Pole zlomků - Field of fractions

Algebraická struktura → Prstenová teorie Prstenová teorie
Základní pojmy Prsteny • Podřetězce • Ideál • Kvocient prstenu • Zlomkový ideál • Celkový kvocient kvocientu • Produktový prsten • Zdarma produkt asociativních algeber • Tenzorový produkt prstenů Prstencové homomorfismy • Jádro • Vnitřní automorfismus • Frobeniova endomorfismus Algebraické struktury • Modul • Asociativní algebra • Tříděný prsten • Intuutivní prsten • Kategorie prstenů • Počáteční zvonění ${displaystyle mathbb {Z}}$ • Svorkovnice ${displaystyle 0 = mathbb {Z} _ {1}}$ Související struktury • Pole • Konečné pole • Neasociativní prsten • Lež prsten • Jordan prsten • Semiring • Semifield
Komutativní algebra Komutativní prsteny • Integrovaná doména • Integrovaná uzavřená doména • Doména GCD • Unikátní faktorizační doména • Hlavní ideální doména • Euklidovská doména • Pole • Konečné pole • Složení prsten • Polynomiální kruh • Formální prsten řady power Algebraická teorie čísel • Algebraické číselné pole • Kruh čísel • Algebraická nezávislost • Teorie transcendentních čísel • Stupeň transcendence p-adic teorie čísel a desetinná místa • Přímý limit /Inverzní limit • Nulový prsten ${displaystyle mathbb {Z} _ {1}}$ • Celá čísla modulo pn ${displaystyle mathbb {Z} / p ^ {n} mathbb {Z}}$ • Prüfer p-prsten ${displaystyle mathbb {Z} (p ^ {infty})}$ • Základna -p kruhový prsten ${displaystyle mathbb {T}}$ • Základna -p celá čísla ${displaystyle mathbb {Z}}$ • p-adic racionální ${displaystyle mathbb {Z} [1 / p]}$ • Základna -p reálná čísla ${displaystyle mathbb {R}}$ • p-adická celá čísla ${displaystyle mathbb {Z} _ {p}}$ • p-adická čísla ${displaystyle mathbb {Q} _ {p}}$ • p-adický solenoid ${displaystyle mathbb {T} _ {p}}$ Algebraická geometrie • Afinní odrůda
Nekomutativní algebra Nezávazné prsteny • Divizní prsten • Semiprimitivní prsten • Jednoduché zazvonění • Komutátor Nekomutativní algebraická geometrie Zdarma algebra Cliffordova algebra • Geometrická algebra Operátorská algebra

v abstraktní algebra, pole zlomků a integrální doména je nejmenší pole ve kterém to může být vložený.

Prvky pole zlomků integrální domény ${displaystyle R}$ jsou třídy ekvivalence (viz konstrukce níže) psané jako

${displaystyle {frac {a} {b}}}$

s

${displaystyle a}$ a ${displaystyle b}$ v ${displaystyle R}$ a ${displaystyle beq 0}$.

Pole zlomků ${displaystyle R}$ je někdy označován ${displaystyle operatorname {Frac} (R)}$ nebo ${displaystyle operatorname {Quot} (R)}$.

Matematici označují tuto konstrukci jako pole zlomků, zlomkové pole, pole kvocientůnebo pole kvocientu. Všechny čtyři jsou běžně používány. Výraz „pole kvocientu“ může někdy představovat riziko záměny s kvocientem prstenu ideálem, což je zcela odlišný koncept.

Příklady

• Pole zlomků prstence celá čísla je obor racionální, ${displaystyle mathbb {Q} = operatorname {Frac} (mathbb {Z})}$.
• Nechat ${displaystyle R: = {a + bmathrm {i} uprostřed, bin mathbb {Z}}}$ být prstenem Gaussova celá čísla. Pak ${displaystyle operatorname {Frac} (R) = {c + dmathrm {i} mid c, din mathbb {Q}}}$pole Gaussovské racionály.
• Pole zlomků pole je kanonicky izomorfní na samotné pole.
• Vzhledem k tomu, pole ${displaystyle K}$, pole zlomků polynomiální kruh v jednom neurčitém ${displaystyle K [X]}$ (což je integrální doména), se nazývá pole racionálních funkcí nebo pole racionálních zlomků^[1][2][3] a je označen ${displaystyle K (X)}$.

Konstrukce

Nechat ${displaystyle R}$ být kdokoli integrální doména.

Pro ${displaystyle n, din R}$ s ${displaystyle deq 0}$,

the zlomek

${displaystyle {frac {n} {d}}}$

označuje třída ekvivalence párů

${displaystyle (n, d)}$,

kde ${displaystyle (n, d)}$ je ekvivalentní k ${displaystyle (m, b)}$ kdyby a jen kdyby ${displaystyle nb = md}$.

(Definice ekvivalence vychází z vlastnosti racionálních čísel, která ${displaystyle {frac {n} {d}} = {frac {m} {b}}}$ kdyby a jen kdyby ${displaystyle nb = md}$.)

The pole zlomků ${displaystyle operatorname {Frac} (R)}$ je definována jako množina všech těchto zlomků ${displaystyle {frac {n} {d}}}$.

Součet ${displaystyle {frac {n} {d}}}$ a ${displaystyle {frac {m} {b}}}$ je definován jako

${displaystyle {frac {nb + md} {db}}}$,

a produkt ${displaystyle {frac {n} {d}}}$ a ${displaystyle {frac {m} {b}}}$ je definován jako

${displaystyle {frac {nm} {db}}}$

(jeden kontroluje, zda jsou dobře definované).

Vložení ${displaystyle R}$ v ${displaystyle operatorname {Frac} (R)}$ mapuje každý ${displaystyle n}$ v ${displaystyle R}$ na zlomek ${displaystyle {frac {en} {e}}}$ pro nenulovou hodnotu ${displaystyle ein R}$ (třída ekvivalence je nezávislá na výběru ${displaystyle e}$). Toto je modelováno podle identity ${displaystyle {frac {n} {1}} = n}$.

Pole zlomků ${displaystyle R}$ je charakterizován následujícím univerzální vlastnictví:

-li ${displaystyle h: Rightarrow F}$ je injekční kruhový homomorfismus z ${displaystyle R}$ do pole ${displaystyle F}$,

pak existuje jedinečný kruhový homomorfismus ${displaystyle g: operatorname {Frac} (R) ightarrow F}$ který se prodlužuje ${displaystyle h}$.

Tady je kategorický interpretace této konstrukce. Nechat ${displaystyle C}$ být kategorií integrálních domén a injektivních kruhových map. The funktor z ${displaystyle C}$ do kategorie polí, která vezme každou integrální doménu do svého zlomkového pole a každý homomorfismus na indukovanou mapu na polích (která existuje díky univerzální vlastnosti), je vlevo adjoint z funktor začlenění z kategorie polí do ${displaystyle C}$. Kategorie polí (což je úplná podkategorie) je tedy a reflexní podkategorie z ${displaystyle C}$.

A multiplikativní identita není vyžadováno pro roli integrální domény; tuto konstrukci lze použít na jakoukoli nenulové komutativní rng ${displaystyle R}$ bez nuly nulové dělitele. Vložení je dáno ${displaystyle rmapsto {frac {rs} {s}}}$ pro nenulovou hodnotu ${displaystyle sin R}$.^[4]

Zobecnění

Lokalizace

Pro všechny komutativní prsten ${displaystyle R}$ a jakékoli multiplikativní sada ${displaystyle S}$ v ${displaystyle R}$,

the lokalizace ${displaystyle S}$^{${displaystyle -1}$}${displaystyle R}$ je komutativní prsten skládající se z zlomky

${displaystyle {frac {r} {s}}}$

s

${displaystyle rin R}$ a ${displaystyle sin S}$,

kam teď ${displaystyle (r, s)}$ je ekvivalentní k ${displaystyle (r ', s')}$ jen tehdy, pokud existuje ${displaystyle tin S}$ takhle ${displaystyle t (rs'-r's) = 0}$.

Jsou pozoruhodné dva speciální případy:

• Li ${displaystyle S}$ je doplňkem a hlavní ideál ${displaystyle P}$, pak ${displaystyle S}$^{${displaystyle -1}$}${displaystyle R}$ je také označen ${displaystyle R_ {P}}$.

Když ${displaystyle R}$ je integrální doména a ${displaystyle P}$ je nulový ideál, ${displaystyle R_ {P}}$ je pole zlomků ${displaystyle R}$.

• Li ${displaystyle S}$ je množina ne-nulové dělitele v ${displaystyle R}$, pak ${displaystyle S}$^{${displaystyle -1}$}${displaystyle R}$ se nazývá celkový kvocient kvocientu.

The celkový kvocient kvocientu z integrální doména je jeho pole zlomků, ale celkový kvocient kvocientu je definován pro všechny komutativní prsten.

Všimněte si, že je povoleno pro ${displaystyle S}$ obsahovat 0, ale v tom případě ${displaystyle S}$^{${displaystyle -1}$}${displaystyle R}$ bude triviální prsten.

Polopole frakcí

The polopole zlomků z komutativní semiring bez č nulové dělitele je nejmenší polopole ve kterém to může být vložený.

Prvky polopole zlomků komutativu semiring ${displaystyle R}$ jsou třídy ekvivalence psáno jako

${displaystyle {frac {a} {b}}}$

s

${displaystyle a}$ a ${displaystyle b}$ v ${displaystyle R}$.

Viz také

• Stav rudy; toto je podmínka, kterou je třeba vzít v úvahu v nekomutativním případě.
• Projektivní čára přes prsten; alternativní struktura není omezena na integrální domény.

Reference