Ferdinand Georg Frobenius - Ferdinand Georg Frobenius

Ferdinand Georg Frobenius
Ferdinand Georg Frobenius
narozený	(1849-10-26)26. října 1849 Charlottenburg, Berlín
Zemřel	3. srpna 1917(1917-08-03) (ve věku 67) Berlín
Národnost	Němec
Alma mater	Univerzita v Göttingenu Univerzita v Berlíně
Známý jako	Diferenciální rovnice Skupinová teorie Cayley-Hamiltonova věta Frobeniova metoda Frobeniova matice
Vědecká kariéra
Pole	Matematika
Instituce	Univerzita v Berlíně ETH Curych
Doktorský poradce	Karl Weierstrass Ernst Kummer
Doktorandi	Richard Fuchs Edmund Landau Issai Schur Konrad Knopp Walter Schnee

Ferdinand Georg Frobenius (26. října 1849 - 3. srpna 1917) byl a Němec matematik, nejlépe známý svými příspěvky k teorii eliptické funkce, diferenciální rovnice, teorie čísel a do teorie skupin. Je známý svými slavnými determinantními identitami, známými jako Frobeniova-Stickelbergerova formule, která řídí eliptické funkce, a rozvojem teorie dvoukvadratických forem. Byl také prvním, kdo představil pojem racionální aproximace funkcí (dnes známý jako Apostati Padé ) a poskytl první úplný důkaz pro Cayley-Hamiltonova věta. Také propůjčil své jméno určitým diferenciálně-geometrickým objektům v moderní matematické fyzice, známým jako Frobeniova potrubí.

Životopis

Ferdinand Georg Frobenius se narodil 26. října 1849 v Charlottenburg, předměstí Berlín^[1] od rodičů Christian Ferdinand Frobenius, a protestant farář a Christine Elizabeth Friedrich. Na gymnázium Joachimsthal vstoupil v roce 1860, když mu bylo téměř jedenáct.^[2] V roce 1867, po absolutoriu, odešel do Univerzita v Göttingenu kde zahájil univerzitní studium, ale studoval tam pouze jeden semestr, než se vrátil do Berlína, kde navštěvoval přednášky Kronecker, Kummer a Karl Weierstrass. Získal doktorát (s vyznamenáním) v roce 1870 pod dohledem Weierstrass. Jeho práce byla na řešení diferenciálních rovnic. V roce 1874, poté, co učil na střední škole nejprve na gymnáziu Joachimsthal, poté na Sophienrealschule, byl jmenován na univerzitu v Berlíně jako mimořádný profesor matematiky.^[2] Frobenius byl v Berlíně jen rok předtím, než šel Curych přijmout místo řádného profesora na VŠE Eidgenössische Polytechnikum. Sedmnáct let, mezi lety 1875 a 1892, pracoval Frobenius v Curychu. Právě tam se oženil, vychoval svou rodinu a vykonával mnoho důležitých prací v nejrůznějších oblastech matematiky. V posledních prosincových dnech roku 1891 Kronecker zemřel, a proto se uvolnilo jeho křeslo v Berlíně. Weierstrass, silně věřící, že Frobenius byl tím správným člověkem, který udržuje Berlín v popředí matematiky, využil svého značného vlivu k tomu, aby byl jmenován Frobeniem. V roce 1893 se vrátil do Berlína, kde byl zvolen do Pruská akademie věd.

Příspěvky k teorii skupin

Skupinová teorie byl jedním z Frobeniových hlavních zájmů ve druhé polovině jeho kariéry. Jedním z jeho prvních příspěvků byl důkaz Sylowovy věty pro abstraktní skupiny. Dřívější důkazy byly pro permutační skupiny. Jeho důkaz první věty Sylow (o existenci skupin Sylow) je jedním z často používaných dnes.

• Frobenius také prokázal následující základní větu: If a positive integer n rozdělí objednávku |G| a konečná skupina G, pak počet řešení rovnice Xⁿ = 1 palec G je rovný kn pro nějaké kladné celé číslok. Také nastolil následující problém: Pokud ve výše uvedené větě k = 1, pak řešení rovnice Xⁿ = 1 palec G tvoří podskupinu. Před mnoha lety byl tento problém vyřešen řešitelné skupiny.^[3] Teprve v roce 1991, po klasifikace konečných jednoduchých skupin, tento problém byl vyřešen obecně.

Mnohem důležitější bylo jeho vytvoření teorie skupinové znaky a skupinové reprezentace, což jsou základní nástroje pro studium struktury skupin. Tato práce vedla k představě Frobeniova vzájemnost a definice toho, co se nyní nazývá Skupiny Frobenius. Skupina G je považována za skupinu Frobenius, pokud existuje podskupina H < G takhle

${ displaystyle H cap H ^ {x} = {1 }}$ pro všechny ${ displaystyle x v G-H}$.

V takovém případě sada

${ displaystyle N = G , - ! ! bigcup _ {x v G-H} ! ! H ^ {x}}$

společně s prvkem identity G tvoří podskupinu, která je nilpotentní tak jako John G. Thompson ukázal v roce 1959.^[4] Všechny známé důkazy této věty využívají znaky. Ve svém prvním příspěvku o postavách (1896) zkonstruoval Frobenius tabulku znaků skupiny ${ displaystyle PSL (2, p)}$ objednávky (1/2) (p³ - p) pro všechna lichá prvočíslap (tato skupina je jednoducháp > 3). Rovněž zásadním způsobem přispěl k teorie reprezentace symetrických a střídavých skupin.

Příspěvky k teorii čísel

Frobenius představil kanonický způsob přeměny prvočísel na třídy konjugace v Galoisovy skupiny přes Q. Konkrétně pokud K./Q je konečné rozšíření Galois poté na každé (kladné) prvočíslo p což ne rozvětvovat se v K. a každému hlavnímu ideálu P ležet p v K. existuje jedinečný prvek G Gal (K./Q) splňující podmínku G(X) = X^p (modP) pro všechna celá čísla X z K.. Různé P přes p Změny G do konjugátu (a každého konjugátu z G se vyskytuje tímto způsobem), takže třída konjugace G ve skupině Galois je kanonicky spojen s p. Tomu se říká Frobeniova třída konjugace p a jakýkoli prvek třídy konjugace se nazývá Frobeniův prvek p. Pokud vezmeme za K. the mth cyklotomické pole, jehož skupina Galois skončila Q jsou jednotky modulo m (a tedy je abelian, takže třídy konjugace se stávají prvky), pak pro p nedělí se m třída Frobenius ve skupině Galois je p modm. Z tohoto pohledu je distribuce tříd konjugace Frobenius ve skupinách Galois přes Q (nebo obecněji Galoisovy skupiny nad libovolným číselným polem) zobecňuje Dirichletův klasický výsledek o prvočíslech v aritmetických postupech. Studium Galoisových skupin rozšíření nekonečného stupně Q závisí rozhodujícím způsobem na této konstrukci prvků Frobenius, která poskytuje v jistém smyslu hustou podmnožinu prvků, které jsou přístupné podrobnému studiu.

Viz také

• Seznam věcí pojmenovaných po Ferdinandovi Georgovi Frobeniovi

Publikace

• Frobenius, Ferdinand Georg (1968), Serre, J.-P. (vyd.), Gesammelte Abhandlungen. Bände I, II, III, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-04120-7, PAN  0235974
• De functionum analyticarum unius variabilis per series infinitas repraesentatione (v latině), disertační práce, 1870
• Über die Entwicklung analytischer Functionen in Reihen, die nach gegebenen Functionen fortschreiten (v němčině), Journal für die reine und angewandte Mathematik 73, 1–30 (1871)
• Über die algebraische Auflösbarkeit der Gleichungen, deren Princip koeficientu Funkce einer Variablen sind (v němčině), Journal für die reine und angewandte Mathematik 74, 254–272 (1872)
• Über den Begriff der Irreductibilität in der Theorie der linearen Differentialgleichungen (v němčině), Journal für die reine und angewandte Mathematik 76, 236–270 (1873)
• Über die Integration der linearen Differentialgleichungen durch Reihen (v němčině), Journal für die reine und angewandte Mathematik 76, 214–235 (1873)
• Über die Determinante mehrerer Functionen einer Variablen (v němčině), Journal für die reine und angewandte Mathematik 77, 245–257 (1874)
• Über die Vertauschung von Argument und Parameter in den Integralen der linearen Differentialgleichungen (v němčině), Journal für die reine und angewandte Mathematik 78, 93–96 (1874)
• Anwendungen der Determinantenthehehe auf die Geometrie des Maaßes (v němčině), Journal für die reine und angewandte Mathematik 79, 185–247 (1875)
• Über algebraisch integrirbare lineare Differentialgleichungen (v němčině), Journal für die reine und angewandte Mathematik 80, 183–193 (1875)
• Über das Pfaffsche Problém (v němčině), Journal für die reine und angewandte Mathematik 82, 230–315 (1875)
• Über die regulären Integrale der linearen Differentialgleichungen (v němčině), Journal für die reine und angewandte Mathematik 80, 317–333 (1875)
• Poznámka sur la théorie des formes quadratiques à un nombre quelconque de variables (francouzsky), Comptes rendus de l'Académie des sciences Paris 85, 131–133 (1877)
• Zur Theorie der elliptischen Functionen (v němčině), Journal für die reine und angewandte Mathematik 83, 175–179 (1877)
• Über adjungirte lineare Differentialausdrücke (v němčině), Journal für die reine und angewandte Mathematik 85, 185–213 (1878)
• Über lineare Substitutionen und bilineare Formen (v němčině), Journal für die reine und angewandte Mathematik 84, 1–63 (1878)
• Über homogene totale Differentialgleichungen (v němčině), Journal für die reine und angewandte Mathematik 86, 1–19 (1879)
• Ueber Matrizen aus nicht negativen Elementen (v němčině), Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften 26, 456—477 (1912)

Reference

• Curtis, Charles W. (2003), Průkopníci teorie reprezentace: Frobenius, Burnside, Schur a Brauer, History of Mathematics, Providence, R.I .: Americká matematická společnost, ISBN  978-0-8218-2677-5, PAN  1715145 Posouzení

externí odkazy

• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., „Ferdinand Georg Frobenius“, MacTutor Historie archivu matematiky, University of St Andrews.
• G. Frobenius, „Teorie hyperkomplexních veličin“ (Anglický překlad)