Blízký prsten - Near-ring
v matematika, a blízký prsten (taky blízko prstenu nebo blížící se) je algebraická struktura podobný a prsten ale uspokojující méně axiomy. Blízké prstence vznikají přirozeně z funkce na skupiny.
| Algebraické struktury |
|---|
Definice
A soubor N společně se dvěma binární operace + (volal přidání ) a ⋅ (volané násobení ) se nazývá (vpravo) blízký prsten li:
- A1: N je skupina (ne nutně abelian ) po přidání;
- A2: Násobení je asociativní (tak N je poloskupina při násobení); a
- A3: násobení napravo distribuuje nad přidáním: pro všechny X, y, z v N, platí, že (X + y)⋅z = (X⋅z) + (y⋅z).[1]
Podobně je možné definovat a vlevo, odjet blízký prsten nahrazením pravého distributivního práva A3 odpovídajícím levým distribučním zákonem. V literatuře se vyskytují pravé i levé blízké prstence; například kniha Pilze[2] používá pravé blízké kroužky, zatímco kniha Clay[3] používá levé blízké kroužky.
Okamžitý důsledek toho jednostranný distribuční zákon je to, že je pravda, že 0⋅X = 0, ale nemusí to nutně platit X⋅0 = 0 pro všechny X v N. Dalším bezprostředním důsledkem je, že (-X)⋅y = −(X⋅y) pro všechny X, y v N, ale to není nutné X⋅(−y) = −(X⋅y). Blízký prsten je a prsten (ne nutně s jednotou) kdyby a jen kdyby sčítání je komutativní a násobení je také distribuční nad sčítáním na vlevo, odjet. Pokud má blízký prsten multiplikativní identitu, pak je postačující distributivita na obou stranách a automaticky následuje komutativita sčítání.
Mapování ze skupiny na sebe
Nechat G být skupina, psaná aditivně, ale ne nutně abelian a nechte M(G) být množinou {F | F : G → G} ze všech funkce z G na G. Operaci přidání lze definovat na M(G): daný F, G v M(G), poté mapování F + G z G na G darováno (F + G)(X) = F(X) + G(X) pro všechny X v G. Pak (M(G), +) je také skupina, která je abelian právě tehdy G je abelian. Vezmeme-li složení mapování jako produkt ⋅, M(G) se stává blízkým prstencem.
Prvek 0 blízkého kruhu M(G) je nulová mapa, tj. mapování, které přebírá každý prvek G na prvek identity G. Aditivní inverzní -F z F v M(G) se shoduje s přirozeným bodově definice, tj. (-F)(X) = −(F(X)) pro všechny X v G.
Li G má alespoň 2 prvky, M(G) není prsten, i když G je abelian. (Zvažte a konstantní mapování G z G na pevný prvek G Of 0 z G; pak G⋅0 = G ≠ 0.) Existuje však podmnožina E(G) z M(G) sestávající ze všech skupin endomorfismy z G, tj. všechny mapy F : G → G takhle F(X + y) = F(X) + F(y) pro všechny X, y v G. Pokud (G, +) je abelian, obě operace blízkého kruhu zapnuty M(G) jsou zavřeny E(G), a (E(G), +, ⋅) je prsten. Pokud (G, +) je nonabelian, E(G) obecně není uzavřen v rámci operací blízkého kruhu; ale uzavření E(G) v rámci operací blízkého kruhu je blízký kruh.
Mnoho podskupin M(G) tvoří zajímavé a užitečné blízké prsteny. Například:[1]
- Mapování, pro které F(0) = 0.
- Konstantní mapování, tj. Ty, které mapují každý prvek skupiny na jeden pevný prvek.
- Sada map generovaných sčítáním a negací z endomorfismy skupiny („aditivní uzávěr“ sady endomorfismů). Pokud je G abelian, pak je sada endomorfismů již aditivně uzavřena, takže aditivní uzávěr je pouze sadou endomorfismů G a netvoří jen blízký prsten, ale prsten.
Další příklady se vyskytují, pokud má skupina další strukturu, například:
- Kontinuální mapování v a topologická skupina.
- Polynom funguje na kruhu s přidanou identitou a polynomiálním složením.
- Afinní mapy v a vektorový prostor.
Každý blízký prsten je izomorfní do vedlejšího kruhu M(G) pro některé G.
Aplikace
Mnoho aplikací zahrnuje podtřídu blízkých prstenců známých jako blízká pole; pro tyto informace viz článek o blízkých polích.
Existují různé aplikace správných blízkých prstenců, tj. Ty, které nejsou ani prstenci, ani blízkými poli.
Nejznámější je vyvážené neúplné návrhy bloků[2] pomocí planárních blízkých prstenců. Jedná se o způsob, jak získat rozdílné rodiny pomocí oběžných drah skupiny s volným automorfismem s pevným bodem. Clay a další rozšířili tyto myšlenky na obecnější geometrické konstrukce[3].
Viz také
Reference
- ^ A b G. Pilz, (1982), „Blízké prsteny: k čemu jsou a k čemu jsou dobré“ v Kontemp. Matematika., 9, s. 97–119. Amer. Matematika. Soc., Providence, R.I., 1981.
- ^ A b G. Pilz, “Blízké prsteny, teorie a její aplikace ", North-Holland, Amsterdam, 2. vydání, (1983).
- ^ A b J. Clay, "Nearrings: Geneses and applications", Oxford, (1992).
- Celestina Cotti Ferrero; Giovanni Ferrero (2002). Blíží se: Některé vývoje souvisí s poloskupinami a skupinami. Kluwer Academic Publishers. ISBN 978-1-4613-0267-4.