věta
Lež skupiny v fyzika Fyzika částic a teorie reprezentace Zastoupení skupiny Lorentz Zastoupení skupiny Poincaré Galileovské reprezentace skupiny
Vědci Sophus Lie Henri Poincaré Wilhelm Killing Élie Cartan Hermann Weyl Claude Chevalley Harish-Chandra Armand Borel
Glosář Tabulka Lieových skupin

v matematika, a difeomorfismus je izomorfismus z hladké potrubí. Je to invertibilní funkce který mapuje jeden diferencovatelné potrubí do jiné takové, že jak funkce, tak její inverzní jsou hladký.

The obraz obdélníkové mřížky na náměstí pod difeomorfismem od čtverce na sebe.

Definice

Vzhledem k tomu dva rozdělovače ${displaystyle M}$ a ${displaystyle N}$, a rozlišitelný mapa ${displaystyle fcolon Mightarrow N}$ se nazývá a difeomorfismus pokud je to bijekce a jeho inverzní ${displaystyle f ^ {- 1} dvojtečka Nightarrow M}$ je také rozlišitelný. Pokud jsou tyto funkce ${displaystyle r}$ krát průběžně diferencovatelné, ${displaystyle f}$ se nazývá a ${displaystyle C ^ {r}}$-difomorfismus.

Dvě potrubí ${displaystyle M}$ a ${displaystyle N}$ jsou difeomorfní (obvykle označeno ${displaystyle Msimeq N}$) pokud existuje difeomorfismus ${displaystyle f}$ z ${displaystyle M}$ na ${displaystyle N}$. Oni jsou ${displaystyle C ^ {r}}$-difeomorfní pokud existuje ${displaystyle r}$ časy průběžně diferencovatelné bijektivní mapy mezi nimi, jejichž inverzní je také ${displaystyle r}$ časy průběžně diferencovatelné.

Difeomorfismy podmnožin potrubí

Vzhledem k tomu, podmnožina X potrubí M a podmnožina Y potrubí N, funkce F : X → Y je řekl, aby byl hladký, pokud pro všechny p v X tady je sousedství U ⊆ M z p a plynulá funkce G : U → N takové, že omezení souhlasit: ${displaystyle g_ {| Ucap X} = f_ {| Ucap X}}$ (Všimněte si, že G je příponou F). Funkce F je považován za difeomorfismus, pokud je bijektivní, hladký a jeho inverzní je hladký.

Místní popis

Hadamard-Caccioppoli věta^[1][2]

Li U, PROTI jsou připojeno otevřené podmnožiny z Rⁿ takhle PROTI je jednoduše připojeno, a rozlišitelný mapa F : U → PROTI je difeomorfismus Pokud to je správně a pokud rozdíl Df_X : Rⁿ → Rⁿ je bijektivní (a tedy a lineární izomorfismus ) v každém bodě X v U.

První poznámka

Je to nezbytné pro PROTI být jednoduše připojeno pro funkci F být globálně invertibilní (pod jedinou podmínkou, že jeho derivátem bude bijektivní mapa v každém bodě). Zvažte například „realizaci“ komplex čtvercová funkce

${displaystyle {egin {cases} f: mathbf {R} ^ {2} setminus {(0,0)} o mathbf {R} ^ {2} setminus {(0,0)} (x, y) mapsto ( x ^ {2} -y ^ {2}, 2xy) .end {cases}}}$

Pak F je surjektivní a to uspokojuje

${displaystyle det Df_ {x} = 4 (x ^ {2} + y ^ {2}) ekv. 0.}$

Tak tedy Df_X je v každém bodě bijektivní, F není invertibilní, protože tomu tak není injekční (např. F(1, 0) = (1, 0) = F(−1, 0).

Druhá poznámka

Protože rozdíl v bodě (pro diferencovatelnou funkci)

${displaystyle Df_ {x}: T_ {x} U o T_ {f (x)} V}$

je lineární mapa, má dobře definovanou inverzi právě tehdy Df_X je bijekce. The matice zastoupení Df_X je n × n matice prvního řádu částečné derivace jehož vstup do i-tá řada a j-tý sloupec je ${displaystyle částečný f_ {i} / částečný x_ {j}}$. Tento tzv Jacobian matrix se často používá pro explicitní výpočty.

Třetí poznámka

Difeomorfismy jsou nutně mezi stejnými potrubími dimenze. Představte si F jít z dimenze n dimenzovat k. Li n < k pak Df_X nikdy nemůže být surjektivní, a pokud n > k pak Df_X nikdy nemohl být injekční. V obou případech tedy Df_X není bijekce.

Čtvrtá poznámka

Li Df_X je bijekce na X pak F se říká, že je místní difeomorfismus (protože kontinuitou Df_y bude také bijektivní pro všechny y dostatečně blízko X).

Pátá poznámka

Vzhledem k plynulé mapě z dimenze n dimenzovat k, pokud Df (nebo místně Df_X) je surjektivní, F se říká, že je ponoření (nebo lokálně „místní ponoření“); a pokud Df (nebo místně Df_X) je injekční, F se říká, že je ponoření (nebo lokálně „místní ponoření“).

Šestá poznámka

Rozlišitelná bijekce je ne nutně difeomorfismus. F(X) = X³například není difeomorfismus od R pro sebe, protože jeho derivát mizí v 0 (a proto jeho inverze není diferencovatelná v 0). Toto je příklad a homeomorfismus to není difeomorfismus.

Sedmá poznámka

Když F je mapa mezi rozlišitelný různá potrubí, difeomorfní F je silnější stav než homeomorfní F. Pro difeomorfismus F a jeho inverzní musí být rozlišitelný; pro homeomorfismus, F a jeho inverzní pouze musí být kontinuální. Každý difeomorfismus je homeomorfismus, ale ne každý homeomorfismus je difeomorfismus.

F : M → N se nazývá a difeomorfismus pokud, v souřadnicové grafy, splňuje výše uvedenou definici. Přesněji: Vyberte libovolnou obálku M kompatibilní souřadnicové grafy a udělat to samé pro N. Nechť φ a ψ jsou grafy na M a N, s U a PROTI jako obrázky φ a ψ. Mapa ψFφ⁻¹ : U → PROTI je potom difeomorfismus jako ve výše uvedené definici, kdykoli F(φ⁻¹(U)) ⊆ ψ⁻¹(PROTI).

Příklady

Protože libovolné potrubí lze lokálně parametrizovat, můžeme uvažovat o některých explicitních mapách z R² do R².

• Nechat

${displaystyle f (x, y) = left (x ^ {2} + y ^ {3}, x ^ {2} -y ^ {3} ight).}$

Můžeme vypočítat Jacobovu matici:

${displaystyle J_ {f} = {egin {pmatrix} 2x & 3y ^ {2} 2x & -3y ^ {2} end {pmatrix}}.}$

Jacobská matice má nulu určující kdyby a jen kdyby xy = 0. Vidíme to F mohl být pouze difeomorfismem od X- osa a y-osa. Nicméně, F není bijective protože F(X, y) = F(-X, y), a tak to nemůže být difeomorfismus.

• Nechat

${displaystyle g (x, y) = left (a_ {0} + a_ {1,0} x + a_ {0,1} y + cdots, b_ {0} + b_ {1,0} x + b_ {0 , 1} y + cdots ight)}$

Kde ${displaystyle a_ {i, j}}$ a ${displaystyle b_ {i, j}}$ jsou libovolné reálná čísla, a vynechané termíny mají stupeň alespoň dva palce X a y. Můžeme vypočítat jakobiánskou matici na 0:

${displaystyle J_ {g} (0,0) = {egin {pmatrix} a_ {1,0} & a_ {0,1} b_ {1,0} & b_ {0,1} end {pmatrix}}.}$

Vidíme to G je místní difeomorfismus v 0 pokud, a pouze pokud,

${displaystyle a_ {1,0} b_ {0,1} -a_ {0,1} b_ {1,0} ekv. 0,}$

tj. lineární členy ve složkách G jsou lineárně nezávislé tak jako polynomy.

• Nechat

${displaystyle h (x, y) = left (sin (x ^ {2} + y ^ {2}), cos (x ^ {2} + y ^ {2}) ight).}$

Můžeme vypočítat Jacobovu matici:

${displaystyle J_ {h} = {egin {pmatrix} 2xcos (x ^ {2} + y ^ {2}) & 2ycos (x ^ {2} + y ^ {2}) - 2xsin (x ^ {2} + y ^ {2}) & - 2ysin (x ^ {2} + y ^ {2}) end {pmatrix}}.}$

Jakobiánská matice má všude nulový determinant! Ve skutečnosti vidíme ten obraz h je jednotkový kruh.

Povrchové deformace

v mechanika, transformace vyvolaná stresem se nazývá a deformace a může být popsán diffeomorfismem F : U → PROTI mezi dvěma povrchy U a PROTI má jakobiánskou matici Df to je invertibilní matice. Ve skutečnosti je to nutné pro p v U, tady je sousedství z p ve kterém Jacobian Df zůstává ne singulární. Protože Jacobian je skutečná matice 2 × 2, Df lze číst jako jeden ze tří typů komplexního čísla: obyčejný komplex, rozdělit komplexní číslo nebo dvojí číslo. Předpokládejme, že v grafu povrchu ${displaystyle f (x, y) = (u, v).}$

The celkový rozdíl z u je

${displaystyle du = {frac {částečné u} {částečné x}} dx + {frac {částečné u} {částečné y}} dy}$a podobně pro proti.

Pak obrázek ${displaystyle (du, dv) = (dx, dy) Df}$ je lineární transformace, kterým se stanoví počátek a je vyjádřitelná jako akce komplexního čísla určitého typu. Když (dx, dy) je také interpretován jako tento typ komplexního čísla, jedná se o komplexní násobení v příslušné rovině komplexního čísla. Jako takový existuje typ úhlu (Euklidovský, hyperbolický nebo sklon ), který je zachován v takovém násobení. Kvůli Df protože je invertibilní, je typ komplexního čísla na povrchu jednotný. V důsledku toho má povrchová deformace nebo difeomorfismus povrchů konformní vlastnost zachování (vhodného typu) úhlů.

Skupina difomomorfismu

Nechat M být diferencovatelné potrubí, které je druhý spočetný a Hausdorff. The skupina difeomorfismu z M je skupina ze všech C^r difeomorfismy z M sama o sobě, označená Diff^r(M) nebo, když r rozumí se, Diff (M). Toto je „velká“ skupina v tom smyslu, že - za předpokladu M není nulový rozměr - není místně kompaktní.

Topologie

Skupina difeomorfismu má dvě přirozené topologie: slabý a silný (Hirsch 1997 ). Když je potrubí kompaktní, tyto dvě topologie souhlasí. Slabá topologie je vždy měřitelný. Když potrubí není kompaktní, silná topologie zachycuje chování funkcí „v nekonečnu“ a nelze jej měřit. Je to však stále Baire.

Upevnění a Riemannova metrika na M, slabá topologie je topologie indukovaná rodinou metrik

${displaystyle d_ {K} (f, g) = sup olimits _ {xin K} d (f (x), g (x)) + součet olimits _ {1leq pleq r} sup olimits _ {xin K} vlevo | D ^ {p} f (x) -D ^ {p} g (x) ight |}$

tak jako K. se liší u kompaktních podskupin M. Opravdu, protože M je σ-kompaktní, existuje řada kompaktních podmnožin K._n jehož svaz je M. Pak:

${displaystyle d (f, g) = součet limitů _ {n} 2 ^ {- n} {frac {d_ {K_ {n}} (f, g)} {1 + d_ {K_ {n}} (f, G)}}.}$

Skupina diffeomorfismu vybavená slabou topologií je místně homeomorfní s prostorem C^r vektorová pole (Leslie 1967 ). Přes kompaktní podmnožinu M, následuje oprava Riemannovy metriky M a pomocí exponenciální mapa pro tuto metriku. Li r je konečný a potrubí je kompaktní, prostor vektorových polí je a Banachův prostor. Kromě toho jsou mapy přechodu z jednoho grafu tohoto atlasu do jiného plynulé, čímž se skupina diffeomorfismu stává a Banachovo potrubí s plynulými pravými překlady; levé překlady a inverze jsou pouze spojité. Li r = ∞, prostor vektorových polí je a Fréchetový prostor. Kromě toho jsou mapy přechodů plynulé, čímž se skupina difeomorfismů stává a Fréchet potrubí a dokonce do pravidelná skupina Fréchet Lie. Je-li potrubí σ-kompaktní a není kompaktní, plná skupina difeomorfismu není lokálně kontrakční pro žádnou ze dvou topologií. Jeden musí omezit skupinu kontrolou odchylky od identity blízko nekonečna, aby získal skupinu difeomorfismu, která je rozmanitá; viz (Michor & Mumford 2013 ).

Lež algebra

The Lež algebra skupiny difeomorfismu z M skládá se ze všeho vektorová pole na M vybavené Ležácká závorka vektorových polí. Trochu formálně je to vidět malou změnou souřadnic ${displaystyle x}$ v každém bodě vesmíru:

${displaystyle x ^ {mu} mapsto x ^ {mu} + varepsilon h ^ {mu} (x)}$

takže infinitezimální generátory jsou vektorová pole

${displaystyle L_ {h} = h ^ {mu} (x) {frac {částečné} {částečné x ^ {mu}}}.}$

Příklady

• Když M = G je Lež skupina, existuje přirozené zahrnutí G ve své vlastní skupině difeomorfismů pomocí levého překladu. Let Diff (G) označuje skupinu difeomorfismu z G, pak existuje rozdělovací rozdíl (G) ≃ G × Rozdíl (G, E), kde Diff (G, E) je podskupina rozdílu (G), který opravuje prvek identity skupiny.
• Skupina difeomorfismu euklidovského prostoru Rⁿ sestává ze dvou složek, které se skládají z difeomorfismů zachovávajících a orientujících se na obrácení. Ve skutečnosti obecná lineární skupina je zatažení deformace podskupiny Diff (Rⁿ, 0) difeomorfismů fixujících počátek pod mapou F(X) ↦ F(tx) / t, t ∈ (0,1]. Obecná lineární skupina je zejména deformačním zatažením celé skupiny difeomorfismů.
• Na konec soubor bodů je skupina diffeomorfismu jednoduše symetrická skupina. Podobně, pokud M existuje nějaké potrubí existuje rozšíření skupiny 0 → Rozdíl₀(M) → Rozdíl (M) → Σ (π₀(M)). Tady Diff₀(M) je podskupinou Diff (M), který zachovává všechny komponenty Ma Σ (π₀(M)) je permutační skupina množiny π₀(M) (součásti M). Navíc obrázek mapy Diff (M) → Σ (π₀(M)) jsou bijekce π₀(M), které zachovávají třídy difeomorfismu.

Přechodnost

Pro připojené potrubí M, skupina difeomorfismu činy přechodně na M. Obecněji řečeno, skupina diffeomorfismu působí přechodně na konfigurační prostor C_kM. Li M je alespoň dvourozměrný, skupina difeomorfismu působí přechodně na konfigurační prostor F_kM a akce na M je znásobit tranzitivní (Banyaga 1997, str. 29).

Rozšíření difeomorfismů

V roce 1926 Tibor Radó zeptal se, zda harmonické rozšíření jakéhokoli homeomorfismu nebo difeomorfismu jednotkového kruhu k jednotka disku poskytuje na otevřeném disku difeomorfismus. Krátce nato poskytl elegantní důkaz Hellmuth Kneser. V roce 1945 Gustave Choquet, zjevně nevědomý tohoto výsledku, předložil úplně jiný důkaz.

Skupina difeomorfismu (zachovávající orientaci) kruhu je spojena s cestou. To lze vidět poznamenáním, že jakýkoli takový difeomorfismus lze pozvednout na difeomorfismus F skutečností uspokojujících [F(X + 1) = F(X) + 1]; tento prostor je konvexní a tudíž spojený s cestou. Hladká, případně konstantní cesta k identitě dává druhý elementárnější způsob rozšíření difeomorfismu z kruhu na disk s otevřenou jednotkou (speciální případ Alexander trik ). Skupina difeomorfismu kruhu má navíc homotopický typ ortogonální skupina O (2).

Odpovídající problém rozšíření pro difeomorfismy sféry vyšších dimenzí Sⁿ⁻¹ byl hodně studován v padesátých a šedesátých letech, s významnými příspěvky od René Thom, John Milnor a Stephen Smale. Překážka těmto rozšířením je dána konečným abelianská skupina Γ_n„skupina zkroucených koulí ", definováno jako kvocient abelian skupina komponent skupiny difeomorfismů podskupinou tříd sahající až k difeomorfismům koule Bⁿ.

Propojenost

U potrubí není skupina difeomorfismu obvykle spojena. Jeho skupina komponent se nazývá skupina tříd mapování. V dimenzi 2 (tj. povrchy ), skupina tříd mapování je a konečně představená skupina generováno uživatelem Dehn se zvrtne (Dehn, Lickorish, Líhně ).^{[Citace je zapotřebí ]} Max Dehn a Jakob Nielsen ukázal, že jej lze identifikovat pomocí vnější skupina automorfismu z základní skupina povrchu.

William Thurston upřesnil tuto analýzu klasifikační prvky skupiny tříd mapování do tří typů: ekvivalentní a periodicky difeomorfismus; ty, které jsou ekvivalentní difeomorfismu, takže jednoduchá uzavřená křivka je neměnná; a rovnocenné pseudo-anosovské diffeomorfismy. V případě torus S¹ × S¹ = R²/Z², skupina tříd mapování je prostě modulární skupina SL (2,Z) a klasifikace se stává klasickou, pokud jde o eliptický, parabolický a hyperbolický matice. Thurston dosáhl své klasifikace pozorováním, že skupina tříd mapování působila přirozeně na a zhutnění z Teichmüllerův prostor; protože tento zvětšený prostor byl homeomorfní pro uzavřený míč, Brouwerova věta o pevném bodě stal použitelným. Smale domnělý to když M je orientované hladké uzavřené potrubí, složka identity skupiny difeomorfismů zachovávající orientaci je jednoduchý. To pro produkt kruhů poprvé prokázal Michel Herman; to bylo v plné obecnosti prokázáno Thurstonem.

Homotopické typy

• Skupina difeomorfismu z S² má homotopický typ podskupiny O (3). To dokázal Steve Smale.^[3]
• Skupina difeomorfismu torusu má homotopický typ lineární automorfismy: S¹ × S¹ × GL (2, Z).
• Skupiny difeomorfismu orientovatelných povrchů rod G > 1 mají typ homotopy svých skupin tříd mapování (tj. Komponenty jsou kontraktovatelné).
• Homotopický typ skupin difeomorfismu 3-variet je docela dobře pochopen prostřednictvím práce Ivanova, Hatchera, Gabai a Rubinsteina, i když existuje několik vynikajících otevřených případů (primárně 3-variace s konečnými základní skupiny ).
• Homotopický typ skupin difeomorfismu n- rozdělovače pro n > 3 jsou špatně pochopeny. Například jde o otevřený problém bez ohledu na to, zda Diff (S⁴) má více než dvě složky. Přes Milnor, Kahn a Antonelli je však známo, že za předpokladu n > 6, Rozdíl (Sⁿ) nemá homotopický typ konečné CW-komplex.

Homeomorphism a diffeomorphism

Na rozdíl od nedifeomorfních homeomorfismů je poměrně obtížné najít pár homeomorfní potrubí, která nejsou difeomorfní. V dimenzích 1, 2 a 3 je každá dvojice homeomorfních hladkých potrubí diffeomorfní. V dimenzi 4 nebo vyšší byly nalezeny příklady homeomorfních, ale ne difeomorfních párů. První takový příklad vytvořil John Milnor v dimenzi 7. Zkonstruoval hladké 7-dimenzionální potrubí (nyní nazývané Milnorova sféra ), který je homeomorfní se standardní 7 sférou, ale není pro ni diffeomorfní. Ve skutečnosti existuje 28 tříd difeomorfismu orientovaných na různá potrubí homeomorfní pro 7 sféry (každá z nich je celkový prostor svazek vláken přes 4-kouli s 3 koule jako vlákno).

Objevují se neobvyklejší jevy 4 rozdělovače. Na začátku 80. let byla výsledkem kombinace výsledků Simon Donaldson a Michael Freedman vedlo k objevu exotický R⁴s: existují nespočetně mnoho párové nedifeomorfní otevřené podmnožiny R⁴ z nichž každý je homeomorfní R⁴, a také existuje nespočetně mnoho párových nedifeomorfních diferencovatelných variet, které jsou homeomorfní R⁴ to ne vložte hladce v R⁴.

Viz také

• Étale morfismus
• Velký difeomorfismus
• Místní difeomorfismus
• Superdiffeomorfismus

Poznámky

Reference

• Krantz, Steven G .; Parks, Harold R. (2013). Věta o implicitní funkci: historie, teorie a aplikace. Moderní Birkhäuserova klasika. Boston. ISBN  978-1-4614-5980-4.
• Chaudhuri, Shyamoli; Kawai, Hikaru; Tye, S.-H. Henry (1987-08-15). "Cesta-integrální formulace uzavřených řetězců" (PDF). Fyzický přehled D. 36 (4): 1148–1168. Bibcode:1987PhRvD..36.1148C. doi:10.1103 / fyzrevd.36.1148. ISSN  0556-2821. PMID  9958280.
• Banyaga, Augustin (1997), Struktura skupin klasického difeomorfismu, Matematika a její aplikace, 400Kluwer Academic, ISBN  0-7923-4475-8
• Duren, Peter L. (2004), Harmonické zobrazení v rovině, Cambridge matematické trakty, 156, Cambridge University Press, ISBN  0-521-64121-7
• „Difomorfismus“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
• Hirsch, Morris (1997), Diferenciální topologie, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90148-0
• Kriegl, Andreas; Michor, Peter (1997), Pohodlné nastavení globální analýzyMatematické průzkumy a monografie 53Americká matematická společnost, ISBN  0-8218-0780-3
• Leslie, J. A. (1967), „O diferenciální struktuře pro skupinu diffeomorfismů“, Topologie, 6 (2): 263–271, doi:10.1016/0040-9383(67)90038-9, ISSN  0040-9383, PAN  0210147
• Michor, Peter W .; Mumford, David (2013), „Zoo of diffeomorphism groups on Rⁿ.", Annals of Global Analysis and Geometry, 44 (4): 529–540, arXiv:1211.5704, doi:10.1007 / s10455-013-9380-2
• Milnor, John W. (2007), Collected Works Vol. III, Diferenciální topologieAmerická matematická společnost, ISBN  978-0-8218-4230-0
• Omori, Hideki (1997), Nekonečno-dimenzionální Lieovy skupinyPřeklady matematických monografií, 158Americká matematická společnost, ISBN  0-8218-4575-6
• Kneser, Hellmuth (1926), „Lösung der Aufgabe 41.“, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (v němčině), 35 (2): 123