Nilpotentní skupina - Nilpotent group

Algebraická struktura → Skupinová teorie Skupinová teorie
Základní pojmy Podskupina Normální podskupina Kvocientová skupina (Částečně)přímý produkt Skupinové homomorfismy jádro obraz přímý součet produkt věnce jednoduchý konečný nekonečný kontinuální multiplikativní přísada cyklický abelian vzepětí nilpotentní řešitelný Glosář teorie skupin Seznam témat teorie skupin
Konečné skupiny Klasifikace konečných jednoduchých skupin cyklický střídavý Typ lži sporadický Cauchyova věta Lagrangeova věta Sylowovy věty Hallova věta p-skupina Základní abelianská skupina Skupina Frobenius Multiplikátor Schur Symetrická skupina Sn Kleinova čtyřčlenná skupina PROTI Vzepětí skupina Dn Čtveřice skupina Q Dicyklická skupina Dicn
Diskrétní skupiny Mříže Celá čísla (Z) Zdarma skupina Modulární skupiny PSL (2,Z) SL (2,Z) Aritmetická skupina Mříž Hyperbolická skupina
Topologické a Lež skupiny Solenoid Kruh Obecné lineární GL (n) Speciální lineární SL (n) Ortogonální Ó(n) Euklidovský E(n) Speciální ortogonální TAK(n) Unitary U (n) Speciální unitární SU (n) Symplektický Sp (n) G2 F4 E6 E7 E8 Lorentz Poincaré Konformní Difomorfismus Smyčka Nekonečná dimenzionální Lieova skupina O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Algebraické skupiny Lineární algebraická skupina Redukční skupina Abelianská odrůda Eliptická křivka

v matematika konkrétně teorie skupin, a nilpotentní skupina G je skupina který má horní centrální série který končí na G. Ekvivalentně, jeho centrální řada je konečné délky nebo její spodní centrální série končí na {1}.

Intuitivně nilpotentní skupina je skupina, která je „téměř abelian Tato myšlenka je motivována skutečností, že existují nilpotentní skupiny řešitelný a pro konečné nilpotentní skupiny mají dva prvky relativně prime objednávky musí dojíždět. Je také pravda, že konečné nilpotentní skupiny jsou supersolvable. Koncept je připočítán k práci ve 30. letech ruským matematikem Sergej Černikov.^[1]

Nilpotentní skupiny vznikají v Galoisova teorie, jakož i při klasifikaci skupin. Rovněž se objevují prominentně v klasifikaci Lež skupiny.

Používají se obdobné výrazy Lež algebry (za použití Ležící závorka ) počítaje v to nilpotentní, spodní centrální série, a horní centrální série.

Definice

Definice využívá myšlenku a centrální řada pro skupinu. Následují ekvivalentní definice pro nilpotentní skupinu G:

• G má centrální řada konečné délky. To znamená řadu normálních podskupin

${ displaystyle {1 } = G_ {0} triangleleft G_ {1} triangleleft dots triangleleft G_ {n} = G}$

kde ${ displaystyle G_ {i + 1} / G_ {i} leq Z (G / G_ {i})}$nebo ekvivalentně ${ displaystyle [G, G_ {i + 1}] leq G_ {i}}$.

• G má spodní centrální série končící v triviální podskupině po konečně mnoha krocích. To znamená řadu normálních podskupin

${ displaystyle G = G_ {0} triangleright G_ {1} triangleright dots triangleright G_ {n} = {1 }}$

kde ${ displaystyle G_ {i + 1} = [G_ {i}, G]}$.

• G má horní centrální série ukončení v celé skupině po konečně mnoha krocích. To znamená řadu normálních podskupin

${ displaystyle {1 } = Z_ {0} triangleleft Z_ {1} triangleleft dots triangleleft Z_ {n} = G}$

kde ${ displaystyle Z_ {1} = Z (G)}$ a ${ displaystyle Z_ {i + 1}}$ je taková podskupina ${ displaystyle Z_ {i + 1} / Z_ {i} = Z (G / Z_ {i})}$.

Pro nilpotentní skupinu, nejmenší n takhle G má centrální řadu délky n se nazývá třída nilpotence z G; a G se říká, že je nilpotent třídy n. (Podle definice je délka n pokud existují ${ displaystyle n + 1}$ různé podskupiny v sérii, včetně triviální podskupiny a celé skupiny.)

Ekvivalentně třída nilpotence G se rovná délce dolní střední řady nebo horní střední řady. Pokud má skupina nilpotenční třídu maximálně n, pak se někdy nazývá a nula-n skupina.

Z kterékoli z výše uvedených forem definice nilpotence bezprostředně vyplývá, že triviální skupina je jedinečná skupina třídy nilpotence0a skupiny třídy nilpotence1 jsou přesně netriviální abelianské skupiny.^[2][3]

Příklady

Část Cayleyův graf diskrétní Skupina Heisenberg, známá nilpotentní skupina.

• Jak je uvedeno výše, každá abelianská skupina je nilpotentní.^[2][4]
• Pro malý neabelovský příklad zvažte čtveřice skupina Q₈, což je nejmenší neabelian p-skupina. Má střed {1, −1} řádu 2 a jeho horní střední řada je {1}, {1, −1}, Q₈; takže je nilpotentní pro třídu 2.
• The přímý produkt dvou nilpotentních skupin je nilpotentní.^[5]
• Všechny konečné p-skupiny jsou ve skutečnosti nilpotentní (důkaz ). Maximální třída skupiny objednávky pⁿ je n (například jakákoli skupina řádu 2 je nilpotentní pro třídu 1). 2-skupiny maximální třídy jsou zobecněné čtveřice skupin, dihedrální skupiny a semihlové skupiny.
• Kromě toho je každá konečná nilpotentní skupina přímým produktem p-skupiny.^[6]
• Multiplikativní skupina svršku unitriangular n X n matice nad jakýmkoli polem F je nilpotentní skupina třídy nilpotence n - 1. Zejména brát n = 3 dává Skupina Heisenberg H, příklad neabeliana^[7] nekonečná nilpotentní skupina.^[8] Má třídu nilpotence 2 s centrální řadou 1, Z(H), H.
• Multiplikativní skupina invertibilní horní trojúhelníkový n X n matice nad polem F není obecně nilpotentní, ale je řešitelný.
• Jakákoli neabelská skupina G takhle G/Z(G) is abelian has nilpotency class 2, with central series {1}, Z(G), G.

Vysvětlení pojmu

Nilpotentní skupiny se nazývají proto, že „adjoint action“ jakéhokoli prvku je nilpotentní, což znamená, že pro nilpotentní skupinu ${ displaystyle G}$ stupně nilpotence ${ displaystyle n}$ a prvek ${ displaystyle g}$, funkce ${ displaystyle operatorname {ad} _ {g} dvojtečka G až G}$ definován ${ displaystyle operatorname {ad} _ {g} (x): = [g, x]}$ (kde ${ displaystyle [g, x] = g ^ {- 1} x ^ {- 1} gx}$ je komutátor z ${ displaystyle g}$ a ${ displaystyle x}$) je nilpotentní v tom smyslu, že ${ displaystyle n}$iterace funkce je triviální: ${ displaystyle left ( operatorname {ad} _ {g} right) ^ {n} (x) = e}$ pro všechny ${ displaystyle x}$ v ${ displaystyle G}$.

Toto není definující charakteristika nilpotentních skupin: skupin, pro které ${ displaystyle operatorname {ad} _ {g}}$ nemá žádný stupeň ${ displaystyle n}$ (ve smyslu výše) se nazývají ${ displaystyle n}$-Skupiny Engel,^[9] a nemusí být obecně nilpotentní. Ukázalo se, že jsou nilpotentní, pokud mají konečnost objednat, a předpokládá se, že jsou nilpotentní, pokud jsou definitivně generováno.

Abelianova skupina je přesně ta, pro kterou adjunktní akce není jen nilpotentní, ale triviální (skupina 1-Engel).

Vlastnosti

Protože každý po sobě skupina faktorů Z_i+1/Z_i v horní centrální série je abelian a řada je konečná, každá nilpotentní skupina je a řešitelná skupina s relativně jednoduchou strukturou.

Každá podskupina nilpotentní skupiny třídy n je nilpotent třídy nanejvýš n;^[10] navíc, pokud F je homomorfismus nilpotentní skupiny třídy n, pak obrázek F je nilpotentní^[10] nanejvýš třídy n.

Následující příkazy jsou ekvivalentní pro konečné skupiny,^[11] odhalující některé užitečné vlastnosti nilpotence:

• (A) G je nilpotentní skupina.
• (b) Pokud H je správná podskupina G, pak H je správné normální podskupina z N_G(H) (dále jen normalizátor z H v G). Tomu se říká normalizační vlastnost a lze je formulovat jednoduše jako „normalizátoři rostou“.
• (c) Každá podskupina Sylow z G je normální.
• d) G je přímý produkt jeho Podskupiny Sylow.
• (e) Pokud d rozděluje objednat z G, pak G má normální podskupina řádu d.

Důkaz: (a) → (b): Indukcí na |G|. Li G je abelian, pak pro všechny H, N_G(H)=G. Pokud ne, pokud Z(G) není obsažen v H, pak h_ZH_Z⁻¹h⁻¹=h 'H 'h⁻¹=H, tak H·Z(G) normalizátory H. Li Z(G) je obsažen v H,pak H/Z(G) je obsažen v G/Z(G). Poznámka, G/Z(G) je nilpotentní skupina. Existuje tedy podskupina G/Z(G) který normalizátory H/Z(G) a H/Z(G) je jeho správnou podskupinou. Proto stáhněte tuto podskupinu do podskupiny v G a normalizuje se to H. (Tento důkaz je stejný argument jako pro p-skupiny - jediný fakt, který jsme potřebovali, bylo, kdyby G je nilpotentní, pak také je G/Z(G) - takže podrobnosti jsou vynechány.)

(b) → (c): Let p₁,p₂,...,p_s být zřetelná prvočísla rozdělující jeho pořadí a nechat P_i v Syl_pi(G),1≤i≤s. Nechat P=P_i pro některé i a nechte N=N_G(P). Od té doby P je normální podskupina N, P je charakteristický v N. Od té doby P char N a N je normální podskupina N_G(N), máme to P je normální podskupina N_G(N). To znamená N_G(N) je podskupina N a tudíž N_G(N)=N. Podle písmene b) tedy musíme mít N=G, který dává (c).

(c) → (d): Let p₁,p₂,...,p_s být zřetelná prvočísla rozdělující jeho pořadí a nechat P_i v Syl_pi(G),1≤i≤s. Pro všechny t, 1≤t≤s ukážeme to indukčně P₁P₂…P_t je izomorfní s P₁×P₂×…×P_tNejprve si všimněte, že každý P_i je normální v G tak P₁P₂…P_t je podskupina G. Nechat H být produktem P₁P₂…P_t-1 a nechte K.=P_t, tedy indukcí H je izomorfní s P₁×P₂×…×P_t-1. Zejména |H|=|P₁|·|P₂|·…·|P_t-1|. Od |K.|=|P_t|, objednávky H a K. jsou relativně nejlepší. Lagrangeova věta znamená průnik H a K. se rovná 1. Podle definiceP₁P₂…P_t=HK, proto HK je izomorfní s H×K. což se rovná P₁×P₂×…×P_t. Tím je indukce dokončena. Nyní vezměte t=s získat (d).

(d) → (e): Všimněte si, že a P-skupina řádu p^k má normální podskupinu objednávky p^m pro všechny 1≤m≤k. Od té doby G je přímým produktem jejích podskupin Sylow a normálnost je zachována při přímém produktu skupin, G má normální podskupinu objednávky d pro každého dělitele d z |G|.

(e) → (a): Pro jakékoli prvočíslo p dělení |G|, Sylow p- podskupina je normální. Můžeme tedy použít (c) (protože jsme již prokázali (c) → (e)).

Výrok (d) lze rozšířit na nekonečné skupiny: pokud G je nilpotentní skupina, pak každá podskupina Sylow G_p z G je normální a přímým produktem těchto podskupin Sylow je podskupina všech prvků konečného pořadí G (vidět torzní podskupina ).

Mnoho vlastností nilpotentních skupin sdílí hypercentrální skupiny.

Poznámky

Reference

• Bechtell, Homer (1971). Teorie grup. Addison-Wesley.
• Von Haeseler, Friedrich (2002). Automatické sekvence. De Gruyterovy expozice v matematice. 36. Berlín: Walter de Gruyter. ISBN  3-11-015629-6.
• Hungerford, Thomas W. (1974). Algebra. Springer-Verlag. ISBN  0-387-90518-9.
• Isaacs, I. Martin (2008). Teorie konečné skupiny. Americká matematická společnost. ISBN  0-8218-4344-3.
• Palmer, Theodore W. (1994). Banachovy algebry a obecná teorie * -algeber. Cambridge University Press. ISBN  0-521-36638-0.
• Stammbach, Urs (1973). Homologie v teorii skupin. Přednášky z matematiky. 359. Springer-Verlag. Posouzení
• Suprunenko, D. A. (1976). Maticové skupiny. Providence, Rhode Island: Americká matematická společnost. ISBN  0-8218-1341-2.
• Tabachnikova, Olga; Smith, Geoff (2000). Témata v teorii skupin. Springerova vysokoškolská matematická série. Springer. ISBN  1-85233-235-2.
• Zassenhaus, Hans (1999). Teorie grup. New York: Dover Publications. ISBN  0-486-40922-8.