Multivektorový - Multivector

v multilineární algebra, a multivektorový, někdy nazývané Cliffordovo číslo,^[1] je prvkem vnější algebra Λ (PROTI) a vektorový prostor PROTI. Tato algebra je odstupňované, asociativní a střídavý, a skládá se z lineární kombinace z jednoduchý k-vektory^[2] (také známý jako rozložitelný k-vektory^[3] nebo k-čepele ) formuláře

${ displaystyle v_ {1} klín cdots klín v_ {k},}$

kde ${ displaystyle v_ {1}, ldots, v_ {k}}$ jsou v PROTI.

A k-vektor je taková lineární kombinace, která je homogenní stupně k (všechny termíny jsou k- čepele za stejné k). V závislosti na autorech může být „multivektor“ buď a k-vektor nebo jakýkoli prvek vnější algebry (libovolná lineární kombinace k-listy s potenciálně odlišnými hodnotami k).^[4]

v diferenciální geometrie, a k-vector je a k- vektor ve vnější algebře tečný vektorový prostor; to znamená, že je to antisymetrický tenzor získané lineárními kombinacemi klínový produkt z k tečné vektory, pro celé číslo k ≥ 0. A k-formulář je k- vektor ve vnější algebře dvojí tečného prostoru, což je také duál vnější algebry tečného prostoru.

Pro k = 0, 1, 2 a 3, k-vektory se často nazývají resp skaláry, vektory, bivektory a trivektory; jsou respektive dvojí 0-formy, 1-formy, 2-formy a 3-formy.^[5][6]

Klínový produkt

Operace klínového produktu používaná ke konstrukci multivektorů je lineární, asociativní a střídavá, což odráží vlastnosti determinantu. To znamená pro vektory u, proti a w ve vektorovém prostoru PROTI a pro skaláry α, β, klínový produkt má vlastnosti,

• Lineární: ${ displaystyle mathbf {u} klín ( alpha mathbf {v} + beta mathbf {w}) = alpha mathbf {u} klín mathbf {v} + beta mathbf {u} wedge mathbf {w};}$
• Asociativní: ${ displaystyle ( mathbf {u} klín mathbf {v}) klín mathbf {w} = mathbf {u} klín ( mathbf {v} klín mathbf {w}) = mathbf { u} klín mathbf {v} klín mathbf {w};}$
• Střídavé: ${ displaystyle mathbf {u} klín mathbf {v} = - mathbf {v} klín mathbf {u}, quad mathbf {u} klín mathbf {u} = 0.}$

Produkt z p vektory se nazývá stupeň p multivector, nebo a p-vektor. Maximální stupeň multivektoru je rozměr vektorového prostoru PROTI.

Linearita klínového produktu umožňuje definovat multivektor jako lineární kombinaci základních multivektorů. Existují (ⁿ
_p) základ p-vektory v n-dimenzionální vektorový prostor.^[2]

Plocha a objem

The p- vektor získaný z klínového produktu z p samostatné vektory v n-dimenzionální prostor má komponenty, které definují promítaný (p − 1)-objemy p-rovnoběžník překlenutý vektory. Druhá odmocnina součtu druhých mocnin těchto složek definuje objem p-paralelotop.^[2][7]

Následující příklady ukazují, že bivektor ve dvou rozměrech měří plochu rovnoběžníku a velikost bivektoru ve třech rozměrech také měří plochu rovnoběžníku. Podobně tři vektory ve třech rozměrech měří objem rovnoběžnostěnu.

Je snadné zkontrolovat, že velikost tří vektoru ve čtyřech rozměrech měří objem rovnoběžnostěnu překlenutého těmito vektory.

Multivektory v R²

Vlastnosti multivektorů lze vidět na základě dvourozměrného vektorového prostoru PROTI = R². Nechť jsou základní vektory E₁ a E₂, tak u a proti jsou dány

${ displaystyle mathbf {u} = u_ {1} mathbf {e} _ {1} + u_ {2} mathbf {e} _ {2}, quad mathbf {v} = v_ {1} mathbf {e} _ {1} + v_ {2} mathbf {e} _ {2},}$

a multivektor u ∧ proti, nazývaný také bivektor, je počítán jako

${ displaystyle mathbf {u} klín mathbf {v} = { začátek {vmatrix} u_ {1} & v_ {1} u_ {2} & v_ {2} end {vmatrix}} ( mathbf {e} _ {1} wedge mathbf {e} _ {2}).}$

Svislé pruhy označují determinant matice, což je oblast rovnoběžníku rozložená vektory u a proti. Velikost u ∧ proti je oblast tohoto rovnoběžníku. Všimněte si, protože PROTI má dimenzi dva základní bivektor E₁ ∧ E₂ je jediný multivektor v ΛPROTI.

Vztah mezi velikostí multivektoru a oblastí nebo objemem překlenutým vektory je důležitým rysem ve všech dimenzích. Kromě toho je lineární funkční verze multivektoru, který počítá tento objem, známá jako diferenciální forma.

Multivektory v R³

Další vlastnosti multivektorů lze vidět na základě trojrozměrného vektorového prostoru PROTI = R³. V tomto případě nechme být základní vektory E₁, E₂, a E₃, tak u, proti a w jsou dány

${ displaystyle mathbf {u} = u_ {1} mathbf {e} _ {1} + u_ {2} mathbf {e} _ {2} + u_ {3} mathbf {e} _ {3} , quad mathbf {v} = v_ {1} mathbf {e} _ {1} + v_ {2} mathbf {e} _ {2} + v_ {3} mathbf {e} _ {3} , quad mathbf {w} = w_ {1} mathbf {e} _ {1} + w_ {2} mathbf {e} _ {2} + w_ {3} mathbf {e} _ {3} ,}$

a bivektor u ∧ proti je vypočítán jako

${ displaystyle mathbf {u} klín mathbf {v} = { začátek {vmatrix} u_ {2} & v_ {2} u_ {3} & v_ {3} end {vmatrix}} ( mathbf {e} _ {2} wedge mathbf {e} _ {3}) + { begin {vmatrix} u_ {1} & v_ {1} u_ {3} & v_ {3} end {vmatrix }} ( mathbf {e} _ {1} wedge mathbf {e} _ {3}) + { begin {vmatrix} u_ {1} & v_ {1} u_ {2} & v_ {2} end {vmatrix}} ( mathbf {e} _ {1} wedge mathbf {e} _ {2}).}$

Komponenty tohoto bivektoru jsou stejné jako komponenty křížového produktu. Velikost tohoto bivektoru je druhá odmocnina součtu čtverců jeho složek.

To ukazuje, že velikost bivektoru u ∧ proti je plocha rovnoběžníku překlenutá vektory u a proti jak leží v trojrozměrném prostoru PROTI. Komponenty bivektoru jsou promítnuté oblasti rovnoběžníku v každé ze tří souřadnicových rovin.

Všimněte si, protože PROTI má dimenzi tři, v Λ je jeden bazální tří-vektorPROTI. Vypočítejte tři vektor

${ displaystyle mathbf {u} klín mathbf {v} klín mathbf {w} = { začátek {vmatrix} u_ {1} & v_ {1} & w_ {1} u_ {2} & v_ {2} & w_ {2} u_ {3} & v_ {3} & w_ {3} end {vmatrix}} ( mathbf {e} _ {1} wedge mathbf {e} _ {2} klín mathbf {e} _ {3}).}$

To ukazuje, že velikost tří-vektoru u ∧ proti ∧ w je objem rovnoběžnostěnu překlenutý třemi vektory u, proti a w.

Ve vyšších dimenzionálních prostorech jsou složené tří vektory projekce objemu rovnoběžnostěnu na souřadnicový tříprostor a velikost trojrozměrného vektoru je objem rovnoběžnostěnu, jak sedí v prostoru vyšší dimenze.

Grassmann souřadnice

V této části uvažujeme o multivektorech na a projektivní prostor Pⁿ, které poskytují pohodlnou sadu souřadnic pro čáry, roviny a hyperplany, které mají vlastnosti podobné homogenním souřadnicím bodů, tzv. Grassmann souřadnice.^[8]

Body ve skutečném projektivním prostoru Pⁿ jsou definovány jako čáry procházející počátkem vektorového prostoru Rⁿ⁺¹. Například projektivní rovina P² je sada řádků procházející původem R³. Multivektory jsou tedy definovány na Rⁿ⁺¹ lze zobrazit jako multivektory na Pⁿ.

Pohodlný způsob zobrazení multivektoru Pⁿ je zkoumat to v afinní složka z Pⁿ, což je průsečík čar počátkem Rⁿ⁺¹ s vybranou nadrovinou, například H: X_n+1 = 1. Prochází počátkem R³ protínají rovinu E: z = 1 definovat afinní verzi projektivní roviny, která postrádá pouze body, pro které z = 0, nazývané body v nekonečnu.

Multivektory zapnuty P²

Body v afinní složce E: z = 1 projektivní roviny mají souřadnice X = (X, y, 1). Lineární kombinace dvou bodů p = (p₁, p₂, 1) a q = (q₁, q₂, 1) definuje letadlo v R³ který protíná E ve spojovací čáře p a q. Multivektor p ∧ q definuje rovnoběžník v R³ dána

${ displaystyle mathbf {p} klín mathbf {q} = (p_ {2} -q_ {2}) ( mathbf {e} _ {2} klín mathbf {e} _ {3} ) + (p_ {1} -q_ {1}) ( mathbf {e} _ {1} wedge mathbf {e} _ {3}) + (p_ {1} q_ {2} -q_ {1} p_ {2}) ( mathbf {e} _ {1} wedge mathbf {e} _ {2}).}$

Všimněte si, že nahrazení αp + βq pro p vynásobí tento multivektor konstantou. Proto komponenty p ∧ q jsou homogenní souřadnice roviny počátkem R³.

Sada bodů X = (X, y, 1) na trati p a q je průsečík roviny definované pomocí p ∧ q s letadlem E: z = 1. Tyto body uspokojují X ∧ p ∧ q = 0, to znamená,

${ displaystyle mathbf {x} klín mathbf {p} klín mathbf {q} = (x mathbf {e} _ {1} + y mathbf {e} _ {2} + mathbf {e} _ {3}) wedge { big (} (p_ {2} -q_ {2}) ( mathbf {e} _ {2} wedge mathbf {e} _ {3}) + ( p_ {1} -q_ {1}) ( mathbf {e} _ {1} wedge mathbf {e} _ {3}) + (p_ {1} q_ {2} -q_ {1} p_ {2 }) ( mathbf {e} _ {1} klín mathbf {e} _ {2}) { big)} = 0,}$

což zjednodušuje rovnici přímky

${ displaystyle lambda: x (p_ {2} -q_ {2}) + y (p_ {1} -q_ {1}) + (p_ {1} q_ {2} -q_ {1} p_ {2} ) = 0.}$

Tato rovnice je splněna body X = αp + βq pro skutečné hodnoty α a β.

Tři složky p ∧ q které definují linii λ se nazývají Grassmann souřadnice linky. Protože tři homogenní souřadnice definují jak bod, tak přímku, říká se, že geometrie bodů je duální vůči geometrii přímek v projektivní rovině. Tomu se říká princip duality.

Multivektory zapnuty P³

Trojrozměrný projektivní prostor, P³ se skládá ze všech řádků přes původ R⁴. Nechť trojrozměrná nadrovina, H: w = 1, být afinní složkou projektivního prostoru definovaného body X = (X, y, z, 1). Multivektor p ∧ q ∧ r definuje rovnoběžnostěn R⁴ dána

${ displaystyle mathbf {p} klín mathbf {q} klín mathbf {r} = { begin {vmatrix} p_ {2} & q_ {2} & r_ {2} p_ {3} & q_ {3 } & r_ {3} 1 & 1 & 1 end {vmatrix}} mathbf {e} _ {2} wedge mathbf {e} _ {3} wedge mathbf {e} _ {4} + { begin { vmatrix} p_ {1} & q_ {1} & r_ {1} p_ {3} & q_ {3} & r_ {3} 1 & 1 & 1 end {vmatrix}} mathbf {e} _ {1} wedge mathbf {e} _ {3} wedge mathbf {e} _ {4} + { begin {vmatrix} p_ {1} & q_ {1} & r_ {1} p_ {2} & q_ {2} & r_ {2 } 1 & 1 & 1 end {vmatrix}} mathbf {e} _ {1} wedge mathbf {e} _ {2} wedge mathbf {e} _ {4} + { begin {vmatrix} p_ { 1} & q_ {1} & r_ {1} p_ {2} & q_ {2} & r_ {2} p_ {3} & q_ {3} & r_ {3} end {vmatrix}} mathbf {e} _ {1} wedge mathbf {e} _ {2} wedge mathbf {e} _ {3}.}$

Všimněte si, že nahrazení αp + βq + γr pro p vynásobí tento multivektor konstantou. Proto komponenty p ∧ q ∧ r jsou homogenní souřadnice pro 3prostor prostřednictvím počátku R⁴.

Rovina v afinní složce H: w = 1 je množina bodů X = (X, y, z, 1) v průsečíku H s 3prostorem definovaným p ∧ q ∧ r. Tyto body uspokojují X ∧ p ∧ q ∧ r = 0, to znamená,

${ displaystyle mathbf {x} klín mathbf {p} klín mathbf {q} klín mathbf {r} = (x mathbf {e} _ {1} + y mathbf {e} _ { 2} + z mathbf {e} _ {3} + mathbf {e} _ {4}) wedge mathbf {p} wedge mathbf {q} wedge mathbf {r} = 0,}$

což zjednodušuje rovnici roviny

${ displaystyle lambda: x { begin {vmatrix} p_ {2} & q_ {2} & r_ {2} p_ {3} & q_ {3} & r_ {3} 1 & 1 & 1 end {vmatrix}} + y { begin {vmatrix} p_ {1} & q_ {1} & r_ {1} p_ {3} & q_ {3} & r_ {3} 1 & 1 & 1 end {vmatrix}} + z { begin {vmatrix} p_ {1} & q_ {1} & r_ {1} p_ {2} & q_ {2} & r_ {2} 1 & 1 & 1 end {vmatrix}} + { begin {vmatrix} p_ {1} & q_ {1} & r_ {1} p_ {2} & q_ {2} & r_ {2} p_ {3} & q_ {3} & r_ {3} end {vmatrix}} = 0.}$

Tato rovnice je splněna body X = αp + βq + yr pro skutečné hodnoty α, β a y.

Čtyři složky p ∧ q ∧ r které definují rovinu λ se nazývají Grassmann souřadnice letadla. Protože čtyři homogenní souřadnice definují jak bod, tak rovinu v projektivním prostoru, je geometrie bodů duální vůči geometrii rovin.

Čára jako spojení dvou bodů: V projektivním prostoru čára λ přes dva body p a q lze považovat za průnik afinního prostoru H: w = 1 s letadlem X = αp + βq v R⁴. Multivektor p ∧ q poskytuje homogenní souřadnice čáry

${ displaystyle lambda: mathbf {p} klín mathbf {q} = (p_ {1} mathbf {e} _ {1} + p_ {2} mathbf {e} _ {2} + p_ { 3} mathbf {e} _ {3} + mathbf {e} _ {4}) wedge (q_ {1} mathbf {e} _ {1} + q_ {2} mathbf {e} _ { 2} + q_ {3} mathbf {e} _ {3} + mathbf {e} _ {4}),}$

${ displaystyle qquad = { begin {vmatrix} p_ {1} & q_ {1} 1 & 1 end {vmatrix}} mathbf {e} _ {1} wedge mathbf {e} _ {4} + { begin {vmatrix} p_ {2} & q_ {2} 1 & 1 end {vmatrix}} mathbf {e} _ {2} wedge mathbf {e} _ {4} + { begin {vmatrix} p_ {3} & q_ {3} 1 & 1 end {vmatrix}} mathbf {e} _ {3} wedge mathbf {e} _ {4} + { begin {vmatrix} p_ {2} & q_ { 2} p_ {3} & q_ {3} end {vmatrix}} mathbf {e} _ {2} wedge mathbf {e} _ {3} + { begin {vmatrix} p_ {3} & q_ {3} p_ {1} & q_ {1} end {vmatrix}} mathbf {e} _ {3} wedge mathbf {e} _ {1} + { begin {vmatrix} p_ {1} & q_ {1} p_ {2} & q_ {2} end {vmatrix}} mathbf {e} _ {1} wedge mathbf {e} _ {2}.}$

Tito jsou známí jako Plückerovy souřadnice čáry, i když jsou také příkladem Grassmannových souřadnic.

Přímka jako průsečík dvou rovin: Linka μ v projektivním prostoru lze také definovat jako množinu bodů X které tvoří průnik dvou rovin π a ρ definované multivektory stupně tři, tedy body X jsou řešení lineárních rovnic

${ displaystyle mu: mathbf {x} klín pi = 0, mathbf {x} klín rho = 0.}$

Za účelem získání Pluckerových souřadnic linky μ, mapujte multivektory π a ρ na jejich dvoubodové souřadnice pomocí Operátor hvězd Hodge,^[2]

${ displaystyle mathbf {e} _ {1} = { star} ( mathbf {e} _ {2} wedge mathbf {e} _ {3} wedge mathbf {e} _ {4}) , - mathbf {e} _ {2} = { star} ( mathbf {e} _ {1} wedge mathbf {e} _ {3} wedge mathbf {e} _ {4}), mathbf {e} _ {3} = { star} ( mathbf {e} _ {1} wedge mathbf {e} _ {2} wedge mathbf {e} _ {4}), - mathbf {e} _ {4} = { star} ( mathbf {e} _ {1} wedge mathbf {e} _ {2} wedge mathbf {e} _ {3}),}$

pak

${ displaystyle { star} pi = pi _ {1} mathbf {e} _ {1} + pi _ {2} mathbf {e} _ {2} + pi _ {3} mathbf {e} _ {3} + pi _ {4} mathbf {e} _ {4}, quad { star} rho = rho _ {1} mathbf {e} _ {1} + rho _ {2} mathbf {e} _ {2} + rho _ {3} mathbf {e} _ {3} + rho _ {4} mathbf {e} _ {4}.}$

Takže Plückerovy souřadnice čáry μ jsou dány

${ displaystyle mu: ({ star} pi) wedge ({ star} rho) = { begin {vmatrix} pi _ {1} & rho _ {1} pi _ { 4} & rho _ {4} end {vmatrix}} mathbf {e} _ {1} wedge mathbf {e} _ {4} + { begin {vmatrix} pi _ {2} & rho _ {2} pi _ {4} & rho _ {4} end {vmatrix}} mathbf {e} _ {2} wedge mathbf {e} _ {4} + { begin {vmatrix} pi _ {3} & rho _ {3} pi _ {4} & rho _ {4} end {vmatrix}} mathbf {e} _ {3} wedge mathbf {e} _ {4} + { begin {vmatrix} pi _ {2} & rho _ {2} pi _ {3} & rho _ {3} end {vmatrix}} mathbf {e} _ {2} wedge mathbf {e} _ {3} + { begin {vmatrix} pi _ {3} & rho _ {3} pi _ {1} & rho _ {1} end {vmatrix}} mathbf {e} _ {3} wedge mathbf {e} _ {1} + { begin {vmatrix} pi _ {1} & rho _ {1} pi _ {2} & rho _ {2} end {vmatrix}} mathbf {e} _ {1} wedge mathbf {e} _ {2}.}$

Protože šest homogenních souřadnic přímky lze získat spojením dvou bodů nebo průsečíkem dvou rovin, říká se, že přímka je v projektivním prostoru dvojí.

Produkt Clifford

W. K. Clifford kombinované multivektory s vnitřní produkt definované ve vektorovém prostoru, aby se získala obecná konstrukce pro hyperkomplexní čísla, která zahrnuje obvyklá komplexní čísla a Hamiltonova čísla čtveřice.^[9][10]

Cliffordův produkt mezi dvěma vektory u a proti je lineární a asociativní jako klínový produkt a má další vlastnost, kterou má multivektor uv je spojen s vnitřním výrobkem u · proti Cliffordovým vztahem,

${ displaystyle mathbf {u} mathbf {v} + mathbf {v} mathbf {u} = 2 mathbf {u} cdot mathbf {v}.}$

Cliffordův vztah zachovává střídavou vlastnost pro produkt vektorů, které jsou kolmé. To lze vidět u ortogonálních jednotkových vektorů E_i, i = 1, ..., n v Rⁿ. Cliffordův vztah je výnosný

${ displaystyle mathbf {e} _ {i} mathbf {e} _ {j} + mathbf {e} _ {j} mathbf {e} _ {i} = 2 mathbf {e} _ {i } cdot mathbf {e} _ {j} = 0,}$

proto se základní vektory střídají,

${ displaystyle mathbf {e} _ {i} mathbf {e} _ {j} = - mathbf {e} _ {j} mathbf {e} _ {i}, quad i neq j = 1 , ldots, n.}$

Na rozdíl od klínového produktu již Cliffordův produkt vektoru s sebou samým není nulový. Chcete-li vidět tento výpočet produktu,

${ displaystyle mathbf {e} _ {i} mathbf {e} _ {i} + mathbf {e} _ {i} mathbf {e} _ {i} = 2 mathbf {e} _ {i } cdot mathbf {e} _ {i} = 2,}$

který přináší

${ displaystyle mathbf {e} _ {i} mathbf {e} _ {i} = 1, quad i = 1, ldots, n.}$

Sada multivektorů konstruovaná pomocí produktu Clifforda poskytuje asociativní algebru známou jako a Cliffordova algebra. Vnitřní produkty s různými vlastnostmi lze použít ke konstrukci různých Cliffordových algeber.^[11][12]

Geometrická algebra

Termín k-čepel byl použit v Cliffordova algebra na geometrický počet (1984)^[13]

Multivektory hrají ústřední roli v matematické formulaci fyziky známé jako geometrická algebra. Podle David Hestenes,

[Neskalární] k-vektory se někdy nazývají k-čepele nebo jednoduše čepele zdůraznit skutečnost, že na rozdíl od 0-vektorů (skalárů) mají „směrové vlastnosti“.^[14]

V roce 2003 termín čepel pro multivektor použili C. Doran a A. Lasenby.^[15]

v geometrická algebra, je multivektor definován jako součet různého stupně k-čepele, jako je součet a skalární, a vektor a 2-vektor.^[16] Součet pouze k-grade komponenty se nazývá a k-vektor,^[17] nebo a homogenní multivektorový.^[18]

Prvek nejvyššího stupně v prostoru se nazývá a pseudoskalární.

Pokud je daný prvek homogenní se stupněm k, pak je to k-vektor, ale ne nutně a k-čepel. Takovým prvkem je a k-čepel, když ji lze vyjádřit jako klínový součin z k vektory. Geometrická algebra generovaná čtyřrozměrným euklidovským vektorovým prostorem ilustruje bod na příkladu: Součet libovolných dvou lopatek, z nichž jedna je převzata z roviny XY a druhá převzata z roviny ZW, vytvoří 2-vektor, který je ne 2-čepel. V geometrické algebře generované euklidovským vektorovým prostorem dimenze 2 nebo 3 lze všechny součty 2-lopatek zapsat jako jednu 2-lopatku.

Příklady

Orientace definovaná uspořádanou sadou vektorů.

Obrácená orientace odpovídá negaci vnějšího produktu.

Geometrická interpretace známky n prvky ve skutečné vnější algebře pro n = 0 (znaménko), 1 (směrovaný úsečka nebo vektor), 2 (prvek orientované roviny), 3 (orientovaný objem). Vnější produkt n vektory lze vizualizovat jako libovolné n-dimenzionální tvar (např. n-rovnoběžník, n-elipsoid ); s velikostí (hypervolume ), a orientace definováno tím na jeho (n − 1)-dimenzionální hranice a na které straně je interiér.^[19][20]

• 0-vektory jsou skaláry;
• 1-vektory jsou vektory;
• 2-vektory jsou bivektory;
• (n - 1) -vektory jsou pseudovektory;
• n-vektory jsou pseudoskaláře.

V přítomnosti a objemová forma (jako je uvedeno vnitřní produkt a orientace), pseudovektory a pseudoskaláře lze identifikovat pomocí vektorů a skalárů, což je v rutině běžné vektorový počet, ale bez objemové formy to nelze provést bez možnosti volby.

V algebra fyzického prostoru (geometrická algebra euklidovského 3-prostoru, používaná jako model (3 + 1) -prostoru), součet skaláru a vektoru se nazývá a paravector, a představuje bod v časoprostoru (vektor prostor, skalární čas).

Bivektory

A bivektor je prvkem antisymetrický tenzorový produkt a tečný prostor sám se sebou.

v geometrická algebra, také, a bivektor je prvek stupně 2 (2-vektor) vyplývající z klínový produkt ze dvou vektorů, a tak je to geometricky orientovaná oblaststejným způsobem a vektor je orientovaný úsečka. Li A a b jsou dva vektory, bivektor A ∧ b má

• A norma což je jeho plocha, daná

  ${ displaystyle left | mathbf {a} wedge mathbf {b} right | = left | mathbf {a} right | , left | mathbf {b} right | , sin ( phi _ {a, b})}$

• směr: rovina, kde leží tato oblast, tj. rovina určená A a b, pokud jsou lineárně nezávislé;
• orientace (ze dvou), určená pořadím, ve kterém se vynásobí původní vektory.

Bivektory jsou připojeny k pseudovektory, a slouží k reprezentaci rotací v geometrické algebře.

Jako bivektory jsou prvky vektorového prostoru Λ²PROTI (kde PROTI je konečný trojrozměrný vektorový prostor s ztlumit PROTI = n), má smysl definovat vnitřní produkt v tomto vektorovém prostoru následovně. Nejprve napište libovolný prvek F ∈ Λ²PROTI z hlediska základu (E_i ∧ E_j)_{1 ≤ i < j ≤ n} z Λ²PROTI tak jako

${ displaystyle F = F ^ {ab} mathbf {e} _ {a} klín mathbf {e} _ {b} quad (1 leq a$

Kde Konvence Einsteinova součtu se používá.

Nyní definujte mapu G: Λ²PROTI × Λ²PROTI → R tím, že na tom budete trvat

${ displaystyle G (F, H): = G_ {abcd} F ^ {ab} H ^ {cd},}$

kde ${ displaystyle G_ {abcd}}$ jsou množinou čísel.

Aplikace

Bivektory hrají ve fyzice mnoho důležitých rolí, například v klasifikace elektromagnetických polí.

Viz také

• Čepel (geometrie)
• Paravector

Reference