Skupinová kohomologie - Group cohomology
v matematika (konkrétněji v homologická algebra ), skupinová kohomologie je sada matematických nástrojů používaných ke studiu skupiny použitím teorie cohomologie, technika z algebraická topologie. Analogicky k skupinové reprezentace, skupinová kohomologie se dívá na skupinové akce skupiny G v přidruženém G-modul M k objasnění vlastností skupiny. Léčbou G-modul jako druh topologického prostoru s prvky zastupující n-jednoduchosti, lze vypočítat topologické vlastnosti prostoru, například množinu kohomologických skupin . Skupiny cohomology zase poskytují vhled do struktury skupiny G a G-modul M oni sami. Skupinová kohomologie hraje roli při vyšetřování pevných bodů skupinové akce v modulu nebo prostoru a kvocientový modul nebo prostor s ohledem na skupinovou akci. Skupinová kohomologie se používá v oborech abstraktní algebra, homologická algebra, algebraická topologie a algebraická teorie čísel, stejně jako v aplikacích do teorie skupin správně. Stejně jako v algebraické topologii existuje duální teorie zvaná skupinová homologie. Techniky skupinové kohomologie lze také rozšířit na případ, že místo a G-modul, G působí na nonabelian G-skupina; ve skutečnosti zobecnění modulu na neabelovský koeficienty.
Tyto algebraické myšlenky úzce souvisí s topologickými myšlenkami. Skupinová kohomologie diskrétní skupiny G je singulární kohomologie vhodného prostoru G jako jeho základní skupina, jmenovitě odpovídající Eilenberg – MacLaneův prostor. Skupinová kohomologie tedy lze považovat za singulární cohomologii kruhu S1, a podobně pro a
O kohomologii skupin je známo mnoho, včetně interpretací nízkodimenzionální kohomologie, funktoriality a toho, jak skupiny měnit. Téma skupinové kohomologie začalo ve 20. letech 20. století, dospělo koncem 40. let a pokračuje jako oblast aktivního výzkumu dodnes.
Motivace
Obecné paradigma v teorie skupin je to a skupina G by měl být studován prostřednictvím jeho skupinové reprezentace. Mírné zobecnění těchto reprezentací je G- moduly: a G-module je abelianská skupina M společně s a skupinová akce z G na M, se všemi prvky G jednající jako automorfismus z M. Budeme psát G multiplikativně a M aditivně.
Vzhledem k tomu, a G-modul M, je přirozené uvažovat o submodulu G-invariantní elementy:
Teď když N je G-modul z M (tj. podskupina M namapované na sebe akcí G), není obecně pravda, že invarianty v se nacházejí jako podíl invarianty v M těmi v N: být neměnný 'modulo N „je širší. Účel kohomologie první skupiny je přesně měřit tento rozdíl.
Skupinové kohomologické funktory obecně měří, do jaké míry nerespektuje přijímání invariantů přesné sekvence. To je vyjádřeno a dlouhá přesná sekvence.
Definice
Sbírka všech G-modules je a kategorie (morfismy jsou skupinové homomorfismy F s majetkem pro všechny G v G a X v M). Odesílání každého modulu M do skupiny invarianty výnosy a funktor z kategorie G-moduly do kategorie Ab abelianských skupin. Tento funktor je vlevo přesně ale ne nutně správně přesné. Můžeme tedy vytvořit jeho právo odvozené funktory.[A] Jejich hodnoty jsou abelianské skupiny a jsou označeny „ n-tá kohomologická skupina G s koeficienty v M"Navíc skupina lze identifikovat pomocí .
Cochainovy komplexy
Definice pomocí odvozených funktorů je koncepčně velmi jasná, ale pro konkrétní aplikace jsou často užitečné následující výpočty, které někteří autoři také používají jako definici.[1] Pro , nechť být skupinou všech funkce z na M (tady prostředek ). Toto je abelianská skupina; jeho prvky se nazývají (nehomogenní) n-cochains. Hraniční homomorfismy
Jeden to může zkontrolovat takže toto definuje a komplex řetězců jehož kohomologii lze vypočítat. Lze ukázat, že výše uvedená definice skupinové kohomologie z hlediska odvozených funktorů je izomorfní s cohomologií tohoto komplexu
Tady skupiny n-cykly a n-hranice jsou definovány jako
Funktory Extn a formální definice skupinové kohomologie
Tlumočení G-moduly jako moduly přes skupinové vyzvánění lze si to všimnout
tj. podskupina G-invariantní prvky v M je identifikován se skupinou homomorfismů z , který je považován za triviální G-module (každý prvek G působí jako identita) M.
Proto, jak Ext funktory jsou odvozené funktory z Hom, existuje přirozený izomorfismus
Tyto skupiny Ext lze také vypočítat pomocí projektivního rozlišení výhodou je, že takové rozlišení závisí pouze na G a ne na M. Definici Ext si v tomto kontextu výslovněji připomínáme. Nechat F být projektivní -rozlišení (např volný, uvolnit -rozlišení ) triviální -modul :
např. vždy lze rozlišit skupinové vyzvánění, s morfismem
Připomeňme si to - moduly N a MHomG(N, M) je abelianská skupina skládající se z -homomorfismy z N na M. Od té doby je kontravariantní funktor a obrátit šipky, použít na F termwise a klesá vyrábí a komplex řetězců :
Skupiny kohomologie z G s koeficienty v modulu M jsou definovány jako cohomologie výše uvedeného komplexu cochain:
Tato konstrukce zpočátku vede k operátorovi hranice, který působí na „homogenní“ řetězce. To jsou prvky , tj. funkce poslouchejte
Společný operátor je nyní přirozeně definováno například
Vztah k operátorovi hranice d který byl definován v předchozí části a který působí na „nehomogenní“ řetězce , je dána změnou parametrů tak, aby
a tak dále. Tím pádem
jako v předchozí části.
Skupinová homologie
Ve vztahu ke konstrukci skupinové kohomologie existuje následující definice skupinová homologie: daný a G-modul M, nastavit DM být submodul generováno prvky formuláře G·m − m, G ∈ G, m ∈ M. Přiřazování k M jeho tzv coinvarianty, kvocient
je pravý přesný funktor. Své levé odvozené funktory jsou podle definice skupinová homologie
The kovarianční funktor který přiřadí MG na M je izomorfní s funktorem, který vysílá M na kde je obdařen triviálním G-akce.[b] Proto jeden také dostane výraz pro skupinovou homologii, pokud jde o Tor funktory,
Všimněte si, že konvence horního a dolního indexu pro kohomologii / homologii souhlasí s konvencí pro skupinové invaranty / coinvarianty, zatímco která je označována jako „ko-“ přepínače:
- horní indexy odpovídají cohomologii H * a invarianty XG zatímco
- dolní indexy odpovídají homologii H∗ a coinvarianty XG := X/G.
Konkrétně jde o skupiny homologie Hn(G, M) lze vypočítat následovně. Začněte s projektivní rozlišení F triviální -modul jako v předchozí části. Aplikujte kovariantní funktor na F termwise získat a řetězový komplex :
Pak Hn(G, M) jsou homologické skupiny tohoto řetězového komplexu, pro n ≥ 0.
Skupinovou homologii a kohomologii lze u některých skupin léčit jednotně, zejména konečné skupiny, pokud jde o úplná řešení a Skupiny Tate cohomology.
Skupinová homologie abelianských skupin G s hodnotami v a hlavní ideální doména k úzce souvisí s vnější algebra .[C]
Nízkodimenzionální kohomologické skupiny
H 1
První kohomologická skupina je kvocient tzv zkřížené homomorfismy, tj. mapy (sad) F : G → M uspokojující F(ab) = F(A) + af(b) pro všechny A, b v G, modulo tzv hlavní zkřížené homomorfismy, tj. mapy F : G → M dána F(A) = dopoledne−m pro některé pevné m ∈ M. To vyplývá z výše uvedené definice řetězců.
Pokud akce G na M je triviální, pak se výše uvedené scvrkává na H1(G,M) = Hom (G, M), skupina skupinové homomorfismy G → M.
Zvažte případ kde označuje netriviální -struktura na skupině celých čísel. Poté zkřížené homomorfismy tvoří všechny mapy uspokojující a pro celé číslo A. Hlavní zkřížené homomorfismy uspokojují dodatečně proto
H 2
Li M je triviální G-modul (tj. akce G na M je triviální), druhá kohomologická skupina H2(G,M) je v individuální korespondenci se sadou centrální rozšíření z G podle M (až do vztahu přirozené ekvivalence). Obecněji, pokud akce G na M je netriviální, H2(G,M) klasifikuje třídy izomorfismu všech rozšíření z G podle M, ve kterém akce G na E (podle vnitřní automorfismy ), dotuje (obrázek) M s izomorfní G- struktura modulu.
V příkladu výše jako jediné rozšíření podle s danou netriviální akcí je nekonečná dihedrální skupina.
Příkladem druhé skupiny kohomologické skupiny je Brauerova skupina: je to kohomologie absolutna Galoisova skupina pole k který působí na invertibilní prvky v oddělitelném uzávěru:
Základní příklady
Skupinová kohomologie konečné cyklické skupiny
Pro konečnou cyklickou skupinu řádu s generátorem prvek v přidruženém skupinové vyzvánění má multiplikativní inverzi dána
od té doby
Tuto vlastnost lze použít ke konstrukci rozlišení[2][3] triviální -modul přes komplex
dávat skupinové kohomologii pro všechny -modul . Všimněte si, že mapa zvětšení dává triviální modul své -struktura od
Toto rozlišení poskytuje výpočet skupinové kohomologie, protože existuje izomorfismus kohomologických skupin
což ukazuje, že použití funktoru do výše uvedeného komplexu (s odstraněno, protože toto rozlišení je a kvazi-izomorfismus ), dává výpočet
pro
Například pokud , potom triviální modul , , a , proto
Kohomologie volných skupin
Pomocí rozlišení
Vzhledem k sadě přidružená bezplatná skupina má explicitní rozlišení[4] triviálního modulu které lze snadno vypočítat. Všimněte si mapy zvětšení
má jádro dané volným submodulem generované sadou , tak
.
Protože je tento objekt volný, dává rozlišení
odtud tedy skupinová kohomologie s koeficienty v lze vypočítat použitím funktoru do komplexu dávat
je to proto, že duální mapa
pošle jakékoli - morfismus modulů
k indukovanému morfismu složením inkluze. Jediné mapy, které jsou odesílány na jsou -multiples of the augmentation map, giving the first cohomology group. Druhou lze najít podle povšimnutí pouze dalších map
lze generovat pomocí -základ odesílání map za pevnou a odesílání pro všechny .
Pomocí topologie
Skupinová kohomologie volných skupin generováno uživatelem písmena lze snadno vypočítat porovnáním skupinové kohomologie s její interpretací v topologii. Připomeňme si to pro každou skupinu existuje topologický prostor , volal třídicí prostor skupiny, která má majetek
Kromě toho má tu vlastnost, že její topologická kohomologie je izomorfní se skupinovou kohomologií
dává způsob, jak vypočítat některé skupinové kohomologické skupiny. Poznámka lze nahradit jakýmkoli místním systémem který je určen mapou
pro nějakou abelianskou skupinu . V případě pro písmena, toto je reprezentováno a klínový součet z kruhy [5] které lze ukázat pomocí Van-Kampenova věta, což dává skupině cohomologii[6]
Vlastnosti
V následujícím textu pojďme M být G-modul.
Dlouhá přesná sekvence kohomologie
V praxi se často počítají kohomologické skupiny pomocí následujícího faktu: if
je krátká přesná sekvence z G-modulů, pak je vyvolána dlouhá přesná sekvence:
Takzvaný spojující homomorfismy,
lze popsat z hlediska nehomogenních řetězců následovně.[7] Li je reprezentován znakem n-kocykl pak je reprezentován kde je n-cochain "zdvihání" (tj. je složení s surjektivní mapou M → N).
Funkčnost
Skupinová kohomologie kontravariantně závisí na skupině G, v následujícím smyslu: pokud F : H → G je skupinový homomorfismus, pak máme přirozeně vyvolaný morfismus Hn(G, M) → Hn(H, M) (kde v druhém případě M je považováno za H-modul přes F). Tato mapa se nazývá mapa omezení. Pokud index z H v G je konečný, existuje také mapa v opačném směru, tzv přenosová mapa,[8]
Ve stupni 0 je to dáno mapou
Vzhledem k morfismu G- moduly M → N, člověk získá morfismus cohomologických skupin v Hn(G, M) → Hn(G, N).
produkty
Podobně jako u jiných cohomologických teorií v topologii a geometrii, jako je singulární kohomologie nebo de Rhamova kohomologie Skupinová kohomologie má strukturu produktu: existuje přírodní mapa s názvem pohárový produkt:
pro dva G- moduly M a N. Tím se získá odstupňovaná antikomutativní prstencová struktura kde R je prsten jako např nebo Pro konečnou skupinu G, charakteristická rovnoměrná část tohoto kohomologického kruhu p, nese spoustu informací o skupině struktury G, například Dimenze Krull tohoto kruhu se rovná maximální hodnosti abelianské podskupiny .[9]
Například nechte G být skupina se dvěma prvky pod diskrétní topologií. Skutečný projektivní prostor je klasifikační prostor pro G. Nechat the pole dvou prvků. Pak
polynom k-algebra na jediném generátoru, protože toto je buněčná kohomologie prsten z
Künneth vzorec
Li, M = k je tedy pole H *(G; k) je známkou k-algebra a cohomologie produktu skupin souvisí s těmi jednotlivých skupin pomocí a Künneth vzorec:
Například pokud G je základní abelianská 2 skupina hodnosti r, a pak Künneth vzorec ukazuje, že cohomologie G je polynom k-algebra generovaná r třídy v H1(G; k).,
Homologie vs. kohomologie
Co se týče dalších teorií cohomologie, jako např singulární kohomologie, skupinová kohomologie a homologie spolu souvisejí pomocí a krátká přesná sekvence[10]
kde A je obdařen triviálním G-akce a termín vlevo je první Ext skupina.
Sloučené produkty
Vzhledem ke skupině A což je podskupina dvou skupin G1 a G2, homologie sloučený produkt (s celočíselnými koeficienty) leží v dlouhé přesné posloupnosti
Homologie lze vypočítat pomocí tohoto:
Tuto přesnou posloupnost lze také použít k prokázání, že homologie a speciální lineární skupina dohodnout se na nekonečném poli k.[11]
Změna skupiny
The Spektrální sekvence Hochschild – Serre se týká kohomologie normální podskupiny N z G a kvocient G / N ke kohomologii skupiny G (pro (pro) konečné skupiny G). Z toho jeden dostane přesná sekvence omezení inflace.
Kohomologie klasifikačního prostoru
Skupinová kohomologie úzce souvisí s topologickými teoriemi cohomologie jako např svazek kohomologie pomocí izomorfismu
Výraz vlevo je a třídicí prostor pro . Je to Eilenberg – MacLaneův prostor , tj. prostor jehož základní skupina je a jehož vyšší homotopické skupiny zmizet).[d] Klasifikace mezer pro a jsou 1 koule S1, nekonečný skutečný projektivní prostor a prostory pro čočky, resp. Obecně, lze zkonstruovat jako kvocient , kde je smluvní prostor, na kterém jedná svobodně. Nicméně, obvykle nemá snadno přístupný geometrický popis.
Obecněji lze připojit k libovolnému -modul A systém místních koeficientů na a výše uvedený izomorfismus zobecňuje na izomorfismus[12]
Další příklady
Polopřímé produkty skupin
Existuje způsob, jak vypočítat polopřímý součin skupin pomocí topologie fibrací a vlastností Eilenberg-Maclaneových prostorů. Připomeňme, že pro polopřímý produkt skupin existuje přidružená krátká přesná sekvence skupin
Pomocí přidružených prostorů Eilenberg-Maclane existuje a Serre fibrace
které lze protáhnout a Serre spektrální sekvence. To dává -strana
který poskytuje informace o skupinové kohomologii ze skupinové kohomologické skupiny . Všimněte si, že tento formalismus lze aplikovat čistě skupinově-teoretickým způsobem pomocí Spektrální sekvence Lyndon – Hochschild – Serre.
Kohomologie konečných grup
Vyšší kohomologické skupiny jsou torzní
Skupiny kohomologie Hn(G, M) konečných skupin G jsou všechny torzní pro všechny n≥1. Opravdu, tím Maschkeova věta kategorie reprezentací konečné skupiny je semi-jednoduchá nad jakýmkoli polem charakteristické nuly (nebo obecněji nad jakýmkoli polem, jehož charakteristika nerozděluje pořadí skupiny), a proto v této abelianské kategorii prohlížet skupinovou kohomologii jako odvozený funktor , člověk získá, že je nula. Druhým argumentem je, že nad polem charakteristické nuly je skupinová algebra konečné skupiny přímým součtem maticových algeber (možná přes dělící algebry, které jsou prodloužením původního pole), zatímco maticová algebra je Morita ekvivalent do svého základního pole, a proto má triviální kohomologii.
Pokud je v pořadí G je invertibilní v a G-modul M (například pokud M je -vector space), lze k tomu použít mapu přenosu pro Typická aplikace této skutečnosti je následující: dlouhá přesná kohomologická sekvence krátké přesné sekvence (kde všechny tři skupiny mají triviální G-akce)
poskytuje izomorfismus
Tate cohomology
Tate cohomology skupiny kombinují homologii i kohomologii konečné skupiny G:
kde je vyvolána normovou mapou:
Tate cohomology má podobné rysy, jako jsou dlouhé přesné sekvence, produktové struktury. Důležitá aplikace je v teorie pole viz formace třídy.
Tate cohomology of finite cyklické skupiny, je 2-periodický v tom smyslu, že existují izomorfismy
Nezbytné a dostatečné kritérium pro a d- periodická kohomologie je, že jediné abelianské podskupiny G jsou cyklické.[13] Například jakýkoli polopřímý produkt má tuto vlastnost pro coprime celá čísla n a m.
Aplikace
Algebraická K-teorie a homologie lineárních skupin
Algebraická K-teorie úzce souvisí se skupinovou kohomologií: v Quillenově + -konstrukce teorie K, K.-teorie prstenu R je definována jako homotopické skupiny prostoru Tady je nekonečný obecná lineární skupina. Prostor má stejnou homologii jako tj., skupinová homologie GL (R). V některých případech, stabilita výsledky tvrdí, že sekvence kohomologických skupin
se stane dostatečně velkým pro stání n, tedy redukující výpočet kohomologie nekonečné obecné lineární skupiny na jednu z některých . Takové výsledky byly stanoveny, když R je pole[14] nebo pro celá čísla v pole s číslem.[15]
Fenomén, který seskupuje homologii řady skupin stabilizuje se označuje jako homologická stabilita. Kromě případu právě zmíněno, to platí pro různé další skupiny, jako např symetrické skupiny nebo mapování skupin tříd.
Projektivní reprezentace a rozšíření skupiny
V kvantové mechanice máme často systémy se skupinou symetrie Očekáváme akci ve výši v Hilbertově prostoru jednotkovými maticemi Můžeme očekávat ale pravidla kvantové mechaniky vyžadují pouze
kde je fáze. Tento projektivní reprezentace z lze také považovat za konvenční reprezentaci a rozšíření skupiny z podle jak je popsáno v přesné posloupnosti
Vyžadující asociativitu
vede k
což uznáváme jako tvrzení, že tj. to je cyklus, který bere hodnoty v Můžeme se zeptat, zda můžeme eliminovat fáze předefinováním
který se mění
To považujeme za posunutí hranicí Zřetelná projektivní reprezentace jsou proto klasifikována podle Všimněte si, že pokud umožníme, aby skupina sama reagovala na fáze (například časový obrat by komplexně konjugoval fázi), pak první člen v každé z hraničních operací bude mít jedná podle toho jako v obecných definicích hranice v předchozích částech. Například,
Rozšíření
Kohomologie topologických skupin
Vzhledem k topologická skupina G, tj. skupina vybavená takovou topologií, že produkt a inverze jsou spojité mapy, je přirozené uvažovat o spojitosti G-moduly, tj. vyžadující akci
je spojitá mapa. U takových modulů lze znovu uvažovat o odvozeném funktoru . Zvláštní případ vyskytující se v algebře a teorie čísel je Když G je profinitní, například absolutní Galoisova skupina pole. Výsledná kohomologie se nazývá Galoisova kohomologie.
Neabelovská skupinová kohomologie
Za použití G-invarianty a 1-řetězce, lze sestrojit nultou a první skupinovou kohomologii pro skupinu G s koeficienty v neabelovské skupině. Konkrétně a G-skupina je (ne nutně abelianská) skupina A společně s akcí od G.
The nultá kohomologie G s koeficienty v A je definována jako podskupina
prvků A stanoveno G.
The první kohomologie G s koeficienty v A je definován jako 1-cocycles modulo vztah ekvivalence místo 1-coboundaries. Podmínka pro mapu být 1-kolečkem je to a pokud existuje A v A takhle . Obecně, není skupina, když A je neabelský. Místo toho má strukturu a špičatá sada - přesně stejná situace nastane v 0 homotopická skupina, což pro obecný topologický prostor není skupina, ale špičatá množina. Všimněte si, že skupina je zejména špičatá množina s prvkem identity jako rozlišovacím bodem.
Pomocí explicitních výpočtů jeden stále získá a zkrácen dlouhá přesná sekvence v kohomologii. Přesněji řečeno
být krátkou přesnou posloupností G-skupiny, pak existuje přesná sekvence špičatých sad
Historie a vztah k jiným oborům
Nízkodimenzionální kohomologie skupiny byla klasicky studována v jiných podobách, mnohem dříve, než byla v letech 1943–45 formulována představa o skupinové kohomologii. První teorém předmětu lze identifikovat jako Hilbertova věta 90 v roce 1897; toto bylo přepracováno do Emmy Noetherová rovnice v Galoisova teorie (vzhled cocycles pro ). Myšlenka sady faktorů pro problém s rozšířením pro skupiny (spojené s ) vznikl při práci Otto Hölder (1893), v Issai Schur Studie projektivních reprezentací z roku 1904 v roce 2006 Otto Schreier léčba v roce 1926 a v Richard Brauer Studie z roku 1928 jednoduché algebry a Brauerova skupina. Podrobnější diskusi o této historii najdete v (Weibel 1999, s. 806–811).
V roce 1941 při studiu (ve skupinách hraje zvláštní roli), Heinz Hopf objevil, co se nyní nazývá Hopfův integrální homologický vzorec (Hopf 1942 ), který je shodný se Schurovým vzorcem pro Multiplikátor Schur konečné, konečně prezentované skupiny:
kde a F je bezplatná skupina.
Výsledek Hopfa vedl k nezávislému objevu skupinové kohomologie několika skupinami v letech 1943-45: Samuel Eilenberg a Saunders Mac Lane ve Spojených státech (Rotman 1995, str. 358); Hopf a Beno Eckmann ve Švýcarsku; a Hans Freudenthal V Nizozemsku (Weibel 1999, str. 807). Situace byla chaotická, protože během druhé světové války byla komunikace mezi těmito zeměmi obtížná.
Z topologického hlediska byla nejprve definována homologie a kohomologie G jako homologie a kohomologie modelu pro topologickou třídicí prostor BG jak bylo diskutováno výše. V praxi to znamenalo použít topologii k výrobě řetězových komplexů používaných ve formálních algebraických definicích. Z modulově teoretického hlediska to bylo integrováno do Cartan –Eilenberg teorie homologická algebra na počátku 50. let.
Aplikace v algebraická teorie čísel na teorie pole poskytnuté věty platné obecně Galois rozšíření (ne jen abelian rozšíření ). Kohomologická část teorie třídního pole byla axiomatizována jako teorie třídní formace. To zase vedlo k představě Galoisova kohomologie a étale cohomology (který na tom staví) (Weibel 1999, str. 822). V teorii po roce 1960 byla učiněna některá vylepšení, například kontinuální cykly a John Tate je předefinování, ale základní obrysy zůstávají stejné. Toto je velké pole a nyní základní v teoriích algebraické skupiny.
Analogická teorie pro Lež algebry, volala Cohomologie lže algebry, byl poprvé vyvinut na konci 40. let 20. století autorem Claude Chevalley a Eilenberg a Jean-Louis Koszul (Weibel 1999, str. 810). Formálně je to podobné s použitím odpovídající definice neměnný pro akci algebry lži. Hodně se používá teorie reprezentace, a je úzce spojena s BRST kvantizace z teoretická fyzika.
Teorie skupinové kohomologie má také přímé uplatnění ve fyzice kondenzovaných látek. Stejně jako teorie grup je matematickým základem spontánní porušení symetrie fází, teorie skupinové kohomologie je matematickým základem třídy kvantových stavů hmoty - zapletené stavy krátkého dosahu se symetrií. Zapletené stavy krátkého dosahu se symetrií jsou také známé jako symetrické chráněné topologické stavy.[16][17]
Viz také
Poznámky
- ^ Toto používá tuto kategorii G-modulů je dost injekční, protože je izomorfní s kategorií všech moduly přes skupinové vyzvánění
- ^ Připomeňme, že tenzorový produkt je definován kdykoli N je právo -modul a M je levice -modul. Li N je levice -modul, uděláme z toho právo -modul nastavením ag = G−1A pro každého G ∈ G a každý A ∈ N. Tato konvence umožňuje definovat tenzorový produkt v případě, že oba M a N jsou ponechány - moduly.
- ^ Například dva jsou izomorfní, pokud jsou všechna prvočísla p takhle G má p-torze jsou invertibilní v k. Viz (Knudson 2001 ), Věta A.1.19 pro přesné vyjádření.
- ^ Pro tohle, G se předpokládá, že je diskrétní. Pro obecné topologické skupiny .
Reference
- ^ Stránka 62 z Milne 2008 nebo oddíl VII.3 Serre 1979
- ^ Dummit, David Steven; Foote, Richard M. Abstraktní algebra (Třetí vydání.). Hoboken, NJ. str. 801. ISBN 0-471-43334-9. OCLC 52559229.
- ^ Brown, Kenneth S. Kohomologie skupin. New York, New York. str. 35. ISBN 978-1-4684-9327-6. OCLC 853269200.
- ^ Evens, Leonard. (1991). Kohomologie skupin. Oxford: Clarendon Press. ISBN 0-19-853580-5. OCLC 23732584.
- ^ Hatcher, Allen (2002). Algebraická topologie. Cambridge: Cambridge University Press. str. 43. ISBN 0-521-79160-X. OCLC 45420394.
- ^ Webb, Peter. „Úvod do kohomologie skupin“ (PDF). Archivováno (PDF) z původního dne 6. května 2020.
- ^ Poznámka II.1.21 ze dne Milne 2008
- ^ (Brown 1972 ), §III.9
- ^ Quillen, Daniel. Spektrum ekvivariantního kohomologického kruhu. I. II. Ann. Matematika. (2) 94, 549-572, 573-602 (1971).
- ^ (Brown 1972 ), Cvičení III.1.3
- ^ (Knudson 2001 ), Kapitola 4
- ^ (Adem & Milgram 2004 ), Kapitola II.
- ^ (Brown 1972 ), §VI.9
- ^ Suslin, Andrei A. (1984), „Homology of , charakteristické třídy a Milnorova teorie ", Algebraická K-teorie, teorie čísel, geometrie a analýza, Přednášky z matematiky, 1046, Springer, str. 357–375
- ^ V tomto případě jsou koeficienty racionální. Borel, Armand (1974). "Stabilní skutečná kohomologie aritmetických skupin". Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. Serie 4. 7 (2): 235–272. doi:10,24033 / asens.1269. Archivovány od originál dne 2016-04-15. Citováno 2016-04-02.
- ^ Wang, Juven C .; Gu, Zheng-Cheng; Wen, Xiao-Gang (22. ledna 2015). „Terénní reprezentace topologických invariantů chráněných měřidlem-gravitací symetrie, skupinová kohomologie a další“. Dopisy o fyzické kontrole. Americká fyzická společnost (APS). 114 (3): 031601. arXiv:1405.7689. doi:10.1103 / physrevlett.114.031601. ISSN 0031-9007.
- ^ Wen, Xiao-Gang (4. května 2015). „Konstrukce bosonických symetrií chráněných-triviálních stavů a jejich topologické invarianty pomocí nelineárních modelů σ G × SO (∞)“. Fyzický přehled B. Americká fyzická společnost (APS). 91 (20): 205101. arXiv:1410.8477. doi:10.1103 / fyzrevb.91.205101. ISSN 1098-0121.
Citované práce
- Adem, Alejandro; Milgram, R. James (2004), Kohomologie konečných skupinGrundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 309 (2. vyd.), Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-662-06280-7, ISBN 978-3-540-20283-7, PAN 2035696, Zbl 1061.20044
- Brown, Kenneth S. (1972), Kohomologie skupin, Postgraduální texty z matematiky, 87Springer Verlag, ISBN 978-0-387-90688-1, PAN 0672956
- Hopf, Heinz (1942), „Fundamentalgruppe und zweite Bettische Gruppe“, Commentarii Mathematici Helvetici, 14 (1): 257–309, doi:10.1007 / BF02565622, JFM 68.0503.01, PAN 0006510, Zbl 0027.09503
- Knudson, Kevin P. (2001), Homologie lineárních skupinPokrok v matematice, 193Birkhäuser Verlag, Zbl 0997.20045
- Milne, Jamesi (2013), „Kapitola II: Kohomologie skupin“, Teorie pole třídy, v4.02
- Rotman, Joseph J. (1995), Úvod do teorie skupin, Postgraduální texty z matematiky, 148 (4. vydání), Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4612-4176-8, ISBN 978-0-387-94285-8, PAN 1307623
- Serre, Jean-Pierre (1979). „Kapitola VII“. Místní pole. Postgraduální texty z matematiky. 67. Berlín, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90424-5. PAN 0554237. Zbl 0423.12016.
- Weibel, Charles A. (1999), „Historie homologické algebry“, Historie topologie, Cambridge University Press, str. 797–836, CiteSeerX 10.1.1.39.9076, doi:10.1016 / B978-044482375-5 / 50029-8, ISBN 978-0-444-82375-5, PAN 1721123
Další čtení
- Serre, Jean-Pierre (1994), Cohomologie galoisiennePřednášky z matematiky, 5 (Páté vydání), Berlín, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007 / BFb0108758, ISBN 978-3-540-58002-7, PAN 1324577
- Shatz, Stephen S. (1972), Nekonečné skupiny, aritmetika a geometriePrinceton, NJ: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08017-8, PAN 0347778
- Kapitola 6 z Weibel, Charles A. (1994). Úvod do homologické algebry. Cambridge studia pokročilé matematiky. 38. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-55987-4. PAN 1269324. OCLC 36131259.