Konformní skupina - Conformal group

Algebraická struktura → Skupinová teorie
Skupinová teorie
Cyklická skupina.svg
Topologické a Lež skupiny

v matematika, konformní skupina prostoru je skupina transformací z prostoru do sebe, které zachovávají úhly. Formálnější je to skupina transformací, které zachovávají konformní geometrie prostoru.

Několik konkrétních konformních skupin je zvláště důležitých:

  • Konformní ortogonální skupina. Li PROTI je vektorový prostor s a kvadratická forma Q, potom konformní ortogonální skupina CO (PROTI, Q) je skupina lineárních transformací T z PROTI pro které existuje skalár λ takové, že pro všechny X v PROTI
Pro určitá kvadratická forma, konformní ortogonální skupina se rovná ortogonální skupina krát skupina dilatace.

Všechny konformní skupiny jsou Lež skupiny.

Úhlová analýza

V euklidovské geometrii lze očekávat standardní kruhový tvar úhel být charakteristický, ale v pseudoeuklidovský prostor existuje také hyperbolický úhel. Ve studii o speciální relativita různé referenční rámce, pro měnící se rychlost vzhledem k klidovému rámci, jsou vztaženy k rychlost, hyperbolický úhel. Jeden způsob, jak popsat a Lorentzova podpora je jako hyperbolická rotace který zachovává rozdílný úhel mezi rychlostmi. Takové jsou konformní transformace s ohledem na hyperbolický úhel.

Metodou pro generování vhodné konformní skupiny je napodobování kroků Skupina Möbius jako konformní skupina obyčejného složité letadlo. Pseudo-euklidovská geometrie je podporována alternativními komplexními rovinami, kde jsou body rozdělená komplexní čísla nebo duální čísla. Stejně jako skupina Möbius vyžaduje Riemannova koule, a kompaktní prostor, pro úplný popis, takže alternativní komplexní roviny vyžadují zhutnění pro úplný popis konformního mapování. Nicméně konformní skupina je v každém případě dána vztahem lineární frakční transformace ve vhodné rovině.[2]

Konformní skupina časoprostoru

V roce 1908 Harry Bateman a Ebenezer Cunningham, dva mladí vědci v University of Liverpool, otevřel myšlenku a konformní skupina časoprostoru[3][4][5] Tvrdili, že kinematika skupiny jsou konformní, protože zachovávají kvadratickou formu časoprostoru a jsou podobné ortogonální transformace, i když s ohledem na izotropní kvadratická forma. Svobody elektromagnetické pole se neomezují na kinematické pohyby, ale spíše se vyžaduje, aby byly pouze lokálně úměrný transformace zachovávající kvadratickou formu. Papír Harryho Batemana v roce 1910 studoval Jacobian matrix transformace, která zachovává světelný kužel a ukázal, že má konformní vlastnost (úměrnou tvaru preserver).[6] Bateman a Cunningham ukázali, že tato konformní skupina je „největší skupinou odcházejících transformací Maxwellovy rovnice strukturně neměnný. “[7] Byla označena konformní skupina časoprostoru C (1,3)[8]

Isaak Yaglom přispěl k matematice časoprostorových konformních transformací v split-komplex a duální čísla.[9] Vzhledem k tomu, že se dělí složitá čísla a duální čísla prsteny, ne pole, lineární frakční transformace vyžadují a projektivní čára přes prsten být bijektivní mapování.

Je to tradiční od práce Ludwik Silberstein v roce 1914 použít prsten z biquaternions zastupovat skupinu Lorentz. Pro konformní skupinu časoprostoru to stačí vzít v úvahu lineární frakční transformace na projektivní linii přes ten prsten. Byly volány prvky konformní skupiny časoprostoru sférické vlnové transformace Bateman. Byly absorbovány podrobnosti studie časoprostorové kvadratické formy Geometrie sféry lži.

V komentáři k pokračujícímu zájmu o fyziku, A. O. Barut napsal v roce 1985: „Jedním z hlavních důvodů zájmu o konformní skupinu je, že je možná nejdůležitější z větších skupin obsahujících Poincarého skupina."[10]

Viz také

Reference

  1. ^ Jayme Vaz, Jr.; Roldão da Rocha, Jr. (2016). Úvod do Cliffordských algeber a spinálů. Oxford University Press. str. 140. ISBN  9780191085789.
  2. ^ Tsurusaburo Takasu (1941) "Gemeinsame Behandlungsweise der elliptischen konformen, hyperbolischen konformen und parabolischen konformen Differentialgeometrie", 2, Sborník císařské akademie 17 (8): 330–8, odkaz z Projekt Euclid, PAN14282
  3. ^ Bateman, Harry (1908). „Konformní transformace prostoru čtyř dimenzí a jejich aplikace na geometrickou optiku“. Proceedings of the London Mathematical Society. 7: 70–89. doi:10.1112 / plms / s2-7.1.70.
  4. ^ Bateman, Harry (1910). „Transformace elektrodynamických rovnic“. Proceedings of the London Mathematical Society. 8: 223–264. doi:10.1112 / plms / s2-8.1.223.
  5. ^ Cunningham, Ebenezer (1910). „Princip relativity v elektrodynamice a jeho rozšíření“. Proceedings of the London Mathematical Society. 8: 77–98. doi:10.1112 / plms / s2-8.1.77.
  6. ^ Warwick, Andrew (2003). Masters of theory: Cambridge and the rise of matematic physics. Chicago: University of Chicago Press. str.416–24. ISBN  0-226-87375-7.
  7. ^ Robert Gilmore (1994) [1974] Lie Groups, Lie Algebras a některé z jejich aplikací, strana 349, Robert E. Krieger Publishing ISBN  0-89464-759-8 PAN1275599
  8. ^ Boris Kosyakov (2007) Úvod do klasické teorie částic a polí, strana 216, Springer knihy přes Knihy Google
  9. ^ Isaak Yaglom (1979) Jednoduchá neeuklidovská geometrie a její fyzikální základySpringer, ISBN  0387-90332-1, PAN520230
  10. ^ A. O. Barut & H.-D. Doebner (1985) Konformní skupiny a související symetrie: Fyzikální výsledky a matematické pozadí, Přednášky z fyziky #261 Springer knihy, viz úvod k citaci

Další čtení