Lineární algebraická skupina - Linear algebraic group

Algebraická struktura → Skupinová teorie Skupinová teorie
Základní pojmy Podskupina Normální podskupina Kvocientová skupina (Částečně)přímý produkt Skupinové homomorfismy jádro obraz přímý součet věnec produkt jednoduchý konečný nekonečný kontinuální multiplikativní přísada cyklický abelian vzepětí nilpotentní řešitelný Glosář teorie skupin Seznam témat teorie skupin
Konečné skupiny Klasifikace konečných jednoduchých skupin cyklický střídavý Typ lži sporadický Cauchyova věta Lagrangeova věta Sylowovy věty Hallova věta p-skupina Základní abelianská skupina Skupina Frobenius Multiplikátor Schur Symetrická skupina Sn Kleinova čtyřčlenná skupina PROTI Vzepětí skupina Dn Čtveřice skupina Q Dicyklická skupina Dicn
Diskrétní skupiny Mříže Celá čísla (Z) Zdarma skupina Modulární skupiny PSL (2,Z) SL (2,Z) Aritmetická skupina Mříž Hyperbolická skupina
Topologické a Lež skupiny Solenoid Kruh Obecné lineární GL (n) Speciální lineární SL (n) Ortogonální Ó(n) Euklidovský E(n) Speciální ortogonální TAK(n) Unitary U (n) Speciální unitární SU (n) Symplektický Sp (n) G2 F4 E6 E7 E8 Lorentz Poincaré Konformní Difomorfismus Smyčka Nekonečná dimenzionální Lieova skupina O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Algebraické skupiny Lineární algebraická skupina Redukční skupina Abelianská odrůda Eliptická křivka

v matematika, a lineární algebraická skupina je podskupina z skupina z invertibilní ${ displaystyle n krát n}$ matice (pod násobení matic ), který je definován polynomiální rovnice. Příkladem je ortogonální skupina, definovaný vztahem ${ displaystyle M ^ {T} M = 1}$ kde ${ displaystyle M ^ {T}}$ je přemístit z ${ displaystyle M}$.

Mnoho Lež skupiny lze zobrazit jako lineární algebraické skupiny nad pole z nemovitý nebo komplex čísla. (Například každý kompaktní Lieova skupina lze považovat za lineární algebraickou skupinu R (nezbytně R-anizotropní a redukční), stejně jako mnoho nekompaktních skupin, jako je jednoduchá Lieova skupina SL (n,R).) Jednoduché Lieovy skupiny byly klasifikovány podle Wilhelm Killing a Élie Cartan v 80. a 90. letech 18. století. V té době nebylo nijak zvlášť využíváno skutečnosti, že skupinovou strukturu lze definovat polynomy, to znamená, že se jedná o algebraické skupiny. Mezi zakladatele teorie algebraických skupin patří Maurer, Chevalley, a Kolchin  (1948 ). V padesátých letech Armand Borel vybudoval velkou část teorie algebraických skupin, jak existuje dnes.

Jedním z prvních použití teorie bylo definovat Skupiny Chevalley.

Příklady

Pro kladné celé číslo ${ displaystyle n}$, obecná lineární skupina ${ displaystyle GL (n)}$ přes pole ${ displaystyle k}$, skládající se ze všech invertible ${ displaystyle n krát n}$ matice, je lineární algebraická skupina ${ displaystyle k}$. Obsahuje podskupiny

${ displaystyle U podmnožina B podmnožina GL (n)}$

skládající se z matic formuláře

${ displaystyle left ({ begin {array} {cccc} 1 & * & dots & * 0 & 1 & ddots & vdots vdots & ddots & ddots & * 0 & dots & 0 & 1 end {pole}} vpravo)}$ a ${ displaystyle left ({ begin {array} {cccc} * & * & dots & * 0 & * & ddots & vdots vdots & ddots & ddots & * 0 & dots & 0 & * end {array}} right)}$.

Skupina ${ displaystyle U}$ je příkladem a unipotentní lineární algebraická skupina, skupina ${ displaystyle B}$ je příkladem a řešitelný algebraická skupina zvaná Podskupina Borel z ${ displaystyle GL (n)}$. Je to důsledek Lie-Kolchinova věta že jakákoli připojená řešitelná podskupina ${ displaystyle mathrm {GL} (n)}$ je konjugován do ${ displaystyle B}$. Lze konjugovat jakoukoli unipotentní podskupinu ${ displaystyle U}$.

Další algebraická podskupina ${ displaystyle mathrm {GL} (n)}$ je speciální lineární skupina ${ displaystyle mathrm {SL} (n)}$ matic s determinantem 1.

Skupina ${ displaystyle GL (1)}$ se nazývá multiplikativní skupina, obvykle označeno ${ displaystyle mathbf {G} _ { mathrm {m}}}$. Skupina ${ displaystyle k}$- body ${ displaystyle mathbf {G} _ { mathrm {m}} (k)}$ je multiplikativní skupina ${ displaystyle k ^ {*}}$ nenulových prvků pole ${ displaystyle k}$. The aditivní skupina ${ displaystyle mathbf {G} _ { mathrm {a}}}$, jehož ${ displaystyle k}$-body jsou izomorfní vůči aditivní skupině ${ displaystyle k}$, lze také vyjádřit jako skupinu matic, například jako podskupinu ${ displaystyle U}$ v ${ displaystyle mathrm {GL} (2)}$ :

${ displaystyle { begin {pmatrix} 1 & * 0 & 1 end {pmatrix}}.}$

Tyto dva základní příklady komutativních lineárních algebraických skupin, multiplikativní a aditivní skupiny, se chovají velmi odlišně, pokud jde o jejich lineární reprezentace (jako algebraické skupiny). Každá reprezentace multiplikativní skupiny ${ displaystyle mathbf {G} _ { mathrm {m}}}$ je přímý součet z neredukovatelné reprezentace. (Jeho neredukovatelné reprezentace mají rozměr 1, formu ${ displaystyle x mapsto x ^ {n}}$ pro celé číslo ${ displaystyle n}$.) Naopak jediné neredukovatelné zastoupení skupiny aditiv ${ displaystyle mathbf {G} _ { mathrm {a}}}$ je triviální reprezentace. Takže každé zastoupení ${ displaystyle mathbf {G} _ { mathrm {a}}}$ (například 2-rozměrné znázornění výše) je iterace rozšíření triviálních reprezentací, ne přímý součet (pokud reprezentace není triviální). Teorie struktury lineárních algebraických skupin analyzuje jakoukoli lineární algebraickou skupinu z hlediska těchto dvou základních skupin a jejich zobecnění, tori a unipotentní skupiny, jak je popsáno níže.

Definice

Pro algebraicky uzavřené pole k, velká část struktury algebraická rozmanitost X přes k je zakódován v jeho sadě X(k) z k-racionální body, což umožňuje základní definici lineární algebraické skupiny. Nejprve definujte funkci z abstraktní skupiny GL(n,k) až k být pravidelný jestliže to může být zapsáno jako polynom v záznamech n×n matice A a v 1 / det (A), kde det je určující. Pak lineární algebraická skupina G přes algebraicky uzavřené pole k je podskupina G(k) abstraktní skupiny GL(n,k) pro nějaké přirozené číslo n takhle G(k) je definován zmizením některé sady pravidelných funkcí.

Pro libovolné pole k, algebraické odrůdy k jsou definovány jako zvláštní případ schémata přes k. V tomto jazyce a lineární algebraická skupina G přes pole k je hladký uzavřené podskupinové schéma GL(n) přes k pro nějaké přirozené číslo n. Zejména, G je definována zmizením nějaké sady běžné funkce na GL(n) přes ka tyto funkce musí mít vlastnost, že pro každý komutativní k-algebra R, G(R) je podskupinou abstraktní skupiny GL(n,R). (Tedy algebraická skupina G přes k není jen abstraktní skupina G(k), ale spíše celá rodina skupin G(R) pro komutativní k-algebry R; toto je filozofie popisu schématu jeho funktor bodů.)

V obou jazycích má jeden pojem a homomorfismus lineárních algebraických skupin. Například když k je algebraicky uzavřeno, homomorfismus z G ⊂ GL(m) až H ⊂ GL(n) je homomorfismus abstraktních skupin G(k) → H(k), který je definován běžnými funkcemi na G. Tím se lineární algebraické skupiny překonají k do kategorie. To zejména definuje, co to znamená pro dvě lineární algebraické skupiny izomorfní.

V jazyce schémat lineární algebraická skupina G přes pole k je zejména a skupinové schéma přes k, což znamená celé schéma k společně s a k-bod 1 ∈ G(k) a morfismy

${ displaystyle m dvojtečka G krát _ {k} G až G, ; i dvojtečka G až G}$

přes k které splňují obvyklé axiomy pro násobení a inverzní mapy ve skupině (asociativita, identita, inverze). Lineární algebraická skupina je také hladká a konečný typ přes k, a to je afinní (jako schéma). Naopak, každé schéma afinní skupiny G konečného typu nad polem k má věrné zastoupení do GL(n) přes k pro některé n.^[1] Příkladem je vložení skupiny aditiv G_A do GL(2), jak je uvedeno výše. Výsledkem je, že si můžeme představit lineární algebraické skupiny buď jako maticové skupiny, nebo abstraktněji, jako plynulá schémata afinních skupin nad polem. (Někteří autoři používají „lineární algebraickou skupinu“ k označení jakéhokoli afinního skupinového schématu konečného typu nad polem.)

Pro úplné pochopení lineárních algebraických skupin je třeba zvážit obecnější (nehladká) skupinová schémata. Například nechte k být algebraicky uzavřené pole charakteristický str > 0. Pak homomorfismus F: G_m → G_m definován X ↦ X^str indukuje izomorfismus abstraktních skupin k* → k*, ale F není izomorfismus algebraických skupin (protože X^1/str není běžná funkce). V jazyce skupinových schémat existuje jasnější důvod F není izomorfismus: F je surjektivní, ale má netriviální jádro, jmenovitě skupinové schéma μ_str z strth kořeny jednoty. Tento problém nevzniká v charakteristické nule. Ve skutečnosti každé skupinové schéma konečného typu nad polem k charakteristické nuly je hladký k.^[2] Skupinové schéma konečného typu nad jakýmkoli polem k je hladký k právě když je geometricky zmenšené, což znamená, že základní změna ${ displaystyle G _ { overline {k}}}$ je snížena, kde ${ displaystyle { overline {k}}}$ je algebraické uzavření z k.^[3]

Protože afinní schéma X je určen jeho prsten Ó(X) pravidelných funkcí, schéma afinní skupiny G přes pole k je určen prstencem Ó(G) se svou strukturou a Hopfova algebra (pocházející z násobení a inverzní mapy na G). To dává rovnocennost kategorií (obrácené šipky) mezi schématy afinních skupin k a komutativní Hopfovy algebry k. Například Hopfova algebra odpovídající multiplikativní skupině G_m = GL(1) je Laurentův polynom prsten k[X, X⁻¹], s komplikací danou

${ displaystyle x mapsto x otimes x.}$

Základní pojmy

Pro lineární algebraickou skupinu G přes pole k, složka identity G^Ó (dále jen připojená součást obsahující bod 1) je a normální podskupina konečný index. Takže existuje rozšíření skupiny

${ displaystyle 1 až G ^ { circ} až G až F až 1,}$

kde F je konečná algebraická skupina. (Pro k algebraicky uzavřeno, F lze identifikovat pomocí abstraktní konečné skupiny.) Z tohoto důvodu se studium algebraických skupin většinou zaměřuje na spojené skupiny.

Různé pojmy z teorie abstraktní skupiny lze rozšířit na lineární algebraické skupiny. Je jednoduché definovat, co to znamená pro lineární algebraickou skupinu komutativní, nilpotentní nebo řešitelný, analogicky s definicemi v teorii abstraktních skupin. Například lineární algebraická skupina je řešitelný pokud má kompoziční série lineárních algebraických podskupin, takže skupiny kvocientů jsou komutativní. Také normalizátor, centrum a centralizátor uzavřené podskupiny H lineární algebraické skupiny G jsou přirozeně považovány za uzavřená podskupinová schémata G. Pokud jsou hladké k, pak jsou to lineární algebraické skupiny, jak jsou definovány výše.

Lze se zeptat, do jaké míry jsou vlastnosti spojené lineární algebraické skupiny G přes pole k jsou určeny abstraktní skupinou G(k). Užitečným výsledkem v tomto směru je, že pokud pole k je perfektní (například charakteristická nula), nebo -li G je tedy redukční (jak je definováno níže) G je iracionální přes k. Proto, pokud navíc k skupina je nekonečná G(k) je Zariski hustý v G.^[4] Například za výše uvedených předpokladů G je komutativní, nilpotentní nebo řešitelný, právě když G(k) má odpovídající vlastnost.

V těchto výsledcích nelze opomenout předpoklad propojenosti. Například nechte G být skupina μ₃ ⊂ GL(1) krychlových kořenů jednoty nad racionální čísla Q. Pak G je lineární algebraická skupina Q pro který G(Q) = 1 není Zariski hustý G, protože ${ displaystyle G ({ overline { mathbf {Q}}})}$ je skupina řádu 3.

Přes algebraicky uzavřené pole je silnější výsledek o algebraických skupinách jako algebraických varietách: každá připojená lineární algebraická skupina přes algebraicky uzavřené pole je racionální rozmanitost.^[5]

Lieova algebra algebraické skupiny

The Lež algebra ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ algebraické skupiny G lze definovat několika ekvivalentními způsoby: jako tečný prostor T₁(G) na prvku identity 1 ∈ G(k), nebo jako prostor levého invariantu derivace. Li k je algebraicky uzavřeno, derivace D: Ó(G) → Ó(G) přes k souřadnicového kruhu z G je left-invariant -li

${ displaystyle D lambda _ {x} = lambda _ {x} D}$

pro každého X v G(k), kde λ_X: Ó(G) → Ó(G) je indukován násobením vlevo X. Pro libovolné pole k, levá invariance derivace je definována jako analogická rovnost dvou lineárních map Ó(G) → Ó(G) ⊗Ó(G).^[6] Lieova závorka dvou derivací je definována [D₁, D₂] =D₁D₂ − D₂D₁.

Přechod z G na ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ je tedy proces diferenciace. Pro prvek X ∈ G(k), derivát na 1 ∈ G(k) z časování mapa G → G, G ↦ xgx⁻¹, je automorfismus z ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$, dávat adjunkční reprezentace:

${ displaystyle operatorname {Ad} dvojtečka G to operatorname {Aut} ({ mathfrak {g}}).}$

Přes pole charakteristické nuly, připojená podskupina H lineární algebraické skupiny G je jednoznačně určována jeho Lieovou algebrou ${ displaystyle { mathfrak {h}} podmnožina { mathfrak {g}}}$.^[7] Ale ne každá Lieova subalgebra ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ odpovídá algebraické podskupině G, jak je vidět na příkladu torusu G = (G_m)² přes C. Pozitivní charakteristikou může být mnoho různých spojených podskupin skupiny G se stejnou Lieovou algebrou (opět torus G = (G_m)² uvádí příklady). Z těchto důvodů, ačkoliv je Lieova algebra algebraické skupiny důležitá, vyžaduje teorie struktury algebraických skupin více globálních nástrojů.

Polojediné a unipotentní prvky

Pro algebraicky uzavřené pole kmatice G v GL(n,k) je nazýván polojednoduchý Pokud to je úhlopříčně, a unipotentní pokud je matice G - 1 je nilpotentní. Ekvivalentně G je unipotentní, pokud vše vlastní čísla z G jsou rovny 1. The Jordan kanonická forma pro matice znamená, že každý prvek G z GL(n,k) lze napsat jedinečně jako produkt G = G_ssG_u takhle G_ss je polojednoduchý, G_u je unipotentní a G_ss a G_u dojíždět jeden s druhým.

Pro jakékoli pole kprvek G z GL(n,k) se říká, že je poloviční, pokud se stane diagonalizovatelným přes algebraické uzavření k. Pokud pole k je perfektní, pak polojednoduchá a unipotentní část G také lež GL(n,k). Nakonec pro každou lineární algebraickou skupinu G ⊂ GL(n) přes pole k, definujte a k- bod G být napůl jednoduchý nebo unipotentní, pokud je napůl jednoduchý nebo unipotentní v GL(n,k). (Tyto vlastnosti jsou ve skutečnosti nezávislé na volbě věrného zobrazení G.) Pokud pole k je perfektní, pak polojednoduché a unipotentní části a k- bod G jsou automaticky v G. Toto je Jordanův rozklad): každý prvek G z G(k) lze napsat jedinečně jako produkt G = G_ssG_u v G(k) takové, že G_ss je polojednoduchý, G_u je unipotentní a G_ss a G_u dojíždět mezi sebou.^[8] Tím se snižuje problém popisu třídy konjugace v G(k) k polojediným a unipotentním případům.

Tori

A torus přes algebraicky uzavřené pole k znamená skupinu isomorfní s (G_m)ⁿ, produkt z n kopie multiplikativní skupiny k, pro nějaké přirozené číslo n. Pro lineární algebraickou skupinu G, a maximální torus v G znamená torus dovnitř G který není obsažen v žádném větším torusu. Například skupina diagonálních matic v GL(n) přes k je maximální torus v GL(n), izomorfní s (G_m)ⁿ. Základním výsledkem teorie je, že jakékoli dvě maximální tori ve skupině G přes algebraicky uzavřené pole k jsou sdružené nějakým prvkem G(k).^[9] The hodnost z G znamená rozměr jakéhokoli maximálního torusu.

Pro libovolné pole k, a torus T přes k znamená lineární algebraickou skupinu k jehož základní změna ${ displaystyle T _ { overline {k}}}$ k algebraickému uzavření k je izomorfní s (G_m)ⁿ přes ${ displaystyle { overline {k}}}$, pro nějaké přirozené číslo n. A split torus přes k znamená skupinu isomorfní s (G_m)ⁿ přes k pro některé n. Příklad nerozděleného torusu nad reálnými čísly R je

${ displaystyle T = {(x, y) v A _ { mathbf {R}} ^ {2}: x ^ {2} + y ^ {2} = 1 },}$

se strukturou skupiny danou vzorcem pro násobení komplexních čísel X+iy. Tady T je torus dimenze 1 nad R. Není rozdělena, protože je to skupina skutečných bodů T(R) je kruhová skupina, který není izomorfní ani jako abstraktní skupina G_m(R) = R*.

Každý bod torusu nad polem k je polojednoduchý. Naopak, pokud G je spojená lineární algebraická skupina tak, že každý prvek z ${ displaystyle G ({ overline {k}})}$ je tedy poloviční G je torus.^[10]

Pro lineární algebraickou skupinu G přes obecné pole k, nelze očekávat všechny maximální tori G přes k být konjugován s prvky G(k). Například obě multiplikativní skupiny G_m a kruhová skupina T výše se vyskytují jako maximální tori v SL(2) přes R. Vždy však platí, že jakékoli dva maximální split tori v G přes k (což znamená split tori v G které nejsou obsaženy ve větším rozdělit torus) jsou konjugovány nějakým prvkem G(k).^[11] Ve výsledku má smysl definovat k-hodnost nebo rozdělená hodnost skupiny G přes k jako rozměr jakéhokoli maximálního děleného torusu v G přes k.

Pro jakýkoli maximální torus T v lineární algebraické skupině G přes pole k, Grothendieck to ukázal ${ displaystyle T _ { overline {k}}}$ je maximální torus v ${ displaystyle G _ { overline {k}}}$.^[12] Z toho vyplývá, že jakékoli dva maximální tori v G přes pole k mají stejnou dimenzi, i když nemusí být izomorfní.

Unipotent skupiny

Nechat U_n být skupina matic vyšších trojúhelníků v GL(n) s diagonálními položkami rovnými 1 na poli k. Skupinové schéma nad polem k (například lineární algebraická skupina) se nazývá unipotentní pokud je izomorfní vůči uzavřenému podskupinovému schématu U_n pro některé n. Je snadné zkontrolovat, že skupina U_n je nilpotentní. Výsledkem je, že každé unipotentní schéma skupiny je nilpotentní.

Lineární algebraická skupina G přes pole k je unipotentní právě tehdy, když každý prvek ${ displaystyle G ({ overline {k}})}$ je unipotentní.^[13]

Skupina B_n horních trojúhelníkových matic v GL(n) je polopřímý produkt

${ displaystyle B_ {n} = T_ {n} ltimes U_ {n},}$

kde T_n je diagonální torus (G_m)ⁿ. Obecněji řečeno, každá připojená řešitelná lineární algebraická skupina je polopřímým produktem torusu s unipotentní skupinou, T ⋉ U.^[14]

Hladce spojená unipotentní skupina přes dokonalé pole k (například algebraicky uzavřené pole) má kompoziční řadu se všemi skupinami kvocientů izomorfní se skupinou aditiv G_A.^[15]

Podskupiny Borel

The Podskupiny Borel jsou důležité pro teorii struktury lineárních algebraických skupin. Pro lineární algebraickou skupinu G přes algebraicky uzavřené pole k, borelská podskupina G znamená maximální hladce spojenou řešitelnou podskupinu. Například jedna podskupina Borel z GL(n) je podskupina B z horní trojúhelníkové matice (všechny položky pod úhlopříčkou jsou nulové).

Základním výsledkem teorie je, že jakékoli dvě borelské podskupiny spojené skupiny G přes algebraicky uzavřené pole k jsou konjugovány nějakým prvkem G(k).^[16] (Standardní důkaz používá Borelův teorém o pevném bodě: pro připojenou řešitelnou skupinu G působící na a správná odrůda X přes algebraicky uzavřené pole k, tady je k-bod dovnitř X který je stanoven akcí G.) Konjugát Borel podskupin v GL(n) činí Lež – Kolchinova věta: každá hladce spojená řešitelná podskupina GL(n) je konjugovaný s podskupinou horní trojúhelníkové podskupiny v GL(n).

Pro libovolné pole k, podskupina Borel B z G je definována jako podskupina k tak, že přes algebraické uzavření ${ displaystyle { overline {k}}}$ z k, ${ displaystyle B _ { overline {k}}}$je Borel podskupina ${ displaystyle G _ { overline {k}}}$. Tím pádem G může nebo nemusí mít podskupinu Borel k.

Pro uzavřené schéma podskupiny H z G, kvocientový prostor G/H je hladký kvazi-projektivní schéma skončilo k.^[17] Hladká podskupina P propojené skupiny G je nazýván parabolický -li G/P je projektivní přes k (nebo ekvivalentně, správný konec k). Důležitá vlastnost podskupin Borel B je to G/B je projektivní odrůda, která se nazývá odrůda vlajky z G. To znamená, že podskupiny Borel jsou parabolické podskupiny. Přesněji pro k algebraicky uzavřené, podskupiny Borel jsou přesně minimální parabolické podskupiny G; naopak každá podskupina obsahující podskupinu Borel je parabolická.^[18] Takže je možné uvést všechny parabolické podskupiny G (do konjugace do G(k)) uvedením všech lineárních algebraických podskupin z G které obsahují pevnou podskupinu Borel. Například podskupiny P ⊂ GL(3) přes k které obsahují podskupinu Borel B matic horní trojúhelníkové jsou B sám, celá skupina GL(3) a mezilehlé podskupiny

${ displaystyle left {{ begin {bmatrix} * & * & * 0 & * & * 0 & * & * end {bmatrix}} right }}$ a ${ displaystyle left {{ begin {bmatrix} * & * & * * & * & * 0 & 0 & * end {bmatrix}} right }.}$

Korespondence projektivní homogenní odrůdy GL(3)/P jsou (v tomto pořadí): příznak potrubí všech řetězců lineárních podprostorů

${ displaystyle 0 podmnožina V_ {1} podmnožina V_ {2} podmnožina A_ {k} ^ {3}}$

s PROTI_i dimenze i; bod; the projektivní prostor P² řádků (1-rozměrný lineární podprostory ) v A³; a duální projektivní prostor P² letadel v A³.

Polojednodušé a redukční skupiny

Propojená lineární algebraická skupina G je voláno přes algebraicky uzavřené pole polojednoduchý pokud každá hladce spojená řešitelná normální podskupina G je triviální. Obecněji řečeno, připojená lineární algebraická skupina G je voláno algebraicky uzavřené pole redukční pokud každá hladce spojená unipotentní normální podskupina G je triviální.^[19] (Někteří autoři nevyžadují připojení redukčních skupin.) Polojediná skupina je reduktivní. Skupina G přes libovolné pole k se nazývá polojednoduchý nebo redukční, pokud ${ displaystyle G _ { overline {k}}}$ je polojednoduchý nebo redukční. Například skupina SL(n) z n × n matice s determinantem 1 nad jakýmkoli polem k je polojediný, zatímco netriviální torus je redukční, ale ne polojediný. Rovněž, GL(n) je reduktivní, ale ne poloprostý (protože jeho střed G_m je netriviální hladce spojená řešitelná normální podskupina).

Každá kompaktní propojená Lieova skupina má komplexifikace, což je komplexní reduktivní algebraická skupina. Ve skutečnosti tato konstrukce poskytuje vzájemnou korespondenci mezi kompaktně propojenými Lieovými skupinami a komplexními redukčními skupinami, až po izomorfismus.^[20]

Lineární algebraická skupina G přes pole k je nazýván jednoduchý (nebo k-jednoduchý) pokud je to polojediný, netriviální a každá hladce spojená normální podskupina G přes k je triviální nebo rovno G.^[21] (Někteří autoři tuto vlastnost nazývají „téměř jednoduchou“.) To se mírně liší od terminologie abstraktních skupin, protože jednoduchá algebraická skupina může mít netriviální střed (i když střed musí být konečný). Například pro jakékoli celé číslo n alespoň 2 a jakékoli pole k, skupina SL(n) přes k je jednoduchý a jeho středem je skupinové schéma μ_n z nth kořeny jednoty.

Každá připojená lineární algebraická skupina G přes perfektní pole k je (jedinečným způsobem) rozšířením reduktivní skupiny R hladce propojenou unipotentní skupinou U, volal unipotentní radikál z G:

${ Displaystyle 1 až U až G až R k 1.}$

Li k má charakteristickou nulu, pak jedna má přesnější Leviho rozklad: každá připojená lineární algebraická skupina G přes k je polopřímý produkt ${ displaystyle R ltimes U}$ reduktivní skupiny unipotentní skupinou.^[22]

Klasifikace redukčních skupin

Reduktivní skupiny zahrnují nejdůležitější lineární algebraické skupiny v praxi, například klasické skupiny: GL(n), SL(n), ortogonální skupiny TAK(n) a symplektické skupiny Sp(2n). Na druhou stranu je definice reduktivních skupin poměrně „negativní“ a není jasné, že lze očekávat, že o nich řekneme mnoho. Pozoruhodně, Claude Chevalley dal úplnou klasifikaci redukčních skupin přes algebraicky uzavřené pole: jsou určeny kořenová data.^[23] Zejména jednoduché skupiny přes algebraicky uzavřené pole k jsou klasifikovány (až do podílů podle konečných centrálních schémat podskupin) podle jejich Dynkinovy ​​diagramy. Je zarážející, že tato klasifikace je nezávislá na charakteristice k. Například výjimečné Lie skupiny G₂, F₄, E₆, E₇, a E₈ lze definovat v jakékoli charakteristice (a dokonce i jako skupinová schémata) Z). The klasifikace konečných jednoduchých skupin říká, že většina konečných jednoduchých skupin vzniká jako skupina k-bodů jednoduché algebraické skupiny přes konečné pole k, nebo jako drobné varianty této konstrukce.

Každá reduktivní skupina nad polem je kvocient podle konečného centrálního schématu podskupiny produktu torusu a některých jednoduchých skupin. Například,

${ displaystyle GL (n) cong (G_ {m} krát SL (n)) / mu _ {n}.}$

Pro libovolné pole k, reduktivní skupina G je nazýván rozdělit pokud obsahuje rozdělený maximální torus nad k (tj. dělený torus v G který zůstává maximální přes algebraické uzavření k). Například, GL(n) je rozdělená reduktivní skupina pro jakékoli pole k. Chevalley ukázal, že klasifikace rozdělit redukční skupiny jsou stejné v jakémkoli oboru. Naproti tomu klasifikace libovolných redukčních skupin může být tvrdá, v závislosti na základním poli. Například každý nedgenerovaný kvadratická forma q přes pole k určuje reduktivní skupinu TAK(q) a všechny centrální jednoduchá algebra A přes k určuje reduktivní skupinu SL₁(A). Výsledkem je problém klasifikace redukčních skupin k v podstatě zahrnuje problém klasifikace všech kvadratických forem k nebo všechny centrální jednoduché algebry k. Tyto problémy jsou snadné k algebraicky uzavřené a jsou chápány pro některá další pole, jako např počet polí, ale pro libovolná pole existuje mnoho otevřených otázek.

Aplikace

Teorie reprezentace

Jedním z důvodů důležitosti redukčních skupin je teorie reprezentace. Každá neredukovatelná reprezentace unipotentní skupiny je triviální. Obecněji pro každou lineární algebraickou skupinu G psáno jako přípona

${ Displaystyle 1 až U až G až R až 1}$

s U unipotentní a R reduktivní, každé neredukovatelné zastoupení G faktory R.^[24] Tato pozornost se zaměřuje na teorii reprezentace reduktivních skupin. (Aby bylo jasno, zde uvažované reprezentace jsou reprezentacemi G jako algebraická skupina. Tedy pro skupinu G přes pole k, reprezentace jsou zapnutá k-vektorové mezery a akce G je dána běžnými funkcemi. Zařadit je důležitý, ale odlišný problém průběžné reprezentace skupiny G(R) pro skutečnou redukční skupinu G, nebo podobné problémy s jinými poli.)

Chevalley ukázal, že neredukovatelné reprezentace rozdělené redukční skupiny nad polem k jsou konečně-dimenzionální a jsou indexovány pomocí dominantní váhy.^[25] To je stejné jako to, co se děje v teorii reprezentace kompaktních propojených Lieových skupin nebo v teorii konečných rozměrů reprezentace komplexu napůl jednoduché Lie algebry. Pro k charakteristické nuly jsou všechny tyto teorie v podstatě ekvivalentní. Zejména každé zastoupení redukční skupiny G nad polem charakteristické nuly je přímý součet neredukovatelných reprezentací, a pokud G je rozdělena, postavy neredukovatelných reprezentací jsou dány Weylův vzorec znaků. The Borel – Weilova věta dává geometrickou konstrukci neredukovatelných reprezentací reduktivní skupiny G v charakteristické nule, jako prostory sekcí svazky řádků přes rozdělovač vlajky G/B.

Teorie reprezentace redukčních skupin (jiných než tori) nad polem pozitivní charakteristiky str je méně dobře pochopeno. V této situaci nemusí být reprezentace přímým součtem neredukovatelných reprezentací. A ačkoli jsou neredukovatelné reprezentace indexovány podle dominantní váhy, rozměry a znaky neredukovatelných reprezentací jsou známy pouze v některých případech. Andersen, Jantzen a Soergel (1994 ) určil tyto znaky (prokazující Lusztig domněnka), když charakteristika str je dostatečně velká ve srovnání s Číslo coxeteru skupiny. Pro malé prvočísla str, neexistuje ani přesná domněnka.

Skupinové akce a geometrická invariantní teorie

An akce lineární algebraické skupiny G na odrůdě (nebo schématu) X přes pole k je morfismus

${ displaystyle G times _ {k} X až X}$

který splňuje axiomy a skupinová akce. Stejně jako v jiných typech teorie skupin je důležité studovat skupinové akce, protože skupiny vznikají přirozeně jako symetrie geometrických objektů.

Část teorie skupinových akcí je geometrická invariantní teorie, jehož cílem je vytvořit kvocient kvocientu X/G, popisující soubor oběžné dráhy lineární algebraické skupiny G na X jako algebraická odrůda. Objevují se různé komplikace. Například pokud X je afinní odrůda, pak se můžeme pokusit sestrojit X/G tak jako Spec z kruh invarianty Ó(X)^G. Nicméně, Masayoshi Nagata ukázal, že prsten invariantů nemusí být definitivně generován jako a k-algebra (a tak Spec of the ring is a scheme but not a variety), a negative answer to Hilbertův 14. problém. V kladném směru je prstenec invariants definitivně generován, pokud G je redukční, o Haboushova věta, prokázáno v charakteristické nule o Hilbert a Nagata.

Teorie geometrického invariantu zahrnuje další jemnosti, když jde o reduktivní skupinu G působí na projektivní rozmanitost X. Teorie zejména definuje otevřené podmnožiny „stabilních“ a „semistabilních“ bodů v X, s kvocientem morfismu definovaným pouze na množině semistabilních bodů.

Související pojmy

Lineární algebraické skupiny připouštějí varianty v několika směrech. Zrušení existence inverzní mapy ${ displaystyle i colon G to G}$, získá se pojem lineární algebraiky monoidní.^[26]

Lež skupiny

Pro lineární algebraickou skupinu G přes reálná čísla R, skupina reálných bodů G(R) je Lež skupina, v podstatě proto, že skutečné polynomy, které popisují násobení na G, jsou plynulé funkce. Stejně tak pro lineární algebraickou skupinu G přes C, G(C) je komplexní Lieova skupina. Hodně z teorie algebraických skupin bylo vyvinuto analogicky s Lieovými skupinami.

Existuje několik důvodů, proč Lieova skupina nemusí mít strukturu lineární algebraické skupiny R.

• Lieova skupina s nekonečnou skupinou složek G / G^Ó nelze realizovat jako lineární algebraickou skupinu.
• Algebraická skupina G přes R mohou být spojeny jako algebraická skupina, zatímco Lieova skupina G(R) není připojen, a podobně pro jednoduše připojeno skupiny. Například algebraická skupina SL(2) je jednoduše připojen přes jakékoli pole, zatímco Lieova skupina SL(2,R) má základní skupina isomorphic to the integers Z. Dvojitý kryt H z SL(2,R), známý jako metaplektická skupina, je Lieova skupina, kterou nelze považovat za lineární algebraickou skupinu R. Silněji, H nemá věrnou konečnou dimenzionální reprezentaci.
• Anatoly Maltsev ukázal, že každou jednoduše spojenou nilpotentní Lie skupinu lze považovat za unipotentní algebraickou skupinu G přes R jedinečným způsobem.^[27] (Jako odrůda, G je izomorfní s afinní prostor nějakého rozměru R.) Naproti tomu existují jednoduše spojené řešitelné Lieovy skupiny, které nelze považovat za skutečné algebraické skupiny. Například univerzální kryt H polopřímého produktu S¹ ⋉ R² má střed isomorfní k Z, což není lineární algebraická skupina atd H nelze nahlížet jako na lineární algebraickou skupinu R.

Abelianské odrůdy

Algebraické skupiny které nejsou afinní, se chovají velmi odlišně. Zejména plynulé propojené skupinové schéma, které je projektivní odrůdou přes pole, se nazývá an abelianská odrůda. Na rozdíl od lineárních algebraických skupin je každá abelianská odrůda komutativní. Abelianské odrůdy mají nicméně bohatou teorii. Dokonce i případ eliptické křivky (abelianské odrůdy dimenze 1) je pro teorie čísel, s aplikacemi včetně dokladu o Fermatova poslední věta.

Tannakian kategorie

Konečně-dimenzionální reprezentace algebraické skupiny Gspolečně s tenzorový produkt reprezentací, tvoří a tannakianská kategorie Rep_G. Ve skutečnosti jsou tannakovské kategorie s „vláknovým funktorem“ nad polem rovnocenné schématům afinních skupin. (Každé schéma afinní skupiny nad polem k je proalgebraický v tom smyslu, že se jedná o inverzní limit schémat afinních skupin konečného typu k.^[28]) Například Skupina Mumford – Tate a motivovaná skupina Galois jsou konstruovány pomocí tohoto formalismu. Určité vlastnosti (pro) algebraické skupiny G lze číst z jeho kategorie reprezentací. Například přes pole charakteristické nuly, Rep_G je polojednoduchá kategorie právě tehdy, pokud je složka identity G je pro-reduktivní.^[29]

Viz také

• The skupiny typu Lie jsou konečné jednoduché skupiny vytvořené z jednoduchých algebraických skupin přes konečná pole.
• Langova věta
• Zobecněná odrůda vlajky, Bruhatův rozklad, BN pár, Weylova skupina, Cartan podskupina, skupina adjungovaného typu, parabolická indukce
• Skutečná forma (teorie lži), Satakeův diagram
• Adelická algebraická skupina, Weilova domněnka o Tamagawových číslech
• Langlandsova klasifikace, Langlandsův program, geometrický Langlandsův program
• Torsor, nonabelianská kohomologie, speciální skupina, cohomological invariant, zásadní rozměr, Kneser-Tits dohad, Serreova domněnka II
• Pseudo-reduktivní skupina
• Diferenciální teorie Galois
• Distribuce na lineární algebraické skupině

Poznámky

Reference

• Andersen, H. H.; Jantzen, J. C.; Soergel, W. (1994), Reprezentace kvantových skupin na a strCharakteristický kořen jednoty a polojednodušých skupin str: Nezávislost str, Astérisque, 220, Société Mathématique de France, ISSN  0303-1179, PAN  1272539
• Borel, Armand (1991) [1969], Lineární algebraické skupiny (2. vyd.), New York: Springer-Verlag, ISBN  0-387-97370-2, PAN  1102012
• Bröcker, Theodor; Tom Dieck, Tammo (1985), Reprezentace skupin kompaktních lží, Springer Nature, ISBN  0-387-13678-9, PAN  0781344
• Conrad, Brian (2014), „Redukční skupinová schémata“ (PDF), Autour des schémas en groupes, 1, Paříž: Société Mathématique de France, str. 93–444, ISBN  978-2-85629-794-0, PAN  3309122
• Deligne, Pierre; Milne, J. S. (1982), „Tannakovské kategorie“, Hodgeovy cykly, motivy a odrůdy ShimuraPřednášky z matematiky, 900, Springer Nature, str. 101–228, ISBN  3-540-11174-3, PAN  0654325
• De Medts, Tom (2019), Lineární algebraické skupiny (poznámky k kurzu) (PDF), Ghent University
• Humphreys, James E. (1975), Lineární algebraické skupinySpringer, ISBN  0-387-90108-6, PAN  0396773
• Kolchin, E. R. (1948), „Algebraické maticové skupiny a Picard – Vessiotova teorie homogenních lineárních obyčejných diferenciálních rovnic“, Annals of Mathematics, Druhá série, 49 (1): 1–42, doi:10.2307/1969111, ISSN  0003-486X, JSTOR  1969111, PAN  0024884
• Milne, J. S. (2017), Algebraické skupiny: Teorie skupinových schémat konečného typu nad polem, Cambridge University Press, ISBN  978-1107167483, PAN  3729270
• Springer, Tonny A. (1998) [1981], Lineární algebraické skupiny (2. vyd.), New York: Birkhäuser, ISBN  0-8176-4021-5, PAN  1642713

externí odkazy

• "Lineární algebraická skupina", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]