Molekulární symetrie - Molecular symmetry

Symetrické prvky formaldehyd. C₂ je dvojitá osa otáčení. σ_proti a σ_proti„jsou dvě nerovnocenné odrazové roviny.

Molekulární symetrie v chemie popisuje symetrie předložit molekuly a klasifikace molekul podle jejich symetrie. Molekulární symetrie je základním pojmem v chemii, protože ji lze použít k předpovědi nebo vysvětlení mnoha molekulárních chemické vlastnosti, jako je jeho dipólový moment a je povoleno spektroskopické přechody K tomu je nutné klasifikovat stavy molekuly pomocí neredukovatelné reprezentace z tabulka znaků skupiny symetrie molekuly. Mnoho učebnic na univerzitní úrovni fyzikální chemie, kvantová chemie, spektroskopie a anorganická chemie věnujte kapitolu symetrii.^{[1][2][3][4][5][6]}

Rámec pro studium molekulární symetrie poskytuje teorie skupin, a zejména neredukovatelné zastoupení teorie. Symetrie je užitečná při studiu molekulární orbitaly, s aplikacemi, jako je Hückel metoda, teorie pole ligandů a Vládne Woodward-Hoffmann. Dalším rámcem ve větším měřítku je použití krystalové systémy popsat krystalografické symetrie sypkých materiálů.

Existuje mnoho technik pro praktické hodnocení molekulární symetrie, včetně Rentgenová krystalografie a různé formy spektroskopie. Spektroskopická notace je založen na úvahách o symetrii.

Pojmy symetrie

Studium symetrie v molekulách využívá teorie skupin.

Příklady vztahu mezi chirality a symetrie

Rotační osa (Cn)	Nesprávné rotační prvky (Sn)
	Chirál Ne Sn	Achirál zrcadlové letadlo S1 = σ	Achirál inverzní centrum S2 = i
C1
C2

Elementy

Symetrii bodové skupiny molekuly lze popsat 5 typy prvek symetrie.

• Osa symetrie: osa, kolem které a otáčení podle ${displaystyle {frac {360 ^ {circ}} {n}}}$ vede k nerozeznání molekuly od originálu. Toto se také nazývá n-složit osa otáčení a zkráceně C_n. Příkladem je C.₂ osa dovnitř voda a C.₃ osa dovnitř amoniak. Molekula může mít více než jednu osu symetrie; ten s nejvyšším n se nazývá hlavní osa, a podle konvence je zarovnán s osou z v a Kartézský souřadnicový systém.
• Rovina symetrie: rovina odrazu, skrz kterou je generována identická kopie původní molekuly. Toto se také nazývá a zrcadlové letadlo a zkráceně σ (sigma = řecké „s“ z německého zrcadla „Spiegel“).^[7] Voda má dvě z nich: jednu v rovině samotné molekuly a jednu kolmý k tomu. Rovina symetrie paralelní s hlavní osou je dabován vertikální (σ_proti) a jeden na něj kolmý horizontální (σ_h). Existuje třetí typ roviny symetrie: Pokud vertikální rovina symetrie navíc půlí úhel mezi dvěma 2násobnými osami otáčení kolmými na hlavní osu, rovina se dabuje vzepětí (σ_d). Rovinu symetrie lze také identifikovat podle kartézské orientace, např. (Xz) nebo (yz).
• Střed symetrie nebo inverzní centrum, zkráceně i. Molekula má střed symetrie, když pro jakýkoli atom v molekule existuje stejný atom diametrálně naproti tomuto středu ve stejné vzdálenosti od něj. Jinými slovy, molekula má střed symetrie, když body (x, y, z) a (−x, −y, −z) odpovídají stejným objektům. Například pokud je v nějakém bodě atom kyslíku (x, y, z), pak je v bodě atom kyslíku (−x, −y, −z). Atom ve středu inverze může nebo nemusí být. Příklady jsou xenon tetrafluorid kde inverzní centrum je na atomu Xe, a benzen (C₆H₆) kde střed inverze je ve středu prstence.
• Osa rotace a odrazu: osa, kolem které se otáčí ${displaystyle {frac {360 ^ {circ}} {n}}}$, následovaný odrazem v rovině kolmé na ni, ponechává molekulu beze změny. Také se nazývá n-složit nesprávná osa otáčení, to je zkráceno S_n. Příklady jsou přítomny v čtyřboké tetrafluorid křemičitý, se třemi S.₄ osy a rozložená konformace z etan s jedním S.₆ osa. S₁ osa odpovídá rovině zrcadla σ a S.₂ osa je inverzní střed i. Molekula, která nemá žádný S_n osa pro libovolnou hodnotu n je a chirální molekula.
• Identita, zkráceně E, z německého „Einheit“, což znamená jednota.^[8] Tento prvek symetrie jednoduše sestává ze žádné změny: každá molekula má tento prvek. I když se tento prvek zdá fyzicky triviální, musí být zahrnut do seznamu prvků symetrie, aby tvořily matematický skupina, jehož definice vyžaduje zahrnutí prvku identity. Říká se tomu, protože je to analogické k násobení jednou (jednota). Jinými slovy, E je vlastnost, kterou musí mít jakýkoli objekt bez ohledu na jeho vlastnosti symetrie.^[9]

Operace

XeF₄, se čtvercovou rovinnou geometrií, má 1 ° C₄ osa a 4 ° C₂ osy kolmé k C₄. Těchto pět os plus rovina zrcadla kolmá na C₄ osa definuje D_4h symetrická skupina molekuly.

Těchto pět prvků symetrie k nim přidružilo pět typů operace symetrie, které ponechávají molekulu ve stavu nerozeznatelném od počátečního stavu. Někdy se odlišují od prvků symetrie znakem a stříška nebo háček. Tak, Ĉ_n je rotace molekuly kolem osy a Ê je operace identity. K prvku symetrie může být přidružena více než jedna operace symetrie. Například C₄ osa náměstí xenon tetrafluorid (XeF₄) molekula je spojena se dvěma Ĉ₄ rotace (90 °) v opačných směrech a a Ĉ₂ otáčení (180 °). Od Ĉ₁ je ekvivalentní Ê, Ŝ₁ na σ a Ŝ₂ na „, všechny operace symetrie lze klasifikovat jako správné nebo nesprávné rotace.

U lineárních molekul je rotace ve směru hodinových ručiček nebo proti směru hodinových ručiček kolem osy molekuly o libovolný úhel Φ operací symetrie.

Skupiny symetrie

Skupiny

Operace symetrie molekuly (nebo jiného objektu) tvoří a skupina. V matematice je skupina množina s binární operace který splňuje čtyři vlastnosti uvedené níže.

V skupina symetrie, prvky skupiny jsou operace symetrie (nikoli prvky symetrie) a binární kombinace spočívá v použití první operace symetrie a potom druhé. Příkladem je posloupnost C.₄ rotace kolem osy z a odraz v rovině xy, označený σ (xy) C₄. Podle konvence je pořadí operací zprava doleva.

Skupina symetrie se řídí určujícími vlastnostmi jakékoli skupiny.

(1) uzavření vlastnictví:
Pro každou dvojici prvků X a y v G, produkt X*y je také v G.
(v symbolech, pro každé dva prvky X, y∈G, X*y je také v G ).
To znamená, že skupina je Zavřeno takže kombinace dvou prvků neprodukuje žádné nové prvky. Operace symetrie mají tuto vlastnost, protože posloupnost dvou operací vyprodukuje třetí stav nerozeznatelný od druhého a tedy od prvního, takže čistý účinek na molekulu je stále operace symetrie.
(2) asociativní vlastnictví:
Pro každého X a y a z v G, oba (X*y)*z a X*(y*z) výsledek se stejným prvkem v G.
(v symbolech, (X*y)*z = X*(y*z ) pro každého X, y, a z ∈ G)
(3) existence identity vlastnictví:
Musí existovat prvek (řekněme E ) v G takový produkt jakýkoli prvek G s E neprovádět žádnou změnu prvku.
(v symbolech, X*E=E*X= X pro každého X∈ G )
(4) existence inverze vlastnictví:
Pro každý prvek ( X ) v G, musí existovat prvek y v G takový produkt z X a y je prvek identity E.
(v symbolech, pro každého X∈G tady je y ∈ G takhle X*y=y*X= E pro každého X∈G )

The objednat skupiny je počet prvků ve skupině. U skupin malých objednávek lze vlastnosti skupiny snadno ověřit zvážením její tabulky složení, tabulky, jejíž řádky a sloupce odpovídají prvkům skupiny a jejichž položky odpovídají jejich produktům.

Skupiny bodů a skupiny permutace-inverze

Vývojový diagram pro určení skupiny bodů molekuly

Postupná aplikace (nebo složení) jedné nebo více operací symetrie molekuly má účinek ekvivalentní účinku jedné operace symetrie molekuly. Například C₂ rotace následovaná σ_proti odraz je považován za σ_proti'operace symetrie: σ_proti*C₂ = σ_proti'. („Operace A následovaná B do formy C“ se píše BA = C).^[9] Kromě toho se sada všech operací symetrie (včetně této operace kompozice) řídí všemi vlastnostmi skupiny uvedenými výše. Tak (S,*) je skupina, kde S je množina všech operací symetrie určité molekuly a * označuje složení (opakovanou aplikaci) operací symetrie.

Tato skupina se nazývá bodová skupina této molekuly, protože množina operací symetrie ponechává alespoň jeden bod pevný (i když u některých symetrií zůstává pevná celá osa nebo celá rovina). Jinými slovy, skupina bodů je skupina, která shrnuje všechny operace symetrie, které mají všechny molekuly v dané kategorii.^[9] Symetrii krystalu naopak popisuje a vesmírná skupina operací symetrie, která zahrnuje překlady ve vesmíru.

Jeden může určit operace symetrie skupiny bodů pro konkrétní molekulu zvážením geometrické symetrie jejího molekulárního modelu. Když však použijeme skupinu bodů ke klasifikaci molekulárních stavů, operace v ní nelze interpretovat stejným způsobem. Místo toho jsou operace interpretovány jako otáčení a / nebo odrážení vibronických (vibrační-elektronických) souřadnic^[10] a tyto operace dojíždějí s vibronickým Hamiltonianem. Jsou to „operace symetrie“ pro tento vibronický hamiltonián. Skupina bodů se používá k klasifikaci symetrických vibronických vlastních stavů. Klasifikace symetrie rotačních úrovní, vlastních stavů plného (rotačně-vibrační-elektronického) hamiltoniánu, vyžaduje použití vhodné permutační-inverzní skupiny, jak je zavedeno Longuet-Higgins.^[11]

Příklady skupin bodů

Přiřazením každé molekuly bodová skupina klasifikuje molekuly do kategorií s podobnými vlastnostmi symetrie. Například PCl₃, POF₃, XeO₃a NH₃ všechny sdílejí stejné operace symetrie.^[12] Všichni mohou podstoupit operaci identity E, dvě různé C₃ rotační operace a tři různé σ_proti rovinné odrazy beze změny jejich identity, takže jsou umístěny do jedné bodové skupiny, C_3v, s objednávkou 6.^[13] Podobně voda (H₂O) a sirovodík (H₂S) také sdílejí stejné operace symetrie. Oba podstoupí operaci identity E, jednu C.₂ rotace a dvě σ_proti odrazy beze změny jejich identity, takže jsou oba umístěny do jedné bodové skupiny, C_2v, s objednávkou 4.^[14] Tento klasifikační systém pomáhá vědcům efektivněji studovat molekuly, protože chemicky příbuzné molekuly ve stejné bodové skupině mají tendenci vykazovat podobná vazebná schémata, diagramy molekulárních vazeb a spektroskopické vlastnosti.^[9]

Společné skupiny bodů

Následující tabulka obsahuje seznam skupin bodů označených pomocí Schoenflies notace, což je běžné v chemii a molekulární spektroskopii. Popis struktury zahrnuje běžné tvary molekul, které lze vysvětlit pomocí Model VSEPR.

Skupina bodů	Operace symetrie[15]	Jednoduchý popis typické geometrie	Příklad 1	Příklad 2	Příklad 3
C1	E	žádná symetrie, chirál	bromchlorfluormethan (oba enantiomery zobrazeno)	kyselina lysergová	L-leucin a většina ostatních α-aminokyseliny až na glycin
Cs	E σh	zrcadlová rovina, žádná jiná symetrie	thionylchlorid	kyselina chlorná	chlorjodmethan
Ci	E i	inverzní centrum	mezo-kyselina vinná	kyselina jablečná (mezo- kyselina galaktarová)	(S,R) 1,2-dibrom-1,2-dichlorethan (proti přizpůsobovatel)
C.V	E 2C∞Φ ∞σproti	lineární	fluorovodík (a všechny ostatní heteronukleární rozsivkové molekuly )	oxid dusičitý (oxid dusný)	kyselina kyanovodíková (kyanovodík)
D.H	E 2C∞Φ ∞σi i 2S∞Φ ∞C2	lineární s inverzním středem	kyslík (a všechny ostatní homonukleární rozsivkové molekuly )	oxid uhličitý	acetylén (ethyn)
C2	E C.2	„geometrie otevřené knihy,“ chirál	peroxid vodíku	hydrazin	tetrahydrofuran (kroucená konformace)
C3	E C.3	vrtule, chirální	trifenylfosfin	triethylamin	kyselina fosforečná
C2h	E C.2 i σh	rovinný s inverzním středem, bez svislé roviny	trans -1,2-dichlorethylen	trans -dinitrogen difluorid	trans -azobenzen
C3h	E C.3 C32 σh S3 S35	vrtule	kyselina boritá	phloroglucinol (1,3,5-trihydroxybenzen)
C2v	E C.2 σproti(xz) σproti„(yz)	úhlové (H2O) nebo houpačka (SF4) nebo tvar T (ClF3)	voda	tetrafluorid síry	chlorfluorid
C3v	E 2C3 3σproti	trigonální pyramidální	neinvertující amoniak	oxychlorid fosforitý	kobalt-tetrakarbonylhydrid, HCo (CO)4
C4v	E 2C4 C2 2σproti 2σd	čtvercový pyramidální	xenon oxytetrafluorid	pentaboran (9), B5H9	nitroprusidový anion [Fe (CN)5(NE)]2−
C5v	E 2C5 2C52 5σproti	komplex „dojicí stolice“	Ni (C.5H5)(NE)	korrannulen
D2	E C.2(x) C.2(y) C.2(z)	kroucení, chirál	bifenyl (zkosená konformace)	twistane (C10H16)	cyklohexanová kroucená konformace
D3	E C.3(z) 3C2	trojitá šroubovice, chirál	Tris (ethylendiamin) kationt kobaltu (III)	aniont tris (oxalato) železa (III)
D2h	E C.2(z) C.2(y) C.2(X) i σ (xy) σ (xz) σ (yz)	rovinný s inverzním středem, svislou rovinou	ethylen	pyrazin	diboran
D3h	E 2C3 3C2 σh 2S3 3σproti	trigonální planární nebo trigonální bipyramidální	fluorid boritý	chlorid fosforečný	cyklopropan
D4h	E 2C4 C2 2C2„2C2" i 2S4 σh 2σproti 2σd	čtvercový rovinný	xenon tetrafluorid	anion oktachlorodimolybdenanu (II)	Trans- [CoIII(NH3)4Cl2]+ (kromě atomů vodíku)
D5h	E 2C5 2C52 5C2 σh 2S5 2S53 5σproti	pětiúhelníkový	cyklopentadienylový anion	ruthenocene	C70
D6h	E 2C6 2C3 C2 3C2„3C2‘’ i 2S3 2S6 σh 3σd 3σproti	šestihranný	benzen	bis (benzen) chrom	koronen (C24H12)
D7h	E C.7 S7 7C2 σh 7σproti	sedmiúhelníkový	tropylium (C7H7+) kation
D8h	E C.8 C4 C2 S8 i 8C2 σh 4σproti 4σd	osmiúhelníkový	cyklooktatetraenid (C8H82−) anion	uranocen
D2d	E 2S4 C2 2C2„2σd	90 ° otočení	Allene	tetranitrid tetrasulfur	diboran (4) (vzrušený stav)
D3d	E 2C3 3C2 i 2S6 3σd	60 ° kroucení	etan (potácel se rotamer )	dikobalt oktakarbonyl (nepřemostěno izomer )	cyklohexanová konformace křesla
D4d	E 2S8 2C4 2S83 C2 4C2„4σd	45 ° otočení	síra (korunová konformace S8)	dimangan dekakarbonyl (střídavý rotamer)	oktafluoroxenátový ion (idealizovaná geometrie)
D5 d	E 2C5 2C52 5C2 i 2S103 2S10 5σd	36 ° kroucení	ferrocen (střídavý rotamer)
S4	E 2S4 C2		tetraphenylborate anion
Td	E 8C3 3C2 6S4 6σd	čtyřboká	metan	oxid fosforečný	adamantan
Th	E 4C3 4C32 i 3C2 4S6 4S65 3σh	pyritohedron
Óh	E 8C3 6C2 6C4 3C2 i 6S4 8S6 3σh 6σd	osmistěn nebo krychlový	fluorid sírový	hexakarbonyl molybdenu	kubánský
Jáh	E 12C5 12C52 20C3 15C2 i 12S10 12S103 20S6 15σ	icosahedral nebo dodekahedrál	Buckminsterfullerene	dodecaborate anion	dodekahedran

Zastoupení

Operace symetrie mohou být zastoupena mnoha způsoby. Pohodlné znázornění je matice. Pro libovolný vektor představující bod v kartézských souřadnicích vynásobením doleva získá nové umístění bodu transformovaného operací symetrie. Složení operací odpovídá násobení matic. V rámci skupiny bodů vede násobení matic dvou operací symetrie k matici jiné operace symetrie ve stejné skupině bodů.^[9] Například v C_2v příklad toto je:

${displaystyle underbrace {egin {bmatrix} -1 & 0 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & 1 end {bmatrix}} _ {C_ {2}} imes underbrace {egin {bmatrix} 1 & 0 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & 1 end {bmatrix}} _ {sigma _ {v}} = podpása {egin {bmatrix} -1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 1 end {bmatrix}} _ {sigma '_ {v}}}$

Ačkoli existuje nekonečné množství takových reprezentací, neredukovatelné reprezentace (nebo "irreps") skupiny se běžně používají, protože všechny ostatní reprezentace skupiny lze popsat jako lineární kombinaci neredukovatelných reprezentací.

Tabulky znaků

Pro každou skupinu bodů a tabulka znaků shrnuje informace o operacích symetrie a o svých neredukovatelných reprezentacích. Protože vždy existuje stejný počet neredukovatelných reprezentací a tříd operací symetrie, jsou tabulky čtvercové.

Samotná tabulka se skládá z postavy které představují, jak se konkrétní neredukovatelná reprezentace transformuje, když se použije konkrétní operace symetrie. Jakákoli operace symetrie ve skupině bodů molekuly působící na samotnou molekulu ji ponechá beze změny. Ale za jednání na obecném subjektu, jako je a vektor nebo orbitální, nemusí tomu tak být. Vektor mohl změnit znaménko nebo směr a orbitál mohl změnit typ. Pro jednoduché skupiny bodů jsou hodnoty buď 1 nebo −1: 1 znamená, že znaménko nebo fáze (vektoru nebo orbity) se operací symetrie nezmění (symetrický) a −1 označuje změnu znaménka (asymetrický).

Reprezentace jsou označeny podle sady konvencí:

• A, když je rotace kolem hlavní osy symetrická
• B, když rotace kolem hlavní osy je asymetrická
• E a T jsou dvojnásobně a trojnásobně zdegenerované reprezentace
• když má skupina bodů střed inverze, dolní index g (Němec: gerade nebo dokonce) signalizuje žádnou změnu znaménka a dolní index u (ungerade nebo nerovnoměrné) změna znaménka s ohledem na inverzi.
• se skupinami bodů C_.V a D._.H symboly jsou vypůjčené moment hybnosti popis: Σ, Π, Δ.

Tabulky také zachycují informace o tom, jak se kartézské bazické vektory, rotace kolem nich a jejich kvadratické funkce transformují operacemi symetrie skupiny, a upozorňují na to, která neredukovatelná reprezentace se transformuje stejným způsobem. Tyto údaje jsou obvykle na pravé straně tabulek. Tato informace je užitečná, protože chemicky důležité orbitaly (zejména str a d orbitaly) mají stejnou symetrii jako tyto entity.

Tabulka znaků pro C._2v skupina bodů symetrie je uvedena níže:

Zvažte příklad vody (H₂O), který má C._2v symetrie popsaná výše. 2str_X orbitální kyslíku má B₁ symetrie jako ve čtvrtém řádku tabulky znaků výše, s x v šestém sloupci). Je orientován kolmo na rovinu molekuly a přepíná znaménko s C₂ a σ_proti'(yz) operace, ale zůstane nezměněna s dalšími dvěma operacemi (znak operace operace identity je samozřejmě vždy +1). Znaková sada tohoto orbitálu je tedy {1, −1, 1, −1}, což odpovídá B₁ neredukovatelné zastoupení. Stejně tak 2str_z orbital je viděn mít symetrii A₁ neredukovatelné zastoupení (tj.: žádná ze operací symetrie to nezmění), 2str_y B₂a 3d_xy orbitální A₂. Tyto úkoly a další jsou uvedeny ve dvou sloupcích tabulky úplně vpravo.

Historické pozadí

Hans Bethe použil znaky operací bodových skupin ve své studii o teorie pole ligandů v roce 1929 a Eugene Wigner používal teorii skupin k vysvětlení pravidel výběru atomová spektroskopie.^[16] První tabulky znaků byly sestaveny uživatelem László Tisza (1933), v souvislosti s vibračními spektry. Robert Mulliken jako první publikoval tabulky znaků v angličtině (1933) a E. Bright Wilson použil je v roce 1934 k předpovědi symetrie vibrací normální režimy.^[17] Kompletní soubor 32 krystalografických skupin bodů publikovali v roce 1936 Rosenthal a Murphy.^[18]

Molekulární nerigidita

Jak je uvedeno výše v části Skupiny bodů a skupiny permutace-inverze, bodové skupiny jsou užitečné pro klasifikaci vibronických stavů tuhý molekuly (někdy nazývané polotuhý molekuly), které procházejí jen malými oscilacemi kolem jedné rovnovážné geometrie. Longuet-Higgins zavedla obecnější typ skupiny symetrie vhodný nejen pro klasifikaci rovibronických stavů tuhých molekul, ale také pro klasifikaci stavů netuhý (nebo fluxional) molekuly, které tunelují mezi ekvivalentními geometrií (tzv verze^[19]) a který může také umožnit rušivé účinky molekulární rotace.^[11] Tyto skupiny jsou známé jako permutace-inverze skupiny, protože operace symetrie v nich jsou energeticky proveditelné permutace identických jader nebo inverze vzhledem k těžišti ( parita operace) nebo jejich kombinace.

Například, etan (C₂H₆) má tři ekvivalenty střídavé konformace. K tunelování mezi konformacemi dochází při běžné teplotě do vnitřní rotace jedné methylové skupiny ve vztahu k druhému. To není rotace celé molekuly kolem C.₃ osa. Ačkoli každá konformace má D_3d symetrie, jak je uvedeno v tabulce výše, popis vnitřní rotace a souvisejících kvantových stavů a ​​energetických úrovní vyžaduje úplnější skupinu permutace-inverze G₃₆.

Podobně, amoniak (NH₃) má dva ekvivalentní pyramidové (C_3v) konformace, které jsou interkonvertovány procesem známým jako inverze dusíku. Toto není operace inverze skupiny bodů i používá se pro centrosymmetrické tuhé molekuly (tj. inverze vibračních posunů a elektronických souřadnic v jaderném těžišti hmoty) od NH₃ nemá žádné centrum inverze a není centrosymmetrické. Spíše jde o inverzi jaderných a elektronických souřadnic v molekulárním těžišti (někdy nazývanou paritní operace), která je pro tuto molekulu energeticky proveditelná. Vhodná skupina permutace-inverze, která se má v této situaci použít, je D._3h(M), který je izomorfní s bodovou skupinou D_3h.

Jako příklady dále slouží metan (CH₄) a H₃⁺ molekuly mají vysoce symetrické rovnovážné struktury s T_d a D._3h symetrie bodových skupin; postrádají trvalé elektrické dipólové momenty, ale mají velmi slabá čistá rotační spektra kvůli rotačně odstředivému zkreslení.^[20][21] Skupiny permutace-inverze potřebné pro kompletní studium CH₄ a H₃⁺ jsou T_d(M) a D._3h(M).

Druhý a méně obecný přístup k symetrii nerigidních molekul je způsoben Altmannem.^[22][23] V tomto přístupu jsou skupiny symetrie známé jako Schrödingerovy superskupiny a skládají se ze dvou typů operací (a jejich kombinací): (1) operace geometrické symetrie (rotace, odrazy, inverze) tuhých molekul a (2) isodynamické operace, které vezmou nerigidní molekulu do energeticky ekvivalentní formy fyzikálně přijatelným procesem, jako je rotace kolem jednoduché vazby (jako v etanu) nebo molekulární inverze (jako v amoniaku).^[23]

Viz také

• Parita (fyzika) § Molekuly
• Neredukovatelné zastoupení § Aplikace v teoretické fyzice a chemii
• Woodward-Hoffmann pravidla § Korelační diagramy
• Hapticita § Hapticita a fluxionality
• Tabulka znaků
• Krystalografická skupina bodů
• Skupiny bodů ve třech dimenzích
• Symetrie rozsivkových molekul
• Symetrie v kvantové mechanice

Reference

externí odkazy

• Symetrie skupiny bodů @ Newcastle University
• Molekulární symetrie @ Imperial College London
• Molekulární symetrie online @ Otevřená izraelská univerzita
• Tabulky skupin symetrie skupin molekulárních bodů
• Symetrie @ Otterbein
• Internetový přednáškový kurz o molekulární symetrii @ Bergische Universitaet
• Tabulky znaků pro skupiny bodů pro chemii Odkaz