Mřížka podskupin - Lattice of subgroups - Wikipedia

Hasseův diagram mřížky podskupin dihedrální skupina Dih₄, přičemž podskupiny představují jejich cyklické grafy

v matematika, mřížka podskupin a skupina ${ displaystyle G}$ je mříž jehož prvky jsou podskupiny z ${ displaystyle G}$ , s částečná objednávka vztah bytost nastavit zařazení V této mřížce je spojení dvou podskupin podskupinou generováno od jejich svaz a setkání dvou podskupin je jejich průsečík.

Příklad

The dihedrální skupina Dih₄ má deset podskupin, počítá se sama a triviální podskupina. Pět z osmi skupinových prvků generuje podskupiny řádu dva a další dva neidentifikační prvky generují stejné cyklický podskupina objednávky čtyři. Kromě toho existují dvě podskupiny formuláře Z₂ × Z.₂, generované dvojicemi prvků řádu dva. Mříž tvořená těmito deseti podskupinami je znázorněna na obrázku.

Tento příklad také ukazuje, že mřížka všech podskupin skupiny není a modulární mříž obecně. Ve skutečnosti tato konkrétní mřížka obsahuje zakázaný „pětiúhelník“ N₅ jako sublattice.

Vlastnosti

Pro všechny A, B, a C podskupiny skupiny s A ≤ C (A podskupina C) pak AB ∩ C = A (B ∩ C); násobení je zde produkt podskupin. Tato vlastnost se nazývá modulární vlastnost skupin (Aschbacher 2000 ) nebo (Dedekind 's) modulární zákon (Robinson 1996, Cohn 2000 ). Protože pro dvě normální podskupiny je produkt ve skutečnosti nejmenší podskupinou obsahující tyto dvě, tvoří normální podskupiny modulární mříž.

The Mřížová věta zakládá a Galoisovo spojení mezi mřížkou podskupin skupiny a mřížkou jejích kvocientů.

The Lemma Zassenhaus dává izomorfismus mezi určitými kombinacemi kvocientů a produktů v mřížce podskupin.

Obecně neexistuje žádné omezení tvaru mřížky podskupin v tom smyslu, že každá mřížka je izomorfní s sublatticí mřížky podskupiny nějaké skupiny. Navíc každý konečný mřížka je izomorfní s sublattice mřížky podskupiny některých konečná skupina (Schmidt 1994, str. 9).

Charakteristické svazy

Podskupiny s určitými vlastnostmi tvoří svazy, ale jiné vlastnosti nikoli.

Normální podskupiny vždy tvoří modulární mříž. Ve skutečnosti je základní vlastností, která zaručuje modulární mřížku, to, že podskupiny dojíždějí navzájem, tj. Že jsou kvazinormální podskupiny.
Nilpotentní normální podskupiny tvoří mříž, která je (součástí) obsahu Fittingova věta.
Obecně platí, že pro každou třídu montáže F, oba podnormální F- podskupiny a normální F- podskupiny tvoří svazy. To zahrnuje výše uvedené s F třída nilpotentních skupin, stejně jako další příklady, jako je F třída řešitelné skupiny. Třída skupin se nazývá Fittingová třída, pokud je uzavřena pod izomorfismem, podnormálními podskupinami a produkty podnormálních podskupin.
Centrální podskupiny tvoří mříž.

Ani konečné podskupiny, ani torzní podskupiny však netvoří mřížku: například produkt zdarma ${ displaystyle mathbf {Z} / 2 mathbf {Z} * mathbf {Z} / 2 mathbf {Z}}$ je generován dvěma torzními prvky, ale je nekonečný a obsahuje prvky nekonečného řádu.

Skutečnost, že normální podskupiny tvoří modulární mříž, je konkrétním případem obecnějšího výsledku, a to v kterémkoli Odrůda Maltsev (z nichž skupiny jsou příkladem), mříž kongruencí je modulární (Kearnes & Kiss 2013 ).

Charakterizace skupin podle mřížek jejich podskupin

Mřížkové teoretické informace o mřížce podskupin lze někdy použít k odvození informací o původní skupině, což je myšlenka, která sahá zpět k práci Øystein Ore (1937, 1938 ). Například, jak Ore dokázal, skupina je lokálně cyklický právě když jeho mřížka podskupin je distribuční. Pokud mřížka navíc vyhovuje vzestupný stav řetězu, potom je skupina cyklická.

Skupiny, jejichž mřížkou podskupin je a doplněná mříž jsou nazývány doplněné skupiny (Zacher 1953 ) a skupiny, jejichž mřížka podskupin je modulární mřížky jsou nazývány Skupiny Iwasawa nebo modulární skupiny (Iwasawa 1941 ). Lattice-teoretické charakterizace tohoto typu existují také pro řešitelné skupiny a perfektní skupiny (Suzuki 1951 ).

Reference

Aschbacher, M. (2000). Teorie konečné skupiny. Cambridge University Press. p. 6. ISBN 978-0-521-78675-1.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Baer, Reinhold (1939). Msgstr "Význam systému podskupin pro strukturu skupiny". American Journal of Mathematics. Johns Hopkins University Press. 61 (1): 1–44. doi:10.2307/2371383. JSTOR 2371383.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Cohn, Paul Moritz (2000). Klasická algebra. Wiley. p. 248. ISBN 978-0-471-87731-8.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Iwasawa, Kenkiti (1941), „Über die endlichen Gruppen und die Verbände ihrer Untergruppen“, J. Fac. Sci. Imp. Univ. Tokio. Sekta. I., 4: 171–199, PAN 0005721CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Kearnes, Keith; Polibek, Emil W. (2013). The Shape of Congruence Lattices. American Mathematical Soc. p. 3. ISBN 978-0-8218-8323-5.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Ruda, Øystein (1937). „Struktury a teorie grup. Já.“ Duke Mathematical Journal. 3 (2): 149–174. doi:10.1215 / S0012-7094-37-00311-9. PAN 1545977.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Ruda, Øystein (1938). "Struktury a teorie grup. II". Duke Mathematical Journal. 4 (2): 247–269. doi:10.1215 / S0012-7094-38-00419-3. hdl:10338.dmlcz / 100155. PAN 1546048.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Robinson, Derek (1996). Kurz teorie skupin. Springer Science & Business Media. p. 15. ISBN 978-0-387-94461-6.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Rottlaender, Ada (1928). „Nachweis der Existenz nicht-isomorpher Gruppen von gleicher Situation der Untergruppen“. Mathematische Zeitschrift. 28 (1): 641–653. doi:10.1007 / BF01181188.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Schmidt, Roland (1994). Podskupinová mřížka skupin. Expozice v matematice. 14. Walter de Gruyter. ISBN 978-3-11-011213-9.CS1 maint: ref = harv (odkaz) Posouzení autor: Ralph Freese v Bull. AMS 33 (4): 487–492.
Suzuki, Michio (1951). „Na mřížce podskupin konečných skupin“. Transakce Americké matematické společnosti. Americká matematická společnost. 70 (2): 345–371. doi:10.2307/1990375. JSTOR 1990375.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Suzuki, Michio (1956). Struktura skupiny a struktura její mřížky podskupin. Berlín: Springer Verlag.
Jakovlev, B. V. (1974). "Podmínky, za kterých je mřížka izomorfní s mřížkou podskupin skupiny". Algebra a logika. 13 (6): 400–412. doi:10.1007 / BF01462952.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Zacher, Giovanni (1953). „Caratterizzazione dei gruppi risolubili d'ordine finito dopĺňa“. Rendiconti del Seminario Matematico della Università di Padova. 22: 113–122. ISSN 0041-8994. PAN 0057878.CS1 maint: ref = harv (odkaz)