Cauchysova věta (teorie grup) - Cauchys theorem (group theory) - Wikipedia

v matematika konkrétně teorie skupin, Cauchyova věta uvádí, že pokud $G$ je konečná skupina a $p$ je prvočíslo dělení objednat z $G$ (počet prvků v $G$ ), pak $G$ obsahuje prvek objednávky $p$ . To znamená, že existuje $X$ v $G$ takhle $p$ je nejmenší klad celé číslo s $X$ ^$p$ = $E$ , kde $E$ je prvek identity z $G$ . Je pojmenován po Augustin-Louis Cauchy, který ji objevil v roce 1845.^[1]^[2]

Věta souvisí s Lagrangeova věta, ve kterém se uvádí, že pořadí jakéhokoli podskupina konečné skupiny $G$ rozdělí pořadí $G$ . Cauchyova věta znamená, že pro každého prvočíselného dělitele $p$ řádu $G$ , existuje podskupina $G$ jehož pořadí je $p$ —The cyklická skupina generované prvkem v Cauchyho teorému.

Cauchyova věta je zobecněna na Sylowova první věta, což znamená, že pokud $p$ ^$n$ je maximální síla $p$ dělení pořadí $G$ , pak $G$ má podskupinu objednávky $p$ ^$n$ (a s využitím skutečnosti, že a $p$ -skupina je řešitelný, to lze ukázat $G$ má podskupiny objednávky $p$ ^$r$ pro všechny $r$ menší nebo rovno $n$ ).

Prohlášení a důkaz

Mnoho textů dokazuje teorém s použitím silná indukce a třídní rovnice, i když k prokázání věty v abelian případ. Lze také vyvolat skupinové akce pro důkaz.^[3]

Cauchyova věta — Nechat $G$ být konečná skupina a $p$ být primární. Li $p$ rozděluje objednat z $G$ , pak $G$ má prvek řádu $p$ .

Důkaz 1

Nejprve dokážeme speciální případ, že kde $G$ je abelian a poté obecný případ; oba důkazy jsou indukcí zapnuty $n$ = | $G$ |, a jako výchozí případ $n$ = $p$ což je triviální, protože každý prvek bez identity má nyní řád $p$ . Předpokládejme, že první $G$ je abelian. Vezměte jakýkoli prvek jiné než identity $A$ a nechte $H$ být cyklická skupina generuje. Li $p$ rozdělí | $H$ | tedy $A$ ^{| $H$ |/ $p$} je prvek řádu $p$ . Li $p$ nerozděluje | $H$ |, pak rozdělí objednávku [ $G$ : $H$ ] z kvocientová skupina $G$ / $H$ , který tedy obsahuje prvek objednávky $p$ indukční hypotézou. Tím prvkem je třída $xH$ pro některé $X$ v $G$ , a pokud $m$ je řád $X$ v $G$ , pak $X$ ^$m$ = $E$ v $G$ dává ( $xH$ )^$m$ = $eH$ v $G$ / $H$ , tak $p$ rozděluje $m$ ; jako dříve $X$ ^{$m$ / $p$} je nyní prvkem objednávky $p$ v $G$ , vyplnění důkazu pro případ abelian.

Obecně platí, že $Z$ být centrum z $G$ , což je abelianská podskupina. Li $p$ rozdělí | $Z$ | tedy $Z$ obsahuje prvek objednávky $p$ v případě abelianských skupin a tento prvek funguje pro $G$ také. Můžeme to tedy předpokládat $p$ nerozděluje pořadí $Z$ . Od té doby $p$ rozděluje | $G$ | a $G$ je disjunktní unie $Z$ a třídy konjugace necentrálních prvků existuje třída konjugace necentrálního prvku $A$ jehož velikost není dělitelná $p$ . Ale třídní rovnice ukazuje, že velikost je [ $G$ : $C$ _$G$( $A$ )], tak $p$ rozdělí pořadí centralizátor $C$ _$G$( $A$ ) z $A$ v $G$ , což je správná podskupina, protože $A$ není ústřední. Tato podskupina obsahuje prvek objednávky $p$ indukční hypotézou, a máme hotovo.

Důkaz 2

Tento důkaz využívá skutečnosti, že pro všechny akce (cyklické) skupiny hlavního řádu $p$ , jediné možné velikosti oběžné dráhy jsou 1 a $p$ , který je bezprostřední od věta o stabilizátoru oběžné dráhy.

Množina, na kterou má naše cyklická skupina působit, je množina

{ displaystyle X = {, (x_ {1}, ldots, x_ {p}) v G ^ {p}: x_ {1} x_ {2} cdots x_ {p} = e , }}

z $p$ - n-tice prvků $G$ jehož produkt (v pořadí) dává identitu. Takový $p$ -tuple je jednoznačně určeno všemi jeho komponentami kromě poslední, protože poslední prvek musí být inverzní k součinu těchto předchozích prvků. Jeden také vidí, že ti $p$ − 1 prvky lze zvolit libovolně, tak $X$ má | $G$ |^{$p$ −1} prvky, které je dělitelné $p$ .

Nyní ze skutečnosti, že ve skupině, pokud $ab$ = $E$ pak také $ba$ = $E$ , vyplývá z toho, že jakákoli cyklická permutace složek prvku $X$ opět dává prvek $X$ . Proto lze definovat akci cyklické skupiny $C$ _$p$ řádu $p$ na $X$ cyklickými permutacemi komponent, jinými slovy, ve kterých zvolený generátor $C$ _$p$ posílá

{ displaystyle (x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {p}) mapsto (x_ {2}, ldots, x_ {p}, x_ {1})}

.

Jak již bylo uvedeno, obíhá kolem $X$ v rámci této akce mají velikost 1 nebo velikost $p$ . První se děje právě pro ty n-tice ${ displaystyle (x, x, ldots, x)}$ pro který ${ displaystyle x ^ {p} = e}$ . Počítání prvků $X$ obíháním a redukcí modulo $p$ , jeden vidí, že počet prvků vyhovuje ${ displaystyle x ^ {p} = e}$ je dělitelné $p$ . Ale $X$ = $E$ je jeden takový prvek, takže tam musí být alespoň $p$ − 1 další řešení pro $X$ , a tato řešení jsou prvky řádu $p$ . Tím je důkaz dokončen.

Použití

Prakticky okamžitým důsledkem Cauchyho věty je užitečná charakterizace konečné $p$ -skupiny, kde $p$ je prime. Zejména konečná skupina $G$ je $p$ -skupina (tj. všechny její prvky mají pořadí $p$ ^$k$ pro některé přirozené číslo $k$ ) právě tehdy $G$ má pořádek $p$ ^$n$ pro nějaké přirozené číslo $n$ . V indukčním důkazu lze použít abelianský případ Cauchyho věty^[4] první z Sylowových vět, podobný prvnímu důkazu výše, i když existují i důkazy, které se tomuto zvláštnímu případu vyhýbají samostatně.

Příklad 1

Nechat $G$ je konečná skupina, kde $X 2 = E$ pro všechny prvky $X$ z $G$ . Pak $G$ má pořádek $2 n$ pro nějaké nezáporné celé číslo $n$ . Nechat $| G |$ je $m$ . V případě $m$ je tedy 1 $G = {E}$ . V případě $m \geq 2$ , pokud $m$ má lichý primární faktor $p$ , $G$ má prvek $X$ kde $X p = E$ z Cauchyho věty. Je v rozporu s předpokladem. Proto $m$ musí být $2 n$ .^[5] Známým příkladem je Kleinova čtyřčlenná skupina.

Příklad 2

Abelian jednoduchá skupina je buď ${E}$ nebo cyklická skupina $C p$ jehož pořadí je prvočíslo $p$ . Nechat $G$ je Abelian skupina, pak všechny podskupiny $G$ jsou normální podskupiny. Takže když $G$ je jednoduchá skupina, $G$ má pouze normální podskupinu, která je buď ${E}$ nebo $G$ . Li $| G | = 1$ , pak $G$ je ${E}$ . Je to vhodné. Li $| G | \geq 2$ , nechť $A \in G$ není $E$ cyklická skupina $⟨ A ⟩$ je podskupina $G$ a $⟨ A ⟩$ není ${E}$ , pak $G = ⟨ A ⟩$ . Nechat $n$ je řád $⟨ A ⟩$ . Li $n$ je tedy nekonečný

{ displaystyle {e } subsetneqq langle a ^ {2} rangle subsetneqq langle a rangle = G.}

V tomto případě to tedy není vhodné. Pak $n$ je konečný. Li $n$ je složený, $n$ je dělitelný prvočíslem $q$ což je méně než $n$ . Z Cauchyho věty, podskupiny $H$ bude existovat, jehož pořadí je $q$ , není to vhodné. Proto, $n$ musí být prvočíslo.

Poznámky

^ Cauchy 1845.
^ Cauchy 1932.
^ McKay 1959.
^ Jacobson 2009, str. 80.
^ Konečné skupiny kde $X 2 = e$ má pořádek $2 n$ , Stack Exchange, 2015-09-23

Reference

Cauchy, Augustin-Louis (1845), „Mémoire sur les claims que l'on peut former avec des lettres données, et sur les permutations ou substitutions à l'aide desquelles on passe d'un agreement à un autre“, Cvičení d'analyse et de physique mathématique, Paříž, 3: 151–252
Cauchy, Augustin-Louis (1932), Oeuvres complètes (PDF), druhá série, 13 (dotisk ed.), Paříž: Gauthier-Villars, str. 171–282
Jacobson, Nathan (2009) [1985], Základní algebraDover Knihy o matematice, Já (Druhé vydání), Dover Publications, str. 80, ISBN 978-0-486-47189-1
McKay, James H. (1959), „Další důkaz Cauchyho věty o skupině“, Americký matematický měsíčník, 66: 119, doi:10.2307/2310010, PAN 0098777, Zbl 0082.02601

externí odkazy

[FOOTNOTECauchy1845-1] Cauchy 1845.

[FOOTNOTECauchy1932-2] Cauchy 1932.

[FOOTNOTEMcKay1959-3] McKay 1959.

[FOOTNOTEJacobson200980-4] Jacobson 2009, str. 80.

[5] Konečné skupiny kde $X 2 = e$ má pořádek $2 n$ , Stack Exchange, 2015-09-23

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]