P-skupina - P-group

Algebraická struktura → Skupinová teorie Skupinová teorie
Základní pojmy Podskupina Normální podskupina Kvocientová skupina (Částečně)přímý produkt Skupinové homomorfismy jádro obraz přímý součet věnec produkt jednoduchý konečný nekonečný kontinuální multiplikativní přísada cyklický abelian vzepětí nilpotentní řešitelný Glosář teorie skupin Seznam témat teorie skupin
Konečné skupiny Klasifikace konečných jednoduchých skupin cyklický střídavý Typ lži sporadický Cauchyova věta Lagrangeova věta Sylowovy věty Hallova věta p-skupina Základní abelianská skupina Skupina Frobenius Multiplikátor Schur Symetrická skupina Sn Kleinova čtyřčlenná skupina PROTI Vzepětí skupina Dn Čtveřice skupina Q Dicyklická skupina Dicn
Diskrétní skupiny Mříže Celá čísla (Z) Zdarma skupina Modulární skupiny PSL (2,Z) SL (2,Z) Aritmetická skupina Mříž Hyperbolická skupina
Topologické a Lež skupiny Solenoid Kruh Obecné lineární GL (n) Speciální lineární SL (n) Ortogonální Ó(n) Euklidovský E(n) Speciální ortogonální TAK(n) Unitary U (n) Speciální unitární SU (n) Symplektický Sp (n) G2 F4 E6 E7 E8 Lorentz Poincaré Konformní Difomorfismus Smyčka Nekonečná dimenzionální Lieova skupina O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Algebraické skupiny Lineární algebraická skupina Redukční skupina Abelianská odrůda Eliptická křivka

v matematika konkrétně teorie skupin, vzhledem k tomu, prvočíslo p, a p-skupina je skupina ve kterém objednat každého prvku je a Napájení z p. To znamená pro každý prvek G a p-skupina G, existuje a nezáporné celé číslo n takový, že produkt pⁿ kopie G, a ne méně, se rovná prvek identity. Pořadí různých prvků může mít různé pravomoci p.

Abelian p-skupiny se také nazývají p-hlavní nebo jednoduše hlavní.

A konečná skupina je p-skupina právě tehdy, je-li její objednat (počet jejích prvků) je síla p. Vzhledem k omezené skupině G, Sylowovy věty zaručit existenci a podskupina z G řádu pⁿ pro každého hlavní síla pⁿ který rozděluje pořadí G.

Zbývající část tohoto článku se zabývá konečným p-skupiny. Jako příklad nekonečného abeliana p-skupina, viz Skupina Prüfer a příklad nekonečného jednoduchý p-skupina, viz Tarski skupina příšer.

Vlastnosti

Každý p-skupina je periodicky protože podle definice má každý prvek konečná objednávka.

Li p je hlavní a G je skupina řádu p^k, pak G má normální podskupinu objednávky p^m za každou 1 ≤ m ≤ k. Následuje indukce, použití Cauchyova věta a Věta o korespondenci pro skupiny. Důkazní skica je následující: protože centrum Z z G je netriviální (viz níže), podle Cauchyova věta Z má podskupinu H řádu p. Být v centru G, H je nutně normální G. Nyní můžeme použít indukční hypotézu G / Ha výsledek vyplývá z věty o korespondenci.

Netriviální centrum

Jeden z prvních standardních výsledků pomocí třídní rovnice je to, že střed netriviální konečné p-skupina nemůže být triviální podskupinou.^[1]

To tvoří základ pro mnoho indukčních metod v p-skupiny.

Například normalizátor N a správná podskupina H konečný p-skupina G správně obsahuje H, protože pro všechny protiklad s H = N, střed Z je obsažen v N, a tak také v H, ale pak existuje menší příklad H/Z jehož normalizátor v G/Z je N/Z = H/Z, což vytváří nekonečný sestup. Jako důsledek, každý konečný p-skupina je nilpotentní.

Jiným směrem, každý normální podskupina konečný p-skupina protíná střed netriviálně, což lze dokázat zvážením prvků N které jsou opraveny, když G jedná N konjugací. Protože každá centrální podskupina je normální, vyplývá z toho, že každá minimální normální podskupina je konečná p-skupina je ústřední a má pořádek p. Opravdu sokl konečný p-skupina je podskupina středu skládající se z centrálních prvků řádu p.

Li G je p-skupina, tak je G/Z, a tak má také netriviální centrum. Předobraz v G středu města G/Z se nazývá druhé centrum a tyto skupiny začínají horní centrální série. Zobecnění dřívějších komentářů o soklu, konečné p-skupina s objednávkou pⁿ obsahuje normální podskupiny objednávky pⁱ s 0 ≤ i ≤ na jakákoli normální podskupina objednávky pⁱ je obsažen v ith centrum Z_i. Pokud normální podskupina není obsažena v Z_i, pak jeho průsečík s Z_i+1 má velikost alespoň pⁱ⁺¹.

Automorfismy

The automorfismus skupiny p-skupiny jsou dobře prostudovány. Stejně jako každý konečný p-skupina má netriviální centrum, takže skupina vnitřního automorfismu je správný kvocient skupiny, každý konečný p-group má netriviální vnější skupina automorfismu. Každý automorfismus G indukuje automorfismus na G/ Φ (G), kde Φ (G) je Frattini podskupina z G. Kvocient G / Φ (G) je základní abelianská skupina a jeho automorfická skupina je obecná lineární skupina, tak velmi dobře pochopeno. Mapa ze skupiny automorfismu z G do této obecné lineární skupiny studoval Burnside, který ukázal, že jádro této mapy je a p-skupina.

Příklady

p-skupiny stejného řádu nemusí být nutně izomorfní; například cyklická skupina C₄ a Kleinova čtyřčlenná skupina PROTI₄ jsou obě 2-skupiny řádu 4, ale nejsou izomorfní.

Ani není třeba p-skupina být abelian; the dihedrální skupina Dih₄ řádu 8 je neabelovská 2 skupina. Každá skupina objednávek p² je abelian.^{[poznámka 1]}

Vzepětí skupiny jsou velmi podobné a velmi odlišné od čtveřice skupin a semihlové skupiny. Společně dihedrální, semidihedrální a kvaternionové skupiny tvoří 2-skupiny maximální třída, to jsou ty skupiny řádu 2ⁿ⁺¹ a třída nilpotence n.

Iterované výrobky z věnců

Opakované výrobky z věnců cyklických skupin řádu p jsou velmi důležité příklady p-skupiny. Označte cyklickou skupinu objednávky p tak jako Ž(1) a produkt věnce z Ž(n) s Ž(1) jako Ž(n + 1). Pak Ž(n) je Sylow p- podskupina symetrická skupina Sym (pⁿ). Maximální p-skupiny obecné lineární skupiny GL (n,Q) jsou přímé produkty různých Ž(n). Má pořádek p^k kde k = (pⁿ − 1)/(p - 1). Má třídu nilpotence pⁿ⁻¹a jeho spodní centrální řada, horní střední řada, dolní exponent-p centrální řada a horní exponent-p centrální řady jsou stejné. Je generován jeho prvky objednávky p, ale jeho exponent je pⁿ. Druhá taková skupina, Ž(2), je také a p-skupina maximální třídy, protože má pořádek p^p+1 a třída nilpotence p, ale není pravidelný p-skupina. Protože skupiny objednávek p^p jsou vždy pravidelné skupiny, je to také minimální takový příklad.

Zobecněné dihedrální skupiny

Když p = 2 a n = 2, Ž(n) je dihedrická skupina řádu 8, takže v jistém smyslu Ž(n) poskytuje analogii pro dihedrální skupinu pro všechna prvočísla p když n = 2. Avšak pro vyšší n analogie se napíná. Existuje jiná rodina příkladů, která více napodobuje vzepětí skupiny řádu 2ⁿ, ale to vyžaduje trochu více nastavení. Označme ζ primitiva pth kořen jednoty v komplexních čísel, nechť Z[ζ] být prstenem celá čísla tím generované, a necháme P být hlavní ideál generováno 1 − ζ. Nechat G být cyklická skupina řádu p generované prvkem z. Vytvořte polopřímý produkt E(p) z Z[ζ] a G kde z působí jako násobení ζ. Síly Pⁿ jsou normální podskupiny E(p) a ukázkové skupiny jsou E(p,n) = E(p)/Pⁿ. E(p,n) má pořádek pⁿ⁺¹ a třída nilpotence n, tak je p-skupina maximální třídy. Když p = 2, E(2,n) je dihedrická skupina řádu 2ⁿ. Když p je zvláštní, oba Ž(2) a E(p,p) jsou nepravidelné skupiny maximální třídy a řádu p^p+1, ale nejsou izomorfní.

Skupiny unitriangular matrix

Sylowské podskupiny obecné lineární skupiny jsou další základní skupinou příkladů. Nechat PROTI být vektorovým prostorem dimenze n na základě { E₁, E₂, ..., E_n } a definovat PROTI_i být vektorový prostor generovaný { E_i, E_i+1, ..., E_n } pro 1 ≤ i ≤ na definovat PROTI_i = 0 kdy i > n. Pro každou 1 ≤ m ≤ n, sada invertibilních lineárních transformací PROTI které berou každý PROTI_i na PROTI_i+m tvoří podskupinu Aut (PROTI) označeno U_m. Li PROTI je vektorový prostor Z/pZ, pak U₁ je Sylow p- podskupina Aut (PROTI) = GL (n, p) a podmínky jeho spodní centrální série jsou jen U_m. Pokud jde o matice, U_m jsou ty horní trojúhelníkové matice s 1 s jednou úhlopříčkou a 0 s první m-1 superdiagonály. Skupina U₁ má pořádek p^n·(n−1)/2, třída nilpotence na exponent p^k kde k je nejméně celé číslo alespoň stejně velké jako základna p logaritmus z n.

Klasifikace

Skupiny řádu pⁿ pro 0 ≤ n ≤ 4 byly klasifikovány na začátku historie teorie skupin,^[2] a moderní práce rozšířila tyto klasifikace na skupiny, jejichž pořadí se dělí p⁷, ačkoli naprostý počet rodin takových skupin roste tak rychle, že další klasifikace v tomto směru jsou považovány za obtížné pro lidskou mysl k pochopení.^[3] Například, Marshall Hall Jr. a James K. Senior klasifikované skupiny řádu 2ⁿ pro n ≤ 6 v roce 1964.^[4]

Spíše než klasifikaci skupin podle pořadí, Philip Hall navrženo s využitím pojmu izoklinismus skupin který se sbíral konečně p-skupiny do rodin na základě velkých kvocientů a podskupin.^[5]

Zcela jiná metoda klasifikuje konečnou p-skupiny podle jejich coclass, tj. rozdíl mezi nimi délka složení a jejich třída nilpotence. Takzvaný coclass dohady popsal množinu všech konečných p-skupiny pevné coclass jako poruchy konečně mnoha pro-p skupiny. Důvody coclass byly prokázány v 80. letech pomocí technik souvisejících s Lež algebry a silné p-skupiny.^[6] Konečné důkazy o věty coclass jsou způsobeny A. Shalevem a nezávisle C. R. Leedham-Greenem, oba v roce 1994. Přiznávají klasifikaci konečných p-skupiny řízené coclass grafy skládající se pouze z konečně mnoha stromů coclass, jejichž (nekonečně mnoho) členů se vyznačuje konečně mnoha parametrizovanými prezentacemi.

Každá skupina objednávky p⁵ je metabelian.^[7]

Až do p³

Triviální skupina je jediná skupina řádu jedna a cyklická skupina C_p je jediná skupina objednávky p. Existují přesně dvě skupiny řádu p², oba abelian, a to C_p² a C_p × C_p. Například cyklická skupina C₄ a Kleinova čtyřčlenná skupina PROTI₄ který je C₂ × C₂ jsou obě 2-skupiny řádu 4.

Existují tři abelianské skupiny řádu p³, jmenovitě C_p³, C_p²×C_p, a C_p×C_p×C_p. Existují také dvě neabelovské skupiny.

Pro p ≠ 2, jeden je polopřímým produktem C_p×C_p s C_pa druhý je polopřímým produktem C_p² s C_p. První lze jinými slovy popsat jako skupinu UT (3,p) unitriangulárních matic nad konečným polem s p prvky, nazývané také Heisenberg group mod p.

Pro p = 2, oba výše uvedené polopřímé produkty jsou izomorfní s dihedrální skupina Dih₄ řádu 8. Druhou neabelovskou skupinou řádu 8 je čtveřice skupina Q₈.

Prevalence

Mezi skupinami

Počet tříd izomorfismu skupin řádů pⁿ roste jako ${displaystyle p ^ {{frac {2} {27}} n ^ {3} + O (n ^ {8/3})}}$, a v nich dominují třídy, které jsou dvoustupňové nilpotentní.^[8] Kvůli tomuto rychlému růstu existuje folklór domněnka tvrdí, že téměř všechny konečné skupiny jsou 2 skupiny: zlomek třídy izomorfismu 2 skupin mezi třídami izomorfismu skupin řádu nejvýše n má tendenci k 1 jako n inklinuje k nekonečnu. Například z 49 910 529 484 různých skupin objednávky nejvýše 2000, 49 487 365 422, nebo jen něco málo přes 99%, jsou 2 skupiny objednávky 1024.^[9]

Ve skupině

Každá konečná skupina, jejíž pořadí je dělitelné p obsahuje podskupinu, která není triviální p-skupina, a to cyklická skupina řádu p generované prvkem objednávky p získáno od Cauchyova věta. Ve skutečnosti obsahuje a p-skupina maximálního možného pořadí: pokud ${displaystyle | G | = n = p ^ {k} m}$ kde p nerozděluje m, pak G má podskupinu P řádu ${displaystyle p ^ {k},}$ volal Sylow p- podskupina. Tato podskupina nemusí být jedinečná, ale jakékoli podskupiny tohoto řádu jsou konjugované a jakékoli p- podskupina G je obsažen v Sylow p- podskupina. Tato a další vlastnosti jsou prokázány v Sylowovy věty.

Aplikace na strukturu skupiny

p-skupiny jsou základními nástroji pro pochopení struktury skupin a skupin klasifikace konečných jednoduchých skupin. p-skupiny vznikají jako podskupiny i jako kvocientové skupiny. Jako podskupiny pro dané prvočíslo p jeden má Sylow p- podskupiny P (největší p- podskupina není jedinečná, ale celá konjugovaná) a p-jádro ${displaystyle O_ {p} (G)}$ (jedinečný největší normální p-subgroup) a různé další. Jako kvocienty největší p-skupinový kvocient je kvocient G podle p-zbytková podskupina ${displaystyle O ^ {p} (G).}$ Tyto skupiny jsou příbuzné (pro různá prvočísla), mají důležité vlastnosti jako např fokální podskupinová věta a umožňují určit mnoho aspektů struktury skupiny.

Místní ovládání

Velká část struktury konečné skupiny se nese ve struktuře její tzv místní podskupiny, normalizátory neidentity p- podskupiny.^[10]

Ten velký základní abelianské podskupiny konečné skupiny vykonávat kontrolu nad skupinou, která byla použita v důkazu o Feit – Thompsonova věta. Určitý centrální rozšíření elementárních abelianských skupin zvláštní skupiny pomůže popsat strukturu skupin, na které působí symplektické vektorové prostory.

Richard Brauer klasifikoval všechny skupiny, jejichž 2 podskupiny Sylow jsou přímým produktem dvou cyklických skupin řádu 4 a John Walter, Daniel Gorenstein, Helmut Bender, Michio Suzuki, George Glauberman a další klasifikovali ty jednoduché skupiny, jejichž 2 podskupiny Sylow byly abelian, dihedral, semidihedral nebo quaternion.

Viz také

• Základní skupina
• Prüferova hodnost
• Pravidelná p-skupina

Poznámky pod čarou

Poznámky

Citace

Reference

Další čtení

externí odkazy

• Rowland, Todd & Weisstein, Eric W. „skupina p“. MathWorld.