Centrum (teorie skupin) - Center (group theory)

Cayleyho stůl pro D₄ zobrazující prvky centra, {e, a²}, uspořádané symetricky kolem hlavní úhlopříčky (ilustrující, že každý dojíždí se všemi ostatními prvky)
^Ó	E	b	A	A²	A³	ab	A²b	A³b
E	E	b	A	A²	A³	ab	A²b	A³b
b	b	E	A³b	A²b	ab	A³	A²	A
A	A	ab	A²	A³	E	A²b	A³b	b
A²	A²	A²b	A³	E	A	A³b	b	ab
A³	A³	A³b	E	A	A²	b	ab	A²b
ab	ab	A	b	A³b	A²b	E	A³	A²
A²b	A²b	A²	ab	b	A³b	A	E	A³
A³b	A³b	A³	A²b	ab	b	A²	A	E

v abstraktní algebra, centrum a skupina, $G$ , je soubor prvků, které dojíždět s každým prvkem $G$ . Je označen $Z (G)$ , z němčiny Zentrum, význam centrum. v set-builder notace,

Z (G) = {z \in G ∣ \forall G \in G, zg = gz}

.

Centrum je a normální podskupina, $Z (G) ⊲ G$ . Jako podskupina je vždy charakteristický, ale není to nutně plně charakteristické. The kvocientová skupina, $G / Z (G)$ , je izomorfní do vnitřní automorfismus skupina, $Hospoda(G)$ .

Skupina $G$ je abelian právě tehdy $Z (G) = G$ . Na druhém konci se říká, že skupina je bez centra -li $Z (G)$ je triviální; tj. se skládá pouze z prvek identity.

Prvky středu se někdy nazývají centrální.

Jako podskupina

Centrum města G je vždy a podskupina z $G$ . Zejména:

$Z (G)$ obsahuje prvek identity z $G$ , protože dojíždí se všemi prvky $G$ , podle definice: $např = G = ge$ , kde $E$ je identita;
Li $X$ a $y$ jsou v $Z (G)$ , pak také je $xy$ , asociativitou: $(xy) G = X (yg) = X (gy) = (xg) y = (gx) y = G (xy)$ pro každého $G \in G$ ; tj., $Z (G)$ je zavřený;
Li $X$ je v $Z (G)$ , pak také je $X -1$ jako pro všechny $G$ v $G$ , $X -1$ dojíždí s $G$ : $(gx = xg) \Rightarrow (X -1 gxx -1 = X -1 xgx -1) \Rightarrow (X -1 G = gx -1)$ .

Dále centrum města $G$ je vždy a normální podskupina z $G$ . Protože všechny prvky $Z (G)$ dojíždět, je uzavřen pod časování.

Konjugační třídy a centralizátoři

Podle definice je střed množina prvků, pro které třída konjugace každého prvku je samotný prvek; tj., $Cl (G) = {G$ }.

Centrum je také průsečík ze všech centralizátory každého prvku $G$ . Protože centralizátoři jsou podskupiny, opět to ukazuje, že střed je podskupinou.

Časování

Zvažte mapu, $F : G \to Aut (G)$ , z $G$ do automorfická skupina z $G$ definován $F (G) = ϕ G$ , kde $ϕ G$ je automorfismus $G$ definován

F (G)(h) = ϕ G (h) = ghg -1

.

Funkce, $F$ je skupinový homomorfismus, a jeho jádro je přesně středem $G$ a jeho obraz se nazývá skupina vnitřního automorfismu z $G$ , označeno $Hospoda(G)$ . Podle první věta o izomorfismu dostaneme,

G / Z (G) ≃ Inn (G)

.

The koksovna této mapy je skupina $Ven(G)$ z vnější automorfismy a tyto tvoří přesná sekvence

1 ⟶ Z (G) ⟶ G ⟶ Aut (G) ⟶ ven (G) ⟶ 1

.

Příklady

Centrum města abelianská skupina, $G$ , je vše z $G$ .
Střed města Skupina Heisenberg, $H$ , je sada matic formuláře:
${displaystyle {egin {pmatrix} 1 & 0 & z 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1end {pmatrix}}}$
Centrum a nonabelian jednoduchá skupina je triviální.
Střed města dihedrální skupina, $D n$ , je triviální pro liché $n \geq 3$ . Dokonce i $n \geq 4$ , střed se skládá z prvku identity spolu s otočením o 180 ° polygon.
Střed města čtveřice skupina, $Q 8 = {1, -1, i, -i, j, -j, k, -k}$ , je ${1, -1}$ .
Střed města symetrická skupina, $S n$ , je triviální pro $n \geq 3$ .
Střed města střídavá skupina, $A n$ , je triviální pro $n \geq 4$ .
Střed města obecná lineární skupina přes pole $F$ , $GL n (F)$ , je sbírka skalární matice, ${sI n \in s \in Ž {0}}$ .
Střed města ortogonální skupina, $Ó n (F)$ je ${Já n, -I n}$ .
Střed města speciální ortogonální skupina, $TAK(n)$ je celá skupina, když $n = 2$ a jinak ${Já n, -I n}$ když n je sudé a triviální, když n je zvláštní.
Střed města jednotná skupina, ${displaystyle U (n)}$ je ${displaystyle {e ^ {i heta} cdot I_ {n} střední heta v [0,2pi)}}$ .
Střed města speciální jednotná skupina, ${displaystyle SU (n)}$ je ${displaystyle leftlbrace e ^ {i heta} cdot I_ {n} mid heta = {frac {2kpi} {n}}, k = 0,1, .... n-1ightbrace}$ .
Střed multiplikativní skupiny nenulové čtveřice je multiplikativní skupina nenulová reálná čísla.
Za použití třídní rovnice, lze dokázat, že středem každého netriviálního konečný p-skupina není triviální.
Pokud kvocientová skupina $G / Z (G)$ je cyklický, $G$ je abelian (a tedy $G = Z (G)$ , tak $G / Z (G)$ je triviální).
Střed města megaminx skupina je cyklická skupina řádu 2 a střed kilominx skupina je triviální.

Vyšší centra

Quotienting ven středem skupiny získá posloupnost skupin zvaných horní centrální série:

(G 0 = G) ⟶ (G 1 = G 0 / Z (G 0)) ⟶ (G 2 = G 1 / Z (G 1)) ⟶ \dots

Jádro mapy $G \to G i$ je $i$ th centrum^{[Citace je zapotřebí ]} z $G$ (druhé centrum, třetí centrumatd.) a je označen $Z i (G)$ ^{[Citace je zapotřebí ]}. Konkrétně ( $i + 1$ ) -st center jsou pojmy, které dojíždějí se všemi prvky až po prvek $i$ th centrum. Po této definici lze definovat 0. střed skupiny jako podskupinu identity. V tom lze pokračovat transfinitní ordinály podle transfinitní indukce; spojení všech vyšších center se nazývá hypercentrum.^{[poznámka 1]}

The vzestupný řetěz podskupin

1 \leq Z (G) \leq Z 2 (G) \leq \dots

stabilizuje na i (ekvivalentně, $Z i (G) = Z i + 1 (G)$ ) kdyby a jen kdyby $G i$ je bez centra.

Příklady

Pro skupinu bez centra jsou všechna vyšší centra nulová, což je případ $Z 0 (G) = Z 1 (G)$ stabilizace.
Podle Grünovo lemma, kvocient a dokonalá skupina jeho středem je bez středů, proto se všechny vyšší středy rovnají středu. Toto je případ stabilizace na $Z 1 (G) = Z 2 (G)$ .

Viz také

Poznámky

^ Tato unie bude zahrnovat transfinitní podmínky, pokud se UCS nestabilizuje v konečné fázi.

Reference

Fraleigh, John B. (2014). První kurz v abstraktní algebře (7 ed.). Pearson. ISBN 978-1-292-02496-7.

externí odkazy

"Střed skupiny", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]

[1] Tato unie bude zahrnovat transfinitní podmínky, pokud se UCS nestabilizuje v konečné fázi.

[poznámka 1]