Janko skupina J4 - Janko group J4

V oblasti moderní algebry známé jako teorie skupin, Janko skupina J₄ je sporadická jednoduchá skupina z objednat

2²¹ · 3³ · 5 · 7 · 11³ · 23 · 29 · 31 · 37 · 43

= 86775571046077562880

≈ 9×10¹⁹.

Dějiny

J₄ je jedním z 26 Sporadické skupiny. Zvonimir Janko nalezeno J₄ v roce 1975 studiem skupin s centralizací involuce formy 2^{1 + 12}.3. (M.₂₂: 2). Jeho existenci a jedinečnost ukázal počítačový výpočet pomocí Simon P. Norton a další v roce 1980. Má modulární reprezentace dimenze 112 přes konečné pole se 2 prvky a je stabilizátorem určitého 4995 rozměrného podprostoru vnějšího čtverce, což je skutečnost, kterou Norton použil k jeho konstrukci, a který je nejjednodušší způsob, jak s ním počítat. Aschbacher & Segev (1991) a Ivanov (1992) poskytl bez počítače důkaz jedinečnosti. Ivanov a Meierfrankenfeld (1999) a Ivanov (2004) poskytl důkaz o existenci bez počítače tím, že jej postavil jako amalgámy skupin 2¹⁰: SL₅(2) a (2¹⁰:2⁴:A₈): 2 nad skupinou 2¹⁰:2⁴:A₈.

The Multiplikátor Schur a vnější skupina automorfismu jsou oba triviální.

Protože 37 a 43 nejsou nadpřirozený prvočísla, J₄ nemůže být dílčí podíl z skupina příšer. Jedná se tedy o jednu ze 6 sporadických skupin zvaných vyvrhele.

Zastoupení

Nejmenší věrná komplexní reprezentace má rozměr 1333; existují dvě komplexní konjugovaná reprezentace této dimenze. Nejmenší věrné znázornění nad jakýmkoli polem je 112rozměrné znázornění nad polem 2 prvků.

Nejmenší zastoupení permutace je na 173067389 bodech, se stabilizátorem bodu formy 2¹¹M₂₄. Tyto body lze identifikovat pomocí určitých „speciálních vektorů“ v dimenzionální reprezentaci 112.

Prezentace

Má prezentaci ve smyslu tří generátorů a, b a c as

{displaystyle {egin {aligned} a ^ {2} & = b ^ {3} = c ^ {2} = (ab) ^ {23} = [a, b] ^ {12} = [a, bab] ^ {5} = [c, a] = vlevo ((ab) ^ {2} ab ^ {- 1} ight) ^ {3} vlevo (ab (ab ^ {- 1}) ^ {2} ight) ^ { 3} = vlevo (moci (abab ^ {- 1} ight) ^ {3} ight) ^ {4} & = vlevo [c, (ba) ^ {2} b ^ {- 1} ab ^ {- 1 } (ab) ^ {3} ight] = vlevo (bc ^ {(bab ^ {- 1} a) ^ {2}} ight) ^ {3} = vlevo ((bababab) ^ {3} cc ^ {( ab) ^ {3} b (ab) ^ {6} b} ight) ^ {2} = 1. konec {zarovnáno}}}

Maximální podskupiny

Kleidman & Wilson (1988) našel 13 tříd konjugace maximálních podskupin z J₄ jak následuje:

2¹¹: M₂₄ - obsahující 2 podskupiny Sylow a 3 podskupiny Sylow; také obsahuje 2¹¹: (M₂₂: 2), centralizátor involuce třídy 2B
2¹⁺¹².3. (M.₂₂: 2) - centralizátor involuce třídy 2A - obsahující 2 podskupiny Sylow a 3 podskupiny Sylow
2¹⁰: PSL (5,2)
2³⁺¹²(S₅ × PSL (3,2)) - obsahující 2 podskupiny Sylow
U₃(11):2
M₂₂:2
11¹⁺²: (5 × GL (2,3)) - normalizátor podskupiny Sylow 11
PSL (2,32): 5
PGL (2,23)
U₃(3) - obsahující 3 podskupiny Sylow
29:28 Skupina Frobenius
43:14 Skupina Frobenius
37:12 Skupina Frobenius

Podskupina Sylow 3 je Skupina Heisenberg: řád 27, neabelský, všechny netriviální prvky řádu 3.

Reference

Aschbacher, Michael; Segev, Yoav (1991), „Jedinečnost skupin typu J₄“, Inventiones Mathematicae, 105 (3): 589–607, doi:10.1007 / BF01232280, ISSN 0020-9910, PAN 1117152
D.J. Benson Jednoduchá skupina J₄, Disertační práce, Cambridge 1981, https://web.archive.org/web/20110610013308/http://www.maths.abdn.ac.uk/~bensondj/papers/b/benson/the-simple-group-J4.pdf
Ivanov, A. A. (1992), „Prezentace pro J₄“, Proceedings of the London Mathematical SocietyTřetí série, 64 (2): 369–396, doi:10.1112 / plms / s3-64.2.369, ISSN 0024-6115, PAN 1143229
Ivanov, A. A .; Meierfrankenfeld, Ulrich (1999), „Počítačová konstrukce J₄“, Journal of Algebra, 219 (1): 113–172, doi:10.1006 / jabr.1999.7851, ISSN 0021-8693, PAN 1707666
Ivanov, A. A. Čtvrtá skupina Janko. Oxfordské matematické monografie. Clarendon Press, Oxford University Press, Oxford, 2004. xvi + 233 pp. ISBN 0-19-852759-4 PAN2124803
Z. Janko, Nová konečná jednoduchá skupina řádu 86 775 570 046 077 562 880, která vlastní M₂₄ a celá krycí skupina M.₂₂ jako podskupinyJ. Algebra 42 (1976) 564-596. doi:10.1016/0021-8693(76)90115-0 (Název tohoto příspěvku je nesprávný, protože celá krycí skupina M.₂₂ později bylo zjištěno, že je větší: střed řádu 12, ne 6.)
Kleidman, Peter B .; Wilson, Robert A. (1988), „Maximální podskupiny J.₄", Proceedings of the London Mathematical SocietyTřetí série, 56 (3): 484–510, doi:10,1112 / plms / s3-56,3,484, ISSN 0024-6115, PAN 0931511
S. P. Norton Konstrukce J.₄ v Konference v Santa Cruz o konečných skupinách (Ed. Cooperstein, Mason) Amer. Matematika. Soc 1980.