Glosář teorie skupin - Glossary of group theory

Algebraická struktura → Skupinová teorie Skupinová teorie
Základní pojmy Podskupina Normální podskupina Kvocientová skupina (Částečně)přímý produkt Skupinové homomorfismy jádro obraz přímý součet produkt věnce jednoduchý konečný nekonečný kontinuální multiplikativní přísada cyklický abelian vzepětí nilpotentní řešitelný Glosář teorie skupin Seznam témat teorie skupin
Konečné skupiny Klasifikace konečných jednoduchých skupin cyklický střídavý Typ lži sporadický Cauchyova věta Lagrangeova věta Sylowovy věty Hallova věta p-skupina Základní abelianská skupina Skupina Frobenius Multiplikátor Schur Symetrická skupina Sn Kleinova čtyřčlenná skupina PROTI Vzepětí skupina Dn Čtveřice skupina Q Dicyklická skupina Dicn
Diskrétní skupiny Mříže Celá čísla (Z) Zdarma skupina Modulární skupiny PSL (2,Z) SL (2,Z) Aritmetická skupina Mříž Hyperbolická skupina
Topologické a Lež skupiny Solenoid Kruh Obecné lineární GL (n) Speciální lineární SL (n) Ortogonální Ó(n) Euklidovský E(n) Speciální ortogonální TAK(n) Unitary U (n) Speciální unitární SU (n) Symplektický Sp (n) G2 F4 E6 E7 E8 Lorentz Poincaré Konformní Difomorfismus Smyčka Nekonečná dimenzionální Lieova skupina O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Algebraické skupiny Lineární algebraická skupina Redukční skupina Abelianská odrůda Eliptická křivka

A skupina je sada společně s asociativní operace, která připouští prvek identity a takový, že každý prvek má inverzní.

V celém článku používáme ${ displaystyle e}$ k označení prvku identity skupiny.

A

abelianská skupina

Skupina ${ displaystyle (G, *)}$ je abelian -li ${ displaystyle *}$ je komutativní, tj. ${ displaystyle g * h = h * g}$ pro všechny ${ displaystyle g}$,${ displaystyle h}$ ∈ ${ displaystyle G}$. Podobně skupina je nonabelian pokud tento vztah pro jakýkoli pár selže ${ displaystyle g}$,${ displaystyle h}$ ∈ ${ displaystyle G}$.

nadřazená podskupina

A podskupina H skupiny G je stoupající pokud existuje vzestup řada podskupin začínající od H a končí v G, takže každý termín v řadě je a normální podskupina jeho nástupce. Série může být nekonečná. Pokud je řada konečná, pak je to podskupina podnormální.

automorfismus

An automorfismus skupiny je izomorfismus skupiny pro sebe.

C

střed skupiny

The střed skupiny G, označeno Z (G), je sada těch skupinových prvků, které dojíždějí se všemi prvky G, tj. soubor všech h ∈ G takhle hg = gh pro všechny G ∈ G. Z (G) je vždy normální podskupina z G. SkupinaG je abelian kdyby a jen kdyby Z (G) = G.

skupina bez centra

Skupina G je bez centra, pokud je centrum Z (G) je triviální.

centrální podskupina

A podskupina skupiny je a centrální podskupina této skupiny, pokud leží uvnitř střed skupiny.

funkce třídy

A funkce třídy ve skupině G je funkce, která je konstantní na třídy konjugace z G.

číslo třídy

The číslo třídy skupiny je počet jejích třídy konjugace.

komutátor

The komutátor dvou prvků G a h skupinyG je prvek [G, h] = G⁻¹h⁻¹gh. Někteří autoři definují komutátor jako [G, h] = ghg⁻¹h⁻¹ namísto. Komutátor dvou prvků G a h se rovná identitě skupiny právě tehdy G a h komutovat, tedy jen a jen tehdy gh = hg.

podskupina komutátoru

The podskupina komutátoru nebo odvozená podskupina skupiny je podskupina generováno všemi komutátory skupiny.

kompoziční série

A kompoziční série skupiny G je subnormální série konečné délky

${ displaystyle 1 = H_ {0} triangleleft H_ {1} triangleleft cdots triangleleft H_ {n} = G,}$

s přísnými inkluze, tak, aby každý H_i je maximální přísný normální podskupina z H_i+1. Ekvivalentně je kompoziční řada subnormální řadou tak, že každá skupina faktorů H_i+1 / H_i je jednoduchý. Skupiny faktorů se nazývají faktory složení.

podskupina uzavřená konjugací

A podskupina o skupině se říká, že je konjugace uzavřena pokud existují dva prvky podskupiny, které jsou sdružené ve skupině jsou také konjugovány v podskupině.

třída konjugace

The třídy konjugace skupiny G jsou tyto podmnožiny G obsahující prvky skupiny, které jsou sdružené jeden s druhým.

konjugované prvky

Dva prvky X a y skupinyG jsou sdružené pokud existuje prvek G ∈ G takhle G⁻¹xg = y. Prvek G⁻¹xg, označeno X^G, se nazývá konjugát X podle G. Někteří autoři definují konjugát X podle G tak jako gxg⁻¹. To se často označuje ^GX. Konjugace je vztah ekvivalence. Své třídy ekvivalence jsou nazývány třídy konjugace.

sdružovat podskupiny

Dvě podskupiny H₁ a H₂ skupiny G jsou sdružovat podskupiny pokud existuje G ∈ G takhle gH₁G⁻¹ = H₂.

kontranormální podskupina

A podskupina skupiny G je kontranormální podskupina z G Pokud je to normální uzavření je G sám.

cyklická skupina

A cyklická skupina je skupina, která je generováno jediným prvkem, tj. skupinou tak, že existuje prvek G ve skupině tak, že každý další prvek skupiny lze získat opakovaným použitím operace skupiny naG nebo jeho inverzní.

D

odvozená podskupina

Synonymum pro podskupina komutátoru.

přímý produkt

The přímý produkt dvou skupin G a H, označeno G × H, je kartézský součin podkladových sad G a H, který je vybaven komponentově definovanou binární operací (G₁, h₁) · (G₂, h₂) = (G₁ ⋅ G₂, h₁ ⋅ h₂). S touto operací G × H sám tvoří skupinu.

F

skupina faktorů

Synonymum pro kvocientová skupina.

Skupina FC

Skupina je Skupina FC pokud každý třída konjugace jeho prvků má konečnou mohutnost.

konečná skupina

A konečná skupina je skupina konečných objednat, tj. skupina s konečným počtem prvků.

G

skupinový automorfismus

Vidět automorfismus.

skupinový homomorfismus

Vidět homomorfismus.

skupinový isomomorfismus

Vidět izomomorfismus.

H

homomorfismus

Vzhledem k tomu, dvě skupiny (G, ∗) a (H, ·), a homomorfismus z G na H je funkce h : G → H takové, že pro všechny A a b v G, h(A∗b) = h(A) · h(b).

Já

index podskupiny

The index a podskupina H skupiny G, označeno |G : H| nebo [G : H] nebo (G : H), je počet kosety z H v G. Pro normální podskupina N skupiny Gindex indexu N v G se rovná objednat z kvocientová skupina G / N. Pro konečný podskupina H konečné skupiny Gindex indexu H v G se rovná kvocientu objednávek G a H.

izomorfismus

Vzhledem k tomu, dvě skupiny (G, ∗) a (H, ·), an izomorfismus mezi G a H je bijektivní homomorfismus z G na H, tj. individuální korespondence mezi prvky skupin způsobem, který respektuje dané skupinové operace. Dvě skupiny jsou izomorfní pokud existuje skupinový izomorfismus mapující z jednoho do druhého. Izomorfní skupiny lze považovat za v podstatě stejné, pouze s různými štítky na jednotlivých prvcích.

L

mřížka podskupin

The mřížka podskupin skupiny je mříž definováno jeho podskupiny, částečně objednané podle nastavit zařazení.

N

normální uzavření

The normální uzavření podmnožinyS skupinyG je křižovatkou všech normální podskupiny zG které obsahujíS.

normální jádro

The normální jádro a podskupina H skupiny G je největší normální podskupina z G který je obsažen v H.

normalizátor

Pro podmnožinu S skupinyG, normalizátor z S v G, označeno N_G(S), je podskupinou G definován

${ displaystyle mathrm {N} _ {G} (S) = {g v G mid gS = Sg }.}$

A podskupina N skupiny G je normální v G (označeno ${ displaystyle N triangleleft G}$) pokud časování prvku n z N elementem G z G je vždy v N, tedy pokud pro všechny G ∈ G a n ∈ N, gng⁻¹ ∈ N. Normální podskupina N skupiny G lze použít ke konstrukci kvocientová skupina G/N (G mod N).

Ó

pořadí skupiny

The pořadí skupiny ${ displaystyle (G, *)}$ je mohutnost (tj. počet prvků) ${ displaystyle G}$. Skupina s konečným uspořádáním se nazývá a konečná skupina.

pořadí prvku skupiny

The pořadí prvku G skupiny G je nejmenší pozitivní celé číslo n takhle Gⁿ = E. Pokud takové celé číslo neexistuje, pak pořadí G se říká, že je nekonečný. Pořadí konečné skupiny je dělitelný podle pořadí každého prvku.

P

dokonalé jádro

The dokonalé jádro skupiny je největší perfektní podskupina.

dokonalá skupina

A dokonalá skupina je skupina, která se rovná její vlastní podskupina komutátoru.

periodická skupina

Skupina je periodicky pokud má každý prvek skupiny konečnou hodnotu objednat. Každý konečná skupina je periodický.

permutační skupina

A permutační skupina je skupina, jejíž prvky jsou obměny daného soubor M (dále jen bijektivní funkce ze sady M pro sebe) a jehož skupinová operace je složení těchto permutací. Skupina skládající se ze všech permutací sady M je symetrická skupina z M.

p-skupina

Li p je prvočíslo, pak p-skupina je ten, ve kterém je pořadí každého prvku silou p. Konečnou skupinou je a p-skupina právě tehdy, když objednat skupiny je síla p.

p- podskupina

A podskupina což je také a p-skupina. Studium p-subgroups je ústředním objektem Sylowovy věty.

Q

kvocientová skupina

Vzhledem ke skupině ${ displaystyle G}$ a a normální podskupina ${ displaystyle N}$ z ${ displaystyle G}$, kvocientová skupina je sada ${ displaystyle G}$/${ displaystyle N}$ z levé kosety ${ displaystyle {aN: a v G }}$ společně s operací ${ displaystyle aN * bN = abN.}$ Vztah mezi normálními podskupinami, homomorfismy a skupinami faktorů je shrnut v základní věta o homomorfismech.

R

skutečný prvek

Prvek G skupiny G se nazývá a skutečný prvek z G pokud patří ke stejnému třída konjugace jako jeho inverzní, tj. pokud existuje h v G s ${ displaystyle g ^ {h} = g ^ {- 1}}$, kde ${ displaystyle g ^ {h}}$ je definován jako h⁻¹gh. Prvek skupiny G je skutečný právě tehdy, když pro všechny reprezentace z G the stopa odpovídající matice je reálné číslo.

S

sériová podskupina

A podskupina H skupiny G je sériová podskupina z G pokud existuje řetěz C podskupin z G z H na G takové, že pro každou dvojici po sobě následujících podskupin X a Y v C, X je normální podskupina z Y. Pokud je řetěz konečný, pak H je podnormální podskupina z G.

jednoduchá skupina

A jednoduchá skupina je netriviální skupina jehož jediný normální podskupiny jsou triviální skupina a skupina sama.

podskupina

A podskupina skupiny G je podmnožina H prvků G která sama tvoří skupinu, je-li vybavena omezením skupinová operace z G na H×H. Podmnožina H skupiny G je podskupina G právě když je to neprázdné a Zavřeno pod produkty a inverze, to znamená, že jen a jen pro každý A a b v H, ab a A⁻¹ jsou také v H.

řada podskupin

A řada podskupin skupiny G je posloupnost podskupiny z G takže každý prvek v řadě je podskupinou dalšího prvku:

${ displaystyle 1 = A_ {0} leq A_ {1} leq cdots leq A_ {n} = G.}$

T

torzní skupina

Synonymum pro periodická skupina.

přechodně normální podskupina

A podskupina o skupině se říká, že je přechodně normální ve skupině, pokud každý normální podskupina podskupiny je také normální v celé skupině.

triviální skupina

A triviální skupina je skupina skládající se z jediného prvku, konkrétně prvku identity skupiny. Všechny takové skupiny jsou izomorfní, a jeden často mluví o the triviální skupina.

Základní definice

Podskupina. A podmnožina ${ displaystyle H}$ skupiny ${ displaystyle (G, *)}$ který při operaci zůstává skupinou ${ displaystyle *}$ je omezeno na ${ displaystyle H}$ se nazývá a podskupina z ${ displaystyle G}$.

Vzhledem k podmnožině ${ displaystyle S}$ z ${ displaystyle G}$. Označujeme ${ displaystyle$} nejmenší podskupina ${ displaystyle G}$ obsahující ${ displaystyle S}$. ${ displaystyle$} se nazývá podskupina ${ displaystyle G}$ generováno uživatelem ${ displaystyle S}$.

Normální podskupina. ${ displaystyle H}$ je normální podskupina z ${ displaystyle G}$ pokud pro všechny ${ displaystyle g}$ v ${ displaystyle G}$ a ${ displaystyle h}$ v ${ displaystyle H}$, ${ displaystyle g * h * g ^ {- 1}}$také patří ${ displaystyle H}$.

Jak podskupiny, tak normální podskupiny dané skupiny tvoří a úplná mříž pod zahrnutím podmnožin; tuto vlastnost a některé související výsledky popisuje věta o mřížce.

Skupinový homomorfismus. To jsou funkce ${ displaystyle f tlustého střeva (G, *) do (H, krát)}$ které mají zvláštní vlastnost, že

${ displaystyle f (a * b) = f (a) krát f (b),}$

pro všechny prvky ${ displaystyle a}$ a ${ displaystyle b}$ z ${ displaystyle G}$.

Jádro skupinového homomorfismu. To je preimage identity v codomain skupinového homomorfismu. Každá normální podskupina je jádrem skupinového homomorfismu a naopak.

Skupinový izomorfismus. Skupinové homomorfismy, které mají inverzní funkce. Ukázalo se, že inverzní izomorfismus musí být také homomorfismus.

Izomorfní skupiny. Dvě skupiny jsou izomorfní pokud existuje skupinový izomorfismus mapující z jednoho do druhého. Izomorfní skupiny lze považovat za v podstatě stejné, pouze s různými označeními na jednotlivých prvcích. Jedním ze základních problémů teorie skupin je klasifikace skupin až do izomorfismus.

Přímý produkt, přímý součet, a polopřímý produkt skupin. Jedná se o způsoby kombinování skupin za účelem vytvoření nových skupin; vysvětlení naleznete v příslušných odkazech.

Druhy skupin

Konečně vygenerovaná skupina. Pokud existuje konečná množina ${ displaystyle S}$ takhle ${ displaystyle$ = G,} pak ${ displaystyle G}$ se říká, že je definitivně generováno. Li ${ displaystyle S}$ lze mít pouze jeden prvek, ${ displaystyle G}$ je cyklická skupina konečného řádu, an nekonečná cyklická skupina, případně skupina ${ displaystyle {e }}$ pouze s jedním prvkem.

Jednoduchá skupina. Jednoduché skupiny jsou skupiny, které mají pouze ${ displaystyle e}$ a sami sebe jako normální podskupiny. Název je zavádějící, protože jednoduchá skupina může být ve skutečnosti velmi složitá. Příkladem je skupina příšer, jehož objednat je asi 10⁵⁴. Každá konečná skupina je vytvořena z jednoduchých skupin prostřednictvím rozšíření skupiny, takže studium konečných jednoduchých skupin je ústředním bodem pro studium všech konečných skupin. Konečné jednoduché skupiny jsou známé a klasifikovaný.

Struktura jakékoli konečné abelianské skupiny je relativně jednoduchá; každá konečná abelianská skupina je přímým součtem cyklický p-skupiny. To lze rozšířit na úplnou klasifikaci všech konečně generované abelianské skupiny, to jsou všechny abelianské skupiny, které jsou generováno konečnou množinou.

U neabelovských skupin je situace mnohem komplikovanější.

Zdarma skupina. Vzhledem k jakékoli sadě ${ displaystyle A}$, lze definovat skupinu jako nejmenší skupinu obsahující bezplatná poloskupina z ${ displaystyle A}$. Skupina se skládá z konečných řetězců (slov), které lze skládat z prvků z ${ displaystyle A}$, spolu s dalšími prvky, které jsou nezbytné pro vytvoření skupiny. Násobení řetězců je například definováno zřetězením ${ displaystyle (abb) * (bca) = abbbca.}$

Každá skupina ${ displaystyle (G, *)}$ je v podstatě skupina faktorů volné skupiny generované ${ displaystyle G}$. Obraťte se prosím na prezentace skupiny pro další vysvětlení. Jeden se pak může zeptat algoritmické otázky týkající se těchto prezentací, například:

• Specifikují tyto dvě prezentace izomorfní skupiny ?; nebo
• Určuje tato prezentace triviální skupinu?

Obecným případem je slovní úloha a některé z těchto otázek jsou ve skutečnosti neřešitelné jakýmkoli obecným algoritmem.

Obecná lineární skupina, označeno GL (n, F), je skupina ${ displaystyle n}$-podle-${ displaystyle n}$ invertibilní matice, kde jsou prvky matic převzaty z a pole ${ displaystyle F}$ jako jsou reálná čísla nebo komplexní čísla.

Skupinové zastoupení (nezaměňovat s prezentace skupiny). A skupinové zastoupení je homomorfismus ze skupiny do obecné lineární skupiny. Jeden se v podstatě pokouší „reprezentovat“ danou abstraktní skupinu jako konkrétní skupinu invertibilních matice což je mnohem snazší studovat.

Viz také

• Glosář Lieových skupin a Lieových algeber
• Glosář teorie prstenů
• Složení série
• Normální série