Multiplikátor Schur - Schur multiplier

V matematice teorie skupin, Multiplikátor Schur nebo Multiplikátor Schur je druhá homologická skupina ${ displaystyle H_ {2} (G, mathbb {Z})}$ skupiny G. To bylo představeno Issai Schur (1904 ) ve své práci na projektivní reprezentace.

Příklady a vlastnosti

Schurův multiplikátor ${ displaystyle operatorname {M} (G)}$ konečné skupiny G je konečný abelianská skupina jehož exponent rozdělí pořadí G. Pokud Sylow p- podskupina z G je pro některé cyklické p, pak pořadí ${ displaystyle operatorname {M} (G)}$ není dělitelné p. Zejména pokud vše Sylow p- podskupiny z G jsou cyklické ${ displaystyle operatorname {M} (G)}$ je triviální.

Například Schurův multiplikátor nonabelian skupina řádu 6 je triviální skupina protože každá podskupina Sylow je cyklická. Schurův multiplikátor základní abelianská skupina řádu 16 je elementární abelianská skupina řádu 64, ukazující, že multiplikátor může být striktně větší než samotná skupina. Schurův multiplikátor čtveřice skupina je triviální, ale Schurův multiplikátor dihedrální 2 skupiny má objednávku 2.

Schurovy multiplikátory konečné jednoduché skupiny jsou uvedeny na seznam konečných jednoduchých skupin. The pokrývající skupiny střídavých a symetrických skupin mají v poslední době značný zájem.

Vztah k projektivním reprezentacím

A projektivní reprezentace z G lze stáhnout zpět do a lineární reprezentace a centrální prodloužení C z G.

Schurovou původní motivací ke studiu multiplikátoru byla klasifikace projektivní reprezentace skupiny a moderní formulace jeho definice je druhá kohomologická skupina ${ displaystyle H ^ {2} (G, mathbb {C} ^ { times})}$ . Projektivní reprezentace je velmi podobná a skupinové zastoupení kromě toho, že místo homomorfismu do obecná lineární skupina ${ displaystyle operatorname {GL} (n, mathbb {C})}$ , jeden vezme homomorfismus do projektivní obecná lineární skupina ${ displaystyle operatorname {PGL} (n, mathbb {C})}$ . Jinými slovy, projektivní reprezentace je reprezentace modulo centrum.

Schur (1904, 1907 ) ukázal, že každá konečná skupina G přidružil k ní alespoň jednu konečnou skupinu C, nazvaný a Schur kryt, s vlastností, že každý projektivní reprezentace G lze pozvednout na běžné znázornění C. Kryt Schur je také známý jako krycí skupina nebo Darstellungsgruppe. Schurovy kryty konečné jednoduché skupiny jsou známy a každý je příkladem a jednoduchá skupina. Schurova obálka a dokonalá skupina je jednoznačně určen až do izomorfismu, ale Schurovo krytí obecné konečné skupiny je určeno pouze do izoklinismus.

Vztah k centrálním pobočkám

Studium těchto krycích skupin vedlo přirozeně ke studiu centrální a prodloužení stonku.

A centrální prodloužení skupiny G je rozšíření

{ Displaystyle 1 až K až C až G až 1}

kde ${ displaystyle K leq Z (C)}$ je podskupina z centrum z C.

A prodloužení stonku skupiny G je rozšíření

{ Displaystyle 1 až K až C až G až 1}

kde ${ displaystyle K leq Z (C) cap C '}$ je podskupina průsečíku středu C a odvozená podskupina z C; to je více omezující než ústřední.^[1]

Pokud skupina G je konečný a uvažuje se pouze o rozšíření stonku, pak je pro takovou skupinu největší velikost Ca pro každého C této velikosti podskupiny K. je izomorfní s Schurovým multiplikátorem G. Pokud je konečná skupina G je navíc perfektní, pak C je jedinečný až po izomorfismus a je sám o sobě dokonalý. Takový C jsou často nazývány univerzální perfektní centrální rozšíření z Gnebo krycí skupina (protože se jedná o diskrétní analog univerzální krycí prostor v topologii). Pokud je konečná skupina G není dokonalá, pak její skupiny pokrývající Schur (všechny takové C maximálního řádu) jsou pouze isoclinic.

Také se to stručně nazývá a univerzální centrální prodloužení, ale všimněte si, že neexistuje žádné největší centrální rozšíření, jako přímý produkt z G a abelianská skupina tvoří centrální rozšíření G libovolné velikosti.

Rozšíření stonku mají pěknou vlastnost, jakou je jakýkoli výtah generující sady G je generující sada C. Pokud skupina G je prezentovány ve smyslu a volná skupina F na sadě generátorů a normální podskupina R generovaný množinou vztahů na generátorech, takže ${ displaystyle G cong F / R}$ , pak může být samotná krycí skupina představena z hlediska F ale s menší normální podskupinou S, to znamená, ${ displaystyle C cong F / S}$ . Vzhledem k tomu, vztahy G specifikovat prvky K. pokud je považována za součást C, jeden musí mít ${ displaystyle S leq [F, R]}$ .

Ve skutečnosti, pokud G je perfektní, to je vše, co je potřeba: C ≅ [F,F]/[F,R] a M (G) ≅ K. ≅ R/[F,R]. Z důvodu této jednoduchosti jsou expozice jako (Aschbacher 2000, §33) nejprve zpracovat dokonalý případ. Obecný případ pro Schurův multiplikátor je podobný, ale zajišťuje, že rozšíření je kmenovým rozšířením omezením na odvozenou podskupinu F: M (G) ≅ (R ∩ [F, F])/[F, R]. To jsou všechny mírně pozdější výsledky Schura, který také dal řadu užitečných kritérií pro jejich výslovnější výpočet.

Vztah k efektivním prezentacím

v teorie kombinatorických grup, skupina často pochází z a prezentace. Jedním z důležitých témat v této oblasti matematiky je studium prezentací s co nejmenším počtem vztahů, jako jsou například jedno relační skupiny Skupiny Baumslag-Solitar. Tyto skupiny jsou nekonečné skupiny se dvěma generátory a jednou relací a starý výsledek Schreier ukazuje, že v každé prezentaci s více generátory než relacemi je výsledná skupina nekonečná. Hraniční případ je tedy docela zajímavý: o konečných skupinách se stejným počtem generátorů, jaké mají vztahy, se říká, že nedostatek nula. Aby skupina měla nulový nedostatek, musí mít skupina triviální Schurův multiplikátor, protože minimální počet generátorů Schurova multiplikátoru je vždy menší nebo roven rozdílu mezi počtem vztahů a počtem generátorů, což je zápor nedostatek. An efektivní skupina je takový, kde multiplikátor Schur vyžaduje tento počet generátorů.^[2]

Poměrně nedávným tématem výzkumu je najít efektivní prezentace pro všechny konečné jednoduché skupiny s triviálními Schurovými multiplikátory. Takové prezentace jsou v jistém smyslu pěkné, protože jsou obvykle krátké, ale je obtížné je najít a pracovat s nimi, protože se nehodí ke standardním metodám, jako je coset výčet.

Vztah k topologii

v topologie, skupiny lze často popsat jako definitivně prezentovány skupin a základní otázkou je výpočet jejich integrální homologie ${ displaystyle H_ {n} (G, mathbb {Z})}$ . Zvláštní roli hraje zejména druhá homologie, což vedlo Heinz Hopf najít efektivní metodu pro její výpočet. Metoda v (Hopf 1942 ) je také známý jako Hopfův integrální homologický vzorec a je totožný se Schurovým vzorcem pro Schurův multiplikátor konečné skupiny:

{ displaystyle H_ {2} (G, mathbb {Z}) cong (R cap [F, F]) / [F, R]}

kde ${ displaystyle G cong F / R}$ a F je bezplatná skupina. Stejný vzorec platí i když G je dokonalá skupina.^[3]

Uznání, že tyto vzorce byly stejné, vedlo Samuel Eilenberg a Saunders Mac Lane k vytvoření kohomologie skupin. Obecně,

{ displaystyle H_ {2} (G, mathbb {Z}) cong { bigl (} H ^ {2} (G, mathbb {C} ^ { times}) { bigr)} ^ {* }}

kde hvězda označuje algebraickou duální skupinu. Navíc, když G je konečný, existuje nepřirozený izomorfismus

{ displaystyle { bigl (} H ^ {2} (G, mathbb {C} ^ { times}) { bigr)} ^ {*} cong H ^ {2} (G, mathbb {C } ^ { times}).}

Hopfův vzorec pro ${ displaystyle H_ {2} (G)}$ byla zobecněna na vyšší dimenze. Jeden přístup a reference viz článek Everaert, Gran a Van der Linden uvedený níže.

A dokonalá skupina je ten, jehož první integrální homologie zmizí. A superperfektní skupina je jeden, jehož první dvě integrální homologické skupiny zmizí. Schurovy kryty konečných dokonalých skupin jsou superperfektní. An acyklická skupina je skupina, jejíž redukovaná integrální homologie zmizí.

Aplikace

The druhá algebraická skupina K. K.₂(R) komutativního kruhu R lze identifikovat s druhou homologickou skupinou H₂(E(R), Z) skupiny E(R) z (nekonečný) základní matice se záznamy v R.^[4]

Viz také

Jednoduchá skupina

Odkazy Claira Millera poskytují další pohled na Schurův multiplikátor jako na jádro morfismu κ: G ∧ G → G indukovaného komutátorovou mapou.

Poznámky

^ Rotman 1994, str. 553
^ Johnson & Robertson 1979, str. 275–289
^ Rosenberg 1994 Věty 4.1.3, 4.1.19
^ Rosenberg 1994 Dodatek 4.2.10

Reference

Aschbacher, Michael (2000), Teorie konečných grup, Cambridge studia pokročilé matematiky, 10 (2. vyd.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-78145-9, PAN 1777008, Zbl 0997.20001
Hopf, Heinz (1942), „Fundamentalgruppe und zweite Bettische Gruppe“, Commentarii Mathematici Helvetici, 14: 257–309, doi:10.1007 / BF02565622, ISSN 0010-2571, PAN 0006510, Zbl 0027.09503
Johnson, David Lawrence; Robertson, Edmund Frederick (1979), „Konečné skupiny nulového deficitu“, v Wall, C.T.C. (vyd.), Teorie homologické skupiny, Série přednášek London Mathematical Society, 36, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-22729-2, Zbl 0423.20029
Kuzmin, Leonid Viktorovich (2001) [1994], "Schurův multiplikátor", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
Rosenberg, Jonathan (1994), Algebraická K-teorie a její aplikace, Postgraduální texty z matematiky, 147, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94248-3, PAN 1282290, Zbl 0801.19001 Errata
Rotman, Joseph J. (1994), Úvod do teorie grup, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94285-8
Schur, Issai (1904), „Über die Darstellung der endlichen Gruppen durch gebrochene lineare Substitutionen.“, Journal für die reine und angewandte Mathematik (v němčině), 127: 20–50, ISSN 0075-4102, JFM 35.0155.01
Schur, Issai (1907), „Untersuchungen über die Darstellung der endlichen Gruppen durch gebrochene lineare Substitutionen.“, Journal für die reine und angewandte Mathematik (v němčině), 1907 (132): 85–137, doi:10,1515 / crll.1907.132,85, ISSN 0075-4102, JFM 38.0174.02
Van der Kallen, Wilberd (1984), „Recenze: F. Rudolf Beyl a Jürgen Tappe, rozšíření skupiny, reprezentace a Schurův multiplikátor“, Bulletin of the American Mathematical Society, 10 (2): 330–3, doi:10.1090 / s0273-0979-1984-15273-x
Wiegold, James (1982), „Schurův multiplikátor: elementární přístup“, Skupiny - sv. Andrews 1981 (St. Andrews, 1981), London Math. Soc. Přednáška Ser., 71, Cambridge University Press, str. 137–154, PAN 0679156, Zbl 0502.20003
Miller, Clair (1952), „Druhá homologie skupiny“, Proc. Amer. Matematika. Soc., 3 (4): 588–595, doi:10.1090 / s0002-9939-1952-0049191-5, Zbl 0047.25703
Dennis, R.K. (1976), Při hledání nových funktorů „Homologie“, které mají blízký vztah k K-teorii, Cornell University
Brown, R .; Johnson, D.L .; Robertson, E.F. (1987), „Některé výpočty neabelovských tenzorových produktů skupin“, J. Algebra, 111: 177–202, doi:10.1016/0021-8693(87)90248-1, Zbl 0626.20038
Ellis, G.J .; Leonard, F. (1995), "Výpočet Schurových multiplikátorů a tenzorových produktů konečných skupin", Sborník Královské irské akademie, 95A (2): 137–147, ISSN 0035-8975, JSTOR 20490165, Zbl 0863.20010
Ellis, G.J. (1998), „Schurův multiplikátor dvojice skupin“, Appl. Kategorie Struct., 6 (3): 355–371, doi:10.1023 / A: 1008652316165, Zbl 0948.20026
Eick, Bettina; Nickel, Werner (2008), „Computing the Schur multiplicator and the nonabelian tensor square of a polycyclic group“, J. Algebra, 320 (2): 927–944, doi:10.1016 / j.jalgebra.2008.02.041, Zbl 1163.20022
Everaert, Tomáš; Gran, Marino; Van der Linden, Tim (2008), „Vyšší Hopfovy vzorce pro homologii pomocí Galoisovy teorie“, Adv. Matematika., 217 (5): 2231–67, arXiv:matematika / 0701815, doi:10.1016 / j.aim.2007.11.001, Zbl 1140.18012

[1] Rotman 1994, str. 553

[2] Johnson & Robertson 1979, str. 275–289

[3] Rosenberg 1994 Věty 4.1.3, 4.1.19

[4] Rosenberg 1994 Dodatek 4.2.10

[1]

[2]

[3]

[4]