Logická rovnocennost - Logical equivalence
v logika a matematika, prohlášení a se říká, že jsou logicky ekvivalentní pokud jsou navzájem prokazatelné pod množinou axiomů,[1] nebo mít stejné pravdivostní hodnota v každé Modelka.[2] Logická rovnocennost a je někdy vyjádřen jako , ,[3] nebo , v závislosti na použité notaci. Tyto symboly se však také používají pro materiální rovnocennost, takže správný výklad by závisel na kontextu. Logická ekvivalence se liší od materiální ekvivalence, ačkoli tyto dva pojmy jsou vnitřně příbuzné.
Logické ekvivalence
V logice existuje mnoho běžných logických ekvivalentů a jsou často uvedeny jako zákony nebo vlastnosti. Následující tabulky ilustrují některé z nich.
Obecné logické ekvivalence[3]
Rovnocennost | název |
---|---|
Zákony o totožnosti | |
Zákony o nadvládě | |
Idempotentní nebo tautologické zákony | |
Dvojitá negace zákon | |
Komutativní zákony | |
Asociační zákony | |
Distribuční zákony | |
De Morganovy zákony | |
Absorpční zákony | |
Negativní zákony |
Logické ekvivalence zahrnující podmíněné příkazy
Logické ekvivalence zahrnující dvojpodmínky
Příklady
Logicky
Následující příkazy jsou logicky ekvivalentní:
- Pokud je Lisa uvnitř Dánsko, pak je uvnitř Evropa (prohlášení o formuláři ).
- Pokud Lisa není v Evropě, pak není v Dánsku (prohlášení o formuláři ).
Syntakticky jsou (1) a (2) navzájem odvozitelné podle pravidel kontrapozice a dvojitá negace. Sémanticky platí (1) a (2) v přesně stejných modelech (interpretace, ocenění); jmenovitě ty, ve kterých buď Lisa je v Dánsku je nepravdivé nebo Lisa je v Evropě je pravda.
(Všimněte si, že v tomto příkladu klasická logika předpokládá se. Nějaký neklasická logika nepovažujte (1) a (2) za logicky rovnocenné.)
V matematice
V matematice dva výroky a jsou často považovány za logicky ekvivalentní, pokud jsou navzájem prokazatelné vzhledem k množině axiomů a předpokladů. Například prohlášení „ je dělitelné 6 „lze považovat za ekvivalent výroku“ je dělitelné 2 a 3 ", protože první lze prokázat druhým (a naopak) pomocí znalostí ze základních teorie čísel.[1]
Vztah k materiální rovnocennosti
Logická ekvivalence se liší od materiální. Vzorce a jsou logicky ekvivalentní právě tehdy, pokud je uvedeno vyjádření jejich materiální rovnocennosti () je tautologie.[4]
Materiální rovnocennost a (často psáno jako ) je sám o sobě dalším tvrzením jazyk objektu tak jako a . Toto prohlášení vyjadřuje myšlenku „“ kdyby a jen kdyby Zejména hodnota pravdy může přecházet z jednoho modelu na druhý.
Na druhou stranu tvrzení, že dva vzorce jsou logicky ekvivalentní, je tvrzení v metajazyk, který vyjadřuje vztah mezi dvěma výroky a . Výroky jsou logicky ekvivalentní, pokud mají v každém modelu stejnou pravdivostní hodnotu.
Viz také
- Příjem
- Rovnoměrnost
- Kdyby jen
- Logická biconditional
- Logická rovnost
- ≡ symbol iff (U + 2261 STEJNÝ JAKO)
- ∷ the A je b tak jako C je d symbol (U + 2237 PROPORCE)
- ⇔ the dvakrát udeřil biconditional (U + 21D4 ŠIPKA VLEVO VPRAVO DVOJNÁSOBKA)
- ↔ obousměrná šipka (U + 2194 ŠIPKA VLEVO VPRAVO)
Reference
- ^ A b „Definitivní glosář vyššího matematického žargonu - ekvivalentní tvrzení“. Matematický trezor. 2019-08-01. Citováno 2019-11-24.
- ^ Mendelson, Elliott (1979). Úvod do matematické logiky (2. vyd.). str.56.
- ^ A b "Matematika | Propoziční ekvivalence". GeeksforGeeks. 2015-06-22. Citováno 2019-11-24.
- ^ Copi, Irving; Cohen, Carl; McMahon, Kenneth (2014). Úvod do logiky (New International ed.). Pearson. p. 348.