Funktor - Functor - Wikipedia

v matematika konkrétně teorie kategorií, a funktor je mapování mezi Kategorie. Funktory byly poprvé zvažovány v algebraická topologie, kde algebraické objekty (například základní skupina ) jsou spojeny s topologické prostory a jsou přidruženy mapy mezi těmito algebraickými objekty kontinuální mapy mezi mezerami. V dnešní době se funktory používají v celé moderní matematice k propojení různých kategorií. Funktory jsou tedy důležité ve všech oblastech matematiky teorie kategorií je použito.

Slova kategorie a funktor si vypůjčili matematici od filozofů Aristoteles a Rudolf Carnap, resp.^[1] Ten použitý funktor v jazykové kontext;^[2]vidět funkční slovo.

Definice

Nechat C a D být Kategorie. A funktor F z C na D je to mapování^[3]

• přidruží ke každému objektu ${ displaystyle X}$ v C s objektem ${ displaystyle F (X)}$ v D,
• přidružuje ke každému morfismu ${ displaystyle f dvojtečka X až Y}$ v C s morfismem ${ displaystyle F (f) dvojtečka F (X) až F (Y)}$ v D tak, aby platily následující dvě podmínky:
  • ${ displaystyle F ( mathrm {id} _ {X}) = mathrm {id} _ {F (X)} , !}$ pro každý objekt ${ displaystyle X}$ v C,
  • ${ displaystyle F (g circ f) = F (g) circ F (f)}$ pro všechny morfismy ${ displaystyle f dvojtečka X na Y , !}$ a ${ displaystyle g dvojtečka Y až Z}$ v C.

To znamená, funktory musí zachovat morfismy identity a složení morfismů.

Kovariance a kontrariance

V matematice existuje mnoho konstrukcí, které by byly funktory, ale za to, že „obracejí morfismy“ a „obrácení složení“. Poté definujeme a kontravariantní funktor F z C na D jako mapování

• přidruží ke každému objektu ${ displaystyle X}$ v C s objektem ${ displaystyle F (X)}$ v D,
• přidružuje ke každému morfismu ${ displaystyle f dvojtečka X až Y}$ v C s morfismem ${ displaystyle F (f) dvojtečka F (Y) až F (X)}$ v D tak, aby platily následující dvě podmínky:
  • ${ displaystyle F ( mathrm {id} _ {X}) = mathrm {id} _ {F (X)} , !}$ pro každý objekt ${ displaystyle X}$ v C,
  • ${ displaystyle F (g circ f) = F (f) circ F (g)}$ pro všechny morfismy ${ displaystyle f dvojtečka X až Y}$ a ${ displaystyle g dvojtečka Y až Z}$ v C.

Všimněte si, že kontravariantní funktory mění směr složení.

Běžní funktory se také nazývají kovarianční funktory abychom je odlišili od těch, které si odporují. Všimněte si, že lze také definovat kontravariantní funktor jako a kovariantní funktor na opačná kategorie ${ displaystyle C ^ { mathrm {op}}}$.^[4] Někteří autoři dávají přednost psaní všech výrazů kovariantně. To znamená, místo aby řekl ${ displaystyle F dvojtečka C až D}$ je kontravariantní funktor, jednoduše píší ${ displaystyle F colon C ^ { mathrm {op}} do D}$ (nebo někdy ${ displaystyle F dvojtečka C až D ^ { mathrm {op}}}$) a nazvat to funktorem.

Příležitostně se také nazývají kontrastní funktory spolupracovníci.^[5]

Existuje konvence, která odkazuje na „vektory“ - tj. vektorová pole, prvky prostoru sekcí ${ displaystyle Gamma (TM)}$ a tečný svazek ${ displaystyle TM}$- jako „kontravariantní“ a „covektory“ - tj. 1-formy, prvky prostoru sekcí ${ displaystyle Gamma (T ^ {*} M)}$ a kotangenský svazek ${ displaystyle T ^ {*} M}$—Jako „kovariant“. Tato terminologie pochází z fyziky a její odůvodnění souvisí s pozicí indexů („nahoře“ a „dole“) v výrazy jako ${ displaystyle x '^ {, i} = Lambda _ {j} ^ {i} x ^ {j}}$ pro ${ displaystyle mathbf {x} '= { boldsymbol { Lambda}} mathbf {x}}$ nebo ${ displaystyle omega '_ {i} = Lambda _ {i} ^ {j} omega _ {j}}$ pro ${ displaystyle { boldsymbol { omega}} '= { boldsymbol { omega}} { boldsymbol { Lambda}} ^ {T}.}$ V tomto formalismu je pozorováno, že symbol transformace souřadnic ${ displaystyle Lambda _ {i} ^ {j}}$ (představující matici ${ displaystyle { boldsymbol { Lambda}} ^ {T}}$) působí na základní vektory „stejným způsobem“ jako na „souřadnice vektoru“: ${ displaystyle mathbf {e} _ {i} = Lambda _ {i} ^ {j} mathbf {e} _ {j}}$—Když působí „opačným způsobem“ na „vektorové souřadnice“ (ale „stejným způsobem“ jako na základě základních vektorů: ${ displaystyle mathbf {e} ^ {i} = Lambda _ {j} ^ {i} mathbf {e} ^ {j}}$). Tato terminologie je v rozporu s terminologií používanou v teorii kategorií, protože se jedná o covektory odvolání obecně a tak jsou kontrariantní, zatímco vektory obecně jsou kovariantní protože mohou být tlačil dopředu. Viz také Kovariance a kontravariance vektorů.

Opačný funktor

Každý funktor ${ displaystyle F dvojtečka C až D}$ vyvolává opačný funktor ${ displaystyle F ^ { mathrm {op}} dvojtečka C ^ { mathrm {op}} do D ^ { mathrm {op}}}$, kde ${ displaystyle C ^ { mathrm {op}}}$ a ${ displaystyle D ^ { mathrm {op}}}$ jsou opačné kategorie na ${ displaystyle C}$ a ${ displaystyle D}$.^[6] Podle definice, ${ displaystyle F ^ { mathrm {op}}}$ mapuje objekty a morfismy identicky na ${ displaystyle F}$. Od té doby ${ displaystyle C ^ { mathrm {op}}}$ se neshoduje s ${ displaystyle C}$ jako kategorie a podobně pro ${ displaystyle D}$, ${ displaystyle F ^ { mathrm {op}}}$ se odlišuje od ${ displaystyle F}$. Například při komponování ${ displaystyle F colon C_ {0} až C_ {1}}$ s ${ displaystyle G dvojtečka C_ {1} ^ { mathrm {op}} do C_ {2}}$, jeden by měl použít buď ${ displaystyle G circ F ^ { mathrm {op}}}$ nebo ${ displaystyle G ^ { mathrm {op}} circ F}$. Všimněte si, že v návaznosti na vlastnost opačná kategorie, ${ displaystyle (F ^ { mathrm {op}}) ^ { mathrm {op}} = F}$.

Bifunktory a multifunkční zařízení

A bifunktor (také známý jako binární funktor) je funktor, jehož doménou je a kategorie produktů. Například Hom funktor je typu C^op × C → Soubor. To může být viděno jako funktor v dva argumenty. The Hom funktor je přirozeným příkladem; v jednom argumentu je kontrariantní, v druhém kovariantní.

A multifunkční je zobecněním konceptu funktoru na n proměnné. Například bifunctor je multifunctor s n = 2.

Příklady

Diagram: Pro kategorie C a J, schéma typu J v C je kovariantní funktor ${ displaystyle D dvojtečka J až C}$.

(Kategorie teoretická) nahoře: Pro kategorie C a J, a J-presheaf on C je kontravariantní funktor ${ displaystyle D dvojtečka C až J}$.

Předškoláci: Li X je topologický prostor, pak otevřené sady v X tvoří a částečně objednaná sada Otevřeno(X) v zařazení. Jako každá částečně objednaná sada, Open (X) tvoří malou kategorii přidáním jediné šipky U → PROTI kdyby a jen kdyby ${ displaystyle U subseteq V}$. Kontrastující funktory na Open (X) jsou nazývány předvádí na X. Například přiřazením ke každé otevřené sadě U the asociativní algebra reálných hodnot kontinuálních funkcí na U, jeden získá presheaf algeber na X.

Konstantní funktor: Funktor C → D který mapuje každý objekt C k pevnému objektu X v D a každý morfismus v C k morfismu identity X. Takový funktor se nazývá a konstantní nebo výběr funktor.

Endofunctor: Funktor, který mapuje kategorii do stejné kategorie; např., polynomiální funktor.

Funktor identity: v kategorii C, psaný 1_C nebo id_C, mapuje objekt k sobě a morfismus k sobě. Funktor identity je endofunctor.

Diagonální funktor: diagonální funktor je definován jako funktor z D do kategorie funktor D^C který posílá každý objekt dovnitř D do konstantního funktoru u tohoto objektu.

Limitní funktor: Pro pevné kategorie indexu J, pokud každý funktor J → C má omezit (například pokud C ), pak limitní funktor C^J → C přiřadí každému funktoru jeho limit. Existenci tohoto funktoru lze prokázat tím, že si uvědomíme, že jde o pravý adjoint do diagonální funktor a vyvolání Freydova adjunkční věta o funktoru. To vyžaduje vhodnou verzi axiom volby. Podobné poznámky platí i pro funktor colimit (který každému funktoru přiřadí jeho colimit a je kovariantní).

Napájecí sady: Funktor množiny výkonů P : Soubor → Soubor mapuje každou sadu na její napájecí sada a každou funkci ${ displaystyle f dvojtečka X až Y}$ na mapu, která posílá ${ displaystyle U in { mathcal {P}} (X)}$ k jeho obrazu ${ displaystyle f (U) in { mathcal {P}} (Y)}$. Lze také zvážit kontrariantní funktor množiny výkonů který posílá ${ displaystyle f dvojtečka X až Y}$ na mapu, která odešle ${ displaystyle V subseteq Y}$ k jeho inverzní obraz ${ displaystyle f ^ {- 1} (V) subseteq X.}$

Například pokud ${ displaystyle X = {0,1 }}$ pak ${ displaystyle F (X) = { mathcal {P}} (X) = { {}, {0 }, {1 }, X }}$. Předpokládat ${ displaystyle f (0) = {}}$ a ${ displaystyle f (1) = X}$. Pak ${ displaystyle F (f)}$ je funkce, která odesílá jakoukoli podmnožinu ${ displaystyle U}$ z ${ displaystyle X}$ k jeho obrazu ${ displaystyle f (U)}$, což v tomto případě znamená${ displaystyle {} mapsto f ( {}) = {}}$, kde ${ displaystyle mapsto}$ označuje mapování pod ${ displaystyle F (f)}$, takže toto by se dalo napsat také jako ${ displaystyle (F (f)) ( {}) = {}}$. U ostatních hodnot ${ displaystyle {0 } mapsto f ( {0 }) = {f (0) } = { {} }, {1 } mapsto f ( {1 }) = {f (1) } = {X }, {0,1 } mapsto f ( {0,1 }) = {f (0), f (1) } = { {}, X }.}$ Všimněte si, že ${ displaystyle f ( {0,1 })}$ následně generuje triviální topologie na ${ displaystyle X}$. Všimněte si také, že i když funkce ${ displaystyle f}$ v tomto příkladu mapováno na výkonovou sadu ${ displaystyle X}$, obecně to tak nemusí být.

Duální vektorový prostor: Mapa, která se přiřadí každému vektorový prostor své dvojí prostor a všem lineární mapa jeho duální nebo transpoziční je kontravariantní funktor z kategorie všech vektorových prostorů nad pevným pole pro sebe.

Základní skupina: Zvažte kategorii špičaté topologické prostory, tj. topologické prostory s rozlišovacími body. Objekty jsou páry (X, X₀), kde X je topologický prostor a X₀ je bod v X. Morfismus z (X, X₀) na (Y, y₀) je dán a kontinuální mapa F : X → Y s F(X₀) = y₀.

Do každého topologického prostoru X s rozlišovacím bodem X₀, lze definovat základní skupina se sídlem v X₀, označeno π₁(X, X₀). To je skupina z homotopy třídy smyček založené na X₀. Li F : X → Y je morfismus špičaté mezery, pak každá smyčka X se základním bodem X₀ lze skládat s F získat smyčku Y se základním bodem y₀. Tato operace je kompatibilní s homotopií vztah ekvivalence a složení smyček a dostaneme a skupinový homomorfismus z π (X, X₀) na π (Y, y₀). Získáváme tak funktor z kategorie špičatých topologických prostorů do kategorie skupin.

V kategorii topologických prostorů (bez rozlišovacího bodu) se uvažuje o třídách homotopy obecných křivek, ale nelze je skládat, pokud nesdílejí koncový bod. Tak jeden má základní grupoid místo základní skupiny a tato konstrukce je funkční.

Algebra spojitých funkcí: kontravariantní funktor z kategorie topologické prostory (se spojitými mapami jako morfismy) do kategorie reálných asociativní algebry je dán přiřazením ke každému topologickému prostoru X algebra C (X) všech souvislých funkcí se skutečnou hodnotou v tomto prostoru. Každá souvislá mapa F : X → Y vyvolává homomorfismus algebry C(F): C (Y) → C (X) pravidlem C(F)(φ) = φ ∘ F pro každého φ v C (Y).

Tečné a kotangentní svazky: Mapa, která posílá všechny diferencovatelné potrubí k jeho tečný svazek a každý hladká mapa k jeho derivát je kovariantní funktor z kategorie diferencovatelných potrubí do kategorie vektorové svazky.

Provedení této konstrukce bodově dává tečný prostor, kovariantní funktor z kategorie špičatých diferencovatelných variet do kategorie reálných vektorových prostorů. Rovněž, kotangensový prostor je kontravariantní funktor, v podstatě složení tečného prostoru s dvojí prostor výše.

Skupinové akce / reprezentace: Každý skupina G lze považovat za kategorii s jediným objektem, jehož morfismy jsou prvky G. Funktor z G na Soubor pak není nic jiného než a skupinová akce z G na konkrétní množině, tj G-soubor. Podobně funktor z G do kategorie vektorových prostorů, Vect_K., je lineární reprezentace z G. Obecně funktor G → C lze považovat za „akci“ z G na objekt v kategorii C. Li C je skupina, pak je tato akce skupinovým homomorfismem.

Lež algebry: Přiřazení ke každému reálnému (komplexnímu) Lež skupina jeho skutečný (komplexní) Lež algebra definuje funktor.

Tenzorové produkty: Li C označuje kategorii vektorových prostorů nad pevným polem s lineární mapy jako morfismy, pak tenzorový produkt ${ displaystyle V otimes W}$ definuje funktor C × C → C který je v obou argumentech kovariantní.^[7]

Zapomnětlivé funktory: Funktor U : Grp → Soubor který mapuje a skupina k jeho podkladové sadě a skupinový homomorfismus k jeho základní funkci množin je funktor.^[8] Funktory, jako jsou tyto, které „zapomínají“ na nějakou strukturu, se nazývají zapomnětlivé funktory. Dalším příkladem je funktor Rng → Ab který mapuje a prsten k jeho základní přísadě abelianská skupina. Morfismy v Rng (kruhové homomorfismy ) stávají se morfismem v Ab (homomorfismy abelianské skupiny).

Bezplatné funktory: Opačným směrem zapomnětlivých funktorů jsou funktory zdarma. Volný funktor F : Soubor → Grp odešle každou sadu X do volná skupina generováno uživatelem X. Funkce jsou mapovány do skupinových homomorfismů mezi volnými skupinami. Pro mnoho kategorií existují bezplatné konstrukce založené na strukturovaných sadách. Vidět volný objekt.

Skupiny homomorfismu: Každému páru A, B z abelianské skupiny lze přiřadit abelianskou skupinu Hom (A, B) skládající se ze všech skupinové homomorfismy z A na B. Toto je funktor, který je v prvním argumentu kontrariantní a v druhém argumentu kovariantní, tj. Je to funktor Ab^op × Ab → Ab (kde Ab označuje kategorie abelianských skupin se skupinovými homomorfismy). Li F : A₁ → A₂ a G : B₁ → B₂ jsou morfismy v Ab, pak skupinový homomorfismus Hom (F, G): Hom (A₂, B₁) → Hom (A₁, B₂) darováno φ ↦ G ∘ φ ∘ F. Vidět Hom funktor.

Reprezentativní funktory: Předchozí příklad můžeme zobecnit na libovolnou kategorii C. Každému páru X, Y předmětů v C lze přiřadit sadu Hom (X, Y) morfismů z X na Y. To definuje funktor na Soubor který je v prvním argumentu kontrariantní a ve druhém kovariantní, tj. je to funktor C^op × C → Soubor. Li F : X₁ → X₂ a G : Y₁ → Y₂ jsou morfismy v C, pak mapa Hom (F, G): Hom (X₂, Y₁) → Hom (X₁, Y₂) darováno φ ↦ G ∘ φ ∘ F.

Takové funktory se nazývají reprezentativní funktory. Důležitým cílem v mnoha nastaveních je určit, zda je daný funktor reprezentovatelný.

Vlastnosti

Dva důležité důsledky funktoru axiomy jsou:

• F transformuje každý komutativní diagram v C v komutativním diagramu v D;
• -li F je izomorfismus v C, pak F(F) je izomorfismus v D.

Lze skládat funktory, tj. Pokud F je funktor z A na B a G je funktor z B na C pak lze vytvořit složený funktor G ∘ F z A na C. Složení funktorů je tam, kde je definováno, asociativní. Identita složení funktorů je funktor identity. To ukazuje, že funktory lze považovat za morfismy v kategoriích kategorií, například v kategorie malých kategorií.

Malá kategorie s jedním objektem je totéž jako a monoidní: morfismy kategorie s jedním objektem lze považovat za prvky monoidu a kompozici v kategorii považujeme za monoidní operaci. Funktory mezi kategoriemi jednoho objektu odpovídají monoidům homomorfismy. Funktory mezi libovolnými kategoriemi jsou tedy v jistém smyslu jakýmsi zobecněním monoidních homomorfismů na kategorie s více než jedním objektem.

Vztah k dalším kategorickým pojmům

Nechat C a D být kategorie. Sbírka všech funktorů z C na D tvoří objekty kategorie: kategorie funktorů. Morfismy v této kategorii jsou přirozené transformace mezi funktory.

Funktory často definuje univerzální vlastnosti; příklady jsou tenzorový produkt, přímý součet a přímý produkt skupin nebo vektorových prostorů, konstrukce volných skupin a modulů, Přímo a inverzní limity. Koncepty limit a kolimit zobecnit několik výše uvedených.

Z univerzálních konstrukcí často vznikají dvojice adjunkční funktory.

Počítačové implementace

Funktory se někdy objevují v Funkcionální programování. Například programovací jazyk Haskell má třída Funktor kde fmap je polytypická funkce slouží k mapování funkce (morfismy na Hask, kategorie typů Haskell)^[9] mezi existujícími typy na funkce mezi některými novými typy.^[10]

Viz také

• Kategorie funktorů
• Kan rozšíření
• Pseudofunktor

Poznámky

Reference

• Jacobson, Nathan (2009), Základní algebra, 2 (2. vyd.), Dover, ISBN  978-0-486-47187-7.

externí odkazy

• „Functor“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
• vidět funktor v nLab a variace, které jsou s nimi diskutovány a spojeny.
• André Joyal, CatLab, wiki projekt věnovaný expozici kategorické matematiky
• Hillman, Chris. "Kategorický základ". CiteSeerX  10.1.1.24.3264: Chybějící nebo prázdný | url = (Pomoc) formální úvod do teorie kategorií.
• J. Adamek, H. Herrlich, G. Stecker, Abstrakt a konkrétní kategorie - Radost koček
• Stanfordská encyklopedie filozofie: "Teorie kategorie "- Jean-Pierre Markýz. Rozsáhlá bibliografie.
• Seznam akademických konferencí o teorii kategorií
• Baez, John, 1996, "Příběh n-Kategorie. "Neformální úvod do kategorií vyšších řádů."
• Divoké kočky je teorie kategorií balíček pro Mathematica. Manipulace a vizualizace objektů, morfismy kategorie, funktory, přirozené transformace, univerzální vlastnosti.
• Catsters, kanál YouTube o teorii kategorií.
• „Teorie kategorie“. PlanetMath.
• Video archiv zaznamenaných přednášek týkajících se kategorií, logiky a základů fyziky.
• Interaktivní webová stránka který generuje příklady kategoriálních konstrukcí v kategorii konečných množin.