Heyting algebra - Heyting algebra

v matematika, a Heyting algebra (také známý jako pseudobolská algebra^[1]) je ohraničená mříž (se spojenými a splněnými operacemi napsanými ∨ a ∧ a s nejmenším prvkem 0 a největším prvkem 1) vybavené binární operací A → b z implikace takový, že (C ∧ A) ≤ b je ekvivalentní k C ≤ (A → b). Z logického hlediska A → B je podle této definice nejslabší propozicí modus ponens, pravidlo odvození A → B, A ⊢ B, je zvuk. Jako Booleovy algebry „Heyting algebras form a odrůda axiomatizovatelný s konečně mnoha rovnicemi. Hejtující algebry představil Arend Heyting  (1930 ) formalizovat intuicionistická logika.

Jako svazy jsou heytingové algebry distribuční. Každá booleovská algebra je hejtovací algebra, když A → b je definována jako obvykle jako ¬A ∨ b, jako každý kompletní distribuční mříž uspokojení jednostranně nekonečné distributivní právo když A → b je považován za supremum množiny všech C pro který C ∧ A ≤ b. V konečném případě každá neprázdná distribuční mřížka, zejména každá neprázdná konečná řetěz, je automaticky úplná a zcela distribuční, a tudíž heytingová algebra.

Z definice vyplývá, že 1 ≤ 0 → A, což odpovídá intuici, že jakýkoli návrh A je implikován rozporem 0. Ačkoli operace negace ¬A není součástí definice, je definovatelný jako A → 0. Intuitivní obsah ¬A je návrh, který se má předpokládat A by vedlo k rozporu. Definice z toho vyplývá A ∧ ¬A = 0. Dále lze ukázat, že A ≤ ¬¬A, i když naopak, ¬¬A ≤ A, není obecně platná, to znamená, eliminace dvojí negace nedrží obecně v Heytingově algebře.

Heytingovy algebry zobecňují booleovské algebry v tom smyslu, že Heytingova algebra uspokojující A ∨ ¬A = 1 (vyloučený střední ), ekvivalentně ¬¬A = A (eliminace dvojí negace ), je booleovská algebra. Ty prvky Heytingovy algebry H formuláře ¬A obsahují booleovskou mříž, ale obecně to není subalgebra z H (vidět níže ).

Heytingové algebry slouží jako algebraické modely výrokové intuicionistická logika stejným způsobem výrokový model booleovských algeber klasická logika. Vnitřní logika základní topos je založen na Heytingově algebře z podobjekty z koncový objekt 1 nařízeno začleněním, ekvivalentně morfismy od 1 do klasifikátor podobjektu Ω.

The otevřené sady ze všech topologický prostor tvoří a kompletní Heyting algebra. Kompletní Heytingovy algebry se tak staly ústředním předmětem studia v nesmyslná topologie.

Každá Heytingova algebra, jejíž sada jiných než největších prvků má největší prvek (a tvoří další Heytingovu algebru), je nepřímo neredukovatelný, odkud lze každou heytingovou algebru učinit nepřímo neredukovatelnou připojením k novému největšímu prvku. Z toho vyplývá, že i mezi konečnými Heytingovými algeberami existuje nekonečně mnoho nepřímo nesnížitelných algeber, z nichž žádné dvě nemají stejnou teorii rovnosti. Žádná konečná množina konečných Heytingových algeber proto nemůže poskytnout všechny protipříklady nelegálních zákonů Heytingovy algebry. To je v ostrém kontrastu s booleovskými algebrami, jejichž jedinou nepřímo neredukovatelnou je dvouprvková, která sama o sobě tedy postačuje pro všechny protipříklady neprozákonů booleovské algebry, základ jednoduchého pravdivostní tabulka rozhodovací metoda. Přesto je rozhodující, zda platí rovnice všech Heytingových algeber.^[2]

Heytingové algebry se nazývají méně často pseudobolské algebry,^[3] nebo dokonce Brouwerova mříž,^[4] ačkoli druhý termín může označovat dvojí definici,^[5] nebo mají trochu obecnější význam.^[6]

Formální definice

Heytingová algebra H je ohraničená mříž takové, že pro všechny A a b v H existuje největší prvek X z H takhle

${ displaystyle a klín x leq b.}$

Tímto prvkem je relativní pseudokomplement z A s ohledem na ba je označen A→b. Píšeme 1 a 0 pro největší a nejmenší prvek H, resp.

V jakékoli heytingové algebře se definuje pseudokomplement ¬A libovolného prvku A nastavením ¬A = (A→ 0). Podle definice, ${ displaystyle a klín lnot a = 0}$, a ¬A je největší prvek, který má tuto vlastnost. Není to však obecně pravda ${ displaystyle a vee lnot a = 1}$, tedy ¬ je pouze pseudokomplement, nikoli pravda doplněk, jako by tomu bylo v případě booleovské algebry.

A kompletní Heyting algebra je Heytingova algebra, která je úplná mříž.

A subalgebra heytingové algebry H je podmnožina H₁ z H obsahující 0 a 1 a uzavřené pod operacemi ∧, ∨ a →. Z toho vyplývá, že je také uzavřena pod ¬. Ze subalgebry se indukovanou operací vytvoří Heytingova algebra.

Alternativní definice

Teoretická definice kategorie

Heytingová algebra ${ displaystyle H}$ je ohraničená mřížka, která má vše exponenciální objekty.

Mříž ${ displaystyle H}$ je považován za kategorie kde se setkat, ${ displaystyle klín}$, je produkt. Exponenciální podmínka znamená, že pro všechny objekty ${ displaystyle Y}$ a ${ displaystyle Z}$ v ${ displaystyle H}$ exponenciální ${ displaystyle Z ^ {Y}}$ jednoznačně existuje jako objekt v ${ displaystyle H}$.

Heytingová implikace (často psaná pomocí ${ displaystyle Rightarrow}$ nebo ${ displaystyle multimap}$ vyhnout se nejasnostem, jako je používání ${ displaystyle to}$ k označení a funktor ) je jen exponenciální: ${ displaystyle Y Rightarrow Z}$ je alternativní notace pro ${ displaystyle Z ^ {Y}}$. Z definice exponenciálů máme tuto implikaci (${ displaystyle Rightarrow: H krát H do H}$) je pravý adjoint potkat (${ displaystyle klín: H krát H až H}$). Tuto adjunkci lze zapsat jako ${ displaystyle (- klín Y) dashv (Y Rightarrow -)}$ nebo lépe jako:

$${ displaystyle (- klín Y): H { stackrel { longrightarrow} { podmnožina { longleftarrow} { top}}} H: (Y Rightarrow -)}$$

Mřížkově-teoretické definice

Ekvivalentní definici Heytingových algeber lze získat zvážením mapování:

${ displaystyle { begin {cases} f_ {a} dvojtečka H až H f_ {a} (x) = a wedge x end {cases}}}$

pro některé pevné A v H. Ohraničená mříž H je Heytingova algebra kdyby a jen kdyby každé mapování F_A je spodní adjunkt monotónní Galoisovo spojení. V tomto případě příslušný horní adjoint G_A darováno G_A(X) = A→X, kde → je definováno výše.

Ještě další definice je jako zbytková mříž jehož monoidní operace je ∧. Jednotka monoidu pak musí být vrcholovým prvkem 1. Komutativita tohoto monoidu znamená, že dva zbytky se shodují jako A→b.

Ohraničená mřížka s implikační operací

Vzhledem k omezené mřížce A s největšími a nejmenšími prvky 1 a 0 a binární operací →, tvoří společně Heytingovou algebru právě tehdy, když platí následující:

1. ${ displaystyle a to a = 1}$
2. ${ displaystyle a klín (a to b) = a klín b}$
3. ${ Displaystyle b klín (a to b) = b}$
4. ${ displaystyle a to (b klín c) = (a to b) klín (a to c)}$

kde 4 je distribuční zákon pro →.

Charakterizace pomocí axiomů intuitivní logiky

Tato charakteristika Heytingových algeber činí důkaz základních faktů týkajících se vztahu mezi intuicionistickým výrokovým kalkulem a Heytingovými algebrami okamžitými. (Tyto skutečnosti najdete v částech „Prokazatelné identity " a "Univerzální konstrukce ".) Jeden by měl myslet na prvek ${ displaystyle top}$ jako význam, intuitivně, „prokazatelně pravdivý“. Porovnejte s axiomy v Intuicionistická logika # Axiomatizace ).

Vzhledem k sadě A se třemi binárními operacemi →, ∧ a ∨ a dvěma odlišnými prvky ${ displaystyle bot}$ a ${ displaystyle top}$, pak A je Heytingova algebra pro tyto operace (a vztah ≤ definovaný podmínkou, že ${ displaystyle a leq b}$ když A→b = ${ displaystyle top}$) tehdy a jen tehdy, pokud pro všechny prvky platí následující podmínky X, y a z z A:

1. ${ displaystyle { mbox {If}} x leq y { mbox {a}} y leq x { mbox {then}} x = y,}$
2. ${ displaystyle { mbox {If}} top leq y, { mbox {then}} y = top,}$
3. ${ displaystyle x leq y až x,}$
4. ${ Displaystyle x to (y až z) leq (x až y) až (x až z),}$
5. ${ displaystyle x land y leq x,}$
6. ${ displaystyle x land y leq y,}$
7. ${ Displaystyle x leq y to (x land y),}$
8. ${ displaystyle x leq x lor y,}$
9. ${ displaystyle y leq x lor y,}$
10. ${ Displaystyle x až z leq (y až z) až (x lor y až z),}$
11. ${ displaystyle bot leq x.}$

Nakonec definujeme ¬X být X→ ${ displaystyle bot}$.

Podmínka 1 říká, že by měly být identifikovány ekvivalentní vzorce. Podmínka 2 říká, že prokazatelně pravdivé vzorce jsou uzavřeny modus ponens. Podmínky 3 a 4 jsou pak podmínky. Podmínky 5, 6 a 7 jsou a podmínky. Podmínky 8, 9 a 10 jsou nebo podmínky. Podmínka 11 je a Nepravdivé stav.

Samozřejmě, pokud by byla pro logiku zvolena jiná sada axiomů, mohli bychom odpovídajícím způsobem upravit naši.

Příklady

The volný, uvolnit Heyting algebra over one generator (aka Rieger – Nishimura lattice)

• Každý Booleova algebra je Heytingova algebra s p→q dané ¬p∨q.
• Každý úplně objednaná sada který má nejméně prvek 0 a největší prvek 1 je Heytingova algebra (je-li viděna jako mřížka). V tomto případě p→q se rovná 1, když p≤q, a q v opačném případě.
• Nejjednodušší Heytingova algebra, která ještě není booleovská algebra, je zcela uspořádaná množina {0, ½, 1} (viděna jako mřížka), která poskytuje operace:

  ${ displaystyle a land b}$ b A 0 ½ 1 0 0 0 0 ½ 0 ½ ½ 1 0 ½ 1

  ${ displaystyle a lor b}$ b A 0 ½ 1 0 0 ½ 1 ½ ½ ½ 1 1 1 1 1

  A→b b A 0 ½ 1 0 1 1 1 ½ 0 1 1 1 0 ½ 1

  A ¬A 0 1 ½ 0 1 0

  V tomto příkladu to ½∨¬½ = ½∨(½ → 0) = ½∨0 = ½ falšuje zákon vyloučeného prostředku.

• Každý topologie poskytuje kompletní heytingovou algebru v podobě své otevřená sada mříž. V tomto případě prvek A→B je interiér unie A^C a B, kde A^C označuje doplněk z otevřená sada A. Ne všechny úplné Heytingovy algebry jsou této formy. Tyto problémy jsou studovány v nesmyslná topologie, kde se také nazývají úplné Heytingovy algebry rámy nebo národní prostředí.
• Každý vnitřní algebra poskytuje Heytingovou algebru ve formě mřížky otevřených prvků. Každá heytingová algebra má tuto formu, protože heytingovou algebru lze doplnit na booleovskou algebru tak, že její volnou booleovskou příponu použijeme jako ohraničenou distribuční mřížku a poté ji budeme považovat za zobecněná topologie v této booleovské algebře.
• The Lindenbaumova algebra výrokové intuicionistická logika je Heytingova algebra.
• The globální prvky z klasifikátor podobjektu Ω z základní topos tvoří Heytingovou algebru; je to Heytingova algebra pravdivostní hodnoty intuitivní logiky vyššího řádu vyvolané toposy.
• Łukasiewicz – Moisil algebry (LM_n) jsou také heytingové algebry pro všechny n^[7] (ale nejsou MV-algebry pro n ≥ 5^[8]).

Vlastnosti

Obecné vlastnosti

Objednávka ${ displaystyle leq}$ na heytingové algebře H lze obnovit z operace → takto: pro všechny prvky A, b z H, ${ displaystyle a leq b}$ kdyby a jen kdyby A→b = 1.

Na rozdíl od některých mnohocenné logiky „Heyting algebras share the following property with Boolean algebras: if negation has a pevný bod (tj. ¬A = A pro některé A), pak je Heytingova algebra triviální jednoprvková Heytingova algebra.

Prokazatelné identity

Daný vzorec ${ displaystyle F (A_ {1}, A_ {2}, ldots, A_ {n})}$ výrokového počtu (kromě proměnných používáme spojovací výrazy) ${ Displaystyle land, lor, lnot, to}$Je pravda, že konstanty 0 a 1) prokázaly již v počátcích jakékoli studie Heytingových algeber, že následující dvě podmínky jsou ekvivalentní:

1. Vzorec F je prokazatelně pravdivá v intuicionistickém výrokovém počtu.
2. Identita ${ displaystyle F (a_ {1}, a_ {2}, ldots, a_ {n}) = 1}$ platí pro jakoukoli Heytingovou algebru H a jakékoli prvky ${ displaystyle a_ {1}, a_ {2}, ldots, a_ {n} v H}$.

Metaimplikace 1 ⇒ 2 je nesmírně užitečná a je hlavní praktickou metodou k prokázání totožnosti v Heytingových algebrách. V praxi se často používá teorém o dedukci v takových důkazech.

Protože pro všechny A a b v Heytingově algebře H my máme ${ displaystyle a leq b}$ kdyby a jen kdyby A→b = 1, vyplývá z 1 ⇒ 2 že kdykoli vzorec F→G je prokazatelně pravda, máme ${ displaystyle F (a_ {1}, a_ {2}, ldots, a_ {n}) leq G (a_ {1}, a_ {2}, ldots, a_ {n})}$ pro jakoukoli Heytingovou algebru Ha všechny prvky ${ displaystyle a_ {1}, a_ {2}, ldots, a_ {n} v H}$. (Z věty o dedukci vyplývá, že F→G je prokazatelný [z ničeho] právě tehdy G je prokazatelný z F, tedy pokud G je prokazatelným důsledkem F.) Zejména pokud F a G jsou tedy prokazatelně rovnocenné ${ displaystyle F (a_ {1}, a_ {2}, ldots, a_ {n}) = G (a_ {1}, a_ {2}, ldots, a_ {n})}$, protože ≤ je vztah objednávky.

1 ⇒ 2 lze prokázat prozkoumáním logických axiomů systému důkazu a ověřením, že jejich hodnota je 1 v jakékoli heytingové algebře, a následným ověřením, že aplikace pravidel odvození na výrazy s hodnotou 1 v heytingové algebře výrazy s hodnotou 1. Vyberme si například systém důkazu modus ponens jako jeho jediné pravidlo odvození a jehož axiomy jsou ty, které jsou uvedeny v Hilbertově stylu Intuicionistická logika # Axiomatizace. Fakta, která mají být ověřena, pak bezprostředně vyplývají z výše uvedené definice heytingových algeber podobné axiomu.

1 ⇒ 2 také poskytuje metodu k prokázání, že určité výrokové vzorce jsou tautologie v klasické logice, nemůže být prokázáno v intuicionistické výrokové logice. Abychom dokázali, že nějaký vzorec ${ displaystyle F (A_ {1}, A_ {2}, ldots, A_ {n})}$ není prokazatelné, stačí vystavit Heytingovu algebru H a prvky ${ displaystyle a_ {1}, a_ {2}, ldots, a_ {n} v H}$ takhle ${ displaystyle F (a_ {1}, a_ {2}, ldots, a_ {n}) neq 1}$.

Pokud se chceme vyhnout zmínce o logice, pak je v praxi nutné dokázat jako lemma verzi věty o dedukci platnou pro Heytingovy algebry: pro všechny prvky A, b a C heytingové algebry H, my máme ${ displaystyle (a land b) to c = a to (b to c)}$.

Další informace o metaimplikaci 2 ⇒ 1 najdete v části „Univerzální konstrukce „níže.

Distribuce

Hejtující algebry jsou vždy distribuční. Konkrétně máme vždy totožnosti

1. ${ displaystyle a klín (b vee c) = (a klín b) vee (a klín c)}$
2. ${ Displaystyle a vee (b klín c) = (a vee b) klín (a vee c)}$

Distribuční zákon je někdy uváděn jako axiom, ale ve skutečnosti to vyplývá z existence relativních pseudoplnění. Důvodem je to, že je spodní adjoint a Galoisovo spojení, ${ displaystyle klín}$ konzervuje všechny existující suprema. Distributivita je zase jen zachování binárního suprema ${ displaystyle klín}$.

Podobným argumentem následující nekonečné distributivní právo platí v jakékoli úplné Heyting algebře:

${ Displaystyle x wedge bigvee Y = bigvee {x wedge y mid y in Y }}$

pro jakýkoli prvek X v H a jakákoli podmnožina Y z H. Naopak, jakákoli úplná mřížka splňující výše uvedený nekonečný distribuční zákon je úplnou Heytingovou algebrou s

${ displaystyle a to b = bigvee {c mid a land c leq b }}$

je to jeho relativní operace pseudokomplementu.

Pravidelné a doplňované prvky

Prvek X heytingové algebry H je nazýván pravidelný pokud platí některá z následujících rovnocenných podmínek:

1. X = ¬¬X.
2. X = ¬y pro některé y v H.

Rovnocennost těchto podmínek lze vyjádřit jednoduše jako identitu ¬¬¬X = ¬X, platné pro všechny X v H.

Elementy X a y heytingové algebry H jsou nazývány doplňuje navzájem, pokud X∧y = 0 a X∨y = 1. Pokud existuje, jakýkoli takový y je jedinečný a musí se ve skutečnosti rovnat ¬X. Říkáme prvek X doplněno pokud připouští doplněk. Je pravda, že -li X je doplněno, pak je také ¬X, a pak X a ¬X jsou navzájem doplňkem. Matoucí však, i když X není doplněno, ¬X může přesto mít doplněk (nerovná se X). V jakékoli heytingové algebře jsou prvky 0 a 1 navzájem doplňkem. Je například možné, že ¬X je 0 pro každého X liší se od 0 a 1 pokud X = 0, v takovém případě jsou 0 a 1 jediné regulární prvky.

Jakýkoli doplněný prvek Heytingovy algebry je pravidelný, i když obrácení obecně není pravdivé. Zejména 0 a 1 jsou vždy pravidelné.

Pro jakoukoli heytingovou algebru H, ekvivalentní jsou následující podmínky:

1. H je Booleova algebra;
2. každý X v H je pravidelný;^[9]
3. každý X v H je doplněn.^[10]

V tomto případě prvek A→b je rovný ¬A ∨ b.

Pravidelné (resp. Doplněné) prvky jakékoli Heytingovy algebry H tvoří booleovskou algebru H_reg (resp. H_komp), ve kterém se operace ∧, ¬ a →, stejně jako konstanty 0 a 1, shodují s konstantami H. V případě H_komp, operace ∨ je tedy také stejná H_komp je subalgebra H. Obecně však H_reg nebude subalgebrou H, protože jeho operace spojení ∨_reg se může lišit od ∨. Pro X, y ∈ H_reg, my máme X ∨_reg y = ¬(¬X ∧ ¬y). Níže jsou uvedeny nezbytné a dostatečné podmínky pro for_reg se shodovat s ∨.

De Morganovy zákony v heytingové algebře

Jeden ze dvou De Morgan zákony je spokojen v každé heytingové algebře, jmenovitě

${ displaystyle forall x, y in H: qquad lnot (x vee y) = lnot x wedge lnot y.}$

Jiný zákon De Morgan však neplatí vždy. Místo toho máme slabý de Morganův zákon:

${ displaystyle forall x, y in H: qquad lnot (x wedge y) = lnot lnot ( lnot x vee lnot y).}$

Následující tvrzení jsou ekvivalentní pro všechny Heytingovy algebry H:

1. H splňuje oba zákony De Morgana,
2. ${ displaystyle lnot (x klín y) = lnot x vee lnot y { mbox {pro všechny}} x, y v H,}$
3. ${ displaystyle lnot (x klín y) = lnot x vee lnot y { mbox {pro všechny běžné}} x, y v H,}$
4. ${ displaystyle lnot lnot (x vee y) = lnot lnot x vee lnot lnot y { mbox {pro všechny}} x, y v H,}$
5. ${ displaystyle lnot lnot (x vee y) = x vee y { mbox {pro všechny běžné}} x, y v H,}$
6. ${ displaystyle lnot ( lnot x klín lnot y) = x vee y { mbox {pro všechny běžné}} x, y v H,}$
7. ${ displaystyle lnot x vee lnot lnot x = 1 { mbox {pro všechny}} x v H.}$

Podmínkou 2 je další zákon De Morgan. Podmínka 6 říká, že operace spojení ∨_reg na booleovské algebře H_reg pravidelných prvků H se shoduje s operací ∨ H. Podmínka 7 uvádí, že každý regulární prvek je doplněn, tj. H_reg = H_komp.

Dokazujeme rovnocennost. Jasně metaimplikace 1 ⇒ 2, 2 ⇒ 3 a 4 ⇒ 5 jsou triviální. Dále 3 ⇔ 4 a 5 ⇔ 6 vyplývá jednoduše z prvního zákona De Morgan a definice regulárních prvků. Ukazujeme to 6 ⇒ 7 tím, že ¬X a ¬¬X namísto X a y v 6 a pomocí identity A ∧ ¬A = 0. Všimněte si toho 2 ⇒ 1 vyplývá z prvního zákona De Morgan a 7 ⇒ 6 vyplývá ze skutečnosti, že operace spojení ∨ na subalgebře H_komp je pouze omezení ∨ na H_komp, s přihlédnutím k charakterizacím, které jsme dali podmínkám 6 a 7. Metaimplikace 5 ⇒ 2 je triviální důsledek slabého zákona De Morgana, přičemž ¬X a ¬y namísto X a y v 5.

Heytingové algebry splňující výše uvedené vlastnosti souvisí Logika De Morgana stejným způsobem Heytingové algebry obecně souvisejí s intuicionistickou logikou.

Heyting algebra morphisms

Definice

Vzhledem k tomu, dvě Heyting algebry H₁ a H₂ a mapování F : H₁ → H₂, říkáme to ƒ je morfismus Heyting algebry if, for any elements X a y v H₁, my máme:

1. ${ displaystyle f (0) = 0,}$
2. ${ Displaystyle f (x land y) = f (x) land f (y),}$
3. ${ Displaystyle f (x lor y) = f (x) lor f (y),}$
4. ${ Displaystyle f (x až y) = f (x) až f (y),}$

Z kterékoli z posledních tří podmínek (2, 3 nebo 4) vyplývá, že F je rostoucí funkce, to znamená, že F(X) ≤ F(y) kdykoli X ≤ y.

Převzít H₁ a H₂ jsou struktury s operacemi →, ∧, ∨ (a případně ¬) a konstantami 0 a 1 a F je surjektivní mapování z H₁ na H₂ s vlastnostmi 1 až 4 výše. Pak pokud H₁ je Heytingova algebra, stejně tak je H₂. To vyplývá z charakterizace Heytingových algeber jako ohraničených mřížek (považovaných spíše za algebraické struktury než za částečně uspořádané množiny) s operací → uspokojující určité identity.

Vlastnosti

Mapa identity F(X) = X od jakékoli heytingové algebry k sobě samému je morfismus a kompozit G ∘ F jakýchkoli dvou morfismů F a G je morfismus. Z tohoto důvodu tvoří Heyting algebry a kategorie.

Příklady

Vzhledem k heytingové algebře H a jakákoli subalgebra H₁, mapování zařazení i : H₁ → H je morfismus.

Pro jakoukoli heytingovou algebru H, mapa X ↦ ¬¬X definuje morfismus z H na booleovskou algebru jejích regulárních prvků H_reg. Tohle je ne obecně morfismus z H pro sebe, protože operace spojení H_reg se může lišit od H.

Kvocienty

Nechat H být heytingovou algebrou a nechat F ⊆ H. Voláme F A filtr na H pokud splňuje následující vlastnosti:

1. ${ displaystyle 1 v F,}$
2. ${ displaystyle { mbox {If}} x, y in F { mbox {then}} x land y in F,}$
3. ${ displaystyle { mbox {If}} x v F, y v H, { mbox {a}} x leq y { mbox {pak}} y v F.}$

Průsečík jakékoli sady filtrů na H je opět filtr. Proto vzhledem k jakékoli podmnožině S z H obsahuje nejmenší filtr S. Říkáme tomu filtr generováno podle S. Li S je prázdný, F = {1}. V opačném případě, F se rovná množině X v H takové, které existují y₁, y₂, …, y_n ∈ S s y₁ ∧ y₂ ∧ … ∧ y_n ≤ X.

Li H je Heytingova algebra a F je zapnutý filtr H, definujeme vztah ∼ na H takto: píšeme X ∼ y kdykoli X → y a y → X oba patří F. Pak ∼ je vztah ekvivalence; píšeme H/F pro množina kvocientu. Je zde jedinečná struktura Heytingovy algebry H/F tak, že kanonický surjection p_F : H → H/F se stává morfismem Heyting algebra. Říkáme Heytingova algebra H/F the kvocient z H podle F.

Nechat S být podmnožinou Heytingovy algebry H a nechte F být filtrem generovaným S. Pak H/F splňuje následující univerzální vlastnictví:

Vzhledem k morfismu Heytingových algeber F : H → H ' uspokojující F(y) = 1 pro každého y ∈ S, F faktory jedinečně prostřednictvím kanonické surjekce p_F : H → H/F. To znamená, že existuje jedinečný morfismus F' : H/F → H ' uspokojující f'p_F = F. Morfismus F' se říká, že je indukovaný podle F.

Nechat F : H₁ → H₂ být morfismem Heytingových algeber. The jádro z F, psaný ker F, je sada F⁻¹[{1}]. Je to zapnutý filtr H₁. (Je třeba dávat pozor, protože tato definice, je-li aplikována na morfismus booleovských algeber, je dvojí ve srovnání s tím, co by se dalo nazvat jádrem morfismu vnímaného jako morfismus prstenů.) Výše ​​uvedeným, F vyvolává morfismus F' : H₁/ (ker F) → H₂. Je to izomorfismus H₁/ (ker F) do subalgebry F[H₁] z H₂.

Univerzální konstrukce

Heyting algebra výrokových vzorců v n proměnné až po intuicionistickou ekvivalenci

Metaimplikace 2 ⇒ 1 v sekci „Prokazatelné identity „je prokázáno prokázáním, že výsledkem následující konstrukce je sama Heytingova algebra:

1. Zvažte sadu L výrokových vzorců v proměnných A₁, A₂,..., A_n.
2. Vybavit L s předobjednáním ≼ definováním F≼G -li G je (intuicionista) logický důsledek z F, tedy pokud G je prokazatelný z F. Je okamžité, že ≼ je předobjednávka.
3. Zvažte vztah ekvivalence F∼G vyvolané předobjednáním F≼G. (Definuje to F∼G kdyby a jen kdyby F≼G a G≼F. Ve skutečnosti je ∼ vztah (intuicionistické) logické ekvivalence.)
4. Nechat H₀ být množina kvocientu L/ ∼. Toto bude požadovaná Heytingova algebra.
5. Píšeme [F] pro třídu ekvivalence vzorce F. Operace →, ∧, ∨ a ¬ jsou definovány zřejmým způsobem dále L. Ověřte dané vzorce F a G, třídy ekvivalence [F→G], [F∧G], [F∨G] a [¬F] závisí pouze na [F] a [G]. To definuje operace →, ∧, ∨ a ¬ na množině kvocientů H₀=L/ ∼. Dále definujte 1 jako třídu prokazatelně pravdivých tvrzení a nastavte 0 = [⊥].
6. Ověřte to H₀, spolu s těmito operacemi, je Heytingova algebra. Děláme to pomocí axiomové definice Heytingových algeber. H₀ splňuje podmínky THEN-1 až FALSE, protože všechny vzorce daných forem jsou axiomy intuitivní logiky. MODUS-PONENS vyplývá ze skutečnosti, že pokud vzorec ⊤ →F je tedy prokazatelně pravda, kde ⊤ je prokazatelně pravda F je prokazatelně pravdivá (uplatněním pravidla inference modus ponens). Nakonec EQUIV vyplývá ze skutečnosti, že pokud F→G a G→F jsou tedy prokazatelně pravdivé F a G jsou navzájem prokazatelné (použitím pravidla inference modus ponens), proto [F]=[G].

Jako vždy podle axiomové definice Heytingových algeber definujeme ≤ on H₀ podmínkou, že X≤y kdyby a jen kdyby X→y= 1. Vzhledem k tomu, že teorém o dedukci, vzorec F→G je prokazatelně pravda právě tehdy G je prokazatelný z F, z toho vyplývá, že [F]≤[G] právě tehdy, pokud F≼G. Jinými slovy, ≤ je relační řád zapnutý L/ ∼ vyvolané předobjednáním ≼ zapnuto L.

Zdarma Heyting algebra na libovolné sadě generátorů

Ve skutečnosti lze předchozí konstrukci provést pro libovolnou sadu proměnných {A_i : i∈Já} (možná nekonečný). Tímto způsobem získá volný, uvolnit Heyting algebra on the variables {A_i}, kterou znovu označíme H₀. Je zdarma v tom smyslu, že je dána jakákoli Heytingova algebra H dána společně s rodinou jejích prvků 〈A_i: i∈Já 〉, Existuje jedinečný morfismus F:H₀→H uspokojující F([A_i])=A_i. Jedinečnost F není těžké vidět a jeho existence vyplývá v podstatě z metaimplikace 1 ⇒ 2 části "Prokazatelné identity „výše, v podobě důsledků, že kdykoli F a G jsou prokazatelně ekvivalentní vzorce, F(〈A_i〉)=G(〈A_i〉) Pro jakoukoli skupinu prvků 〈A_i>v H.

Heyting algebra vzorců ekvivalentních s ohledem na teorii T

Vzhledem k souboru vzorců T v proměnných {A_i}, nahlíženo jako na axiomy, bylo možné provést stejnou konstrukci s ohledem na relaci F≼G definováno dne L to znamená G je prokazatelným důsledkem F a množina axiomů T. Označme tím H_T takto získaná Heytingova algebra. Pak H_T uspokojuje stejné univerzální vlastnictví jako H₀ výše, ale s ohledem na Heytingovy algebry H a rodiny prvků 〈A_i〉 Uspokojení majetku, který J(〈A_i〉) = 1 pro jakýkoli axiom J(〈A_i>) v T. (Všimněme si toho H_T, vzato s rodinou jeho prvků 〈[A_i]〉, Tuto vlastnost sám splňuje.) Existence a jedinečnost morfismu je prokázána stejným způsobem jako u H₀, kromě toho, že je třeba upravit metaimplikaci 1 ⇒ 2 v "Prokazatelné identity „takže 1 čte“ prokazatelně pravdivý od T„a 2 čte“ všechny prvky A₁, A₂,..., A_n v H splňující vzorce T."

Heytingova algebra H_T který jsme právě definovali, lze považovat za kvocient volné Heytingovy algebry H₀ na stejnou sadu proměnných použitím univerzální vlastnosti H₀ s ohledem na H_Ta rodina jejích prvků 〈[A_i]〉.

Každá heytingová algebra je isomorfní s jednou z forem H_T. Chcete-li to vidět, nechte H být jakoukoli Heytingovou algebrou a nechat 〈A_i: i„Jsem rodina generujících prvků H (například jakákoli surjektivní rodina). Nyní zvažte sadu T vzorců J(〈A_i〉) V proměnných 〈A_i: i„Já“ takový J(〈A_i〉) = 1. Pak získáme morfismus F:H_T→H univerzálním vlastnictvím H_T, což je zjevně surjektivní. Není těžké to ukázat F je injekční.

Srovnání s Lindenbaumovy algebry

Stavby, které jsme právě dali, hrají zcela analogickou roli, pokud jde o Heytingovy algebry Lindenbaumovy algebry s ohledem na Booleovy algebry. Ve skutečnosti Lindenbaumova algebra B_T v proměnných {A_i} s ohledem na axiomy T je jen náš H_T∪T1, kde T₁ je množina všech vzorců ve formuláři ¬¬F→F, protože další axiomy T₁ jsou jediné, které je třeba přidat, aby všechny klasické tautologie byly prokazatelné.

Heyting algebras as applied to intuitionistic logic

Pokud někdo interpretuje axiomy intuicionistické výrokové logiky jako pojmy Heytingovy algebry, pak se vyhodnotí jako největší prvek, 1, v žádný Heyting algebra under any assignment of values ​​to the formula's variables. Například, (P∧Q)→P je podle definice pseudokomplementu největším prvkem X takhle ${ displaystyle P land Q land x leq P}$. Tato nerovnice je splněna pro všechny X, takže největší takový X je 1.

Dále pravidlo z modus ponens umožňuje nám odvodit vzorec Q ze vzorců P a P→Q. Ale v jakékoli heytingové algebře, pokud P má hodnotu 1 a P→Q má hodnotu 1, pak to znamená, že ${ displaystyle P land 1 leq Q}$a tak ${ displaystyle 1 land 1 leq Q}$; může to být jen to Q má hodnotu 1.

To znamená, že pokud je vzorec odvoditelný ze zákonů intuicionistické logiky a je odvozen od jeho axiomů pomocí pravidla modus ponens, pak bude mít vždy hodnotu 1 ve všech Heytingových algebrách pod jakýmkoli přiřazením hodnot k proměnným vzorce . Lze však zkonstruovat Heytingovu algebru, ve které hodnota Peirceova zákona není vždy 1. Vezměme si 3prvkovou algebru {0, ½, 1}, jak je uvedeno výše. Pokud přiřadíme ½ k P a 0 až Q, pak hodnota Peirceova zákona ((P→Q)→P)→P je ½. Z toho vyplývá, že Peirceův zákon nelze odvodit intuitivně. Vidět Curry – Howardův izomorfismus pro obecný kontext toho, co to znamená teorie typů.

Rovněž lze dokázat opak: pokud má vzorec vždy hodnotu 1, lze jej odvodit ze zákonů intuitivní logiky, takže intuitivně platné vzorce jsou přesně ty, které mají vždy hodnotu 1. To je podobné představě, že klasicky platné vzorce jsou vzorce, které mají hodnotu 1 v dvouprvková booleovská algebra pod jakýmkoli možným přiřazením true a false k proměnným vzorce - to znamená, že jsou to vzorce, které jsou tautologiemi v obvyklém smyslu tabulky pravdivosti. Heytingova algebra je z logického hlediska zobecněním obvyklého systému hodnot pravdy a její největší prvek 1 je analogický výrazu „true“. Obvyklý dvouhodnotový logický systém je speciální případ Heytingovy algebry a ten nejmenší netriviální, ve kterém jsou jedinými prvky algebry 1 (true) a 0 (false).

Problémy s rozhodováním

Problém, zda daná rovnice platí v každé Heytingově algebře, ukázal jako rozhodující S. Kripke v roce 1965.^[2] Přesné výpočetní složitost problému zjistil R. Statman v roce 1979, který ukázal, že byl PSPACE - kompletní^[11] a tedy přinejmenším stejně tvrdý jako rozhodování rovnic booleovské algebry (zobrazeno coNP-complete v roce 1971 S. Cook)^[12] a domníval se, že je podstatně těžší. Základní teorie nebo teorie prvního řádu Heytingových algeber je nerozhodná.^[13] Zůstává otevřené, zda univerzální Horn teorie Heytingových algeber, nebo slovní úloha, je rozhodnutelné.^[14] À návrh slovní úlohy je známo, že Heytingovy algebry nejsou lokálně konečné (žádná Heytingova algebra generovaná konečnou neprázdnou množinou není konečná), na rozdíl od booleovských algeber, které jsou lokálně konečné a jejichž slovní úloha je rozhodující. Není známo, zda existují úplné Heytingovy algebry, s výjimkou jediného generátoru, kde je bezplatná Heytingova algebra na jednom generátoru triviálně dokončitelná připojením k novému vrcholu.

Poznámky

Viz také

• Alexandrovská topologie
• Superintucionistická (aka střední) logika
• Seznam témat booleovské algebry
• Ockhamova algebra

Reference

• Rutherford, Daniel Edwin (1965). Úvod do mřížové teorie. Oliver a Boyd. OCLC  224572.
• F. Borceux, Příručka kategorické algebry 3, V Encyklopedie matematiky a její aplikace, Sv. 53, Cambridge University Press, 1994. ISBN  0-521-44180-3 OCLC  52238554
• G. Gierz, K.H. Hoffmann, K. Keimel, J. D. Lawson, M. Mislove a D. S. Scott, Kontinuální mřížky a domény, V Encyklopedie matematiky a její aplikace, Sv. 93, Cambridge University Press, 2003.
• S. Ghilardi. Zdarma Heyting algebry jako bi-Heyting algebry, Math. Rep. Acad. Sci. Kanada XVI., 6: 240–244, 1992.
• Heyting, A. (1930), „Die formalen Regeln der intuitionistischen Logik. I, II, III“, Sitzungsberichte Akad. Berlín: 42–56, 57–71, 158–169, JFM  56.0823.01

externí odkazy

• Heyting algebra na PlanetMath.