Skupinový homomorfismus - Group homomorphism

Obrázek skupinového homomorfismu (h) z G (vlevo) do H (že jo). Menší ovál uvnitř H je obraz h. N je jádro h a aN je coset z N.

Algebraická struktura → Skupinová teorie Skupinová teorie
Základní pojmy Podskupina Normální podskupina Kvocientová skupina (Částečně)přímý produkt Skupinové homomorfismy jádro obraz přímý součet věnec produkt jednoduchý konečný nekonečný kontinuální multiplikativní přísada cyklický abelian vzepětí nilpotentní řešitelný Glosář teorie skupin Seznam témat teorie skupin
Konečné skupiny Klasifikace konečných jednoduchých skupin cyklický střídavý Typ lži sporadický Cauchyova věta Lagrangeova věta Sylowovy věty Hallova věta p-skupina Základní abelianská skupina Skupina Frobenius Multiplikátor Schur Symetrická skupina Sn Kleinova čtyřčlenná skupina PROTI Vzepětí skupina Dn Čtveřice skupina Q Dicyklická skupina Dicn
Diskrétní skupiny Mříže Celá čísla (Z) Zdarma skupina Modulární skupiny PSL (2,Z) SL (2,Z) Aritmetická skupina Mříž Hyperbolická skupina
Topologické a Lež skupiny Solenoid Kruh Obecné lineární GL (n) Speciální lineární SL (n) Ortogonální Ó(n) Euklidovský E(n) Speciální ortogonální TAK(n) Unitary U (n) Speciální unitární SU (n) Symplektický Sp (n) G2 F4 E6 E7 E8 Lorentz Poincaré Konformní Difomorfismus Smyčka Nekonečná dimenzionální Lieova skupina O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Algebraické skupiny Lineární algebraická skupina Redukční skupina Abelianská odrůda Eliptická křivka

v matematika, vzhledem k tomu dva skupiny, (G, ∗) a (H, ·), A skupinový homomorfismus z (G, ∗) do (H, ·) je funkce h : G → H takové, že pro všechny u a proti v G to platí

${displaystyle h (u * v) = h (u) cdot h (v)}$

kde skupina operace na levé straně rovnice je to G a na pravé straně to H.

Z této vlastnosti lze odvodit, že h mapuje prvek identity E_G z G k prvku identity E_H z H,

${displaystyle h (e_ {G}) = e_ {H}}$

a také mapuje inverze na inverze v tom smyslu, že

${displaystyle hleft (u ^ {- 1} ight) = h (u) ^ {- 1}.,}$

Proto se to dá říct h "je kompatibilní se strukturou skupiny".

Starší notace pro homomorfismus h(X) možná X^h nebo X_h, i když to může být zaměňováno jako index nebo obecný dolní index. Novějším trendem je psát skupinové homomorfismy napravo od jejich argumentů a vynechat závorky h(X) se stává jednoduše x h. Tento přístup převládá zejména v oblastech teorie skupin, kde automaty hrát roli, protože je lépe v souladu s konvencí, že automaty čtou slova zleva doprava.

V oblastech matematiky, kde se uvažuje o skupinách vybavených další strukturou, a homomorfismus někdy znamená mapu, která respektuje nejen strukturu skupiny (jak je uvedeno výše), ale také zvláštní strukturu. Například homomorfismus z topologické skupiny je často vyžadováno, aby byl nepřetržitý.

Intuice

Účelem definování skupinového homomorfismu je vytvořit funkce, které zachovají algebraickou strukturu. Ekvivalentní definice skupinového homomorfismu je: Funkce h : G → H je skupinový homomorfismus, kdykoli

A ∗ b = C my máme h(A) ⋅ h(b) = h(C).

Jinými slovy skupina H v jistém smyslu má podobnou algebraickou strukturu jako G a homomorfismus h zachovává to.

Typy

Monomorfismus

Skupinový homomorfismus, který je injekční (nebo jedna ku jedné); tj. zachovává odlišnost.

Epimorfismus

Skupinový homomorfismus, který je surjektivní (nebo na); tj. dosáhne každého bodu v doméně.

Izomorfismus

Skupinový homomorfismus, který je bijektivní; tj. injektivní a surjektivní. Jeho inverzní je také skupinový homomorfismus. V tomto případě skupiny G a H jsou nazývány izomorfní; liší se pouze v zápisu svých prvků a jsou shodné pro všechny praktické účely.

Endomorfismus

Homomorfismus, h: G → G; doména a doména jsou stejné. Také se nazývá endomorfismus z G.

Automorfismus

Endomorfismus, který je bijektivní, a tudíž izomorfismus. Sada všech automorfismy skupiny G, s funkčním složením jako operací, tvoří skupinu, automorfická skupina z G. Označuje to Aut (G). Jako příklad lze uvést skupinu automorfismu (Z, +) obsahuje pouze dva prvky, transformaci identity a násobení s −1; je izomorfní Z/2Z.

Obrázek a jádro

Definujeme jádro z h být souborem prvků v G které jsou mapovány na identitu v H

${displaystyle operatorname {ker} (h) equiv left {uin Gcolon h (u) = e_ {H} ight}.}$

a obraz z h být

${displaystyle operatorname {im} (h) equiv h (G) equiv left {h (u) colon uin Gight}.}$

Jádro a obraz homomorfismu lze interpretovat jako měření toho, jak blízko je k bytí izomorfismu. The první věta o izomorfismu uvádí, že obraz skupinového homomorfismu, h(G) je izomorfní se skupinou kvocientů G/ ker h.

Jádro h je a normální podskupina z G a obraz h je a podskupina z H:

${displaystyle {egin {zarovnáno} hleft (g ^ {- 1} cir ucirc gight) & = h (g) ^ {- 1} cdot h (u) cdot h (g) & = h (g) ^ {- 1} cdot e_ {H} cdot h (g) & = h (g) ^ {- 1} cdot h (g) = e_ {H}. End {zarovnáno}}}$

Kdyby jen ker (h) = {E_G}, homomorfismus, h, je skupinový monomorfismus; tj., h je injekční (one-to-one). Injekce přímo udává, že v jádře je jedinečný prvek, a jedinečný prvek v jádře dává injekci:

${displaystyle {egin {aligned} && h (g_ {1}) & = h (g_ {2}) Leftrightarrow && h (g_ {1}) cdot h (g_ {2}) ^ {- 1} & = e_ {H } Leftrightarrow && hleft (g_ {1} circ g_ {2} ^ {- 1} ight) & = e_ {H}, operatorname {ker} (h) = {e_ {G}} Rightarrow && g_ {1} cirk g_ {2} ^ {- 1} & = e_ {G} Leftrightarrow && g_ {1} & = g_ {2} konec {zarovnáno}}}$

Příklady

• Zvažte cyklická skupina Z/3Z = {0, 1, 2} a skupina celých čísel Z s přídavkem. Mapa h : Z → Z/3Z s h(u) = u mod 3 je skupinový homomorfismus. to je surjektivní a jeho jádro se skládá ze všech celých čísel, která jsou dělitelná 3.

• The exponenciální mapa poskytuje skupinový homomorfismus ze skupiny reálná čísla R s přidáním do skupiny nenulových reálných čísel R* s násobením. Jádro je {0} a obrázek se skládá z kladných reálných čísel.
• Exponenciální mapa také poskytuje skupinový homomorfismus ze skupiny komplexní čísla C s přidáním do skupiny nenulových komplexních čísel C* s násobením. Tato mapa je surjektivní a má jádro {2πki : k ∈ Z}, jak je vidět z Eulerův vzorec. Pole jako R a C které mají homomorfismy ze své aditivní skupiny do své multiplikativní skupiny, se tedy nazývají exponenciální pole.

Kategorie skupin

Li h : G → H a k : H → K. jsou skupinové homomorfismy, tak to také je k ∘ h : G → K.. To ukazuje, že třída všech skupin spolu se skupinovými homomorfismy jako morfismy tvoří a kategorie.

Homomorfismy abelianských skupin

Li G a H jsou abelian (tj. komutativní) skupiny, pak množina Hom (G, H) všech skupinových homomorfismů z G na H je sama o sobě abelianská skupina: součet h + k dvou homomorfismů je definována vztahem

(h + k)(u) = h(u) + k(u) pro všechny u v G.

Komutativita H je potřeba k prokázání toho h + k je opět skupinovým homomorfismem.

Přidání homomorfismů je kompatibilní se složením homomorfismů v následujícím smyslu: if F je v Hom (K., G), h, k jsou prvky Hom (G, H), a G je v Hom (H, L), pak

(h + k) ∘ F = (h ∘ F) + (k ∘ F) a G ∘ (h + k) = (G ∘ h) + (G ∘ k).

Protože složení je asociativní, to ukazuje, že množina End (G) všech endomorfismů abelianské skupiny tvoří a prsten, endomorfismus prsten z G. Například endomorfistický kruh abelianské skupiny skládající se z přímý součet z m kopie Z/nZ je izomorfní vůči kruhu m-podle-m matice se záznamy v Z/nZ. Výše uvedená kompatibilita také ukazuje, že kategorie všech abelianských skupin se skupinovými homomorfismy tvoří a preadditive kategorie; existence přímých součtů a dobře chovaných jader dělá z této kategorie prototypický příklad abelianská kategorie.

Viz také

Reference

• Dummit, D. S .; Foote, R. (2004). Abstraktní algebra (3. vyd.). Wiley. 71–72. ISBN  978-0-471-43334-7.
• Lang, Serge (2002), Algebra, Postgraduální texty z matematiky, 211 (Přepracované třetí vydání), New York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-95385-4, PAN  1878556, Zbl  0984.00001

externí odkazy

• „Skupinový homomorfismus“. PlanetMath.
• Rowland, Todd & Weisstein, Eric W. „Skupinový homomorfismus“. MathWorld.